Домашнее задание № 9 в формате PDF

9
Ïðèìåð èñïîëüçîâàíèÿ óðàâíåíèé ðàâíîâåñèÿ
è äâèæåíèÿ äëÿ îïèñàíèÿ ïðèðîäíûõ ÿâëåíèé
Çàäà÷à 9.1 Îïðåäåëèòü ðàñïðåäåëåíèå ãàçîäèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ
(ïëîòíîñòè
ρ, äàâëåíèÿ p, òåìïåðàòóðû T ) â íàõîäÿùåéñÿ â ãèäðîñòàòè÷åñêîì
ðàâíîâåñèè àòìîñôåðû Çåìëè (ïëàíåò, Ëóíû, Ñîëíöà, çâåçä). Ïðè ðåøåíèè
ñ÷èòàòü àòìîñôåðó ñôåðè÷åñêè-ñèììåòðè÷íîé, à ìàññó öåòðàëüíîãî òåëà
M . Ãàç â àòìîñôåðå ñ÷èòàòü ñîâåðøåííûì ñ óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ P =
ρRT . Ðàññìîòðåòü çàäà÷ó äëÿ à) ïðîèçâîëüíîé çàâèñèìîñòè òåìïåðàòóðû
n
îò ðàññòîÿíèÿ, á) äëÿ ñëó÷àÿ ïîëèòðîïû P/ρ = const, ãäå n - ïîêàçàòåëü
ïîëèòðîïû. (×àñòíûé ñëó÷àé n = γ ). Ðåøåíèå:
⃗ = 0) óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ æèäêîñòè
 ñëó÷àå ðàâíîâåñèÿ (V
(èäåàëüíîé èëè âÿçêîé) çàïèøóòñÿ â ñëåäóþùåì âèäå â ñôåðè÷åñêîé
ñèñòåìå êîîðäèíàò:
∂p
GM
= −ρ 2 ,
∂r
r
∂p
∂p
= 0,
= 0.
∂θ
∂ϕ
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äàâëåíèå çàâèñèò òîëüêî îò
r,
ïîýòîìó:
dp
GM
= −ρ 2
dr
r
Èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ âèäíî, ÷òî è
ρ
åñòü ôóíêöèÿ
ñîñòîÿíèÿ ñëåäóåò, ÷òî è òåìïåðàòóðà åñòü ôóíêöèÿ
r,
à èç óðàâíåíèÿ
r. Èíòåãðèðóÿ óðàâíåíèå
ïîëó÷àåì äëÿ îáùåãî ñëó÷àÿ çàâèñèìîñòè òåìïåðàòóðû îò ðàññòîÿíèÿ:
[
∫
GM r dr
p = p0 exp −
],
R r0 r2 T (r)
ãäå
à
r0
p0
(35)
- íåêîòîðîå ðàññòîÿíèå, íàïðèìåð ðàäèóñ ïëàíåòû (ðàäèóñ Çåìëè),
- äàâëåíèå ïðè
r = r0
(äëÿ Çåìëè ýòî äàâëåíèå íà óðîâíå ìîðÿ).
Ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ áàðîìåòðè÷åñêîé.  ñèëó ïîëîæèòåëüíîñòè
ïîäèíòåãðàëüíîé ôóíêöèè èç íåå î÷åâèäíî, ÷òî äàâëåíèå äàâëåíèå ïàäàåò
ñ óäàëåíèåì îò èñòî÷íèêà ïðèòÿæåíèÿ.
Èç áàðîìåòðè÷åñêîé ôîðìóëû âèäíî, ÷òî åñëè òåìïåðàòóðà óáûâàåò
áûñòðåå, ÷åì
1/r, òî èíòåãðàë â ïîêàçàòåëå ýêñïîíåíòû íåîãðàíè÷åíî
r è limr→∞ = 0. Åñëè æè òåìïåðàòóðà ãàçà, îêðóæàþùåãî
ðàñòåò ñ ðîñòîì
37
çâåçäó, ïàäàåò ìåäëåííåå, ÷åì
1/r,
òî èíòåãðàë â ïîêàçàòåëå ýêñïîíåíòû
ñõîäèòñÿ è äàâëåíèå íà áåñêîíå÷íîñòè ñòðåìèòñÿ ê êîíå÷íîìó ïðåäåëó,
çàâèñÿùåìó îò çíà÷åíèé ó îñíîâàíèÿ àòìîñôåðû çâåçäû (ïëàíåòû). Â
ïîñëåäíåì ñëó÷àå î÷åâèäíî, ÷òî ñòàòè÷åñêàÿ àòìîñôåðà çâåçäû (ïëàíåòû)
ìîæåò ñóùåñòâîâàòü òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè ïîëó÷àåìîå èç áàðîìåòðè÷åñêîé
ôîðìóëû äàâëåíèå íà áåñêîíå÷íîñòè ðàâíî äàâëåíèþ ìåæçâåçäíîé (ìåæïëàíåòíîé)
ñðåäû.
Çàäà÷à 9.2 Ïîëàãàÿ, ÷òî â àòìîñôåðå Çåìëè òåìïåðàòóðà ñ âûñîòîé
óáûâàåò ïî ëèíåéíîìó çàêîíó
T = T0 −
ãäå
T0
δ
z,
100
- àáñëþòíàÿ òåìïåðàòóðà ïðè z=0,
δ
- ýìïèðè÷åñêàÿ âåëè÷èíà,
íà êîòîðóþ óáûâàåò òåìïåðàòóðà ïðè ïîäúåìå íà 100 ì, îïðåäåëèòü
ïëîòíîñòü, äàâëåíèå è òåìïåðàòóðó âîçäóõà íà âûñîòå 10 êì, õàðàêòåðíîé
äëÿ ïîëåòîâ ïàññàæèðñêèõ ñàìîëåòîâ. Îïðåäåëèòü íà êàêîé âûñîòå äàâëåíèå
ñòàíåò íóëåâûì.
δ
= 0.65 ãðàäóñîâ,
T0 = 288K .
Çàäà÷à 9.3 Îïðåäåëèòü õàðàêòåðíóþ âûñîòó íà êîòîðîé äàâëåíèå
â àòìîñôåðå Çåìëè, Ñîëíöà, Ìàðñà, Âåíåðû, Ëóíû ïàäàåò â
e
ðàç ïî
ñðàâíåíèþ ñ äàâëåíèåì ó îñíîâàíèÿ àòìîñôåðû. Äëÿ Çåìëè âçÿòü çàâèñèìîñòü
òåìïåðàòóðû îò ðàäèóñà êàê â ïðåäûäóùåé çàäà÷å. Äëÿ Ñîëíöà ïðåäïîëîæèòü,
÷òî òåìïåðàòóðà ïàäàåò ïî çàêîíó
T = T0 (r0 /r)2/7 . Äëÿ îñòàëüíûõ îáúåêòîâ
íàéòè çàâèñèìîñòü òåìïåðàòóðû îò ðàññòîÿíèÿ ïî ñïðàâî÷íîé ëèòåðàòóðå
èëè èíòåðíåòó (âûáîð òîé èëè èíîé çàâèñèìîñòè îáîñíîâàòü).
Çàäà÷à 9.4 Ðàññìîòðèì ðàñøèðÿþùóþñÿ àòìîñôåðó çâåçäû. Ïóñòü
çâåçäíûé âåòåð ÿâëÿåòñÿ ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íûì è ñòàöèîíàðíûì.
Èññëåäîâàòü õàðàêòåð òå÷åíèÿ çâåçäíîãî âåòðà â çàâèñèìîñòè îò ðàññòîÿíèÿ
(îïðåäåëèòü êàê èçìåíÿåòñÿ åãî ñêîðîñòü, ïëîòíîñòü, òåìïåðàòóðà â çàâèñèìîñòè
îò ðàññòîÿíèÿ). Ðàññìîòðåòü à) ñëó÷àé èçîòåðìè÷åñêîãî âåòðà T = const, á) ñëó÷àé åñëè òåìïåðàòóðà óáûâàåò ìåäëåíåå, ÷åì 1/r. Çâåçäíûé
âåòåð ñ÷èòàòü èäåàëüíûì, ñîâåðøåííûì ãàçîì. Èññëåäîâàòü ðåøåíèÿ ïðè
r → ∞.
Ðåøåíèå: Óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè è äâèæåíèÿ çàïèøóòñÿ â ñëåäóþùåì
âèäå:
ρur2 = ρ0 u0 r02 = C,
ρu
du dp ρGM
+
+
= 0,
dr dr
r2
38
ãäå
u
- ðàäèàëüíàÿ êîìïîíåíòà çâåçäíîãî âåòðà, èíäåêñîì
çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ íà ðàññòîÿíèè
r0 , G
0
îáîçíà÷åíû
- ãðàâèòàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ,
Ì - ìàññà çâåçäû.
Èñêëþ÷àÿ èç óðàâíåíèé
du
u
dr
ãäå
aT =
√
(
ρ
a2
1 − T2
u
p
è
)
ïîëó÷àåì óðàâíåíèå íà
d
= −r
dr
(
2
a2T
r2
)
−
u:
GM
,
r2
2kT /mp (çàáåãàÿ âïåðåä: ýòî âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ èçîòåðìè÷åñêîé
ñêîðîñòüþ çâóêà).
Ðàññìîòðèì èçîòåðìè÷åñêèé ñëó÷àé (T = const), êîòîðûé ñîîòâåòñòâóåò
àòìîñôåðå çâåçäû ñ î÷åíü âûñîêîé òåïëîïðîâîäíîñòüþ.  ýòîì ñëó÷àå
èìååì:
du
u
dr
(
a2
1 − T2
u
Îáîçíà÷èì ïðàâóþ ÷àñòü ÷åðåç
)
=
2a2T
GM
− 2 .
r
r
A(r):
A(r) =
2a2T
GM
− 2
r
r
Êà÷åñòâåííûé àíàëèç:
Åñëè ó îñíîâàíèÿ àòìîñôåðû
0,
A(r0 ) < 0 è u0 < aT , èìååì (du/dr)r=r0 >
òî åñòü ïðîèñõîäèò óñêîðåíèå ãàçà, âûòåêàþùåãî èç çâåçäû.
Âòîðîé ÷ëåí
A(r)
ïðè
T = T0
(èçîòåðìè÷åñêàÿ àòìîñôåðà) óáûâàåò
áûñòðåå ïåðâîãî. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ
òî åñòü ôóíêöèÿ
A(r)
ìåíÿåò çíàê â òî÷êå
rc =
r = rc ,
A(r) > 0,
ãäå
GM
.
2a2T
........
Îáùèé õàðàêòåð èíòåãðàëüíûõ êðèâûõ óðàâíåíèÿ ïðåäñòàâëåí íà
ðèñ. ...... (ðåøåíèå áóäåò äîïîëíåíî ïîñëå ïðîâåðêè âûïîëíåíèÿ äîìàøíåãî
çàäàíèÿ).
39