6 класс - серия 1-9

Летний «Головастик», серия 1, 6 класс, 3 июня
Летний «Головастик», серия 1, 6 класс, 3 июня
1. Докажите, что среди любых семи натуральных чисел
можно найти три, сумма которых делится на 3.
1. Докажите, что среди любых семи натуральных чисел
можно найти три, сумма которых делится на 3.
2. а) Докажите, что существуют две разные степени
тройки, у которых три цифры в конце одинаковы. б) докажите, что есть степень тройки, оканчивающаяся на
…001.
2. а) Докажите, что существуют две разные степени
тройки, у которых три цифры в конце одинаковы. б) докажите, что есть степень тройки, оканчивающаяся на
…001.
3. Рассмотрим числовую последовательность 12 + 34,
56 + 78, 910 + 1112, 1314 + 1516, и т.д. Сколько чисел в
этой последовательности делятся на 4?
3. Рассмотрим числовую последовательность 12 + 34,
56 + 78, 910 + 1112, 1314 + 1516, и т.д. Сколько чисел в
этой последовательности делятся на 4?
4. Есть квадратный торт размером 40×40. Ольга Сергеевна хочет вырезать из него
квадратный кусок размером 10×10 БЕЗ СВЕЧЕК внутри. а) Двое пятиклассников поставили на торт 15 свечек. Докажите, что у Ольги Сергеевны все равно остался
шанс. б) Двое шестиклассников поставили на торт 16 свечек. Можно ли гарантировать, что Ольга Сергеевна и теперь сможет получить свой кусочек торта?
4. Есть квадратный торт размером 40×40. Ольга Сергеевна хочет вырезать из него
квадратный кусок размером 10×10 БЕЗ СВЕЧЕК внутри. а) Двое пятиклассников поставили на торт 15 свечек. Докажите, что у Ольги Сергеевны все равно остался
шанс. б) Двое шестиклассников поставили на торт 16 свечек. Можно ли гарантировать, что Ольга Сергеевна и теперь сможет получить свой кусочек торта?
5. Произведение 15 последовательных натуральных чисел не делится на 4096. Докажите, что среднее число делится на 8.
5. Произведение 15 последовательных натуральных чисел не делится на 4096. Докажите, что среднее число делится на 8.
6. В единичный квадрат бросили 51 точку. Докажите, что можно ловко положить
круг радиуса 1/7 так, чтобы он накрыл (именно накрыл, т.е. точки не должны попадать на край круга) не меньше трех из этих точек.
6. В единичный квадрат бросили 51 точку. Докажите, что можно ловко положить
круг радиуса 1/7 так, чтобы он накрыл (именно накрыл, т.е. точки не должны попадать на край круга) не меньше трех из этих точек.
7. На доске 9×9 расставили 9 ладей так, чтобы они не били друг друга. Докажите,
что а) в левом верхнем квадрате размером 5×5; б) в любом квадрате 5×5 стоит хотя
бы одна ладья.
7. На доске 9×9 расставили 9 ладей так, чтобы они не били друг друга. Докажите,
что а) в левом верхнем квадрате размером 5×5; б) в любом квадрате 5×5 стоит хотя
бы одна ладья.
8. Чему равна максимальная разность между соседними числами среди тех, сумма
цифр которых делится на 7?
8. Чему равна максимальная разность между соседними числами среди тех, сумма
цифр которых делится на 7?
9. Можно ли целые числа от 1 до 2014 расставить в некотором порядке так, чтобы
сумма любых десяти чисел подряд делилась на 10?
9. Можно ли целые числа от 1 до 2014 расставить в некотором порядке так, чтобы
сумма любых десяти чисел подряд делилась на 10?
10. В сборнике должны напечатать 30 статей размером 1 страница, 2 страницы,
…30 страниц. Статьи печатают, начиная с первой страницы, причем каждая статья
начинается с новой страницы, но порядок статьей можно менять. Все авторы хотят,
чтобы их статья начиналась с нечетной страницы. Бедный редактор пытается выполнить желания авторов. Какое наименьшее число недовольных авторов может
остаться после издания сборника?
10. В сборнике должны напечатать 30 статей размером 1 страница, 2 страницы,
…30 страниц. Статьи печатают, начиная с первой страницы, причем каждая статья
начинается с новой страницы, но порядок статьей можно менять. Все авторы хотят,
чтобы их статья начиналась с нечетной страницы. Бедный редактор пытается выполнить желания авторов. Какое наименьшее число недовольных авторов может
остаться после издания сборника?
«Головастик», серия 2, 6 класс, 4 июня, Дирихле в сапогах
11. На складе имеется по 200 сапог 41, 42 и 43 размеров, причем среди этих 600
сапог 300 левых и 300 правых. Докажите, что из них
можно составить не менее 100 годных пар обуви.
12. В ряд выписано 100 натуральных чисел. Доказать, что найдутся несколько подряд, сумма которых
делится на 100.
13. Имеется 19 гирек весом 1 г, 2 г, 3 г, ..., 19 г. Девять
из них – железные, девять – бронзовые и одна – золотая. Известно, что общий вес всех железных гирек на 90 г больше, чем общий
вес бронзовых. Найдите вес золотой гирьки.
14. Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из трех цветов, причем все три цвета присутствуют. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных цветов.
11. На складе имеется по 200 сапог 41, 42 и 43 размеров, причем среди этих 600
сапог 300 левых и 300 правых. Докажите, что из них
можно составить не менее 100 годных пар обуви.
12. В ряд выписано 100 натуральных чисел. Доказать, что найдутся несколько подряд, сумма которых
делится на 100.
13. Имеется 19 гирек весом 1 г, 2 г, 3 г, ..., 19 г. Девять
из них – железные, девять – бронзовые и одна – золотая. Известно, что общий вес всех железных гирек на 90 г больше, чем общий
вес бронзовых. Найдите вес золотой гирьки.
14. Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из трех цветов, причем все три цвета присутствуют. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных цветов.
15. Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 расположено пять точек.
Докажите, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 0, 5.
15. Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 расположено пять точек.
Докажите, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 0, 5.
16. Какое максимальное число ладей можно расставить в кубе 8×8×8 так, чтобы
они не били друг друга?
16. Какое максимальное число ладей можно расставить в кубе 8×8×8 так, чтобы
они не били друг друга?
17. Число называется палиндромом, если оно одинаково читается как слева, так и
справа (например, число 2002 — палиндром, а 2011 — нет). Верно ли, что если
числа x и 3x — палиндромы, то и число 2x — тоже палиндром?
17. Число называется палиндромом, если оно одинаково читается как слева, так и
справа (например, число 2002 — палиндром, а 2011 — нет). Верно ли, что если
числа x и 3x — палиндромы, то и число 2x — тоже палиндром?
18. В парке растет 10000 деревьев, посаженных квадратно-гнездовым способом
(100 рядов по 100 деревьев). Какое наибольшее число деревьев можно срубить,
чтобы выполнялось следующее условие: если встать на любой пень, то не будет
видно ни одного другого пня? (Деревья можно считать достаточно тонкими.)
19. На плоскости дано 25 точек, причем среди любых трех из них найдутся две на
расстоянии меньше 1. Докажите, что существует круг радиуса 1, содержащий не
меньше 13 из этих точек.
20. Мишень представляет собой треугольник, разбитый тремя семействами параллельных прямых на 100 равных правильных треугольничков с единичными сторонами. Снайпер стреляет по мишени. Он целится в треугольничек и попадает либо
в него, либо в один из соседних с ним по стороне. Он видит результаты своей
стрельбы и может выбирать, когда стрельбу заканчивать. Какое наибольшее число
треугольничков он может с гарантией поразить ровно пять раз?
«Головастик», серия 2, 6 класс, 4 июня, Дирихле в сапогах
18. В парке растет 10000 деревьев, посаженных квадратно-гнездовым способом
(100 рядов по 100 деревьев). Какое наибольшее число деревьев можно срубить,
чтобы выполнялось следующее условие: если встать на любой пень, то не будет
видно ни одного другого пня? (Деревья можно считать достаточно тонкими.)
19. На плоскости дано 25 точек, причем среди любых трех из них найдутся две на
расстоянии меньше 1. Докажите, что существует круг радиуса 1, содержащий не
меньше 13 из этих точек.
20. Мишень представляет собой треугольник, разбитый тремя семействами параллельных прямых на 100 равных правильных треугольничков с единичными сторонами. Снайпер стреляет по мишени. Он целится в треугольничек и попадает либо
в него, либо в один из соседних с ним по стороне. Он видит результаты своей
стрельбы и может выбирать, когда стрельбу заканчивать. Какое наибольшее число
треугольничков он может с гарантией поразить ровно пять раз?
«Головастик», серия 3, 6 класс, 5 июня, угадаем гирьки
21. Петя загадывает два натуральных числа от 1 до 10 – одно чётное и одно нечётное. За
какое наименьшее количество вопросов Витя сможет угадать это число?
21. Петя загадывает два натуральных числа от 1 до 10 – одно чётное и одно нечётное. За
какое наименьшее количество вопросов Витя сможет угадать это число?
22. Докажите, что нельзя занумеровать ребра куба числами от 1 до 12 так, чтобы сумма
ребер, выходящих из одной вершины, была оной и той же для всех вершин.
22. Докажите, что нельзя занумеровать ребра куба числами от 1 до 12 так, чтобы сумма
ребер, выходящих из одной вершины, была оной и той же для всех вершин.
23. См. задачу 22, но теперь Вы можете пользоваться числами от 1 до 13 (каждое число
используется ровно 1 раз, одно из чисел, конечно, не используется).
23. См. задачу 22, но теперь Вы можете пользоваться числами от 1 до 13 (каждое число
используется ровно 1 раз, одно из чисел, конечно, не используется).
24. А) Петя загадал натуральное число A от 1 до 8. Витя называет любое натуральное число
X, и Петя отвечает, верно ли, что X делится на A. Может ли Витя угадать A после трёх таких
вопросов? Б) Петя загадал натуральное число A, принимающее значение от 1 до 8. Витя
называет три своих числа X1, X2, X3, а Петя сообщает, какие из них делятся на A. Какие числа
должен назвать Витя, чтобы после ответа Пети правильно определить задуманное Петей
число A?
24. А) Петя загадал натуральное число A от 1 до 8. Витя называет любое натуральное число
X, и Петя отвечает, верно ли, что X делится на A. Может ли Витя угадать A после трёх таких
вопросов? Б) Петя загадал натуральное число A, принимающее значение от 1 до 8. Витя
называет три своих числа X1, X2, X3, а Петя сообщает, какие из них делятся на A. Какие числа
должен назвать Витя, чтобы после ответа Пети правильно определить задуманное Петей
число A?
25. Пусть имеется 4 монеты, одна из которых – фальшивая, но неизвестно, легче она или
тяжелее остальных. За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь
можно её найти?
25. Пусть имеется 4 монеты, одна из которых – фальшивая, но неизвестно, легче она или
тяжелее остальных. За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь
можно её найти?
26. а) Пусть имеется 12 монет, одна из которых – фальшивая, но неизвестно, легче она или
тяжелее остальных. За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь
можно её найти?
26. а) Пусть имеется 12 монет, одна из которых – фальшивая, но неизвестно, легче она или
тяжелее остальных. За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь
можно её найти?
б) Пусть имеется 13 монеты, одна из которых – фальшивая, но неизвестно, легче она или
тяжелее остальных. Кроме этих тринадцати монет, у вас есть ЭТАЛОННАЯ настоящая монета. За сколько взвешиваний на чашечных весах без гирь можно её найти? (минимум)
б) Пусть имеется 13 монеты, одна из которых – фальшивая, но неизвестно, легче она или
тяжелее остальных. Кроме этих тринадцати монет, у вас есть ЭТАЛОННАЯ настоящая монета. За сколько взвешиваний на чашечных весах без гирь можно её найти? (минимум)
в) Пусть имеется 14 монет, одна из которых – фальшивая, но неизвестно, легче она или
тяжелее остальных. Докажите, что вы не сможете найти эту монету за 3 взвешивания на
чашечных весах без гирь.
в) Пусть имеется 14 монет, одна из которых – фальшивая, но неизвестно, легче она или
тяжелее остальных. Докажите, что вы не сможете найти эту монету за 3 взвешивания на
чашечных весах без гирь.
27. Мартышки опять кидались бананами! Каждая кинула ровно один,
причем первая кинула банан в ту мартышку, которая кинула банан
во вторую мартышку. Вторая кинула банан в ту мартышку, которая
кинула банан в третью и так далее, последняя мартышка кинула банан в ту мартышку, которая кинула банан в первую. Докажите, что мартышек было нечетное число.
27. Мартышки опять кидались бананами! Каждая кинула ровно
один, причем первая кинула банан в ту мартышку, которая кинула
банан во вторую мартышку. Вторая кинула банан в ту мартышку,
которая кинула банан в третью и так далее, последняя мартышка кинула банан в ту мартышку, которая кинула банан в первую. Докажите,
что мартышек было нечетное число.
28. Найдите все натуральные числа, которые увеличиваются в 9 раз, если между цифрой
единиц и цифрой десятков вставить ноль.
28. Найдите все натуральные числа, которые увеличиваются в 9 раз, если между цифрой
единиц и цифрой десятков вставить ноль.
29. Было 9 гирь массами 1 г, 2 г, …, 9 г, причём гиря большей массы имеет больший размер.
Одна из гирь потерялась. Как за два взвешивания на чашечных весах выяснить, какая
именно гиря потеряна?
29. Было 9 гирь массами 1 г, 2 г, …, 9 г, причём гиря большей массы имеет больший размер.
Одна из гирь потерялась. Как за два взвешивания на чашечных весах выяснить, какая
именно гиря потеряна?
30. Каково наименьшее натуральное n такое, что n! разделится на 220•510?
30. Каково наименьшее натуральное n такое, что n! разделится на 220•510?
«Головастик», серия 3, 6 класс, 5 июня, угадаем гирьки
«Головастик», серия 4, 6 класс, 9 июня,
раскраски котлет и монет
31. Дно прямоугольной коробки покрыто плитками 22 и 41. Одна плитка 22 потерялась.
Можно ли вместо неё взять плитку 41 для покрытия дна коробки иным образом?
32. Пусть имеется 7 серебряных монет и 2 медные (они отличаются по виду от серебряных). Известно, что одна из них фальшивая, а остальные настоящие (настоящая серебряная
монета отличается по весу от настоящей медной). Как найти ФМ за два взвешивания?
33. Есть 6 монет, одна из которых фальшивая (она отличается по весу от настоящей, но её
вес, как и вес настоящей монеты, неизвестен). Как за три взвешивания на одночашечных
весах со стрелкой найти фальшивую монету?
34. А) По кругу лежат 9 одинаковых с виду котлет. Известно, что среди них семь одинаковых, а две более лёгкие, и они лежат рядом. При этом лёгкие котлеты не обязательно
равны друг другу. Как найти их двумя взвешиваниями на чашечных весах без гирь? Б)
Найдите все лёгкие котлеты, если одинаковых не 7, а только 6, а лёгких – три подряд.
35. Сколько существует чисел от 1 до 1000, у которых ровно три натуральных делителя?
36. Когда Петьку отправляли на задание в занятый врагами город, у него было 50 патронов.
Вернувшись, он заметил, что по дороге туда было израсходовано патронов в 5 раз больше,
чем в городе, а по дороге обратно – в 5 раз меньше, чем в городе.
Сколько патронов осталось у Петьки?
37. Из доски 2929 по линиям сетки вырезаны 99 квадратов 22. Докажите, что из оставшейся части доски можно вырезать еще хотя бы
один такой же квадрат.
38. В классе 22 ученика. Когда каждому выставили годовые оценки
по всем 10 предметам (тройку, четверку или пятерку), оказалось,
что у любых двух мальчиков хотя бы по одному предмету оценки
различаются. Докажите, что можно найти двух учеников и два предмета таких, что по первому предмету лучше успевает первый ученик,
а по второму – второй.
39. Можно ли выписать 100 натуральных чисел так, чтобы для каждого из выписанных чисел ровно одно из остальных отличалось от
него на 1, ровно одно – на 3, и ровно одно – на 8?
40. Ковбой Джо может попасть в любую выбранную им точку. Ему надо попасть в точку на
стене, прикрытую газетой 1м1м. После каждого выстрела, начиная со второго, ему сообщают, какая из пуль легла ближе к цели: эта или предыдущая. Докажите, что 18-м
выстрелом он может всадить пулю не далее 1 см от нужной точки.
«Головастик», серия 4, 6 класс, 9 июня,
раскраски котлет и монет
31. Дно прямоугольной коробки покрыто плитками 22 и 41. Одна плитка 22 потерялась.
Можно ли вместо неё взять плитку 41 для покрытия дна коробки иным образом?
32. Пусть имеется 7 серебряных монет и 2 медные (они отличаются по виду от серебряных). Известно, что одна из них фальшивая, а остальные настоящие (настоящая серебряная
монета отличается по весу от настоящей медной). Как найти ФМ за два взвешивания?
33. Есть 6 монет, одна из которых фальшивая (она отличается по весу от настоящей, но её
вес, как и вес настоящей монеты, неизвестен). Как за три взвешивания на одночашечных
весах со стрелкой найти фальшивую монету?
34. А) По кругу лежат 9 одинаковых с виду котлет. Известно, что среди них семь одинаковых, а две более лёгкие, и они лежат рядом. При этом лёгкие котлеты не обязательно
равны друг другу. Как найти их двумя взвешиваниями на чашечных весах без гирь? Б)
Найдите все лёгкие котлеты, если одинаковых не 7, а только 6, а лёгких – три подряд.
35. Сколько существует чисел от 1 до 1000, у которых ровно три натуральных делителя?
36. Когда Петьку отправляли на задание в занятый врагами город, у него было 50 патронов.
Вернувшись, он заметил, что по дороге туда было израсходовано патронов в 5 раз больше,
чем в городе, а по дороге обратно – в 5 раз меньше, чем в городе.
Сколько патронов осталось у Петьки?
37. Из доски 2929 по линиям сетки вырезаны 99 квадратов 22. Докажите, что из оставшейся части доски можно вырезать еще хотя бы
один такой же квадрат.
38. В классе 22 ученика. Когда каждому выставили годовые оценки
по всем 10 предметам (тройку, четверку или пятерку), оказалось,
что у любых двух мальчиков хотя бы по одному предмету оценки
различаются. Докажите, что можно найти двух учеников и два предмета таких, что по первому предмету лучше успевает первый ученик,
а по второму – второй.
39. Можно ли выписать 100 натуральных чисел так, чтобы для каждого из выписанных чисел ровно одно из остальных отличалось от
него на 1, ровно одно – на 3, и ровно одно – на 8?
40. Ковбой Джо может попасть в любую выбранную им точку. Ему надо попасть в точку на
стене, прикрытую газетой 1м1м. После каждого выстрела, начиная со второго, ему сообщают, какая из пуль легла ближе к цели: эта или предыдущая. Докажите, что 18-м выстрелом он может всадить пулю не далее 1 см от нужной точки.
«Головастик», серия 5, 6 класс, 10 июня,
Разное повторение
41. Есть 15 монет различного веса. Вася должен выбрать одну из них, но ни в коем
случае не среднюю по весу, иначе ему отрубят голову. Помогут ли ему 8 взвешиваний на двухчашечных весах без гирь?
41. Есть 15 монет различного веса. Вася должен выбрать одну из них, но ни в коем
случае не среднюю по весу, иначе ему отрубят голову. Помогут ли ему 8 взвешиваний на двухчашечных весах без гирь?
42. Натуральные числа M и K отличаются перестановкой цифр.
42. Натуральные числа M и K отличаются перестановкой цифр.
Доказать, что а) сумма цифр 2M равна сумме цифр 2K; б) сумма
цифр M/2 равна сумме цифр K/2 (если M и K чётны); в) сумма
цифр 5M равна сумме цифр 5K.
Доказать, что а) сумма цифр 2M равна сумме цифр 2K; б) сумма
цифр M/2 равна сумме цифр K/2 (если M и K чётны); в) сумма
цифр 5M равна сумме цифр 5K.
43. Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из
двух цветов, причем оба присутствуют. Докажите, что найдется
равносторонний треугольник с вершинами одного цвета.
43. Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из
двух цветов, причем оба присутствуют. Докажите, что найдется
равносторонний треугольник с вершинами одного цвета.
44.
44. Докажите, что среди чисел, записываемых только единицами, есть число, которое делится на 2014.
45. а) Докажите, что существуют две разные степени тройки, у которых четыре
цифры в конце одинаковы. б) докажите, что есть степень тройки, оканчивающаяся
на …2014.
46. Докажите, что существует число, запись которого состоит только из двоек, кратное 2014
47. В узлах клетчатой плоскости отмечено 5 точек. Доказать, что есть две из них,
середина отрезка между которыми тоже попадает в узел.
48. На доске выписаны числа 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. Разрешается стереть любые
два числа и вместо них выписать их разность - неотрицательное число. После семи
таких операций на доске будет только одно число. Может ли оно
равняться 97?
49. Число называется палиндромом, если оно одинаково читается
как слева, так и справа (например, число 2002 — палиндром, а 2011 — нет). Верно
ли, что если числа x и 3x — палиндромы, то и число 2x — тоже палиндром?
50. В классе 29 детей. Каждый из детей послал новогодние подарки 9 своим одноклассникам. Всегда ли найдутся трое детей, ни один из которых не посылал подарки никому из двух других?
«Головастик», серия 5, 6 класс, 10 июня,
Разное повторение
45. а) Докажите, что существуют две разные степени тройки, у которых четыре
цифры в конце одинаковы. б) докажите, что есть степень тройки, оканчивающаяся
на …2014.
46. Докажите, что существует число, запись которого состоит только из двоек, кратное 2014
47. В узлах клетчатой плоскости отмечено 5 точек. Доказать, что есть две из них,
середина отрезка между которыми тоже попадает в узел.
48. На доске выписаны числа 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. Разрешается стереть любые
два числа и вместо них выписать их разность - неотрицательное число. После семи
таких операций на доске будет только одно число. Может ли оно
равняться 97 ?
49. Число называется палиндромом, если оно одинаково читается
как слева, так и справа (например, число 2002 — палиндром, а 2011 — нет). Верно
ли, что если числа x и 3x — палиндромы, то и число 2x — тоже палиндром?
50. В классе 29 детей. Каждый из детей послал новогодние подарки 9 своим одноклассникам. Всегда ли найдутся трое детей, ни один из которых не посылал подарки никому из двух других?
«Головастик», серия 6, 6 класс, 17 июня, плодим комбинаторных монстров
51. Сколькими способами можно разделить колоду из 36 карт пополам а) просто
пополам; б) так, чтобы в каждой половине было хотя бы по одному тузу? в) так,
чтобы в каждой половине было по 2 туза? г) так, чтобы
в одной половине было по два черных туза, а в другой
- два красных?
52. Красные, синие и зеленые дети встали в круг. Когда
учительница попросила поднять руку красных детей,
рядом с которыми стоит зеленый ребенок, руку подняли 20 человек. А когда она попросила поднять руку
синих детей, рядом с которыми стоит зеленый ребенок, руку подняли 25 человек. Докажите, что рядом с
кем-то из поднимавших руку стоит сразу два зеленых ребенка.
53. В пространстве разбросаны 20 разных точек, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости. а) Сколько разных тетраэдров с концами в этих точках
можно построить? б) Сколько разных пространственных четырехугольников ( это
замкнутая 4-хзвенная ломаная) с вершинами в этих точках можно построить?
54. Сколькими способами можно расставить n нулей и k единиц так, чтобы никакие
две единицы не стояли рядом?
55. На почте продаются открытки 10 видов. Сколькими способами можно купить
а) 15 открыток? б) 8 открыток? в) 5 различных открыток?
56. План города имеет вид прямоугольника размером 20×12. На всех улицах введено одностороннее движение – можно ехать только вправо или вверх. Сколькими способами можно пройти из левой нижней точки города в правую верхнюю?
55. Из цифр 1, 2, 3, 4 составили все возможные числа, в которых никакие цифры не
повторяются и идут в порядке возрастания. Докажите, что из этих чисел нельзя
выбрать 9 таких, чтобы у каждых двух чисел нашлась общая цифра.
56. На шахматной доске 33 расставлено несколько фишек. Докажите, что можно
выбрать две строки и два столбца таким образом, чтобы на четырех клетках, лежащих в их пересечении, стояло четное число фишек.
57. В каждую клетку таблицы 2014×2014 вписан либо нуль, либо единица, причем
в каждом столбце и каждой строке есть как нули, так и единицы. Докажите, что в
этой таблице найдутся две строки и два столбца такие, что на концах одной из диагоналей образованного ими прямоугольника стоят нули, а другой — единицы.
58. На шахматной доске разрешается за один ход перекрашивать все клетки в одной строке или в одном
столбце. Может ли после нескольких ходов остаться
ровно одна белая клетка?
59. Фирма “Id Software" плодит монстров. Каждый день
монстры мутируют. Если сегодня монстр имеет m ручек
и n ножек, то назавтра он будет иметь 2m-n ручек и 2n-m
ножек. Монстр погибает, когда число ручек или ножек становится отрицательным.
При каком начальном количестве ручек и ножек монстр
сможет жить вечно?
60. Комитет из 9 человек должен был выбрать депутата
из трех кандидатов. Каждый из девяти выборщиков дал
одному из кандидатов 3 балла, другому – 2, и оставшемуся кандидату – 1 балл, после чего все баллы, полученные каждым кандидатом, суммировались, и победитель определялся по наибольшей сумме (все суммы получились разными). Один из наблюдателей отметил, что
если бы процедура была обычной, то в результате голосования претенденты расположились бы в обратном порядке. Сколько очков набрал каждый из кандидатов?
«Головастик», серия 7, 6 класс, 20 июня, шары и перегородки
«Головастик», серия 7, 6 класс, 20 июня, шары и перегородки
61. Пусть n — натуральное число, большее 1. У Кости есть прибор, устроенный так,
что если в него положить 2n+1 различных по весу монет, то он укажет, какая из
монет — средняя по весу среди положенных. Барон Мюнхгаузен дал Косте 4n+1
различных по весу монет и про одну из них сказал, что она является средней по
весу. Как Косте, использовав прибор не более n+2 раз, выяснить, прав ли барон?
61. Пусть n — натуральное число, большее 1. У Кости есть прибор, устроенный так,
что если в него положить 2n+1 различных по весу монет, то он укажет, какая из
монет — средняя по весу среди положенных. Барон Мюнхгаузен дал Косте 4n+1
различных по весу монет и про одну из них сказал, что она является средней по
весу. Как Косте, использовав прибор не более n+2 раз, выяснить, прав ли барон?
62. 49 кнопок расположены в виде квадрата 7×7. Каждая из них может либо светиться, либо быть погашенной. При нажатии на любую из кнопок меняется состояние этой кнопки и всех восьми соседних с ней. Докажите, что можно погасить все
кнопки, независимо от того, какие кнопки светились первоначально.
62. 49 кнопок расположены в виде квадрата 7×7. Каждая из них может либо светиться, либо быть погашенной. При нажатии на любую из кнопок меняется состояние этой кнопки и всех восьми соседних с ней. Докажите, что можно погасить все
кнопки, независимо от того, какие кнопки светились первоначально.
63. Сколькими способами можно разрезать ожерелье, состоящее из 30 различных
бусин, на 8 частей (резать можно только между бусинами)?
63. Сколькими способами можно разрезать ожерелье, состоящее из 30 различных
бусин, на 8 частей (резать можно только между бусинами)?
64. Сколько есть способов переплести 12 одинаковых книг в красные, зеленые или
синие переплеты, если а) обязательно б) не обязательно использовать все цвета?
64. Сколько есть способов переплести 12 одинаковых книг в красные, зеленые или
синие переплеты, если а) обязательно б) не обязательно использовать все цвета?
65. Сколько есть способов разложить 7 белых и 4 черных шара по 11 различным
ящикам?
65. Сколько есть способов разложить 7 белых и 4 черных шара по 11 различным
ящикам?
66. Сколько есть решений уравнения x+y+z=100 в натуральных числах от 1 до 60?
66. Сколько есть решений уравнения x+y+z=100 в натуральных числах от 1 до 60?
67. Сколько решений в нечетных натуральных числах имеет уравнение
x+y+z+t=1000?
67. Сколько решений в нечетных натуральных числах имеет уравнение
x+y+z+t=1000?
68. На столе лежали две колоды, по 36 карт в каждой. Первую колоду перетасовали и положили на вторую. Затем для каждой карты первой колоды посчитали
количество карт между ней и такой же картой второй колоды (т.е. сколько карт
между семерками червей, между дамами пик, и т.д.). Чему равна сумма 36 полученных чисел?
68. На столе лежали две колоды, по 36 карт в каждой. Первую колоду перетасовали и положили на вторую. Затем для каждой карты первой колоды посчитали
количество карт между ней и такой же картой второй колоды (т.е. сколько карт
между семерками червей, между дамами пик, и т.д.). Чему равна сумма 36 полученных чисел?
69. Каждое из n данных чисел, выписанных вдоль окружности, было равно единице или минус единице. Между каждыми двумя соседними числами написали
их произведение, а сами числа после этого стёрли. Сумма оставшихся n произведений оказалась равна нулю. Докажите, что n делится на четыре.
69. Каждое из n данных чисел, выписанных вдоль окружности, было равно единице или минус единице. Между каждыми двумя соседними числами написали
их произведение, а сами числа после этого стёрли. Сумма оставшихся n произведений оказалась равна нулю. Докажите, что n делится на четыре.
70. На полях шахматной доски расставлены числа 1, 2, …, 64. Докажите, что
найдется пара соседних по стороне клеток, где числа отличаются не меньше, чем
на 5.
70. На полях шахматной доски расставлены числа 1, 2, …, 64. Докажите, что
найдется пара соседних по стороне клеток, где числа отличаются не меньше, чем
на 5.
«Головастик», серия 8, 6 класс, 23 июня, бармен и карты
«Головастик», серия 8, 6 класс, 23 июня, бармен и карты
71. На окружности отмечены 2014 точек. В одной из них сидит кузнечик, который делает прыжки по часовой стрелке либо на 57 делений, либо на 10. Он посетил все отмеченные точки, сделав наименьшее количество прыжков длины 10. Какое?
71. На окружности отмечены 2014 точек. В одной из них сидит кузнечик, который делает прыжки по часовой стрелке либо на 57 делений, либо на 10. Он посетил все отмеченные точки, сделав наименьшее количество прыжков длины 10. Какое?
72. Имеется натуральное число. У него вычеркивают последнюю цифру и прибавляют
к получившемуся числу вычеркнутую цифру, умноженную на 5. Эту операцию повторяют несколько раз. В итоге получилось число 7. Докажите, что исходное число тоже
делилось на 7.
72. Имеется натуральное число. У него вычеркивают последнюю цифру и прибавляют
к получившемуся числу вычеркнутую цифру, умноженную на 5. Эту операцию повторяют несколько раз. В итоге получилось число 7. Докажите, что исходное число тоже
делилось на 7.
73. x, y- целые числа, такие, что 29x = 41y. Докажите, что x+y делится на 10.
73. x, y- целые числа, такие, что 29x = 41y. Докажите, что x+y делится на 10.
74. Трамвайный билет называется счастливым по-питерски, если сумма первых трех
цифр равна сумме последних трех цифр. Трамвайный билет называется счастливым
по-московски, если сумма его цифр, стоящих на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах. Сколько существует биле-тов, счастливых и по питерски и по
московски, если для записи билета ис-пользуются цифры от нуля до 9?
74. Трамвайный билет называется счастливым по-питерски, если сумма первых трех
цифр равна сумме последних трех цифр. Трамвайный билет называется счастливым
по-московски, если сумма его цифр, стоящих на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах. Сколько существует биле-тов, счастливых и по питерски и по
московски, если для записи билета ис-пользуются цифры от нуля до 9?
75. Из колоды в 36 карт вытаскивают случайным образом 5 карт. Подсчитайте количество наборов, в которых: количество дам равно количеству карт чер-вовой масти, если
никаких карт, кроме дам и червей, в наборе нет.
75. Из колоды в 36 карт вытаскивают случайным образом 5 карт. Подсчитайте количество наборов, в которых: количество дам равно количеству карт чер-вовой масти, если
никаких карт, кроме дам и червей, в наборе нет.
76. Сколькими способами можно представить 1000000 в виде произведения трех множителей, если произведения, отличающиеся порядком множителей, а) считаются различными? б) считаются тождественными?
76. Сколькими способами можно представить 1000000 в виде произведения трех множителей, если произведения, отличающиеся порядком множителей, а) считаются различными? б) считаются тождественными?
77. Петя утверждает, что он сумел согнуть бумажный равносторонний треугольник так,
что получился четырёхугольник, причем всюду трёхслойный. Могло ли так случиться?
77. Петя утверждает, что он сумел согнуть бумажный равносторонний треугольник так,
что получился четырёхугольник, причем всюду трёхслойный. Могло ли так случиться?
78. Петя и Вася играют на доске размером 7×7. Они по очереди ставят в клетки доски
цифры от 1 до 7 так, чтобы ни в одной строке и ни в одном столбце не оказалось одинаковых цифр. Первым ходит Петя. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто
из них сможет выиграть, как бы ни играл соперник?
78. Петя и Вася играют на доске размером 7×7. Они по очереди ставят в клетки доски
цифры от 1 до 7 так, чтобы ни в одной строке и ни в одном столбце не оказалось одинаковых цифр. Первым ходит Петя. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто
из них сможет выиграть, как бы ни играл соперник?
79. В гандбольном турнире в один круг (победа – 2 очка, ничья – 1 очко, поражение –
0) приняло участие 16 команд. Все команды набрали разное количество очков, причём команда, занявшая 7 место, набрала 21
очко. Докажите, что победившая команда хотя бы один раз сыграла вничью.
79. В гандбольном турнире в один круг (победа – 2 очка, ничья – 1 очко, поражение –
0) приняло участие 16 команд. Все команды набрали разное количество очков, причём команда, занявшая 7 место, набрала 21
очко. Докажите, что победившая команда хотя бы один раз сыграла вничью.
80. В бар ходят необщительные посетители. Вдоль барной стойки
расположены 25 мест. Всякий раз, когда входит новый посетитель, он обязательно садится на самое дальнее, насколько это
возможно, место от остальных гостей. Никто не садится рядом с кем-то: если посетитель входит и видит, что "свободных" мест нет, он тут же разворачивается и уходит из
бара. Бармену, естественно, хочется, чтобы за стойкой сидело как можно больше клиентов. Если ему разрешено усадить первого посетителя на любое место, куда выгоднее его посадить с точки зрения бармена?
80. В бар ходят необщительные посетители. Вдоль барной стойки
расположены 25 мест. Всякий раз, когда входит новый посетитель, он обязательно садится на самое дальнее, насколько это
возможно, место от остальных гостей. Никто не садится рядом с кем-то: если посетитель входит и видит, что "свободных" мест нет, он тут же разворачивается и уходит из
бара. Бармену, естественно, хочется, чтобы за стойкой сидело как можно больше клиентов. Если ему разрешено усадить первого посетителя на любое место, куда выгоднее его посадить с точки зрения бармена?
«Головастик», серия 9, 6 класс, 26июня, комбиигры
«Головастик», серия 9, 6 класс, 26 июня, комбиигры
81. Сколько существует а) восьмизначных; б) четырёхзначных натуральных чисел, в которых цифры идут в порядке возрастания?
81. Сколько существует а) восьмизначных; б) четырёхзначных натуральных чисел, в которых цифры идут в порядке возрастания?
82. Куб с ребром длины 20 разбит на 8000 единичных кубиков, и в каждом кубике записано
число. Известно, что в каждом столбике из 20 кубиков, параллельном ребру куба, сумма
чисел равна 1 (рассматриваются столбики всех трёх направлений). В некотором кубике записано число 10. Через этот кубик проходит три слоя 1×20×20, параллельных граням куба.
Найдите сумму всех чисел вне этих слоев.
82. Куб с ребром длины 20 разбит на 8000 единичных кубиков, и в каждом кубике записано
число. Известно, что в каждом столбике из 20 кубиков, параллельном ребру куба, сумма
чисел равна 1 (рассматриваются столбики всех трёх направлений). В некотором кубике записано число 10. Через этот кубик проходит три слоя 1×20×20, параллельных граням куба.
Найдите сумму всех чисел вне этих слоев.
83. Все слова иератического языка племени состоят из 10 букв Ъ или Й. Можно ли так разбить все эти слова на две группы, условно именуемые приличными и неприличными словами, так, чтобы любые два слова в одной группе отличались не менее чем а) в двух, б) в
трех местах?
83. Все слова иератического языка племени состоят из 10 букв Ъ или Й. Можно ли так разбить все эти слова на две группы, условно именуемые приличными и неприличными словами, так, чтобы любые два слова в одной группе отличались не менее чем а) в двух, б) в
трех местах?
84. Дома в неком городе пронумерованы следующим образом – в номере корпуса будет
ровно 7 разрядов, в любом разряде используются цифры от 1 до 9. Использованы все номера. Чтобы хоть как-то различать дома, мэр распорядился те дома, которые отличаются
РОВНО одной цифрой, красить в разные цвета. Какое минимальное количество цветов потребуется?
84. Дома в неком городе пронумерованы следующим образом – в номере корпуса будет
ровно 7 разрядов, в любом разряде используются цифры от 1 до 9. Использованы все номера. Чтобы хоть как-то различать дома, мэр распорядился те дома, которые отличаются
РОВНО одной цифрой, красить в разные цвета. Какое минимальное количество цветов потребуется?
85. Двое играющих наперегонки едят яблоки. Вначале первый выбирает яблоко, затем второй – любое из оставшихся яблок, и они одновременно начинают есть. Они едят с одинаковой скоростью, и тот, кто доел, берет следующее яблоко. Кто
из них сможет съесть больше и на сколько при любых действиях
другого, если вначале есть 4 яблока весами 200 г, 150 г, 100 г и 80
г?
85. Двое играющих наперегонки едят яблоки. Вначале первый выбирает яблоко, затем второй – любое из оставшихся яблок, и они одновременно начинают есть. Они едят с одинаковой скоростью, и тот, кто доел, берет следующее яблоко. Кто
из них сможет съесть больше и на сколько при любых действиях
другого, если вначале есть 4 яблока весами 200 г, 150 г, 100 г и 80
г?
86. Игра «крестики – нолики» играется на доске n×n. Выигрывает
тот, кто поставит в один ряд k своих знаков. Докажите, что вне
зависимости от n и k у второго игрока нет выигрышной стратегии.
86. Игра «крестики – нолики» играется на доске n×n. Выигрывает
тот, кто поставит в один ряд k своих знаков. Докажите, что вне
зависимости от n и k у второго игрока нет выигрышной стратегии.
87. 100 карточек в стопке пронумерованы числами от 1 до 100
сверху вниз. Двое играющих по очереди снимают сверху по одной или несколько карточек
и отдают противнику. Выигрывает тот, у кого первого произведение всех чисел на карточках станет кратно 1000000. Может ли кто-то из игроков всегда выигрывать независимо от
игры противника?
87. 100 карточек в стопке пронумерованы числами от 1 до 100
сверху вниз. Двое играющих по очереди снимают сверху по одной или несколько карточек
и отдают противнику. Выигрывает тот, у кого первого произведение всех чисел на карточках станет кратно 1000000. Может ли кто-то из игроков всегда выигрывать независимо от
игры противника?
88. Пусть каждое из натуральных чисел n, n+1, n+2 делится на квадрат любого своего простого делителя. Докажите, что число n делится на куб некоторого простого делителя.
88. Пусть каждое из натуральных чисел n, n+1, n+2 делится на квадрат любого своего простого делителя. Докажите, что число n делится на куб некоторого простого делителя.
89. На окружности отмечены 2000 точек. Сначала Петя проводит N хорд с концами в этих
точках. Затем Валя красит половину отмеченных точек в один цвет, а остальные – в другой.
Петя выигрывает, если найдется хорда с концами разного цвета. При каком наименьшем
N Валя не сможет ему помешать?
89. На окружности отмечены 2000 точек. Сначала Петя проводит N хорд с концами в этих
точках. Затем Валя красит половину отмеченных точек в один цвет, а остальные – в другой.
Петя выигрывает, если найдется хорда с концами разного цвета. При каком наименьшем
N Валя не сможет ему помешать?
90. Натуральное число назовем тормозом, если в его десятичной записи найдутся две одинаковые цифры рядом. Найдите наибольшее натуральное число, которое нельзя представить как сумму двух тормозов.
90. Натуральное число назовем тормозом, если в его десятичной записи найдутся две одинаковые цифры рядом. Найдите наибольшее натуральное число, которое нельзя представить как сумму двух тормозов.