Математика в химии и экономике

Государственное бюджетное образовательное учреждение лицей № 410
Математика в химии и экономике
Выполнили:
ученицы 9 класса
Стрелкова Анна
Шерстнёва Дарья
Руководитель:
учитель математики
Тицкая Светлана Витальевна
СПб, г.Пушкин
2013 г.
Содержание
1. Введение ________________________________________ 2стр
2. Задачи на концентрации ___________________________ 2стр.
3. Задачи на банковские проценты _____________________7стр.
4. Заключение ______________________________________12стр.
5. Список литературы _______________________________13стр.
Введение
В школьном курсе математики не достаточно внимания уделяется задачам на смеси
и банковские проценты. Однако, в последние годы на выпускных экзаменах такие задачи
нередко даются выпускникам, и их решение вызывает затруднение.
Цель настоящей работы – изучение методов решения задач на изменение
концентраций и на начисление простых и сложных процентов.
Кроме того, поскольку в настоящее время в различных видах деятельности и, в
частности, для выполнения данной работы требуется использование компьютера, мы
поставили себе дополнительную задачу освоить дополнительные возможности текстового
редактора Word.
Задачи на концентрации
Рассматривая задачи на составление уравнений, остановимся, прежде всего, на
задачах, решение которых связано с использованием понятий “концентрация” и
“процентное содержание”. Обычно в условиях таких задач речь идет о составлении
сплавов, растворов или смесей двух или нескольких веществ.
В решении химических задач целесообразно использовать алгебраические приемы.
В этом случае исследование и анализ ряда задач сводятся к преобразованиям формул и
подставлению известных величин в конечную формулу или алгебраическое уравнение.
Задачи по химии похожи на задачи по математике, и некоторые количественные задачи по
химии (особенно на «смеси») удобнее решать через систему уравнений с двумя
неизвестными.
2
Задача 1. Смесь карбонатов калия и натрия массой 7г обработали серной кислотой,
взятой в избытке. При этом выделившийся газ занял объем 1,344л (н.у.). Определить
массовые доли карбонатов в исходной смеси.
Решение: Составляем уравнение реакций:
Хг
Yл
Na 2 CO3 + H 2 SO4 = Na 2 SO4 + CO2 ∧ + H 2 O
1 моль
1 моль
106г
22,4л
(7-х) г
(1,344-у) л
K 2 CO3 + H 2 SO4 = K 2 SO4 + CO2 ∧ + H 2 O
1 моль
1 моль
138г
22,4л
Обозначим через х г массу карбоната натрия в смеси, а массу карбоната калия –
через (7-х) г. Объем газа, выделившегося при взаимодействии карбоната натрия с
кислотой, обозначаем через у л, а объем газа, выделившегося при взаимодействии
карбоната калия с кислотой, обозначаем через (1,344 – у) л.
Над уравнениями реакции записываем введенные обозначения, под уравнениями
реакций записываем данные, полученные по уравнениям реакций. И составляем систему
уравнений с двумя переменными:
у
 х
=
106 22,4 (1)

 7 − х = 1,344 − у (2)
 138
Из первого уравнения выражаем у через х: у =
22,4 х 

1,344 −
 • 138 = 22,4 • (7 − х)
1,6 

22,4 х
(3)
106
(4).
Решаем уравнение (4) относительно х.
185,472-29,16х = 156,8-22,4х
6,76х=28,672
Х=4,24
Следовательно, масса карбоната натрия равна 4,24г.
Массу карбоната калия находим вычитанием из общей массы смеси карбонатов
массы карбоната натрия: 7г – 4,24г = 2,76г.
3
Массовые доли карбонатов находим по формуле: w =
mкомпонента
• 100%
mобщая
4.24
⋅ 100% = 60.57%
7
2.76
w( K 2 CO3 ) =
⋅ 100% = 39.43%.
7
w( Na 2 CO3 ) =
Ответ: массовая доля карбоната натрия равна 60,57%, массовая доля карбоната
калия равна 39,43%.
Задача 2. Рассчитайте массы растворенного вещества и растворителя, которые
необходимо взять для приготовления 150г 20%-ного раствора.
Решение задачи начинаем с построения системы координат. На оси Х откладываем
массу раствора 150г, на оси У – 100% (рис.1). Строя перпендикуляры из этих точек,
находим точку их пересечения. Соединяем ее с началом координат. Полученный отрезок
является основой для решения задачи.
Рис.1
Затем на оси У находим точку, соответствующую 20%, восстанавливаем из нее
перпендикуляр до пересечения с отрезком, а из точки пересечения опускаем
перпендикуляр на ось Х. Это ответ задачи. Ответ: 30г.
Задача 3. К 150г 20%-ного раствора соли добавили 30г соли. Определите массовую
долю соли в полученном растворе.
Начало решения аналогично решению задачи 2: для исходного раствора находим
массу растворенного вещества (30г) (рис.2). Затем строим новый отрезок для нового
раствора, полученного в результате добавления соли к исходному. На оси Х от точки,
соответствующей массе исходного раствора, откладываем вправо 30г (масса добавленной
соли), это масса полученного раствора. Восстанавливаем из нее перпендикуляр до
пересечения с прямой, проходящей через отметку 100% на оси У, Точку их пересечения
4
соединяем с началом координат – получаем отрезок, соответствующий новому раствору
(показан пунктирной линией). На оси Х от точки, показывающей массу соли в первом
растворе, откладываем вправо 30г (масса добавленной соли) и получаем массу соли во
втором растворе. Восстанавливаем из нее перпендикуляр до пересечения с пунктирным
отрезком, а из точки пересечения – перпендикуляр на ось У, это дает нам массовую долю
соли во втором растворе. Ответ: 33%.
Рис.2
Задача 4. При смешивании 40% -ного раствора соли с 10%-ным раствором получили
800г раствора с концентрацией 21,25%. Сколько граммов каждого раствора было взято?
Решение.
Пусть 40%-ного раствора взяли Хг, а 10%-ного раствора Уг. По условию Х + У = 800
– первое уравнение. Т.к. первый раствор 40%-ный, то в Хг этого раствора содержится
0,4Хг соли. Аналогично в Уг 10%-ного раствора содержится 0,1Уг соли. Концентрация
соли в полученном растворе 21,25%. Значит, в полученной смеси содержится
800·0,2125=170г соли.
 Х + У = 800
Составим систему уравнений: 
.
0,4 Х + 0,1У = 170
У = 800 – Х
0,4Х + 0,1(800 – Х) = 170
0,3Х + 80 = 170
0,3Х = 90
Х = 300
Если Х = 300, то У = 500.
(300;500) – решение системы уравнений.
Ответ: 300г, 500г.
5
Задача 5. В сплав золота с серебром, содержащий 80г золота, добавили 100г золота.
В результате содержание золота увеличилось на 20%. Сколько грамм серебра в сплаве?
Решение.
Обозначим за Х массу серебра в сплаве. Составим таблицу по условию задачи:
1 сплав
2 сплав
Золото (масса)
80
180
Серебро (масса)
Х
Х
80
80 + Х
180
, на 0,2 больше
180 + Х
Концентрация
(по массе)
Составим уравнение:
180
80
−
= 0,2
180 + Х 80 + Х
180(80 + Х) – 80(180 + Х) = 0,2(180 + Х)(80 + Х)
Х = 120
Ответ:120г серебра.
Задача 6. Из сосуда, наполненного кислотой, вылили несколько литров и долили
водой; потом опять вылили столько же литров смеси, тогда в сосуде осталось 24л чистой
кислоты. Емкость сосуда 54л. Сколько кислоты вылили в первый и второй раз?
Решение.
Пусть в первый раз вылили х литров кислоты. Тогда в сосуде осталось 54-х литров
кислоты. Во второй раз вылили х литров раствора кислоты концентрации
100(54-х)/54%., то есть в этом растворе было х(54-х)/54 чистой кислоты. То есть
х+х
=54-24
54х +54х-х2 =54· 30
х2 – 108х + 1620 = 0
х 1 =90-не удовлетворяет условию задачи
х 2 = 18
Следовательно, в первый раз вылили 18л кислоты, во второй раз – 12л.(Ответ.)
6
Задачи на банковские проценты.
Каждый человек буквально на каждом шагу сталкивается с различными
экономическими проблемами: как удовлетворить свои потребности в еде, одежде,
образовании, отдыхе и т. п., какой хозяйственной деятельностью заняться, купить или не
купить тот или иной товар, достаточно ли дохода для приобретения нужного продукта и т.
д.
Экономика — это часть повседневной жизни людей, люди принимают ежедневное
участие в экономической деятельности, живут в экономической среде, постоянно
используют термины, употребляемые экономистами (деньги, цены, заработная плата,
доходы, расходы и др.). Жить и быть вне экономики невозможно.; Каждому из нас
знакомо слово «экономика», хотя разные люди вкладывают в него неодинаковое
содержание. И многих сегодня вопрос «что такое экономика?» может поставить в тупик
Не следует удивляться тому, что, живя в окружении экономики, мы затрудняемся сказать,
что это такое. Данное обстоятельство объясняется тем, что экономика — настолько общее,
емкое, многозначное понятие, что определить ее одной фразой не представляется
возможным.
Считается, что термин «экономика» изобрел еще в VI в. до н. э. греческий поэт
Геспод, соединив два слова: «ойкос» (дом, хозяйство) и «номос» (знаю, закон), что
дословно означает искусство, знание, свод правил ведения домашнего хозяйства. В
научный оборот этот термин был введен представителями древнегреческой
экономической мысли Ксенофонтом (ок. 430—355 или 354 гг. до н. э.), написавшим труд
под названием «Экономикос», и Аристотелем (384—322 гг. до н. э.). Последний науку о
богатстве делил на «экономию» (совокупность потребительных стоимостей) и
«хрематистику» (искусство делать деньги). ; Но времена меняются, а вместе с ними
меняется и смысл ста-' рых слов. В настоящее время термин «экономия» получил широкое
распространение, но уже в несколько измененном виде. Сегодня под ним обычно
понимают сокращение затрат, бережливость при расходовании каких-либо ресурсов. Для
общества в целом экономия означает такое использование экономических ресурсов,
которое ведет к максимальному повышению уровня жизни в данном обществе.
За хранение сбережений вкладчика и разрешение распоряжаться этими деньгами
банк выплачивает вкладчику проценты к хранящейся сумме денег. В зависимости от
способа начисления проценты делятся на простые и сложные.
7
1. Простые проценты.
Увеличение вклада S 0 по схеме простых процентов характеризуется тем, что суммы
процентов
в
течение
всего
срока
хранения
определяются
исходя
только
из
первоначальной суммы вклада независимо от срока хранения и количества периодов
начисления процентов. Пусть вкладчик открыл счет и положил на него S 0 рублей. Пусть
банк обязуется выплачивать в конце каждого года р% от первоначальной суммы S 0. Тогда
по истечении одного года сумма начисленных процентов составит
вклада станет равной S 1 =S 0
руб., и величина
. Величину р % называют годовой процентной
ставкой. Если оставить вклад еще на год, то начисление процентной ставки производится
на первоначальный вклад S 0 и не производится на величину
сумма начисленных процентов составит П n =
процентами составит S n = S 0
. То есть, через n лет
руб., а величина вклада вместе с
руб. (формула 3). Отношение S n /S 0 называют
коэффициентом наращивания простых процентов.
2. Сложные проценты.
Если проценты начисляются не только на первоначальный вклад, но и на приросшие
проценты, то такое начисление называют правилом сложных процентов.
Мы говорим, что имеем дело со “сложными процентами”, в том случае, когда
некоторая величина подвержена поэтапному изменению. При этом каждый раз ее
изменение составляет определенное число процентов от значения, которое эта величина
имела на предыдущем этапе.
Рассмотрим сначала случай, когда в конце каждого этапа величина изменяется на
одно и то же постоянное количество процентов - р%.
Некоторая величина S, исходное значение которой равно S 0 , в конце первого этапа
будет равна
S 1 =S 0 +p/100 х S 0 = S 0 (1+p/100) .
В конце второго этапа ее значение станет равным
S 2 =S 1 +p/100 х S 1 = S 1 (1+p/100) = S 0 (1+p/100)2 .
8
Здесь множитель 1+p/100 показывает, во сколько раз величина S увеличилась за
один этап.
В конце третьего этапа S 3 =S 2 +p/100 х S 2 = S 0 (1+p/100)3 ,
и т. д.
Нетрудно понять, что в конце n-го этапа значение величины S определится
формулой S n = S 0 (1+p/100)n .
(формула 4)
Формула (4) является исходной формулой при решении многих задач на проценты.
Задача 1.Г-н Петерсон открыл счет в банке «Credit de Lille» и положил на него 15000
евро сроком на 4 года под простые проценты по ставке 4% годовых. Определите сумму,
которую вкладчик получит через 4 года при закрытии вклада.
Решение.
Из условия имеем: S 0 = 15000, p = 4%(0,04), n = 4. Тогда, используя формулу простых
процентов, получим:
S n = S 0 (1 + n
p
4
) = 15000 ⋅ (1 + 4 ⋅
) = 15000 ⋅ 1,16 = 17400
100
100
Ответ: 17400 евро.
Задача 2.Г-н Петерсон открыл счет в банке «Credit de Lille» и положил на него 15000
евро сроком на 4 года под сложные проценты по ставке 4% годовых. Определите сумму,
которую вкладчик получит через 4 года при закрытии вклада.
Решение:
Из условия имеем: S 0 = 15000, p = 4%(0,04), n = 4. Тогда, используя формулу
сложных процентов, получим:
S n = S 0 (1 +
p n
4 4
) = 15000 ⋅ (1 +
) ≈ 15000 ⋅ 1,1699 = 17548,5
100
100
Ответ: 17548,5 евро.
9
Задача 3. В январе 2006г. на счет в банке была положена некоторая сумма денег. В
конце 2006г. проценты по вкладу составили 2000руб. Добавив в январе 2007г. на свой счет
еще 18000руб., вкладчик пришел в банк закрыть счет в декабре 2007г. и получил
44000руб. Какая сумма была положена на счет и сколько процентов в год начисляет банк?
Решение:
Пусть вкладчик положил Хруб. под У%. За 2006г. начислены проценты:
На начало 2007г. с учетом пополнения на счете оказалась сумма Х +
Х ⋅У
= 200 .
100
Х ⋅У
+ 18000 .По
100
формуле простых процентов запишем формулу для суммы при снятии вклада с
начисленными процентами: ( Х +
Х ⋅У
У
+ 18000)(
+ 1) = 44000
100
100
Получим систему уравнений:
 Х ⋅У
 100 = 2000
,

 Х + ХУ + 18000  У + 1 = 44000

100
 100 
 ХУ = 200000
,

 ХУ + 100 Х + 20000У + 2000000 = 4400000
 ХУ = 200000
,

 Х + 200У = 22000
 Х = 22000 − 200У
,

(22000 − 200У )У = 200000
− 200У 2 + 22000У − 200000 = 0 : (−200)
У 2 − 110У + 1000 = 0
У = 10
Х = 20000
или
У = 100
Х = 2000
Т.к. ставки в 100% в реальности нет, то получаем, что Х = 20000руб, У = 10%.
10
Ответ: 20 000руб, 10%.
Задачи из сборника для подготовки к ГИА в 9 классе
Задача 1. При получении денег через банкомат банк удерживает 3% от снятой
суммы. Сколько денег будет снято со счета клиента, если он получает через банкомат а
рублей?
1)
(а – 0,03а) руб.
3)
0,03а руб.
2)
(а + 0,03а) руб.
4)
а руб.
Решение:
Клиент снимает сумму а руб, которая будет уменьшена на 0,03а, значит клиент
получит (а – 0,03а) руб.
Задача 2. Клиент внес 3000руб. на два вклада, один из которых дает годовой доход,
равный 8% годовых, а другой – 10%. Через год на двух счетах у него было 3260руб.
Какую сумму клиент внес на каждый вклад?
Решение:
Пусть на первый вклад клиент внес Хруб, на второй – Уруб, всего 3000руб. Через год
на первом вкладе стало (Х + 0,08Х) = 1,08Х, на втором – (У + 1,1У) = 1,1У, всего 3260руб.
Составим систему уравнений:
 Х + У = 3000
,

1,08 Х + 1,1У = 3260
 Х = 3000 − У
,

1,08(3000 − У ) + 1,1У = 3260
 Х = 3000 − У
,

0,02У = 20
У = 1000
.

 Х = 2000
(2000;1000) – решение системы уравнений.
11
Ответ: 2000руб., 3000руб.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящей работе рассмотрены методы решения задач, связанных с изменением
концентраций, начислением банковских процентов. Эти задачи решаются по одинаковым
алгоритмам. Рассмотрены наиболее типичные задачи, дано их решение.
Кроме того, для создания данной работы на компьютере был изучен редактор
текстов Word. Таким образом, цель работы – изучение методов решения задач на
концентрации и банковские проценты
– достигнута, задачи, поставленные в работе,
выполнены.
Данная работа будет полезна выпускникам для подготовки к экзаменам, а также
учителям, работающим в выпускных классах, при подготовке к урокам и все людям в
практической жизни.
12
Список литературы
1. М.В. Лурье, Б.И.Александров “Задачи на составление уравнений”.-М.: Наука,
1976.
2. 3000 конкурсных задач по математике.-М.: Рольф, Айрис-пресс, 1998.
3. Справочник для поступающих в Московский университет в 1995г.-М.: Изд-во
Моск. Ун-та, 1995.
4. Алгебра-8, часть2, задачник. Под редакцией А.Г. Мордковича. М.,Изд-во
«Мнемозина», 2009.
5. Алгебра-9, часть2, задачник. Под редакцией А.Г. Мордковича. М.,Изд-во
«Мнемозина», 2009.
6. Математика. Сборник заданий для подготовки к ГИА в 9 классе. М.,
«Просвещение», 2012.
13