10.9. Кинетическая и потенциальная энергия стоячей

10.9. Кинетическая и потенциальная энергия
стоячей волны
Допустим, в однородной изотропной среде установилась продольная стоячая
волна, которая описывается уравнением
x
χ = 2 A0 sin 2π cos ωt .
(10.22)
λ
Выделим мысленно в среде элементарный объем ∆V , настолько малый,
чтобы в его пределах скорости колебательного движения частиц можно было
считать одинаковыми, а деформацию однородной. Найдем кинетическую энергию
выделенного объема
2
2
m ⎛ dχ ⎞ ρ ⎛ dχ ⎞
(10.23)
∆Eк = ⎜
⎟ = ⎜
⎟ ∆V .
2 ⎝ dt ⎠
2 ⎝ dt ⎠
Продифференцировав (10.22) по времени и подставив в формулу (10.23),
получим
2πx 2
sin ωt ∆V .
∆Eк = 2ρA02 ω2 sin 2
(10.24)
λ
На основе формулы (10.24) можно сделать вывод, что кинетическая энергия
выделенного объема является периодической функцией. В волне существуют
такие точки, в которых кинетическая энергия равна нулю в любой момент
времени ( sin 2 ( 2πx λ ) = 0 ). Эти точки называют узлами кинетической энергии.
Точки, в которых энергия имеет наибольшее значение ( sin 2 ( 2 πx λ ) = 1 ),
называются пучностями кинетической энергии. Координаты пучностей ∆Eк
совпадают с координатами пучностей смещения стоячей волны, а координаты
узлов ∆Eк совпадают с координатами узлов смещения стоячей волны.
Потенциальная энергия выделенного объема
2
Eε2
E ⎛ dχ ⎞
∆Eп =
∆V = ⎜
⎟ ∆V .
2
2 ⎝ dx ⎠
Подставив сюда выражение
d χ 4πA0
x
=
cos 2π cos ωt
dx
λ
λ
2
и учитывая, что E = υ ρ , υ = λν , а 2πν = ω , получим конечную формулу для
потенциальной энергии выделенного объема
x
∆Eп = 2ρA02ω2 cos 2 2π cos 2 ωt ∆V .
(10.25)
λ
Отсюда видно, что потенциальная энергия также является периодической
функцией с тем же периодом, что и кинетическая энергия. Из сравнения формул
Рис. 10.21
(10.24) и (10.25) следует, что колебания
кинетической и потенциальной энергии
смещены во времени на четверть периода
( T 4 ), в то время как у бегущей волны, как
было показано ранее (см. § 10.5), оба вида
энергии изменяются в одной фазе.
Потенциальная
энергия
выделенного
объема имеет также узлы и пучности.
Графики распределения амплитуд кинетической энергии ∆Eк и
потенциальной энергии ∆Eп в стоячей волне для некоторого фиксированного
момента времени представлены на рис. 10.21. Из него видно, что пучности
кинетической и потенциальной энергии смещены в пространстве на четверть
длины волны ( λ 4 ).
В бегущей волне происходит перенос энергии (§ 10.5), а в стоячей волне через
плоскости, в которых размещены узлы волны, энергия не течет. Таким образом, в
стоячей волне энергия может перемещаться только в пределах участков между
двумя соседними узлами деформаций и узлом скоростей. Перемещение энергии
между двумя этими узлами обусловлено тем, что фазы колебаний деформаций и
скоростей в стоячей волне смещены на π 2 . Поэтому до конца четверти периода,
когда деформация в стоячей волне в пределах выделенного участка в каждой
точке участка достигает максимального значения, а скорость падает до нуля, вся
энергия этого участка преобразуется в энергию упругой деформации. До конца
следующей четверти периода энергия упругой деформации преобразуется в
кинетическую энергию.
Вместе с тем потенциальная энергия концентрируется главным образом
вблизи пучности деформации, которая лежит на одном конце рассматриваемого
участка. Через четверть периода кинетическая энергия концентрируется главным
образом вблизи пучностей скоростей, которые лежат на другом конце участка.
Таким образом, энергия стоячей волны за четверть периода преобразуется из
одного вида в другой и смещается от одного конца участка к другому на
расстояние, равное четверти длины волны ( λ 4 ). В следующую четверть периода
произойдет обратный переход энергии и смещение ее в пространстве на λ 4 в
противолежащую сторону. В результате средний за каждый полупериод поток
энергии через площадку, перпендикулярную направлению распространения
волны, будет равен нулю.