B&G Group Ltd. Финансовая математика I = FV – PV

Финансовая математика
B&G Group Ltd.
Центр бизнес-образования и консалтинга
www.finofficer.ru
Финансовая математика
подготовил:
Борисов Александр Николаевич
Раздел 1. Основные положения
Процент, процентные деньги (I) – это абсолютная сумма дохода от предоставления
капитала в долг.
I = FV – PV
Процентная ставка, ставка процента (i) – удельный показатель, в соответствии с
которым в установленные сроки выплачивается сумма процента в расчете на единицу
капитала.
Номинальная процентная ставка – это удельный показатель годовой процентной
ставки.
Сила роста – процентная ставка при непрерывном начислении.
Современная стоимость, настоящая стоимость, текущая стоимость,
приведенная стоимость (PV) – сумма будущих средств, приведенная с учетом ставки
процента к настоящему периоду времени.
PV = FV - I
Будущая стоимость, наращенная стоимость (FV) – сумма инвестированных в
настоящий момент средств, в которую они превратятся через определенный период
времени с учетом ставки процента.
FV = PV + I
Наращение стоимости, рост стоимости, компаундинг – процесс приведения
настоящей стоимости к их будущей стоимости в определенном периоде путем
присоединения к их первоначальной сумме начисленной суммы процентов.
PV⇒ FV
Дисконтирование стоимости – процесс приведения будущей стоимости к их
настоящей стоимости путем изъятия из будущей суммы соответствующей суммы
процентов.
FV⇒ PV
Дисконт (D) – разница между текущей и приведенной стоимостью.
D = FV – PV
Ставка дисконтирования, учетная ставка, темп снижения (d) – удельный
показатель, в соответствии с которым производится дисконтирование стоимости за
определенный период в расчете на единицу капитала.
d=
www.finofficer.ru
FV - PV
FV
Финансовая математика
Период начисления – общий период времени, в течение которого осуществляется
процесс наращения или дисконтирования стоимости.
Интервал начисления – обусловленный конкретный временной срок (в пределах
периода начисления), в рамках которого рассчитывается отдельная сумма процента по
установленной ставке.
Практика расчета t обычно следующая: первый день не учитывается, последний
учитывается. Также в практике для расчета t применяют разбивку его по трем частям:
первая и последняя в днях, средняя – в месяцах (30 дней) или кварталах (90 дней).
Пример: Рассчитать срок займа, если он выдан 21 апреля и должна быть
возвращена 16 сентября. Использовать расчет с разбивкой по трем
частям.
Расчет:
апрель 30 – 21 = 9 дней
май – август 30 × 4 = 120 дней
сентябрь 16 дней
t = 9 + 120 + 16 = 145 дней.
t
Срок начисления (дисконтирования): n = N
Где t – длительность периода начисления, дни;
N – база времени, временная база.
Возможные варианты базы времени (зависит от условий контракта и коммерческой
практики):
N = 360 дней (коммерческий год, обыкновенный год);
N = 365 дней (календарный год);
N = 365,25 дней (усредненный год);
N = 366 дней (календарный год).
Методы расчета процентов, применяемые на практике:
I. По форме:
1. Точные проценты (британский метод)
actual д точное кол-во дней
точное кол-во дней
=
=
или
actual д
365
366
2. Обычные проценты (германский метод)
30 расчет дней с разбивкой на три группы
360 =
360
3. Банковское правило (гибридный метод, французский метод)
actual точное кол-во дней
360
360 =
II. По интервалам:
− дискретное начисление – начисление процентов производится в отдельные
периоды (равноотстоящие) моменты времени;
− непрерывное начисление – начисление процентов производится
ежедневно.
Раздел 2. Простые проценты (краткосрочная финансовая математика)
Простой процент (simple interest) – сумма дохода, начисляемого к основной сумме
капитала в каждом интервале, по которой дальнейшие расчеты платежей не
осуществляются.
www.finofficer.ru
Финансовая математика
FV = PV (1 + n × i)
Где
(1 + n × i ) – множитель (коэффициент) наращения простых процентов;
FV – будущая стоимость;
PV – текущая стоимость;
n – продолжительность периода;
i – процентная ставка в периоде.
FV = PV (1 + n × i) = PV + PV × n × i = PV + I
FV
I
PV
t
Схема. Наращение по простой процентной ставке
Пример: Определим проценты и сумму накопленного долга, если ссуда
равна 100 000 руб., срок долга 1,5 года при ставке простых процентов ,
равной 15% годовых .
Решение:
I = 100000 × 1,5 × 0,15 = 22500 руб. - проценты за 1,5 года
FV=100000 + 22500 = 122500 руб. - наращенная сумма .
Производные формулы
1) Расчет PV
FV = PV (1 + n × i)
FV
PV =
(1 + n × i)
PV =
FV
(1 + n × i)
Этот процесс называется математическое дисконтирование.
2) Расчет n
www.finofficer.ru
Финансовая математика
FV = PV (1+n × i)
FV
1+n × i = PV
FV
n × i = PV – 1
FV
PV – 1
n =
i
FV
PV – 1
n = i
3) Расчет i:
FV = PV (1 + n × i)
FV
1 + n × i = PV
FV
n × i = PV – 1
FV
PV – 1
i = n
FV
PV – 1
i= n
Если предполагается, что в течении времени будет изменяться ставка, то формула
преобразуется в следующий вид:
FV = PV (1+Σntit)
где
FV – наращенная стоимость,
PV- первоначальная стоимость,
nt - продолжительность периода t - периода начисления по ставке it.
it - ставка простых процентов в периоде с номером t,
Пример: Пусть в договоре, рассчитанном на год, принята ставка
простых процентов на первый квартал в размере 10% годовых, а на
каждый последующий на 1% меньше, чем в предыдущий. Определить
множитель наращения за весь срок договора .
Решение:
1+Σntit = 1+0,25×0,10+0,25×0,09+025×0,08+0,25×0,07 = 1,085
www.finofficer.ru
Финансовая математика
В бизнес-практике начисление простых процентов обычно используется в
следующих случаях:
1. При краткосрочных контрактах (до 1 года).
2. Когда проценты не присоединяются к основной сумме, а выплачиваются сразу.
Раздел 3. Приведенное значение
V = PV (1 – n × i)
Где
(1 – n × i ) – множитель (коэффициент) приведения простых процентов;
V – приведенная стоимость;
PV – текущая стоимость;
n – продолжительность периода;
i – процентная ставка в периоде.
Раздел 4. Учет векселей
Процесс начисления и удержания процентов вперед (в виде дисконта) называют
учетом.
Дисконтирование коммерческого векселя означает его покупку у владельца до
наступления срока оплаты по цене, несколько меньшей той суммы, которая должна быть
выплачена по нему в конце срока. Кредитование векселедержателя называется учетом
векселя.
PV2 = PV1(1 + n1i) × (1 – n2d)
где
PV1 - первоначальная сумма ссуды,
PV2 - сумма , получаемая при учете обязательства,
n1 - общий срок платежного обязательства , в течение которого начисляются
проценты,
n2 - срок от момента учета до погашения долга,
i – проценты по векселю,
d – учетная ставка при погашении векселя досрочно.
Пример: Платежное обязательство уплатить через 100 дней 2 млн. руб.
с процентами, начисляемыми по ставке простых процентов i = 20%
годовых , было учтено за 40 дней до срока погашения по учетной ставке
d = 15%. Требуется определить сумму, получаемую при учете. При
наращении используется временная база 365 дней, при дисконтировании –
360 дней.
Решение:
100
40
PV2 = 2 000 000 • (1 + 0,2 365)•(1 – 0,15 360) = 2 074 000 .
Раздел 5. Сложные проценты (долгосрочная финансовая математика)
Сложный процент (compound interest) – сумма дохода, начисляемого к уже
наращенной сумме капитала в каждом интервале.
FV = PV (1+ i)n
где
(1+ i)n – множитель наращения сложных процентов, FVIF;
FV – будущая стоимость;
PV – текущая стоимость;
www.finofficer.ru
Финансовая математика
n – коэффициент расчета периода;
i – процентная ставка в периоде.
I сложн
FV
I прост
PV
t
Схема. Наращение по простой и сложной процентной ставке
FV
При n < 1 наращение по сложным процентам меньше, чем по простым.
При n > 1 наращение по сложным процентам больше, чем по простым.
При n = 1 наращение одинаково.
40000
35000
30000
25000
20000
15000
10000
5000
0
=
t
Если ставка наращения меняется во времени, то формула приобретает следующий
вид:
n
FV = PV (1+ i1)
где
FV – будущая стоимость;
www.finofficer.ru
1
n
●
n
(1+i2) 2 … (1+ik)
k
Финансовая математика
PV – текущая стоимость;
nk – коэффициент расчета периода в k-ом периоде;
ik – процентная ставка в k-ом периоде.
Пример: В договоре зафиксирована переменная ставка сложных
процентов, определяемая как 20% годовых плюс маржа 10% в первые два
года, 8% в третий год, 5% в четвертый год. Определить величину
множителя наращения за 4 года .
Решение:
(1+0,3)2 (1+0,28)(1+0,25)=2,704
При начислении процентов несколько раз в год:
i nm
FV = PV (1+ m)
где
FV – будущая стоимость;
PV – текущая стоимость;
n – продолжительность периода;
i – процентная ставка в периоде;
m – количество начислений в год.
Пример: Какой величины достигнет долг в 2000 рублей, через 6 лет с
помесячным начислением по сложной ставке 17% годовых.
Решение:
0,17 12× 2
FV =2000 (1+ 12 )
=5506,83 рубля.
Производные формулы:
1) Расчет PV
FV = PV (1+ i)n
FV
PV = (1+ i)n
FV
PV = (1+ i)n
FV
где (1+ i)n = PVIF
2) Расчет n
FV = PV (1+ i)n
ln FV = ln(PV (1+ i)n)
ln FV = n ln(PV (1+ i))
ln FV
n = n ln(PV (1+ i))
FV
ln(PV)
n = ln(1+ i)
www.finofficer.ru
Финансовая математика
3) Расчет i:
FV
ln(PV)
n = ln(1+ i)
FV
n ln(1+ i) = ln PV
( )
FV
PV
1/n
(( ) )
ln(1+ i) = ln
FV
1+ i = PV
( )
1/n
1/n
FV
i = (PV) – 1
Раздел 6. Эффективная процентная ставка
Эффективная (фактическая) процентная ставка – это совокупные начислений за
год процентная ставка, которая эквивалентна процентной ставке, начисленной на сумму
процентных начислений более одного раза.
t N
(1+ ie) = (1+ N )
где
ie - эффективная процентная ставка,
t
N - номинальная процентная ставка
Пример: Планируется вложить 10 000 долларов США на один год под
12% годовых с ежемесячным начислением процентов. Определить
эффективную процентную ставку.
Решение:
0,12 12 × 1
FV = 10000 (1 + 12 )
= 11268,25 долларов США
11268 - 10000
ie =
= 0,1263
10000
Раздел 7. Непрерывные проценты
При расчете непрерывных процентов подразумевается что lim N → ∞
i ⎞
⎛
FV = lim PV⎜1 + ⎟
n →∞
⎝ m⎠
mn
= PV(ei)m = PVeim
n
⎛ 1⎞
Прим.: lim⎜1 + ⎟ = e = 2,718Κ
n →∞
⎝ n⎠
m
i ⎞
⎛
lim⎜1 + ⎟ = ei
n →∞
⎝ m⎠
FV = PVeδm
www.finofficer.ru
Финансовая математика
где
FV – будущая стоимость,
PV – текущая стоимость,
e – число Эйлера, основание натурального логарифма (2,1718…),
δ – процентная ставка непрерывного начисления (то же, что и i),
m – количество периодов.
Производные формулы:
1) Расчет PV
FV = PV eδm
FV
PV = δm
e
PV = FV e-δm
2) Расчет δ
i
Пусть j = n
(1+j)n = eδn
i
δ = ln(1+j) = ln(1+m)m
i
δ = m ln(1+m)
i
3) (1+ m)nm= eδn
j = eδ - 1
i = m(eδ/m -1)
Раздел 8. Финансовая рента
Потоки платежей – это платежи, последовательные во времени.
Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные
интервалы постоянны, называют финансовой рентой (аннуитетом, регулярным
потоком платежей, annuity).
Член ренты (rent) – размер отдельного платежа.
Период ренты (rent period) – временной интервал между двумя последовательными
платежами.
Срок ренты – время от начала первого периода ренты до конца последнего периода.
Поток платежей, у которого часть выплат является положительными (поступления),
а другая отрицательными (выплаты) называется нерегулярным потоком платежей.
Наращенная сумма потока платежей – это сумма всех выплат с начисленными на
них к концу срока сложными процентами.
S=
K
∑R
k =1
где
k
(1 + i) t
K
- tk
S – наращенная стоимость потока;
Rk – k-ий член ряда платежей;
tK – срок выплат;
tk – срок, спустя которого от начала начинаются выплаты;
i – процентная ставка.
www.finofficer.ru
Финансовая математика
Современная стоимость потока платежей – это сумма всех
дисконтированных на начало срока этого потока по сложной процентной ставке.
A=
K
где
Rk
∑ (1 + i)
k =1
выплат,
tk
A – современная стоимость потока;
Rk – k-ий член ряда платежей;
tK – срок выплат;
tk – срок, спустя которого от начала начинаются выплаты;
i – процентная ставка.
Пример: График платежей во времени
1 января 2005 г. 20.000 руб.
1 июля 2005 г. 30.000 руб.
1 января 2006 г.10.000 руб.
1 января 2007 г. 40.000 руб.
Определить сумму задолженности на 1 января 2007 г. и ее современную
стоимость на момент выплаты первой суммы при ставке наращения
15% годовых.
Решение:
20000
01.01.2005
30000
01.07.2005
10000
01.01.2006
40000
01.01.2007
S = 20 000 × 1,152 + 30 000 × 1,15 1,5 + 10 000 × 1,15 + 40 000 = 114 947,13
руб.
30 000 10 000 40 000
A = 20 000 + 1,150,5 + 1,151 + 1,152 = 86 916,54 руб.
Классификация финансовых рент:
I. В зависимости от продолжительности периода:
− годовые;
− p-срочные (где p – число выплат в году).
II. По числу начислений:
− постоянные (с равными членами);
− переменные.
III. По вероятности выплаты членов:
− верные (имеют безусловную оплату);
− условные (ставятся в зависимость от условий).
IV. По числу членов:
− конечные (ограниченные);
− бесконечные (вечные).
V. В зависимости от наличия сдвига момента начала:
− немедленные;
− отложенные (отсроченные).
VI. По моменту платежей:
− рента постнумерандо (платежи в конце расчетного периода);
www.finofficer.ru
Финансовая математика
0
1
2
3
4
5
6
7
− рента пренумерандо (платежи в начале расчетного периода);
0
1
2
3
4
5
6
7
− рента с платежами в середине расчетного периода.
0
1
2
3
4
5
6
7
Раздел 9. Рента постнумерандо (обыкновенная)
Наращенная стоимость:
(1+i)n-1
FVA = R
i
где:
(1+i)n-1
- коэффициент наращения ренты, табулированная функция, FVIFA
i
Современная стоимость:
1 – (1+i)-n
PVA = R
i
где:
1 – (1+i)-n
- коэффициент приведения ренты, табулированная функция,
i
PVIFA.
Пример: В течение 3 лет на расчетный счет в конце каждого года
поступает по 10 млн. руб., на которые начисляются проценты по
сложной годовой ставке 10%. Требуется определить сумму на расчетном
счете к концу указанного срока .
Решение:
(1+0,1)3 – 1
FVA = 10
= 33,1 млн. руб.
0,1
Производные формулы:
1) Расчет R при значении FVA:
www.finofficer.ru
Финансовая математика
(1+i)n –1
i
FVA i = R((1+i)n –1)
FVA = R
FVA × i
R = (1+i)n – 1
2) Расчет n при значении FVA
(1+i)n-1
FVA = R
i
FVA i = R((1+i)n-1)
FVA
n
R i = (1+i) -1
FVA
n
R i + 1 = (1+i)
FVA
ln( R i + 1 = ln (1+i)n
FVA
ln( R i + 1 = n ln (1+i)
FVA
ln( R i + 1)
n=
ln(1+i)
3) Расчет R при значении PVA:
1 - (1+i)-n
PVA = R
i
PVA i = R(1 - (1+i)-n)
PVA × i
R = 1 – (1 + i)-n
4) Расчет n при значении PVA:
1 – (1 + i)-n
PVA = R
i
PVA i = R(1 – (1 + i)-n)
PVA
-n
R i = 1 – (1+i)
PVA
ln R i = ln(1 – (1 + i)-n)
PVA
ln R i = -n ln(1 – (1 + i))
PVA
-ln R i
n = ln(1 - (1+i))
Определение ставки процента i возможно только методом подбора.
Раздел 10. Рента пренумерандо
Наращенная стоимость:
www.finofficer.ru
Финансовая математика
(1+i)n – 1
FVAD = R
(1+i)
i
Современная стоимость:
1 – (1+i)-n
PVAD = R
(1+i)
i
Пример: Необходимо рассчитать будущую стоимость аннуитета,
осуществляемого на условиях предварительных платежей. Период
платежей по аннуитету 5 лет. Интервал платежей один год. Сумма
каждого отдельного платежа 1000 руб. Процентная ставка 10% в год.
(1+0,1)5-1
Решение: FVAD = R
(1+0,1)= 6716 руб.
0,1
Производные формулы
1) Расчет R при значении FVAD:
(1+i)n-1
(1+i)
FVAD = R
i
FVAD i = R((1+i)n-1) (1+i)
FVAD × i
R = ((1+i)n - 1)(1+i)
2) Расчет n при значении FVAD:
(1+i)n –1
FVAD = R
(1+i)
i
FVAD i = R((1+i)n –1)(1+i)
FVAD
n
R(1+i) i = (1+i) -1
FVAD
n
R(1+i) i + 1 = (1+i)
FVAD
ln(R(1+i)i + 1 = ln (1+i)n
FVAD
ln(R(1+i)i + 1 = n ln (1+i)
n=
FVAD
ln(R(1+i) i + 1)
3) Расчет R при значении PVAD:
1 - (1+i)-n
(1+i)
PVAD = R
i
PVAD i = R(1 - (1+i)-n)(1+i)
PVAD × i
R = (1 - (1+i)-n)(1+i)
www.finofficer.ru
ln(1+i)
Финансовая математика
PVAD × i
R = ((1+i) - (1+i)1-n)
4) Расчет n при значении PVAD:
1 - (1+i)-n
(1+i)
PVAD = R
i
PVAD i = R(1 - (1+i)-n)(1+i)
PVAD
-n
R(1+i)i = 1 - (1+i)
PVAD
lnR(1+i)i = ln(1 - (1+i)-n)
PVAD
lnR(1+i)i = -n ln(1 - (1+i))
PVA
-lnR(1+i)i
n = ln(1 - (1+i))
Определение ставки процента i возможно только методом подбора.
Раздел 11. Рента с платежами в середине периода
j m/p
S1/2 = S(1+m)
j m/(2p)
A1/2 = A(1+m)
Раздел 12. Вечная рента
Вечная рента – последовательность платежей, число членов которой не
ограниченно.
R
PApst = i
Раздел 13. Рента постнумерандо с непрерывным начислением
eδn - 1
S = R δ/p
p(e - 1)
где
S – наращенная сумма;
R – член ренты;
e – число Эйлера, основание натурального логарифма (2,1718…);
δ – процентная ставка непрерывного начисления (то же, что и i);
p – количество выплат в году.
Раздел 14. Растущий аннуитет с постоянным темпом прироста.
www.finofficer.ru
Финансовая математика
PAg =
R
i–g
где g – темп прироста аннуитетных платежей.
Пример: Дивиденды выплачены в 2005 году в размере 1000 руб. Их дальнейший
темп прироста будет составлять 4% в год. Ставка дисконта 9%. Определить
текущую стоимость аннуитета.
Решение:
1000
PAg = 0,09-0,04 = 20000 руб.
Дополнительная литература:
1. Кузнецов Б.Т. Математические методы финансового анализа: учеб. пособие
для студентов вузов / Б.Т. Кузнецов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006.
2. Жуленев С.В. Финансовая математика: введение в классическую теорию. –
М.: Изд-во МГУ, 2001.
www.finofficer.ru