Ñåðèÿ 47. Êîëå÷íî-èäåàëüíàÿ. 1. à)(ï) Äîêàæèòå, ÷òî êîëüöå öåëûõ ÷èñåë ïðîèçâåäåíèå äâóõ èäåàëîâ èäåàë. (Êñòàòè, íà ëèêáåçå ðàññêàçûâàëîñü, êàê âûãëÿäÿò èäåàëû êîëüöà Z) á) Äîêàæèòå, ÷òî â ëþáîì êîììóòàòèâíîì êîëüöå ïðîèçâåäåíèå äâóõ ãëàâíûõ èäåàëîâ èäåàë. (Íàïîìíèì, ÷òî ãëàâíûé èäåàë < a > ýòî èäåàë, ñîñòîÿùèé èç ýëåìåíòîâ âèäà ra). 2. à) Äîêàæèòå, ÷òî èäåàë < x, 2 >=< x > + < 2 >⊂ Z[x] ñîäåðæèò â ñåáå âñå ìíîãî÷ëåíû ñ ÷åòíûì ñâîáîäíûì ÷ëåíîì è òîëüêî èõ. á) Äîêàæèòå, ÷òî èäåàë < x, 2 > ìàêñèìàëüíûé èäåàë â êîëüöå ìíîãî÷ëåíîâ ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè Z[x] (òî åñòü, åñëè èäåàë ñîäåðæèò < x, 2 > è åùå ÷òî-íèáóäü, òî îí ñîäåðæèò âñå êîëüöî). 3. Âåðíî ëè, ÷òî åñëè èäåàëû < a > è < b > ñîâïàäàþò, òî < a > è < b > òàêæå ñîâïàäàþò? Ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ êîëüöà R, äëÿ êîòîðûõ åñòü îáðàòíûé ýëåìåíò ïî óìíîæåíèþ, íàçûâàåòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíîé ãðóïïîé ýòîãî êîëüöà, è îáîçíà÷àåòñÿ R∗ . 4. Íàéäèòå à) Z∗ ; á) Z[x]∗ â) Z∗8 . 5.á) Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà òðåõ êîðíåé óðàâíåíèÿ x3 + px + q = 0 ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè ðàâíà íóëþ. à) Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà êóáîâ òðåõ êîðíåé óðàâíåíèÿ x3 + px + q = 0 ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè åñòü öåëîå ÷èñëî, äåëÿùååñÿ íà 3. Ñåðèÿ 47. Êîëå÷íî-èäåàëüíàÿ. 1. à)(ï) Äîêàæèòå, ÷òî êîëüöå öåëûõ ÷èñåë ïðîèçâåäåíèå äâóõ èäåàëîâ èäåàë. (Êñòàòè, íà ëèêáåçå ðàññêàçûâàëîñü, êàê âûãëÿäÿò èäåàëû êîëüöà Z) á) Äîêàæèòå, ÷òî â ëþáîì êîììóòàòèâíîì êîëüöå ïðîèçâåäåíèå äâóõ ãëàâíûõ èäåàëîâ èäåàë. (Íàïîìíèì, ÷òî ãëàâíûé èäåàë < a > ýòî èäåàë, ñîñòîÿùèé èç ýëåìåíòîâ âèäà ra). 2. à) Äîêàæèòå, ÷òî èäåàë < x, 2 >=< x > + < 2 >⊂ Z[x] ñîäåðæèò â ñåáå âñå ìíîãî÷ëåíû ñ ÷åòíûì ñâîáîäíûì ÷ëåíîì è òîëüêî èõ. á) Äîêàæèòå, ÷òî èäåàë < x, 2 > ìàêñèìàëüíûé èäåàë â êîëüöå ìíîãî÷ëåíîâ ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè Z[x] (òî åñòü, åñëè èäåàë ñîäåðæèò < x, 2 > è åùå ÷òî-íèáóäü, òî îí ñîäåðæèò âñå êîëüöî). 3. Âåðíî ëè, ÷òî åñëè èäåàëû < a > è < b > ñîâïàäàþò, òî < a > è < b > òàêæå ñîâïàäàþò? Ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ êîëüöà R, äëÿ êîòîðûõ åñòü îáðàòíûé ýëåìåíò ïî óìíîæåíèþ, íàçûâàåòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíîé ãðóïïîé ýòîãî êîëüöà, è îáîçíà÷àåòñÿ R∗ . 4. Íàéäèòå à) Z∗ ; á) Z[x]∗ â) Z∗8 . 5.á) Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà òðåõ êîðíåé óðàâíåíèÿ x3 + px + q = 0 ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè ðàâíà íóëþ. à) Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà êóáîâ òðåõ êîðíåé óðàâíåíèÿ x3 + px + q = 0 ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè åñòü öåëîå ÷èñëî, äåëÿùååñÿ íà 3. Ñåðèÿ 47. Êîëå÷íî-èäåàëüíàÿ. 1. à)(ï) Äîêàæèòå, ÷òî êîëüöå öåëûõ ÷èñåë ïðîèçâåäåíèå äâóõ èäåàëîâ èäåàë. (Êñòàòè, íà ëèêáåçå ðàññêàçûâàëîñü, êàê âûãëÿäÿò èäåàëû êîëüöà Z) á) Äîêàæèòå, ÷òî â ëþáîì êîììóòàòèâíîì êîëüöå ïðîèçâåäåíèå äâóõ ãëàâíûõ èäåàëîâ èäåàë. (Íàïîìíèì, ÷òî ãëàâíûé èäåàë < a > ýòî èäåàë, ñîñòîÿùèé èç ýëåìåíòîâ âèäà ra). 2. à) Äîêàæèòå, ÷òî èäåàë < x, 2 >=< x > + < 2 >⊂ Z[x] ñîäåðæèò â ñåáå âñå ìíîãî÷ëåíû ñ ÷åòíûì ñâîáîäíûì ÷ëåíîì è òîëüêî èõ. á) Äîêàæèòå, ÷òî èäåàë < x, 2 > ìàêñèìàëüíûé èäåàë â êîëüöå ìíîãî÷ëåíîâ ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè Z[x] (òî åñòü, åñëè èäåàë ñîäåðæèò < x, 2 > è åùå ÷òî-íèáóäü, òî îí ñîäåðæèò âñå êîëüöî). 3. Âåðíî ëè, ÷òî åñëè èäåàëû < a > è < b > ñîâïàäàþò, òî < a > è < b > òàêæå ñîâïàäàþò? Ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ êîëüöà R, äëÿ êîòîðûõ åñòü îáðàòíûé ýëåìåíò ïî óìíîæåíèþ, íàçûâàåòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíîé ãðóïïîé ýòîãî êîëüöà, è îáîçíà÷àåòñÿ R∗ . 4. Íàéäèòå à) Z∗ ; á) Z[x]∗ â) Z∗8 . 5.á) Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà òðåõ êîðíåé óðàâíåíèÿ x3 + px + q = 0 ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè ðàâíà íóëþ. à) Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà êóáîâ òðåõ êîðíåé óðàâíåíèÿ x3 + px + q = 0 ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè åñòü öåëîå ÷èñëî, äåëÿùååñÿ íà 3. Ñåðèÿ 47. Êîëå÷íî-èäåàëüíàÿ. 1. à)(ï) Äîêàæèòå, ÷òî êîëüöå öåëûõ ÷èñåë ïðîèçâåäåíèå äâóõ èäåàëîâ èäåàë. (Êñòàòè, íà ëèêáåçå ðàññêàçûâàëîñü, êàê âûãëÿäÿò èäåàëû êîëüöà Z) á) Äîêàæèòå, ÷òî â ëþáîì êîììóòàòèâíîì êîëüöå ïðîèçâåäåíèå äâóõ ãëàâíûõ èäåàëîâ èäåàë. (Íàïîìíèì, ÷òî ãëàâíûé èäåàë < a > ýòî èäåàë, ñîñòîÿùèé èç ýëåìåíòîâ âèäà ra). 2. à) Äîêàæèòå, ÷òî èäåàë < x, 2 >=< x > + < 2 >⊂ Z[x] ñîäåðæèò â ñåáå âñå ìíîãî÷ëåíû ñ ÷åòíûì ñâîáîäíûì ÷ëåíîì è òîëüêî èõ. á) Äîêàæèòå, ÷òî èäåàë < x, 2 > ìàêñèìàëüíûé èäåàë â êîëüöå ìíîãî÷ëåíîâ ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè Z[x] (òî åñòü, åñëè èäåàë ñîäåðæèò < x, 2 > è åùå ÷òî-íèáóäü, òî îí ñîäåðæèò âñå êîëüöî). 3. Âåðíî ëè, ÷òî åñëè èäåàëû < a > è < b > ñîâïàäàþò, òî < a > è < b > òàêæå ñîâïàäàþò? Ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ êîëüöà R, äëÿ êîòîðûõ åñòü îáðàòíûé ýëåìåíò ïî óìíîæåíèþ, íàçûâàåòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíîé ãðóïïîé ýòîãî êîëüöà, è îáîçíà÷àåòñÿ R∗ . 4. Íàéäèòå à) Z∗ ; á) Z[x]∗ â) Z∗8 . 5.á) Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà òðåõ êîðíåé óðàâíåíèÿ x3 + px + q = 0 ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè ðàâíà íóëþ. à) Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà êóáîâ òðåõ êîðíåé óðàâíåíèÿ x3 + px + q = 0 ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè åñòü öåëîå ÷èñëî, äåëÿùååñÿ íà 3.