t - на главную

Московский физико-технический институт
(государственный университет)
Факультет молекулярной и биологической физики
Яворский В.А., Григал П.П.
Основы количественной биологии
Методические указания к семинарам
Москва 2009
Введение
О курсе
Биология – наука количественная. Любой ее раздел, будь
то генетика, теория эволюции или ботаника, для описания
предмета привлекает разные математические модели и методы. Особое значение это имеет в молекулярной и клеточной
биологии, где в силу малых размеров объектов эффективно
используются математические модели одновременно из физики, химии и биологии.
Результатом практически любого эксперимента является
число. Например:
• возраст системы или организма, время с момента события;
• размер (длина, площадь, объем) биологической системы или организма, скорость его изменения во времени и пространстве;
• скорость перемещения, диффузия молекул и клеток;
• изменение качественных и количественных признаков организмов в популяции под влиянием внешних
факторов;
• численность биологических объектов, составляющих
систему (число аминокислот в строящемся белке, количество митохондрий в клетке, численность организмов в популяции, число больных, и т.д.);
• изменение частот генов в популяции вследствие мутаций, естественного или искусственного отбора, генетического дрейфа;
• энергетика организма – выработка энергии из питательных веществ, синтез АТФ в результате фотосинтеза, зависимость ее расходования от типа физической активности;
• скорость биохимических реакций, их регуляция.
Реальные биологические системы содержат тысячи типов
молекул и миллионы связей между ними, многие из которых
2
еще неизвестны, поэтому построить сколь-нибудь реальную
модель для всего организма (даже отдельной клетки) пока
нереально. К счастью, для отдельных систем можно провести
аналогии из физики и химии и позаимствовать оттуда относительно простые математические модели. Изучение некоторых из них и будет являться предметом нашего курса семинаров.
Благодарности
Данное пособие является плодом коллективного труда
преподавателей МФТИ, в 1997-2009 годах ведущих курс семинаров для 1 курса МФТИ. Основы курса были заложены
Макеевым А.В., задачи которого используются как в пособии, так и при проведении контрольных.
Значительный вклад в развитие курса внесли Васильев
А.А. и Окштейн И.Л. Их курс биологических семинаров в
ИТЭФ и биологическая студенческая олимпиада помогают
студентам углубить понимание дисциплины.
Много ценных советов по методике преподавания курса
было получено от чл.-корр. РАН Янковского Н.К. и Боринской С.А., читающих курс лекций по биологии для студентов
1 курса.
Большую материальную и моральную поддержку в создании курса оказал декан ФМБФ Грознов И.Н.
Наконец, отдельная благодарность студентам ФМБФ –
без их вопросов и желания узнавать новое данный курс не
получилось бы сделать таким интересным.
3
Рекомендуемая литература
1. Макеев А.В., Основы биологии. I часть. – М: МФТИ,
1996 г., 244 стр.
2. Макеев А.В., Основы биологии. II часть. – М: МФТИ,
1997 г., 236 стр.
3. Медведева А.А., Решение задач по генетике. // Газета
«Биология», № 44-46, 48/1999; № 2-5/2000.
4. Барабанщиков Б.И., Сапаев Е.А., Сборник задач по
генетике. – Издательство Казанского университета,
1988 г., 192 стр.
5. Лебедев А.В., Сборник задач по математической демографии. Учебное пособие. – Издательство механико-математического факультета МГУ, Москва, 2004,
96 стр.
6. Альбертс Б., Брей Д., Льюс Дж., Рэфф М., Робертс К.,
Уотсон Дж., Молекулярная биология клетки. В 3 томах. – М.: Мир, 1994.
7. Ризниченко Г.Ю., Лекции по математическим моделям в биологии. – Научно-издательский центр "Регулярная и хаотическая динамика", 2002 г., 232 стр.
8. Колмогоров А.Н., Качественное изучение математических моделей динамики популяций. // Проблемы
кибернетики. М., 1972, Вып. 25., стр. 100-106
9. Базыкин А.Д., Математическая биофизика взаимодействующих популяций. – М., Наука, 1985., 181 стр.
4
Семинар
распада
№
1.
Модель
радиоактивного
Одним из самых интересных применений математических моделей в биологии, геологии и физике является определения возраста объекта или промежутка времени, которое
прошло с какого-то события.
Существует множество способов датировки. Как правило, они применяются комплексно, т.е. одновременно несколько: исторические источники, геологический анализ,
число колец у деревьев и т.д. Одним из наиболее распространенных методов является радиоуглеродный анализ, предложенный Либби в 1950 году.
На долю четырех химических элементов – С, O, H и N –
приходится около 98% веса организма. Из этих элементов
состоят все органические соединения, поэтому их называют
ОРГАНОГЕНАМИ. Остальные элементы, составляющие организм, подразделяются на МАКРОЭЛЕМЕНТЫ (K, S, P, Cl,
Mg, Na, Ca и Fe), которые содержатся в количестве 0,01-0,1
весовых %, и МИКРОЭЛЕМЕНТЫ (Zn, Cu, I, F, Mn, B, Br,
Co, Mo, Si, Ba, Se, V, Cr, Ni), содержание которых меньше
0,01%. [Макеев, лекция №1]
Роль неорганических элементов в живых системах изучает такая наука, как бионеорганическая химия. Приведем примеры:
• ионы Na+, K+, Cl– участвуют в формировании нервного импульса;
• сера S входит в состав цистеина, который участвует в
образовании третичной структуры белка за счет образования серных мостиков;
• фосфор P входит в состав фосфатной группы, которую содержат все нуклеотиды и АТФ;
• магний Mg входит в состав гема молекулы хлорофилла, которая участвует в фотосинтезе;
5
•
•
•
железо Fe входит в состав гема миоглобина и гемоглобина млекопитающих; ту же роль у головоногих
выполняет медь Cu, поэтому их кровь имеет голубой
цвет;
кальций Ca2+ участвует в сокращении мышц и активном транспорте глюкозы через стенку кишечника;
большинство микроэлементов служит активными
центрами ферментов.
Каждый элемент имеет изотопы – атомы с одинаковым
количеством протонов и электронов, но отличающиеся количеством нейтронов. Изотопы обладают практически одинаковыми химическими свойствами, однако более тяжелые
изотопы менее подвижны и поэтому образуют более прочные
химические связи. Молекулы, содержащие легкий изотоп,
легче вступают в химические реакции и такие процессы, как
диффузия, абсорбция, испарение и т.д. Как следствие, живые
организмы имеют концентрацию тяжелых изотопов иную,
чем окружающая среда (как больше, так и меньше – биологическое фракционирование изотопов).
Изотопы делятся на стабильные и нестабильные (радиоактивные). Последние могут распадаться с образованием более стабильного изотопа и испусканием β-частицы, которая
может быть зафиксирована приборами.
Примеры изотопов:
• H: водород 1H, дейтерий 2D, тритий 3T
• O: 16О, 18О
• С: 12С, 13С, 14С
Природный углерод содержит примерно 99% 12C и 1%
C. Кроме того, при воздействии космических лучей на атмосферный азот образуется радиоактивный углерод 14С. Этот
14
С окисляется до 14СО2 и усваивается растениями, а затем
попадает и в ткани животных. Поскольку период полураспада 14С равен Т = 5668 лет, то между поступлением в организм
13
6
и распадом 14С устанавливается стационарное равновесие,
так что относительная концентрация 14С в живых организмах
равна 10–12 г 14С на 1 г 12С. После смерти организма обмен
между ним и атмосферой прекращается, и доля 14С, содержащегося в его тканях, начинает уменьшаться вследствие
радиоактивного распада. [Макеев, лекция №1]
Задача 1.1.
Свежесрубленная древесина содержит изотоп 14С, распадающийся со скоростью 15,3 атома в минуту в расчете на 1
грамм углерода (это соответствует числу β-частиц, испускаемых изотопом 14С за 1 минуту, измеренному счетчиком
Гейгера). Установлено, что древесина деревьев, засыпанных
пеплом при извержении вулкана Мазама на юге штата Орегон (США), дает 6,9 β-распадов атомов 14С в минуту в расчете на 1 грамм углерода. Когда примерно произошло извержение вулкана? Т1/2=5668 лет.
Решение. 14С образуется от излучения Солнца.
Предположим, что концентрация 14С в свежесрубленной
древесине была одинакова и во время извержения, и в
настоящий момент.
Будем считать, что число радиоактивных распадов за
малый промежуток времени пропорционально числу атомов
14
С в 1 грамме древесины. Переходя к бесконечно малым
величинам (т.е. к производной), получаем:
dN
= −kN , N (0) = N 0
dt
Здесь стоит знак «–», поскольку число атомов 14С
уменьшается. k – константа скорости радиоактивного распада
(потом мы ее оценим), N0 – начальное количество атомов.
Решаем уравнение путем разделения переменных:
dN
N
= −kdt => ln
= − kt => N = N 0 e− kt
N
N0
7
Видно, что число атомов 14С убывает экспоненциально.
Определим константу k из условия, что через время Т1/2
останется половина атомов:
N0
ln 2
− kT
−t T
= N 0 e 1 2 => k =
=> N = N 0 ⋅ 2 1 2
2
T1 2
Задача вроде бы как решена, но вот проблема: в 1 грамме
свежей древесины содержится порядка 1/12 моля атомов 12С,
соответственно 14С в 1012 раз меньше, т.е. порядка 1010
атомов – найти их точное количество весьма затруднительно
по ресурсам и времени. Воспользуемся тем, что число атомов
Δ(t), распадающихся за минуту, очень мало по сравнению с
полным количеством атомов и пропорционально ему:
dN (t )
= kN ( t )
dt
Δ(t ) N (t )
=
Δ0
N0
Δ
N
t x = T1 2 ⋅ log 2 0 = T1 2 ⋅ log 2 0 = 6512 лет
N
Δ
Δ (t ) =
Узнали ли мы дату извержения вулкана с точностью до
года (месяца, дня)? Оценим погрешность нашего результата.
Если время полураспада углерода 14С можно измерить очень
точно, то количество распадов в минуту известно с
погрешностью минимум 0,1 (указана первая значащая
цифра).
σt ≈
x
σΔ
Δ
t x = 94 лет => t x = ( 6,5 ± 0,1) ⋅103 лет
Помимо погрешности измерения числа распадов в
образце, на точность влияют еще несколько факторов
(модельные погрешности):
• Важным предположением, используемым в задаче,
является неизменность солнечной активности и концентрации 14С в атмосфере и древесине в момент из-
8
•
•
вержения вулкана и в наши дни. Для проверки этой
гипотезы используются годовые кольца старых деревьев (например, мамонтовое дерево). Оказалось,
что наше предположение не совсем верно – менялась
солнечная активность, сжигание нефти и газа «разбавляет» современный 14С, проведение ядерных испытаний увеличивает его концентрацию, и т.д. Оценкой снизу применимости радиоуглеродного метода
можно принять T>2000 лет.
Наличие даже незначительных примесей более «свежего» углерода (загрязненность) не позволяет точно
измерить возраст очень старых образцов. Оценкой
сверху применимости радиоуглеродного метода можно принять T<20000 лет.
Разные растения по-разному поглощают 14С, разница
для свежесрубленной древесины может достигать
13% – например, вереск (Северная Африка) –
14,47±0,44, эвкалипт (Австралия) – 16,31±0,43 распадов. Какой состав древней древесины и какое значение поглощения 14С – предмет отдельного исследования, поскольку эти поправки для некоторых
исторических образцов могут составлять до 1000 лет
(мумия в Манчестерском музее).
9
Рис. 1.1. Прямые атмосферные определения содержания 14С с
1950 по 2000 годы
Даже если отвлечься от данных погрешностей, на
временах порядка миллионов лет характерное значение числа
распадов будет меньше в 21000 раз от первоначального, что
принципиально нельзя измерить. Вариантом решения
проблемы является использование изотопов других
элементов, с периодом полураспада порядка миллиарда лет.
Задача 1.2.
Найденные в Восточной Африке скелеты синантропа
были извлечены из вулканического пепла, содержащего
минералы калия. Методом масс-спектрометрии удалось
определить, что 40Ar в пепле составяет 0,078% от общего
количества присутствующего 40K. В данном случае 40Ar
образовался в результате бета-распада 40K, в пепле,
выпавшем при извержении вулкана, а ранее образовавшийся
40
Ar выделился из лавы в процессе извержения. Какой
возраст имеют обнаруженные скелеты? Т1/2=1,3·109 лет.
Решение.
Пусть N – текущее число атомов 40K, N0 – исходное число
атомов 40K, тогда N0–N – число атомов 40Ar.
10
Пусть a = 7,8 ⋅10−4 – доля 40Ar:
N0 − N
N
= a => 0 = 1 + a
N
N
T1 2 ⋅ ln (1 + a )
N
t x = T1 2 ⋅ log 2 0 = T1 2 ⋅ log 2 (1 + a ) =
N
ln 2
Для определения приближенного значения логарифма
разложим функцию в ряд Маклорена (a<<1):
tx =
T1 2 ⋅ ln (1 + a )
ln 2
≈
T1 2 a
ln 2
= 1, 46 ⋅106 лет
Оценим погрешность такого приближения:
tx =
tx =
T1 2 ⋅ ln (1 + a )
ln 2
T1 2 a
ln 2
= 1462323
= 1462893
Как видно, разница составляет менее 0,04%.
По аналогии с предыдущей задачей, оценим погрешность
результата, предполагая значимой последнюю цифру в доле
40
Ar:
0,1
t x = 2 ⋅104 лет, что составляет порядка 1%.
7,8
t x = (1, 46 ± 0, 02 ) ⋅106 лет
σt =
x
Рассмотрим противоположный случай, когда событие
произошло несколько лет, дней или часов назад – например,
для определения момента смерти в криминалистике.
Использование радиоактивных изотопов с таким периодом
полураспада является опасным из-за высокой интенсивности
радиации и бесполезным, поскольку такие вещества в живом
организме в естественных условиях не встречаются. Одним
из решений является подбор веществ, для которых
11
химическая реакция имеет нужный период превращения.
Пример тому – рацемизация аминокислот.
Белки – это одноцепочечные линейные неразветвленные
нерегулярные полимеры, мономерами которых служат аминокислоты 20 видов. Общая структурная формула аминокислот выглядит следующим образом:
H
|
H2N–C–COOH
|
R
Здесь H2N- – аминогруппа, -COOH – карбоксильная
группа, R- – боковая цепь, различная для разных аминокислот.
Относительно центрального атома аминокислота может
образовывать два оптических изомера, которые нельзя
перевести друг в друга вращением вокруг какой-либо оси
(только разорвав одну из связей). При прохождении
плоскополяризованного света через чистый раствор изомера
плоскость поляризации будет вращаться против или по
часовой стрелке, соответственно различают L и D
конформации аминокислот. Переход аминокислот из одной
конформации в другую без помощи ферментов называется
рацемизацией.
Исходно
организм
имеет
преимущественно
Lаминокислоты
(биологическая
дискриминация
Dаминокислот). Если организм гибнет, то начнется реакция
L⇔D, которая с некоторой константой скорости стремится к
равновесию, в котором поровну каждого из изомеров.
Что же общего между радиоактивным распадом и
рацемизацией аминокислот? И тот, и другой процесс идут по
кинетике химических реакций первого порядка, когда число
актов реакции пропорционально существующему количеству
(концентрации) вещества.
12
Реакция первого порядка: A → P (один реагент), размерность константы – обратное время (например, сек-1). Основной признак такой реакции – время полупревращения не зависит от начальной концентрации реагента.
−
d [ A] d [ P]
=
= k[ A]
dt
dt
Реакция второго порядка: A + B → P (два реагента), размерность константы – M-1c-1, M = моль/л. Константа скорости
определяется частотой встреч (соударений) и долей эффективных соударений, время полупревращения зависит от исходных концентраций реагентов.
−
d [ A]
d [ B] d [ P]
=−
=
= k[ A][ B]
dt
dt
dt
Если 2 молекулы одного типа реагируют между собой
(2A → P), запись будет немного другой:
−
1 d [ A] d [ P]
=
= k[ A]2
2 dt
dt
Примером реакции второго порядка является распространение эпидемии: A* + A → 2A*.
Константа скорости химической реакции, а значит, и
скорость
выравнивания
концентраций
аминокислот,
существенно зависит от температуры (и эту зависимость
можно измерить или рассчитать). Если температура большую
часть времени оставалась постоянной, по концентрации Dаминокислот можно определить время гибели организма.
Зависимость
константы
скорости
реакции
от
температуры в первом приближении можно описать
следующим правилом: при повышении (понижении)
температуры на 10 градусов константа скорости
увеличивается (уменьшается) в 2-4 раза.
Это правило является частным случаем закона
13
Аррениуса:
⎛ E ⎞
k = A exp ⎜ − a ⎟
⎝ RT ⎠
Здесь k – константа скорости, A – предэкспоненциальный
множитель, Ea – энергия активации в Дж/моль, R – универсальная газовая постоянная, T – температура, выраженная в
кельвинах.
Задача 1.3.
Определение возраста образца при помощи химического
анализа основано на том, что в мертвом организме происходит рацемизация L-аспарагиновой кислоты. Этот процесс является обратимой реакцией первого порядка с константами
скорости прямой и обратной реакции k = (1,48 ± 0,09)·10-5
лет–1. Рассчитать возраст образца биологического происхождения, отобранного из останков замерзшего мамонта, у которого измеренное отношение D- и L-изомеров аспарагиновой
кислоты равно 0,72, если у современного образца это соотношение равно 0,07.
Решение.
Запишем химические уравнения, в результате которых
изомеры переходят друг в друга:
k
⎯⎯
→D Ù
L ←⎯
⎯
k
k
L→D
k
D→L
Учитывая закон действующих масс для скорости каждой
реакции, получаем систему дифференциальных уравнений:
⎧ dL
⎪⎪ dt = − kL + kD
⎨
⎪ dD = kL − kD
⎪⎩ dt
L ( 0 ) = L0
D ( 0 ) = D0
Вычтем из первого уравнения второе:
14
d ( L − D)
= −2kL + 2kD = −2k ( L − D )
dt
Сделав замену:
y = L − D , получаем
знакомое
уравнение:
dy
= −2ky , y ( 0 ) = L0 − D0
dt
Его решение:
y = y0 e−2 kt
=>
L − D = ( L0 − D0 ) e−2 kt
Сложим исходные уравнения:
d ( L + D)
=0
dt
=>
L + D = const = L0 + D0
Перед нами уравнение материального баланса (смысл:
общее число аминокислот в процессе реакции не меняется).
Решение системы алгебраических уравнений:
L0 + D0 L0 − D0 −2 kt
+
e
2
2
L + D0 L0 − D0 −2 kt
D (t ) = 0
−
e
2
2
L (t ) =
Введем величину a, обозначающую отношение D- и Lизомеров аспарагиновой кислоты:
D ( t ) L0 + D0 − ( L0 − D0 ) e −2 kt 1 + a0 − (1 − a0 ) e −2 kt
a=
=
=
L ( t ) L0 + D0 + ( L0 − D0 ) e −2 kt 1 + a0 + (1 − a0 ) e −2 kt
Здесь a – соотношение изомеров в измеряемом образце,
a0 – соотношение изомеров в современном образце
(предполагается, что у мамонта при жизни был такой же).
T=
1 ⎛ 1 − a0 1 + a ⎞
3
ln ⎜
⎟ = ( 56 ± 3) ⋅10 лет
2k ⎝ 1 + a0 1 − a ⎠
Равновесие в химической реакции характеризуется тем,
что скорость прямой реакции равна скорости обратной
15
реакции. Например, в реакции
⎯⎯
→D
L ←⎯
⎯
k1
k2
равновесия достигается при k1 L = k2 D . Пусть исходные
концентрации были L0 и D0, и в процессе реакции из L в D
перешло x молекул (число x может быть отрицательным):
k1 ( L0 − x ) = k2 ( D0 + x )
x=
k1 L0 − k2 D0
k1 + k2
Равновесные концентрации:
Le = L0 − x =
k2 ( L0 + D0 )
k1 + k2
De = D0 + x =
k1 ( L0 + D0 )
k1 + k2
Другие процессы:
• L-аспарагиновая кислота в белках дентина (костная
ткань) – скорость рацемизации 0,1% в год (k = 10-3
год-1). Используется для определения возраста по зубам, погрешность не более 2%. При образовании зубов есть только L-изомер, далее из-за минерализации
тканей обмена не происходит.
• D-аспартат в белках хрусталика – скорость рацемизации 0,14% в год.
Задание на дом.
1. Опишите роль каждого из химических элементов в
живом организме.
2. Приведите примеры металлосодержащих ферментов.
3. Методы
разделения
изотопов.
Биологическая
дискриминация изотопов.
16
4. Какие еще методы датирования вам известны? В чем
их достоинства и недостатки, в каких временных
интервалах они работают?
5. Истинный
возраст
биологического
образца
составляет 80 тыс. лет. Первую половину этого
времени образец находился при температуре 34 оС, а
вторую – при 24 оС. Экспериментатор этого не знает
и, предполагая, что образец все время находился при
24 оС, определяет его возраст по скорости
рацемизации L-изолейцина. Константа рацемизации
увеличивается вдвое при повышении температуры на
10 градусов. Рассчитайте кажущийся возраст образца,
который будет установлен экспериментатором.
6. Студент определяет возраст двух биологических
образцов по скорости рацемизации аминокислот. Ему
неизвестно, что его друзья над ним пошутили, и
первый образец первую половину времени находился
при температуре 34 оС, а вторую – при 24 оС, а для
второго образца наоборот – 24 оС и 34 оС
соответственно.
Для
которого
из
образцов
измеренный возраст окажется больше, если истинные
возраста образцов одинаковы?
7. При температуре 41оС константы разрыва и
воссоединения пары A-Т в молекуле ДНК составляют
150 с-1 и 30 с-1, а пары С-G – 100 с-1 и 25 с-1 соответственно. Какую долю будут составлять
неспаренные основания в молекуле ДНК с
соотношением (A+T)/(C+G) = 1,3 при этой
температуре?
17
Семинар № 2. Кинетика
организме человека
процессов
в
На прошлом семинаре мы рассмотрели некоторые
процессы, в которых концентрация частиц убывает по
экспоненте. Пользуясь тем, что время полупревращения не
зависит от исходной концентрации, мы использовали эту
особенность для определения возраста образцов и
промежутков времени. Оказывается, эта модель в первом
приближении характерна и для других процессов в живом
организме, например, дыхания и пищеварения. Общее для
них – кинетика реакций 1-го порядка.
Реакция первого порядка: A → P (один реагент), размерность константы – обратное время (например, сек-1). Основные признаки такой реакции – время полупревращения не
зависит от начальной концентрации реагента и количество
прореагировавшего вещества пропорционально текущей
концентрации.
−
d [ A] d [ P]
=
= k[ A]
dt
dt
Решение дифференциального уравнения:
Для реагента: [ A] = [ A]0 e − kt = [ A]0 2
(
)
−t T1 2
(
Для продукта: [ P ] = [ P ]0 1 − e − kt = [ P ]0 1 − 2
−t T1 2
)
Время изменения концентрации:
t x = T1 2 log 2
[ A]0
[ A] x
=
1 [ A]0
ln
k [ A]x
В координатах ln[A] от t зависимость имеет линейный
вид:
ln [ A] = ln [ A]0 − kt
Имея некоторое количество экспериментальных (статистических) данных, можно с помощью метода наименьших
18
квадратов определить значения параметров [A]0 и k.
Кинетика дыхания
Одним из самых привычных явлений для любого
человека является процесс дыхания. В то же время мало кто
из школьников задумывается, зачем это надо организму и как
реализуется транспорт и хранение кислорода на
молекулярном уровне. Для лучшего понимания ответим на
следующие вопросы:
Почему человеку надо дышать?
При дыхании в организм поступает молекулярный
кислород (O2), который используется для окисления
различных органических веществ. Этот процесс происходит
в цикле Кребса (цикл трикарбоновых кислот), реакции
проходят внутри митохондрий.
Продуктом окисления является углекислый газ CO2,
который в процессе дыхания удаляется из организма.
Всем ли организмам надо дышать кислородом?
Организмы, использующие кислород, называются
аэробными.
Однако
существует
множество
видов
организмов, для которых кислород токсичен – они
называются анаэробными. В частности, к ним относятся
многие прокариоты и архебактерии. Анаэробный механизм
унаследовали и животные, однако участие кислорода
значительно повышает эффективность энергетических
процессов и количество образовавшегося АТФ.
Есть также организмы, для которых наличие или
отсутствие
кислорода
безразлично
(факультативные
анаэробы).
Как кислород попадает в клетку?
Разные виды животных могут использовать разные
механизмы для захвата кислорода из окружающего воздуха.
У человека для этого есть легкие. Легкие содержат
множество альвеол – пузырьков, обильно омываемых
19
кровью, при этом происходит активный газообмен. Кровь
содержит
множество
эритроцитов
–
высокоспециализированных клеток, в которых отсутствует
ядро и многие органеллы. В мембране эритроцитов
содержится
белок
гемоглобин,
который
связывает
молекулярный кислород и позволяет транспортировать его в
другие органы. Там кислород освобождается и проникает в
клетку. Гемоглобин, в свою очередь, связывает углекислый
газ и транспортирует его в легкие.
Как кислород хранится в клетке?
Кислород – очень активный реагент, и просто
накапливать его в клетке было бы опасным. Для его
связывания и хранения служит белок миоглобин, по своей
структуре очень похожий на субъединицу гемоглобина.
Если быть точным, то и в крови, и в клетке присутствует
растворенный в жидкости кислород, в четко определенной
концентрации. Он находится в химическом равновесии с
кислородом,
связанным
белками-переносчиками.
Расходуется внутри клетки именно свободный кислород, по
мере уменьшения его концентрации из миоглобина выходит
связанный там кислород. То же самое касается углекислого
газа. Эти реакции более сложные, чем рассмотренные ранее,
мы их изучим на следующих семинарах.
Какая роль большого и малого кругов кровообращения?
Через большой круг кровообращения кислород и
питательные вещества доставляются к другим органам тела –
мышцам, мозгу и т.д. Кровь в большой круг выталкивает
левый желудочек сердца (больший по размеру). Выходящие
по направлению сосуды называются артерии, входящие –
вены.
Через малый круг кровь поступает к легким, где
обогащается кислородом.
Само сердце получает кислород и питательные вещества
через специальную коронарную артерию.
20
Что выгодней – дышать глубже или чаще?
На этот вопрос интуитивно очевидный ответ отсутствует,
поэтому попробуем оформить его в виде задачи.
Задача 2.1. Скорость дыхания
Скорость
поступления
кислорода
в
кровь
пропорциональна его концентрации в легких. В спокойном
состоянии человек делает 16 вдохов в минуту. При этом
концентрация кислорода во вдыхаемом воздухе составляет
21%, а в выдыхаемом – 16%. Как изменится скорость
поступления кислорода в кровь, если человек начнет дышать
в 2 раза чаще, тогда как глубина вдоха, составляющая 0,5 л, и
скорость кровообращения не изменятся?
Решение.
Рассмотрим достаточно грубое приближение, когда
будем считать, что человек вдыхает и выдыхает воздух
мгновенно на весь объем легких, т.е. в легкие через
регулярные интервалы мгновенно поступает свежий воздух,
и кислород начинает переходить в кровь. Реакция:
О2 легкие → О2 кровь
Пусть [O2] – текущая концентрация кислорода в легких,
[O2]0 – концентрация кислорода в легких в момент вдоха.
Поскольку скорость поступления кислорода в кровь
пропорциональна его концентрации в легких, процесс
описывается кинетикой реакций первого порядка:
d [O2 ]
dt
= − kt
Решение мы уже знаем из предыдущих примеров:
[O2 ] ( t ) = [O2 ]0 e− kt
Оценим значение константы k из концентраций
вдыхаемого и выдыхаемого воздуха. Пусть T = 1/16 мин –
время между вдохом и выдохом в спокойном состоянии,
тогда:
21
16% = 21% ⋅ e − kT
1 21%
k = ln
= 4,35 мин-1
T 16%
Отметим, что константа имеет размерность обратного
времени (за время 1/k концентрация меняется в e раз). Если
мы от минут перейдем к другим единицам времени,
например, секундам или часам, значение константы
изменится.
При учащенном дыхании, когда период между вдохом и
выдохом уменьшается в 2 раза, концентрация кислорода в
конце выдоха составит:
⎛ kT
21% ⋅ exp ⎜ −
⎝ 2
⎞
⎛ 4,35 ⎞
⎟ = 21% ⋅ exp ⎜ −
⎟ = 18,3%
⎠
⎝ 2 ⋅16 ⎠
Видно, что в результате учащения дыхания почти в 2 раза
падает количество кислорода, которое переходит в кровь за
один вздох. Если бы падение было ровно в 2 раза, выигрыша
не было бы вообще, а так оценим полученное «почти».
Скорость поступления кислорода в кровь при
нормальном дыхании:
16 мин −1 500 мл
21% − 16%
= 400 мл / мин
100%
При учащенном:
32 мин −1 500 мл
21% − 18,3%
≈ 427 мл / мин
100%
Результат получается нетривиальный: при увеличении
частоты дыхания на 100% выигрыш в потреблении
кислорода составляет всего около 7%. В то же время
скорость поступления кислорода в кровь прямо
пропорциональна объему вдоха, т.е. с увеличением объема
вдоха в 2 раза получим такое же повышение потребления
кислорода.
Напомним упрощения, при которых решалась эта задача:
22
•
Вдох и выдох идут на весь объем легких. В
реальности человек вдыхает и выдыхает лишь часть
объема легких (так называемый дыхательный объем).
При вдохе воздух, оставшийся в легких и бедный
кислородом,
перемешивается
с
воздухом,
поступающим в легкие, поэтому концентрация
кислорода в 21% в легких не достигается.
• Вдох и выдох происходят мгновенно, моменты
выдоха и вдоха совмещены. В реальности объем в
процессе вдоха и выдоха меняется примерно
линейно, при этом продолжительности вдоха и
выдоха могут отличаться.
Учащенное дыхание, как правило, возникает при
физических
нагрузках,
при
которых
возрастают
энергозатраты организма, частота сокращений сердца,
газовый состав крови, объем вдыхаемого воздуха и т.д.
Организм целиком переходит в новый режим, связанный с
повышенным расходованием энергии.
Некоторые определения:
• Дыхательный объём – количество воздуха, которое
человек вдыхает и выдыхает (за один цикл вдохавыдоха) при спокойном дыхании
• Жизненная ёмкость лёгких – наибольшее количество воздуха, которое можно выдохнуть после максимального вдоха. ЖЕЛ (л) = 2,5 · рост (м) – для молодых людей
• Функциональная остаточная ёмкость – количество
воздуха, остающееся в лёгких после спокойного выдоха
Графически
схему
объемов
можно
изобразить
следующим образом:
23
Рис. 2.1. Дыхательные объемы легких, по «Физиологии
человека» под редакцией Шмидта и Тевса.
С возрастом частота дыхания уменьшается: от 55 циклов
в минуту у младенцев до примерно 20 циклов в минуту у
взрослых. Дыхательный объем, напротив, практически
линейно растет: от 30 мл у новорожденных до 500 мл у
взрослого человека 1 . Именно поэтому при осуществлении
искусственного дыхания маленькому ребенку достаточно
того воздуха, который во рту взрослого.
Желающие студенты могут попробовать решить дома
более сложную, научно-исследовательскую задачу, которая
учитывает эти поправки:
1
Безруких М.М., Сонькин В.Д., Фарбер Д.А., Возрастная физиология (физиология развития ребенка) - М: Из-во "Академия", 2008 г.,
416 стр.
24
Задача 2.2* Скорость дыхания с изменением объема
легких
Скорость поступления кислорода в кровь пропорциональна его концентрации в легких. В спокойном состоянии
человек делает 16 вдохов и выдохов в минуту. При этом концентрация кислорода во вдыхаемом воздухе составляет 21%,
константа скорости перехода кислорода в кровь равна 4,35
мин-1, глубина вдоха – 0,5 л, объем воздуха в легких после
выдоха – 2,5 л. Человек дышит непрерывно, т.е. паузы между
вдохом и выдохом нет, концентрация кислорода в легких в
начале вдоха равна концентрации в конце выдоха, скорости
вдоха и выдоха одинаковы и постоянны. Как изменится скорость поступления кислорода в кровь, если человек начнет
дышать в 2 раза чаще, тогда как глубина вдоха и скорость
кровообращения не изменятся?
Интересные факты о дыхании:
• как показывает опыт авторов, за 2-3 недели средний
человек может натренироваться дышать с частотой
всего 1,0-1,5 вдоха в минуту;
• мировой рекорд задержки дыхания под водой – 10
минут 4 секунды, рекорд погружения с задержкой
дыхания – 135 метров;
• при остановке дыхания при клинической смерти необратимая деградация начинается примерно через 5-6
минут (в зависимости от температуры);
• при глубокой гипоксии (недостатке кислорода)
кровоснабжение
мозга
у
праворуких
перераспределяется в пользу правого полушария.
• кашалоты могут задерживать дыхание почти до 2
часов, практически до нулевой концентрации
кислорода в легких.
• человек не может дышать чистым кислородом – через
какое-то время наступает отравление (гипероксия).
25
Кинетика пищеварения
Как указывалось выше, кинетику реакций первого
порядка можно применить и для такого процесса, как
пищеварение, а точнее – переход молекул из пищевого
тракта в кровь. В силу особенностей российского
менталитета предлагаю рассмотреть это явление на примере
алкоголя (этилового спирта).
Прежде чем перейти к решению задач, ответим на
некоторые теоретические вопросы.
Что такое алкоголь?
Под алкоголем понимают этиловый спирт CH3–CH2OH.
Все остальные спирты в той или иной мере являются
токсичными (особенно метанол – CH3OH). Как правило,
спирты получают в процессе брожения, используя
специальные микроорганизмы.
Различные спирты можно также использовать в виде
биотоплива.
Что происходит с алкоголем после его употребления?
Алкоголь всасывается в желудочно-кишечном тракте,
попадает в кровь и затем в другие органы. В печени происходят реакции окисления этанола в уксусный альдегид, затем в
уксусную кислоту и ацетаты (сложные эфиры или соли уксусной кислоты):
C2H5OH → CH3-COH → CH3-COOH → ацетаты
Превращения этанола катализируют два фермента:
• Алкогольдегидрогеназа (АДГ) – работает в клетках
печени (гепатоцитах), катализирует окисление спиртов до альдегидов или кетонов.
• Альдегиддегидрогеназа (АлДГ) – работает в клетках
печени, катализирует окисление альдегидов до уксусной кислоты.
Какие
алкоголь?
психофизиологические
26
состояния
вызывает
Этанол воздействует на многие системы организма.
Среди основных последствий приема этанола можно
выделить усиленную выработку в гипоталамусе эндорфинов
(гормонов удовольствия), повышение уровня сахара в крови,
повышение проницаемости клеточных мембран для разных
веществ.
Концентрация этанола в крови обычно меряется в граммах на литр (‰ – промилле). Психофизиологический эффект
существенно зависит от концентрации:
• 0,5-1,0 ‰ – наблюдается чувство эйфории,
• 1,0-1,5 ‰ – расстройство координации движений от
слабого до среднего,
• 1,5-2,0 ‰ – полное отсутствие координации движений и невнятность речи,
• 2,0-2,5 ‰ – потеря памяти,
• более 2,5 ‰ – индуцированный сон или потеря сознания.
Смертельная концентрация этанола в крови весьма индивидуальна и составляет 5-8 ‰ (для славянских народов в
среднем немного выше). Смертельная разовая доза – 4-12 г/кг
веса (300-500 мл 96° этанола).
Задача 2.3. Вечеринка с коктейлями
На протяжении 3-х часовой вечеринки мужчина выпил
через равные промежутки времени 10 коктейлей, каждый из
которых в объеме 150 мл содержал 10 г этанола. Всасывание
этанола в кровь происходит пропорционально его
концентрации в кишечно-желудочном тракте [A] с константой скорости k = 10 ч-1. Выведение этанола из организма
происходит
путем
ферментативного
окисления
до
ацетальдегида (и в конце концов до уксусной кислоты в
печени) с постоянной скоростью 0,192 г/(л·ч). Какая
концентрация алкоголя в крови будет достигнута при таком
режиме потребления коктейлей к концу вечеринки, если
после всасывания этанола в кровь он распределяется
27
равномерно во внутренних жидкостях тела, объем которых
40 л (кровь составляет только 5 л)? Каковы будут его
качественные физиологические и психические реакции?
Решение.
Раз коктейлей было 10, то промежутков между ними
было 9. Соответственно промежуток времени между
коктейлями: Т = 3·60/9 = 20 мин.
Для удобства переведем константу скорости всасывания
этанола из ч-1 в мин-1:
k = 10 ч-1 = 10/60 мин-1 = 1/6 мин-1.
Поскольку этанол переходит из желудочно-кишечного
тракта в кровь, то этанол в крови является продуктом этой
реакции. Для него известно решение:
[ A] = [ A]0 (1 − e− kT ) = [ A]0 (1 − e−20 / 6 ) ≈ 0, 95 [ A]0
Как мы видим, за 20 мин всасывается 95% этанола,
поэтому можно считать, что перед принятием каждого
следующего коктейля предыдущий коктейль полностью
всасывается. К моменту окончания вечеринки в кровь уже
поступило 9 · 10 г = 90 г этанола и еще 10 г находятся в
желудке, а вывелось из организма только 0,192·3 = 0,576 г/л.
Следовательно, концентрация этанола в крови в этот момент
составляет 90/40 – 0,576 ~ 1.67 г/л. Еще через 0,5 часа, когда
всосется последний коктейль, концентрация этанола в крови
будет 1,67 + 10/40 – 0,192·0,5 = 1,82 г/л.
Как мы видим из таблицы выше, обе концентрации
соответствуют состоянию полного отсутствия координации
движений и невнятности речи.
Почему алкоголь вызывает зависимость?
Алкоголь не является посторонним для организма
веществом (ксенобиотиком) – в небольших количествах его
производит сам организм для последующей выработки
эндорфинов.
Когда человек употребляет значительные дозы алкоголя,
в клетках печени значительно увеличивается концентрация и
28
активность фермента алкогольдегидрогеназы, разлагающего
этанол. Это надолго снижает естественную концентрацию
этанола, что приводит к пониженной концентрации эндорфинов, как следствие – плохому настроению и потребности в
новой порции алкоголя – сначала психологической, а потом и
физиологической (алкогоколизму).
Что такое похмелье?
Алкоголь в печени окисляется до альдегида, который
является достаточно токсичным веществом. В отличие от
алкогольдегидрогеназы, фермент альдегиддегидрогеназа
свою активность увеличивает медленно – как следствие, при
употреблении большой дозы алкоголя через какое-то время в
кровь попадет большое количество токсичного альдегида,
что и вызывает симптомы отравления (похмелья).
Некачественная алкогольная продукция может содержать
сивушные масла и примеси метанола, которые существенно
усугубляют ситуацию.
Какие негативные последствия вызывает чрезмерное
употребление алкоголя?
Перечислим последствия:
• Избыток ацетатов способствует отложению жира в
гепатоцитах, что ведет к развитию жировой дистрофии печени.
• Понижение потенции, ухудшение качества половых
клеток, повышает вероятность выкидышей и уродств
у вынашиваемого ребенка.
• Создает иллюзию тепла, но благоприятствует обморожению из-за утраты контроля. Почти 90% обморожений со смертельным исходом происходит в состояний алкогольного опьянения. Кроме того, этанол
не подходит для «согревания» пострадавшего (лучше
напоить тёплым чаем) или растирания кожи (для дезинфекции лучше наложить повязку).
• Аналогично, алкоголь не помогает при простуде, ан-
29
•
гине, гриппе и т.д. – лечебный эффект, как правило,
связан с растворенными в спирте веществами (настойки на спирту). В тоже время концентрированный
спирт может вызвать чувство жжения в воспаленных
тканях горла. Про взаимодействие алкоголя с лекарствами читайте ниже.
Цирроз печени — это изменение строения печени,
при котором нормальные печеночные клетки замещаются на соединительную ткань, что нарушает работу печени и усиливает отравление токсинами. Вылечить цирроз невозможно, только на ранних стадиях
заболевания есть шанс его притормозить строгой
диетой. В запущенных случаях потребуется трансплантация органа.
Почему врачи рекомендуют не мешать алкоголь с
лекарствами?
Перечислим
основные
механизмы
негативного
взаимодействия лекарств с алкоголем:
• Лекарство блокирует алкогольдегидрогеназу и окисление этанола – снижение устойчивости к алкоголю
(анальгин)
• Лекарство блокирует альдегиддегидрогеназу – тяжелое отравление альдегидами (метронидазол, антидиабетические препараты, некоторые антибиотики,
сулфиламидные препараты).
• С клофелином – полная потеря памяти (механизм неясен) – добавляют в рюмку человеку, которого хотят
обокрасть.
• Кофеин – повышает проникновение спирта из крови в
мозг, после короткого отрезвления возвращается и
усиливается опьянение.
• Спирты повышают проницаемость клеточных мембран – значительно усиливается действие лекарств, в
результате чего может произойти передозировка с
30
•
•
•
тяжелым отравлением или смертью (снотворное, антидепресанты, таблетки от головной боли, поливитамины).
Спирт очень калориен, вызывает резкое повышение, а
потом резкое понижение концентрации сахара в крови – это вдвойне опасно для диабетиков.
Спирт вызывает повышение уровня адреналина в крови. Если его принять вместе с лекарствами, ингибирующими моноаминоксидазу, разрушающую адреналин, это может вызвать опасное учащение работы
сердца, спазмы сосудов с повышением артериального
давления.
Этанол
усиливает
токсическое
действие
парацетамола на печень (лекарство не назначается
больным алкоголизмом).
Мораль: алкоголь и лекарства несовместимы!
Интересные факты:
• 1-5% алкоголя всасываются во рту, около 20% – в
желудке, остальное – в кишечнике.
• Крепкие (свыше 30%) алкогольные напитки
обезвоживают и дубят слизистую желудка (уменьшая
её проницаемость), вызывают преходящий паралич
моторики желудка и замедляют эвакуацию
содержимого в кишечник. Если после этого выпить
жидкость, которая уменьшит концентрацию (воду,
вино, пиво, шампанское и т.д.) – всасывание
возобновляется и быстро наступает опьянение.
• Пузырьки углекислого газа (газированная вода,
шампанское) раздражают стенку желудка, ускоряя
всасывание.
• Спирт растворяется в жирах, поэтому при
потреблении алкоголя с обильной жирной закуской
его всасывание замедляется.
31
•
При дезинфекции нельзя использовать чистый спирт,
так как он не убивает бактерий, а лишь делает
непроницаемой их мембрану (по стандарту – 70%).
Задание на дом
1. Рассчитать для своей массы тела допустимую дозу
употребления этанола (при которой еще не наблюдается нарушение координации движений).
2. Через какое время после однократного употребления
алкоголя его концентрация в крови достигает максимума?
3. Через какое время после однократного употребления
100 грамм водки (40 грамм этанола) можно садиться за руль
автомобиля (разрешенная концентрация менее 0,3‰)? А после 1 литра 4% пива?
4. Теория запоя: какое максимально допустимое количество этанола должен каждые 20 минут выпивать пьяница,
чтобы чувствовать эйфорию, но не иметь нарушения координации движений?
5. Решить задачу 2.2*.
6. Студент ложится спать в непроветриваемой комнате с
объемом воздуха 20 м3. Известно, что в нормальных условиях, когда в комнату поступает свежий воздух (21% O2), частота дыхания равна 16 вдохов в минуту. Скорость поступления кислорода в кровь пропорциональна его концентрации в
легких. Оцените, какова будет частота дыхания спящего студента через 10 часов, если глубину вдоха (0,5 л) и потребление кислорода (400 мл/мин) принять неизменными? Почему в
комнате становится душно, даже если концентрация кислорода еще вполне достаточна для дыхания?
32
Семинар № 3. Биологические молекулы.
Вода и ее роль в биологии
Вода – основа жизни. Ее простая химическая формула –
H2O – не может передать все ее свойства, сделавшие ее самой
распространенной молекулой в живом организме.
Молекулярный вес – 18,01528 а.е.м. ≈ 18 г/моль,
Атомная единица массы (а.е.м.) – величина, используемая
для измерения масс молекул. В качестве эталона берут атом
углерода 12С, у которого молекулярный вес 12 а.е.м. ровно.
Для большего удобства молекулярный вес записывают в
граммах в расчете на 1 моль молекул – в нем содержится
число молекул, равное числу Авогадро: NA = 6,022·1023. Запомните: а.е.м. = грамм / NA
Для перехода в единицы СИ надо граммы перевести в
килограммы: M (H 2 O) = 18 ⋅10−3 кг/моль
Плотность – 998,2 кг/м3 (при 20 0С)
При решении задач обычно используют значение 1000
кг/м3. В единицах СГС значение плотности запомнить еще
проще: 1 г/см3.
При проведении научных исследований плотность
веществ надо указывать точно, чтобы не вносить в результат
лишнюю погрешность. Отметим, что при изменении
температуры вода достаточно сильно меняет свои плотность
и объем, максимальная плотность – при 4 0С.
При решении некоторых задач нужна плотность льда, она
составляет около 900 кг/м3 (легче воды, что весьма нехарактерно).
Температура кипения – 100 0С, замерзания – 0 0С (при
давлении 1 атм)
Необходимо ответить, что эти значения являются точными, т.е. температуры замерзания и кипения воды при дав-
33
лении 1 атм являются реперными для температурной шкалы
Цельсия.
Для перевода температуры в абсолютную шкалу
Кельвина необходимо прибавить 273,17. Таким образом,
температура замерзания – 273,17 К, температура кипения –
373,17 К. При решении задач абсолютные значения
температуры надо подставлять по шкале Кельвина.
Теплоемкость – 4,18 Дж/г0С = 1 кал/г0С
Как и в предыдущем случае, значение теплоемкости воды
в 1 кал/г0С является точным – это определение калории как
единицы. Для перевода величины энергии из калорий в
джоули ее необходимо умножить на 4,18.
Вместо 0С часто пишут К, что обозначает кельвины. Одной из распространенных ошибок студентов является то, что
они путают приставку к в килоджоулях и сокращают ее с
кельвинами:
C = 4,18
кДж
ккал
=1
кг ⋅ К
кг ⋅ К
При решении задач килоджоули надо обязательно
перевести в джоули, перед тем как подставлять в различные
формулы.
Значение теплоемкости 4,18 Дж/гК является аномально
высоким для жидкостей – как следствие при изменении
условий внешней среды изменение температуры организма
или водной среды идет достаточно медленно, и организм
успевает среагировать. Благодаря этому вода является
хорошим термостатом и средой для обитания живых
организмов.
Для сравнения приведем теплоемкость для водяного
пара: при комнатной температуре она равна 3R, где R = 8,31
Дж/мольК – универсальная газовая постоянная. В переводе в
обычные единицы это порядка 25 Дж/мольК или 1,38 Дж/гК.
Учитывая, что 1 моль газа при нормальных условиях
занимает 22,4 л, объемная теплоемкость пара на 3 порядка
34
меньше, чем у жидкости.
Теплота испарения – 2,26 кДж/г
В расчете на 1 моль теплота испарения составляет около
44 кДж/моль (при комнатной температуре T = 298 К).
Значение теплоты испарения воды является аномально
высоким для жидкостей (по сравнению с обычными 8-12
кДж/моль), благодаря чему вода служит хорошей защитой от
перегрева (выделение пота у человека, учащенное дыхание у
собак и т.д.).
Молекула воды является электрическим диполем
Рис. 3.1
Рис. 3.2
Молекула воды является нелинейной – угол HOH
составляет 104,450 (см. рис. 3.1). Поскольку атом кислорода
имеет отрицательный заряд, а атомы водорода –
положительный заряд, они оказываются разнесены в
пространстве и молекула является электрическим диполем.
Как следствие, такой диполь может взаимодействовать с
электрическими зарядами (например, ионами металлов) и
другими диполями (например, молекулами воды).
В первом случае наблюдается гидратация ионов, когда
вокруг такого заряда возникает «шуба» из определенным образом ориентированных молекул воды. Иногда энергия этих
связей даже превышает энергию, необходимую для разрыва
связей в молекулах (растворение NaCl), вследствие чего при
35
их растворении теплота выделяется. Поскольку такие взаимодействия энергетически выгодны, подобные вещества или
группы называют гидрофильными.
Во втором случае молекулы воды образуют связи друг с
другом (рис. 3.2). Такие связи называют водородными, их
характерная величина энергии составляет 18,8 кДж/моль
(сравните с величиной ковалентной связи O–H – 460
кДж/моль). Водородные связи вследствие их слабости с
большой скоростью образуются и распадаются, среднее время «жизни» связи – порядка 1,5·10-9 сек. Каждая молекула
воды может образовать максимум 4 водородные связи (2 на
атом кислорода и по 1 на каждый атом водорода), однако в
среднем образует 3,4 связи на молекулу.
Если в такую структуру воды ввести вещества, которые
не образуют водородные связи, энергетическое состояние
окажется менее выгодным. Наоборот, любое движение молекул вещества, которое уменьшает площадь соприкосновения
с водой и увеличивает число водородных связей между молекулами воды, будет энергетически выгодным. Через некоторое время молекулы соберутся в шарики (жиры), мицеллы
(детергенты) или образуют бислойную структуру мембраны
(липиды). Такие вещества или группы, нарушающие структуру водородных связей в воде, называются гидрофобными.
Вода частично диссоциирует: H20 → H+ + OH– ,
Для измерения кислотности среды вводят функцию:
pH = – lg [H+]
Для чистой воды принимают pH = 7 (т.е. [H+] = 10-7).
Если в воду добавить вещества, которые являются донорами
или акцепторами H+, то pH раствора изменится.
Что же служит причиной того, что вода имеет аномально
высокую удельную теплоту парообразования? Чтобы понять
это, давайте решим следующую задачу.
36
Задача 3.1.
Рассчитайте, какое количество энергии необходимо для
разрыва всех водородных связей в 1 литре воды при
комнатной температуре.
Решение.
Одна молекула воды может потенциально установить 4
водородных связи, однако в среднем образует около 3,4
водородных связи.
Eсвязи = 18,8 кДж/моль
1литр ≈ 55 моль (в литре 1000 грамм, молярная масса 18
г/моль)
Всего: 55 *18,8 * 3,4 / 2 = 1750 кДж/литр (делим на 2,
поскольку каждая связь образуется между 2 молекулами и
считалась дважды).
На 1 моль: 32 кДж/моль
Табличное значение теплоты парообразования: 42
кДж/моль. E = 10 кДж/моль – примерная энергия
парообразования неассоциированных жидкостей (реально
8 ÷ 12 кДж/моль).
Свойства белков
Повторим теорию с семинара №1:
Белки – это одноцепочечные линейные неразветвленные
нерегулярные полимеры, мономерами которых служат аминокислоты 20 видов. Общая структурная формула аминокислот выглядит следующим образом:
H
|
H2N–C–COOH
|
R
Здесь H2N- – аминогруппа, -COOH – карбоксильная
группа, R- – боковая цепь, различная для разных аминокислот.
37
Относительно центрального атома аминокислота может
образовывать два оптических изомера, которые нельзя
перевести друг в друга вращением вокруг какой-либо оси
(только разорвав одну из связей). При прохождении
плоскополяризованного света через чистый раствор изомера
плоскость поляризации будет вращаться против или по
часовой стрелке, соответственно различают L и D
конформации аминокислот. Переход аминокислот из одной
конформации в другую без помощи ферментов называется
рацемизацией.
Исходно организм имеет только L-аминокислоты (биологическая дискриминация D-аминокислот). Если организм
гибнет, то начнется реакция L ⇔ D , которая с некоторой
константой скорости стремится к равновесию, в котором поровну каждого из изомеров.
Массу белков и других биологических молекул
традиционно измеряют в дальтонах. По определению, 1 Да =
1,6605·10-24 г. Если мы эту величину умножим на число
Авагадро NA = 6,02·1023, то получим 1 грамм. Таким образом,
масса отдельной молекулы в дальтонах численно равна
молярной массе молекулы.
Разные аминокислоты имеют разную массу, в среднем
она равна около 110 Да. Именно это значение можно
использовать при решении задач на синтез белков в клетке.
Между двумя аминокислотами, у одной из которых есть
свободная карбоксильная группа, а у другой – аминогруппа,
может образоваться пептидная связь:
Рис. 3.3. Схема образования пептидной связи
38
Поскольку у них, в свою очередь, есть свободные
карбоксильная и амино- группы, они могут присоединять
новые аминокислоты, образуя цепочку из аминокислот.
Энергия пептидной связи составляет около 30 кДж/моль (т.е.
это энергия, которая необходима для разрыва связи). При
образовании каждой пептидной связи отщепляется 1
молекула воды, таким образом, имеет место дефект массы
белка – его масса меньше суммарной массы отдельных
аминокислот на 18·(n–1) г/моль, где n – число аминокислот в
белке.
Чтобы избежать путаницы с тем, где начало белка, запись
аминокислот в белке начинают с аминокислоты со свободной
аминогруппой: H2N → COOH
На столе стоит пробирка с раствором одной из
аминокислот. Как мы можем определить, какая именно эта
аминокислота? Характерный размер молекулы – нанометры,
так что пальцем их не потрогаешь, в оптический микроскоп
не увидишь. Использование более изощренных методик типа
выращивания кристаллов и определения их структуры
рентгеноскопией – это долго, дорого и не очень точно.
Наш метод – использование химических маркеров, связывающихся с радикалом аминокислот. Для каждого типа
молекулы можно создать отдельный маркер, который начинает флуоресцировать (излучать свет на строго определенной
для каждого маркера длине волны) в случае образования связи с молекулой, что можно интерпретировать как ее наличие
в растворе.
Изменим немного задачу. Пусть в пробирке не отдельные
аминокислоты, а трипептиды – цепочки из 3 аминокислот в
одинаковом порядке. Мы знаем аминокислоты, но как
определить, какая из аминокислот находится слева, справа и
посередине? И опять задача решается с помощью
специфических маркеров, которые учитывают наличие не
только специфического для данной аминокислоты радикала,
но и наличие или отсутствие у данной аминокислоты
свободной амино- или карбоксильной группы.
39
Для длинной полипептидной цепочки такой метод будет
неэффективен, поскольку аминокислоты в цепочке могут повторяться. Решение очевидно: специфическими ферментами
(протеиназами) разрезать длинную цепочку на несколько
коротких, разделить их на хроматографической колонке и
определить аминокислотную последовательность каждой,
затем снова соединить. Чтобы избежать неоднозначности с
порядком соединения цепочек, используют не один, а несколько наборов ферментов-протеиназ (трипсин, хемотрипсин, термолизин и др.), которые разрезают цепочку в разных
местах так, что последовательности перекрываются и их
можно соединить.
Другими методами определения последовательности
полипептидной цепочки является метод Эдмана, отщепление
по 1 аминокислоте с конца белка, обратная транскрипция –
определение нуклеотидной последовательности гена, с
которого транслируется этот белок (подробнее ищите в
учебниках по биохимии).
Задача 3.2. Аминокислотная последовательность
Определяется
первичная
аминокислотная
последовательность полипептида, состоящего из 21 а.о. Его
N- и C-концевые остатки были идентифицированы как лизин
и аспарагин соответственно. Частичное расщепление
полипептида тремя разными способами и последующее определение последовательности а.о. в получившихся фрагментах
дало следующие результаты:
1-е расщепление
2-е расщепление
3-е расщепление
Leu-Trp
Ile-Arg-Ile
Arg-Lys-Leu-TrpLys
Lys-Val-Asp-Asn-Ile
Val-Asp-Asn
Lys-Tyr-Leu-PhePhe-Cys-Leu
Phe-Cys-Leu-Gly
Cys
Leu-Trp-Lys
Val-Asp-Asn
Arg-Ile-Pro-Cys-Asn
Lys-Tyr-Leu
Lys-Tyr-Leu
Leu-Gly-Arg-Lys
Pro-Cys-Asn
Ile-Arg-Ile-Pro
Gly-Arg-Lys
Cys-Asn
Выпишите последовательность а.о. в полипептиде.
40
Ответ:
Lys-Tyr-Leu-Phe-Cys-Leu-Gly-Arg-Lys-Leu-Trp-Lys-ValAsp-Asn-Ile-Arg-Ile-Pro-Cys-Asn.
В процессе трансляции (синтезе белков на рибосомах)
новые аминокислоты доставляются с помощью т-РНК
(транспортных РНК). На одном конце т-РНК находится
нуклеотидный триплет, комплементарно соединяющийся с
матричной РНК, на другом – соответствующая этому
триплету аминокислота. Отдав аминокислоту, через какое-то
время т-РНК выходит в цитоплазму. Каким образом
происходит
присоединение
новой
аминокислоты,
соответствующей триплету?
Ответ: это происходит при помощи фермента аминоацилтРНК-синтетазы, который специфически связывается с
определенными аминокислотой и т-РНК, и катализирует
образование связи между ними. Для каждой аминокислоты
есть свой вид фермента.
В полипептиде между атомами O и H пептидных групп
могут образовываться водородные связи, в результате образуется вторичная структура белка – α-спираль или β-слой
(см. рис. 3.4 и 3.5).
41
Рис. 3.4. α-спираль
Рис. 3.5. β-слой – антипараллельный (а) и параллельный (b)
42
Фибриллярная структура α-спирали является нерастворимой, в то время как параллельные и антипараллельные βслои – растворимы. Таким образом, различные участки белка
приобретают гидрофобные и гидрофильные свойства.
В задачах используются следующие свойства вторичных
структур белка:
α-спираль
1 виток = 3,6 а.о.
1 а.о. = 0,15 нм
шаг спирали = 0,54 нм
диаметр спирали = 0,6 нм
β-слой
1 а.о. = 0,347 нм.
Отметим, что β-слой является максимально вытянутой в
длину конформацией белка – это связано с тем, что валентный угол в цепи отличен от 1800.
Взаимодействия между радикалами различных аминокислот стабилизируют третичную (пространственную)
структуру. К таким взаимодействиям относятся водородные
связи, гидрофобные взаимодействия, –S–S– связи между остатками цистеина. Аминокислоты делятся на гидрофобные
(триптофан, изолейцин, фенилаланин, гистидин, метионин) и
гидрофильные (аланин, глутаминовая кислота, серин, глицин,
аспарагиновая кислота). Напомним, что физический смысл
гидрофобного взаимодействия заключается в понижении
энергии окружающих молекул воды за счет образования водородных связей между ними.
По третичной структуре белки делят на глобулярные
(globule – шарик) и фибриллярные (fibre – волосок). Примеры
белков:
• α-кератин – наружные защитные покровы позвоночных (волосы, рога, копыта и панцири черепах) – содержат много цистеина.
• β-кератин – белок шелка и паутины
43
•
•
коллаген – соединительная ткань, до 30% от общего
веса белков
глобулярные белки – ферменты, антитела, гормоны,
белковые компоненты мембран и рибосом
Задача 3.3.
До какой максимальной длины можно растянуть 10сантиметровый волос после его нагревания и обработки восстанавливающим агентом, разрушающим дисульфидные связи?
Решение.
Волос – это белковая α-спираль (α-кератин, стр. 61 Макеева), которая после обработки вытягивается в нить (βслой).
В проекции на линейную ось на 1 а.о. приходится: αспираль - 0,15 нм, β-слой - 0,347 нм.
L = 10см ⋅
0,347нм
≈ 23см
0,15нм
Часто белок состоит из нескольких субъединиц (олигомерный белок). Обычно их 3-6, но встречаются и 10-12. Рекорд – пируватдегидрогеназный комплекс из 72 субъединиц.
Такие комплексы рассматривают как четвертичную структуру белка. Она стабилизируется гидрофобными взаимодействиями, водородными и ионными связями.
Примером белка с четвертичной структурой является гемоглобин (содержит 2 α- и 2 β-цепи) – переносчик кислорода
в крови, субъединица называется миоглобин и служит депо
кислорода в организме. Взаимодействия между субъединицами существенно меняют кинетику связывания гемоглобином кислорода – это мы будем рассматривать на одном из
следующих семинаров.
44
Задание на дом
1. 660 мг олигомерного белка с мол. массой 132 кДа обработали избытком 2,4-динитрофторбензола в слабощелочной среде вплоть до завершения связывания реактива с концевыми аминогруппами белка. Затем пептидные связи были
гидролизованы путем нагревания белка в присутствии концентрированной соляной кислоты. В гидролизате содержалось 5.6 мг динитрофенилвалина (С11Н13N3O6). Рассчитайте
число полипептидных цепей в этом белке.
2. Белок, состоящий из 125 аминокислотных остатков,
содержит аланин (13.41 вес. %), валин (24.92 вес. %), глицин
(13.32 вес. %), пролин (6.10 вес. %), стерин (14.07 вес. %),
лейцин (21.49 вес. %) и неизвестную аминокислоту. Известно
также, что N-концевым а.о. является аланин, а С-концевым лейцин, и что содержание пролина в белке - 7 молей/моль.
Определите неизвестную кислоту. В каких случаях данных,
приведенных в задаче, недостаточно, чтобы дать однозначный ответ?
3. Белок, состоящий из нескольких субъединиц, имеет
мол. массу 132 кДа. Сколько субъединиц содержит этот белок, если известно, что каждая из субъединиц содержит
только один остаток тирозина, а общее содержание тирозина
в белке – 0.37 вес.%?
4. Мышечный белок тропомиозин имеет мол. массу 70
кДа и представляет собой суперспираль, состоящую из двух
α-спирализованных тяжей. Рассчитайте длину молекулы
тропомиозина.
5. Смесь трех аминокислот – аланина, глутамина и
аспарагиновой кислоты – была использована для
одностадийного химического пептидного синтеза. После
окончания реакции из смеси пептидов были выделены все
трипептиды. Какую долю среди полученных трипептидов
будет составлять трипептид Ala-Asp-Gln? Учтите, что
боковая цепь глутамина содержит аминогруппу, а боковая
цепь аспарагиновой кислоты – карбоксильную группу.
45
Семинар № 4. Модель случайных блужданий
Одним из признаков живого организма является обмен с
внешней средой веществом и энергией. Поскольку в единице
объема содержится большое количество разных молекул (порядка числа Авагадро), то за единицу времени каждая из них
испытывает огромное количество столкновений, которые
случайным образом меняют направление ее движения. Подобный тип движения называется диффузией.
Отметим, что процессом диффузии могут описываться не
только движения атомов и молекул, но и блуждания представителей популяции по ареалу обитания, оцениваться размеры
белков и характерные времена дрейфа генов. Некоторые из
этих приложений модели случайных блужданий будут рассмотрены дальше в семинарах.
Основой процесса диффузии является то, что перемещение объекта за какой-то интервал времени в среднем равно
нулю, а любое отклонение от этого среднего значение –
флуктуация.
Одномерная диффузия
Задача 4.1. Блуждания пьяного студента
Нетрезвый студент пытается дойти от магазина «Гурман»
до общежития МФТИ № 8, которые находятся на одной улице на расстоянии L = 500 м, пользуясь для поддержки равновесия столбами, расстояние между которыми l = 25 м. Поскольку студент уже совсем навеселе, направление его
движения от каждого столба к соседним может с равной вероятностью как совпадать с направлением к общежитию, так
и вести в противоположном направлении. Оценить наиболее
вероятное время, за которое реализуется такая флуктуация,
что студент может дойти до общежития, если скорость его
передвижения между столбами v = 5 км/ч.
46
Решение
Пусть xt – перемещение студента за время t, xτ – перемещение студента за время τ, xτ+t – перемещение студента за
время τ+t. Поскольку перемещения последовательны и независимы друг от друга, то:
xt +τ = xt + xτ
Поскольку средняя координата во времени равна 0, введем < xt2 > – некую абсолютную характеристику отклонения
от исходной точки ( < x 2 >≠< x >< x > !). Возведем обе части
предыдущего равенства в квадрат и усредним:
< xt2+τ >=< xt2 > +2 < xt xτ > + < xτ2 >
Поскольку перемещения независимы, то
< xt xτ >=< xt >< xτ >= 0
xt = xτ = 0 (любому перемещению в сторону общежития соответствует равновероятное перемещение в другую
сторону, т.е. < xt >=< xτ >= 0 ).
< xt2+τ >=< xt2 > + < xτ2 >
Поскольку есть аддитивность во времени, обозначим
< xt2 >= f (t ) . Получим функциональное уравнение:
f (t + τ ) = f (t ) + f (τ )
Одним из очевидных решений является линейная функция по времени с нулевым свободным членом:
f (t ) = at ,
где a – некоторый параметр, смысл которого будет уточнен далее. Отсюда:
xt2 = at
Это уравнение Эйнштейна для броуновского движения.
Оценим параметр а из того факта, что между столбами
студент движется с постоянной скоростью v:
l2 = at = al/v
⇒
a = lv ⇒
L2 = lvt
47
Отсюда можем оценить время, за которое реализуется такая флуктуация, что студент доходит до общежития:
t = L2/lv = 5002/(25·5/3,6) = 7200 сек, или 2 часа.
Отметим, что с вероятностью 0,5 студент может оказаться на расстоянии L в направлении, противоположном от общежития. Для сравнения, трезвый студент дошел бы за время:
L/v = 0,5 км / 5 км/ч = 0,1 ч = 6 мин
В данной задаче была рассмотрена одномерная диффузия. Для большего числа измерений в формуле появляется
коэффициент, равный числу измерений, например:
r 2 = x 2 + y 2 + z 2 = 3 x 2 = 3at , где а – некий параметр.
Здесь x 2 = y 2 = z 2 , поскольку движение молекулы
в любом направлении равновероятно.
Двумерная диффузия
Оценим абсолютное значение и найдем физический
смысл коэффициента a. Пусть λ – длина свободного пробега,
v – скорость молекулы.
Время одного пробега: λ2 = a
λ
v
⇒
a = λv
Введем обозначения: J – поток через конечную площадь,
j – поток через единицу поверхности. Рассмотрим для простоты одномерный случай. Поток через поверхность пропорционален разности концентраций (более точно – градиенту
концентраций):
j=D
Δc J
=
Δx S
Данное выражение называется уравнением диффузии.
Коэффициент пропорциональности D называется коэффици-
48
ентом диффузии, имеет размерность см2/сек и приводится в
различных справочниках.
Найдем значение D. За бесконечно малое время dt:
G H
cSvdt
= cv = v(c − c ) = vΔc
Sdt
Δc
Δc
С другой стороны, j = D
. Отсюда:
≈D
λ
Δx
D
= v ⇒ D = λv = a
j=
λ
Таким образом, коэффициент пропорциональности является коэффициентом диффузии. Окончательная формула
Эйнштейна для диффузии:
1-мерный случай: L = 2 Dt
2-мерный случай: L = 4 Dt
3-мерный случай: L = 6 Dt
Перед решением задач вспомним некоторые сведения о
кровообращении.
Почему в артериях кровь течет быстрее, чем в капиллярах, хотя любой капилляр значительно уже артерии?
Кажущееся нарушение закона соединяющихся сосудов
становится понятным, если вспомнить, что капилляров много
и их суммарная площадь поперечного сечения на 2 порядка
превышает площадь поперечного сечения аорты, через которую сердце выбрасывает кровь.
Чем отличаются артериальная и венозная кровь?
Артериальная кровь течет от сердца, венозная – к сердцу.
Какова роль большого и малого кругов кровообращения?
В большом круге артериальная кровь доставляет ко всем
органам кислород и питательные вещества, забирает углекислый газ. В малом круге артериальная кровь в легких от-
49
дает углекислый газ и обогащается кислородом.
Как питательные вещества и кислород поступают к
мышечным клеткам сердца?
От аорты отходит специальная артерия, которая называется коронарной. Образование тромбов в коронарной артерии
приводит к инфаркту.
Чем обусловлена ритмичность и синхронность в сокращении клеток сердца?
Мышечная ткань сердца состоит из особых клеток – кардиомиоцитов нескольких видов. Отдельные из них играют
роль «водителя» ритма. Имеют место также и автоколебания,
которые мы будем рассматривать позже.
Задача 4.2. Молекула глюкозы в капилляре
На каком расстоянии от исходной точки в кровеносном
русле будет находиться молекула глюкозы через 10-8, 10-6,
10-4, 10-2, 100, 102, 104 секунд, если коэффициент диффузии
для нее D = 4,6·10-6 см2/сек? Оценить время диффузии молекулы к стенке кровеносного сосуда, если диаметр русла в капиллярах примерно 8 мкм.
Решение.
У нас двухмерный случай, поскольку вдоль русла скорость течения значительно больше скорости диффузии. Используем формулу L = 4 Dt :
t, сек
10-8
10-6
10-4
10-2
100
102
104
50
L, см
4,3·10-7
4,3·10-6
4,3·10-5
4,3·10-4
4,3·10-3
4,3·10-2
4,3·10-1
Диаметр русла в капиллярах 8 мкм = 8·10-4 см, поэтому
характерное время дрейфа до стенок сосуда порядка 10-2 сек.
Отсюда становится понятным, что из-за необходимости
вывода продуктов жизнедеятельности путем диффузии существует ограничение сверху на размер клетки. Простейшие
(прокариоты) имеют характерный размер порядка 1 мкм, эукариоты – 10-40 мкм.
Какая клетка самая большая в мире?
Оказывается, существуют клетки, имеющие вполне макроскопические размеры: клетки мышц имеют длину 1-3 см;
клетки с соком в апельсинах и арбузах; половые клетки птиц
в виде яиц (у страуса – 15-21 см); нервные клетки, аксоны
которых при диаметре в несколько микронов могут достигать
в длину 1 метра и более. Общее для всех этих клеток – они
являются высокоспециализированными, выполняя строго определенную функцию.
В клетке существуют механизмы «ускоренного» транспорта веществ, которые позволяют обойти ограничение на
скорость диффузии. Примером такого транспорта является
белки кинезин (kinesin) и динеин (dynein), которые «шагают»
по микротрубочкам внутри аксонов, таща за собой пузырек с
биологическими молекулами со скоростью 200-400 мм/сутки.
Более того, таким образом могут транспортироваться отдельные органеллы типа митохондрий (скорость 50-100 мм/сутки)
и филаменты (микротрубочки и микрониточки, скорость 0,22 мм/сутки).
Модель статистического клубка
Задача 4.3.
Предположим, что ДНК человека (3·109 пар нуклеотидов)
и E-coli (4,2·106 пар нуклеотидов) представляют собой статистические клубки. Длина статистического сегмента для двухцепочечной ДНК составляет 100 нм. Рассчитать характерный
объем клубка и сравнить с объемом компартмента, в котором
51
находятся молекулы ДНК (размеры ядра клетки человека –
10-5 м, клетки E-coli – 10-6 м).
Решение.
Представим ДНК в виде статистического клубка цепочки,
которая состоит из N статистических негнущихся сегментов
длины l. Эти сегменты можно рассматривать как свободные
пробеги точки в случае диффузии. Молекула не должна пересекаться сама с собой, но в трехмерном случае это несущественно.
Общая длина цепочки: L = lN
L lN
=
v
v
lN
D = lv ⇒ R ≈ Dt = lv ⋅
=l N
v
Время движения: t =
Для трехмерного клубка оценка: R = l
N
=
6
Ll
6
Обращаем внимание, что ошибка расчетов при увеличении числа сегментов уменьшается пропорционально 1
N.
Для конформации ДНК типа B: 1 виток состоит из 10
нуклеотидов, на 1 пару нуклеотидов вдоль линейной оси
приходится 0,34 нм.
Длина статистического сегмента для двухцепочечной
ДНК составляет 100 нм => в одном сегменте 300 пар нуклеотидов.
Длина ДНК:
• у человека: L = 3 ⋅109 ⋅ 0,34 ⋅10−9 ≈ 1 м
• у E-coli: L = 4,2 ⋅10 6 ⋅ 0,34 ⋅10 −9 ≈ 1,4 ⋅10 −3 м
Очевидно, что ДНК в линейном виде в клетку не влезет,
поэтому ее необходимо свернуть. Если ДНК имеет вид статистического клубка, то его радиус:
52
Для человека:
R=l
Vклубок
V ядра
N
3 ⋅109
= 100нм
= 1, 29 ⋅10−4 м = 129 мкм
6
300 ⋅ 6
≈ 10 4
Для E-coli:
R=l
Vклубок
Vклетки
N
4,2 ⋅10 6
= 100нм
= 4,83 ⋅10 −6 м ≈ 5 мкм
6
300 ⋅ 6
≈ 10 2
Как видно из расчетов, размеры статистических клубков
на порядки превосходят характерные размеры клеток, поэтому для них необходима значительно более плотная укладка.
При этом у эукариотических клеток по сравнению с прокариотическими клетками укладка ДНК значительно более
сложная.
Задание на дом
1. Изучите способы компактизации ДНК у прокариот и
эукариот.
2. Как изменится объем статистического клубка, есть молекулу ДНК, состоящую из n нуклеотидов, разделить на несколько молекул ( n = n1 + n2 + ... + nk )?
3. Какой характерный размер имеет белок с
молекулярной массой 76 кДа после полной денатурации,
когда он превращается в статистический клубок со средней
длиной звена 9 нм?
4. Какой характерный размер имеет двухцепочечная
молекула ДНК с мол. массой 4 млн. Да?
53
Семинар № 5. Энергетика клетки.
Фотосинтез
Продолжим рассмотрение процессов диффузии в живых
организмах. На прошлом семинаре мы изучали животные
клетки. А как дело обстоит с растениями?
Растения – это отдельное царство, они существенно отличаются от животных:
Все растения являются автотрофами, т.е. с помощью хлоропластов превращают энергию света в энергию АТФ и другие высокоактивные восстановители. Эта энергия далее может быть использована в темновой стадии фотосинтеза для
синтеза органических соединений из углекислого газа и воды. Животные и грибы, напротив, являются гетеротрофами,
получая из внешней среды готовые органические вещества и
преобразуя эту химическую энергию в АТФ.
Растения запасают углеводы в виде крахмала, животные
– в виде гликогена.
Клетки растений имеют клеточную стенку, что позволяет
выдерживать значительное осмотическое давление.
Хотя растения в принципе могут совершать движения
(ориентация листьев по солнцу, круговые движения усиков,
ловушки хищных растений), они производятся не с помощью
мышц, как у животных, а формированием напряжения в тканях. Отметим, что результате некоторые из таких растений
по «скорости реакции» могут потягаться с капканами – например, ловушка венериной мухоловки закрывается за 1/30
секунды.
Зачем хищные растения ловят насекомых, если они
являются автотрофами?
Они усваивают неорганические вещества, в частности,
азот. Растения не могут сами фиксировать азот, поскольку
фермент нитрогеназа не работает в присутствии кислорода.
54
Как правило, этим занимаются симбиотические бактерии, но
на некоторых видах почв, например, болотах, это сделать
проблематично. Хищничество – один из способов решения
проблемы дефицита азота.
Давайте попробуем из диффузии углекислого газа внутрь
листа оценить его максимальную толщину.
Задача 5.1. Толщина листа.
Известно, что скорость CO2-газообмена равна 20
мкмоль/м2с. Концентрация CO2 в воздухе 300 мкмоль/л, в
воде – 20 мкмоль/л. Максимальная производительность
РДФК (рибодифосфаткарбоксилаза – фермент, который
фиксирует CO2) равна 20 с-1. Молекулярная масса РДФК –
550 кДа. Плотность фермента в клетке – 110 г/л.
Коэффициенты диффузии для CO2 равна D = 1,46·10-6 см2/с
(вода), D = 0,2 см2/с (воздух). Оценить характерную толщину
листа.
Решение.
Представим лист в виде пластинки, заполненной внутри
водой. С поверхности пластинки проникают молекулы
углекислого газа, которые потом диффундируют по
направлению к противоположному краю (нам требуется
максимальная оценка). Т.к. величина потока через единицу
поверхности нам известна (j = 20 мкмоль/м2с), получим
расстояние из уравнения диффузии:
Δc
Δx
Оценим Δx ≈ l (толщина листа), Δc ≈ c . Отсюда:
см 2
мкмоль
1, 46 ⋅10−6
⋅ 20
Dc
с
л
l=
=
= 1, 46 ⋅10−5 см .
мкмоль
j
20
м2с
j=D
55
Отметим, что все размерные единицы длины, площади и
объема необходимо привести к единой единице размерности:
1 л = 103 см3, 1 м2 = 104 см2.
Итог: для толщины листа мы получили оценку l = 0,15
мкм, что меньше даже характерного размера растительной
клетки (и гораздо меньше наблюдаемой толщины листа).
Очевидно, что наша модель листа в виде заполненной водой
пластинки неверна.
Что же необходимо растениям, чтобы обеспечить
нормальное поступление углекислого газа?
В листе растения есть устьица, через которые
газообразный CO2 попадает внутрь листа, непосредственно
подходя ко многим фотосинтезирующим клеткам.
К
остальным клеткам есть механизм активного транспорта CO2,
что снимает проблему диффузии.
Рис. 5.1. Устьица – внешний вид
56
Рис. 5.2. Устьице на поперечном срезе эпидермиса
•
•
Фотосинтезирующая поверхность листа содержит
разные типы клеток – и фотосинтезирующие, и
обеспечивающие этот процесс.
Скорость переноса CO2 в газе на несколько порядков
больше, чем в воде (D = 0,2 см2/с), и этого
достаточно, чтобы не использовать тут активный
транспорт CO2. Можно подсчитать, что характерное
расстояние диффузии в воздухе составит 1,5 см, что
намного больше толщины листьев большинства
растений. Есть листья и более толстые (кактусы,
алоэ), но они, помимо фотосинтеза, выполняют и
другие функции – запасание воды, механическая
поддержка, и т.д., а фотосинтезирующими являются
только клетки вблизи поверхности листа.
57
•
Несмотря на то, что в клетку углекислый газ попадает
из воздуха, клетка состоит из воды. А полученное
нами характерное расстояние диффузии в воде
меньше размера клетки. Нет ли здесь противоречия?
Нет, если учесть, что хлоропласты находятся не в
центре клетки (там ядро и вакуоль), а вблизи
мембраны клетки, и к ним углекислый газ
эффективно диффундирует.
Внутри клетки происходит такое явление, как циклоз –
активное перемешивание цитоплазмы. По аналогии с турбулентными (направленными) потоками в воздухе, это значительно ускоряет выравнивание концентраций веществ в цитоплазме.
Рассмотрим процесс с точки зрения химии – вдруг это
более медленный процесс и диффузия непринципиальна?
Скорость превращения CO2 найдем из закона
действующих масс:
j = kE0 l = kE0
V
S
Здесь k – производительность фермента РДФК, E0 – его
концентрация.
Для оценки размера белка вспомним о среднем значении
молекулярной массы аминокислотного остатка: 1 а.о. ≈ 100
Да, таким образом, в нашем белке примерно 5500 а.о.
Поскольку молекулярная масса РДФК – 550 кДа, 1 моль
белка будет весить 5,5·105 грамм. Из плотности белков 110
г/л находим концентрацию фермента в клетке:
E0
110 г
110
моль
⇒ E0 =
=
= 2 ⋅10 −4
5
5
5,5 ⋅10 г 1моль
5,5 ⋅10
л
Характерное расстояние, на котором переработается CO2,
составит:
58
мкмоль
j
м 2с
l=
=
= 0, 05 см
kE0 20с −1 2 ⋅10−4 моль
л
20
При расчетах не забываем все величины приводить к
нужной размерности. Как видно из значения, «кинетическое»
расстояние значительно больше диффузионного, таким
образом, диффузионный процесс является лимитирующим.
Общая химическая реакция темновой стадии фотосинтеза:
hv
6CO 2 + 12H 2 O* → C6 H12 O 6 + 6H 2O + 6O*2
Некоторые бактерии, например, живущие в серных источниках, используют сероводород и выделяют твердую серу:
hv
6CO 2 + 12H 2S → C6 H12 O 6 + 6H 2 O + 12Sтв
Отметим, что общая запись реакции не отображает механизма реакции, т.е. последовательности всех реакций по переносу по цепи возбужденного электрона с постепенным
фиксированием энергии в АТФ и других активных молекулах. Такая последовательность называется Z-схемой световой
стадии:
59
Рис. 5.3. Z-схема световой стадии фотосинтеза
После световой стадии (точнее, параллельно с ней) проходит темновая стадия фотосинтеза, где в обратном цикле
Кребса происходит синтез органических соединений.
Подробнее о фотосинтезе читайте в учебнике Макеева и
статьях Соросовского образовательного журнала.
Энергетические процессы в клетке
Теперь рассмотрим процесс, в какой-то мере обратный
фотосинтезу – расщепление органических молекул (белков,
жиров, углеводов, липидов) с образованием АТФ
(аденозинтрифосфат). Как и в темновой стадии фотосинтеза,
60
в этом задействован цикл Кребса, но перенос электронов и
энергии идет в обратную сторону.
C6 H12 O6 + 6O 2 → 6CO 2 + 6H 2 O +энергетич. молекулы
Энергия, фиксируемая при участии кислорода в цикле
Кребса, сначала представляет собой электрохимический
потенциал протонов на внутренней мембране митохондрий,
который потом с помощью фермента АТФ-синтетазы
переходит в энергию фосфатной связи молекул АТФ:
Рис. 5.4. Строение молекулы АТФ
Задача 5.2. Синтез АТФ в организме
Известно, что здоровый человек весом 70 кг должен
получать с пищей 2800 ккал/сутки. Эффективность
метаболических процессов (т.е. КПД преобразования энергии
в АТФ) составляет примерно 50%? Энергия гидролиза АТФ
составляет около 40 кДж/моль, молярная масса МАТФ = 507
Да. Какому количеству синтезированного АТФ соответствует
этот поток энергии?
Решение.
АТФ образуется при связывании АДФ и фосфата:
АДФ + Ф ⇔ АТФ
61
Энергия, которая выделяется в этой реакции, в клетке
составляет 35-50 кДж/моль (30,2 кДж/моль при [АТФ] =
[АДФ] = [Фн] = 1 М). В условии указано некое среднее
значение 40 кДж/моль.
Поскольку КПД составляет 50%, на синтез АТФ пойдет
только половина потребляемой энергии:
n=
1400 ⋅ 4, 2кДж
= 147 моль
кДж
40
моль
Чтобы прочувствовать биологический смысл этой
величины, найдем массу АТФ, которая образуется за сутки.
Умножая молярную массу АТФ МАТФ = 507 Да (1 моль = 507
г) на количество молей, получим:
mАТФ = 75 кг/сутки
Получаем парадоксальный на первый взгляд результат:
масса синтезируемого за сутки АТФ больше массы самого
человека! Тут надо вспомнить, что АТФ не накапливается, а
непрерывно используется в самых разнообразных процессах
жизнедеятельности, распадаясь обратно на АДФ и фосфат. В
организме реально содержится всего 50 грамм АТФ. Оценим
характерное число циклов синтеза / распада молекулы АТФ:
v = 75 кг / 50 г = 1500 раз в сутки.
На вход в цикл Кребса поступают не аминокислоты, жирные кислоты и углеводы, а их унифицированная производная
– ацетил-КоА (ацетил-кофермент А).
При расщеплении 1 молекулы ацетил-КоА в цикле Кребса образуется 3 молекулы НАДН, 1 молекула ФАДН2 и 1 молекула ГТФ. На каждую пару электронов, перенесенных по
дыхательной цепи от НАДН к кислороду, синтезируются 3
молекулы АТФ. Электроны, отщепляемые от ФАДН2, поступают в дыхательную цепь с комплекса II (сукцинат:убихинон-оксидоредуктазы), который в отличие от комплекса I (НАДН-КоQ-редуктазы) не участвует в
перекачивании протонов через мембрану. Поэтому при пере-
62
носе пары электронов от ФАДН2 образуется только 2 молекулы АТФ.
В результате на каждую молекулу ацетил-КоА образуется
3·3 + 2 + 1 = 12 молекул АТФ.
Задача 5.3. Крыса на весах.
Голодная крыса, сидящая на весах, теряет в массе 1,2
грамма в сутки. Рассчитать количество глюкозы,
расщепленной за это время.
Решение.
Кроме глюкозы, распадаются еще жиры и белки, но мы
считаем, что расщепляется только глюкоза, вода не
испаряется. Исходная масса крысы около 100 грамм, поэтому
на коротких интервалах времени мы можем пренебречь
изменением ее энергопотребления вследствие уменьшения
массы.
Прежде всего, возникает вопрос: а почему вообще при
голодании происходит уменьшение массы тела? Живой
организм – не ядерный реактор (т.е. прямого преобразования
«энергия-масса» не происходит), а при химических реакциях
масса всех веществ остается постоянной.
Для решения проблемы вспомним общую реакцию
расщепления глюкозы:
C6H12O6 + 6O2 (г) → 6CO2(г) + 6H2O
Мы вдыхаем кислород, а выдыхаем такое же число
молекул углекислого газа, которые тяжелее на массу
углерода (12 г/моль). Именно этот «дефект массы» приводит
к уменьшению массы тела.
Согласно стехиометрии на 1 уходящий атом С
приходится 1/6 молекулы C6H12O6. Потеря 1,2 г С
соответствует 1/10 моля С, что эквивалентно 1/60 моля
C6H12O6. Так как молекулярная масса глюкозы М(C6H12O6) =
180 г/моль, ее расщепилось m = 3 грамма.
Приведем некоторые сведения об энергетике человека. В
печени человека содержится до 500 г гликогена, в скелетных
63
мышцах – до 200 г, в сердечной мышце и в мозгу – около 90 г
гликогена. Резервный жир составляет 67 г на 1 кг массы тела
и столько же составляют резервные белки. При расщеплении
до СО2 и Н2О 1 г белка и 1 г углеводов выделяется 17,6 кДж,
а при расщеплении 1 г жиров – 38,9 кДж.
Суточный расход энергии млекопитающими описывается
эмпирическим уравнением:
Q(кДж/сут) = 282,8m0,78 (m – общая масса тела в кг).
Потребление кислорода:
V(л/ч) = 0,696 m3/4 (m – общая масса тела в кг).
Отметим,
что
некоторые
животные
запасают
значительное количество жира. Например, перед зимовкой
жировые запасы у птиц могут составлять до трети массы
тела. Поскольку при полете расход энергии зависит от
суммарной массы тела, а жир расходуется, со временем
энергопотребление будет существенно изменяться.
Задача 5.4. Бег спринтера.
Известно, что концентрация АТФ в мышцах составляет 8
ммоль/л, а расход АТФ в период усиленной мышечной
активности – 300 мкмоль/мин·г (на грамм мышечной ткани).
Мышцы человека составляют 40% веса человека (70 кг), 70%
тканей – вода. Какое время спринтер может бежать за счет
исходного запаса АТФ в мышечной ткани?
Решение.
Масса мышц – 70·0,4 = 48 кг. Предполагаем, что 1 л = 1
кг веса.
[АТФ] = 8 ммоль/л = 8 ммоль/кг.
ммоль
8
кг
Расход:
=
⋅ 60сек = 1,6сек
мкмоль 300
300
г ⋅ мин
8
64
Помимо АТФ, в мышцах есть примерно столько же
креатинфосфата. При более продолжительном беге
необходима выработка АТФ.
Задание на дом.
1. Каков механизм движения у растений? Оцените
характерные скорости таких движений.
2. Существуют ли другие виды фиксации азота, помимо
хищничества и симбиоза с бактериями?
3. Почему наземные растения зеленые, а водоросли
бывают зелеными, бурыми и красными?
4. Обычно питательные вещества поступают в пищевые
цепи сухопутных сообществ от фотосинтезирующих зелёных
растений, входящих в эти сообщества. А откуда они
поступают в сообщества пещер, где обитают многие
животные, но зелёные растения и свет отсутствуют?
5. Оцените площадь поверхности человека массой 70 кг,
которая необходима для того, чтобы тот мог получать
необходимую энергию от фотосинтеза (при сохранении
уровня
энергопотребления,
характерную
для
млекопитающих).
6. Как энергопотребление зависит от массы у
холоднокровных животных и млекопитающих? Как можно
оценить энергопотребление бактерии?
7. Перелетные птицы к началу миграции накапливают
под кожей, в брюшной полости, в мышцах и в печени
большое количество жира. Во время полета при средней
скорости 40 км/ч расход энергии перелетной птицы
составляет примерно 400 Дж на грамм общего веса в час.
Расщепление 1 г жира дает 38,9 кДж. Как зависит от массы
накопленного жира дальность перелета птицы, масса которой
за вычетом жира – 350 г? Оцените максимально возможную
дальность полета такой птицы, если ее жировые запасы в
начале перелета составляют 100 г.
65
Семинар № 6. Ферментативные реакции.
Одной из особенностей клеточных организмов является
то, что скорости всех биохимических реакций должны
регулироваться в зависимости от параметров внешней
среды, чтобы сохранить внутренние концентрации веществ в
достаточно узких пределах. Если какого-то компонента
слишком мало – какие-то связанные реакции не пойдут
(недостаток), слишком много – молекулы начнут участвовать
в реакциях, для которых не предназначены (токсикация).
Как же клетка может регулировать скорость реакций?
Основой этого процесса являются ферменты.
Ферменты (по англ. enzymes) – органические вещества
белковой природы, которые синтезируются в клетках и во
много раз ускоряют протекающие в них реакции, не подвергаясь при этом химическим превращениям.
Термин фермент предложен в XVII веке химиком ван
Гельмонтом при обсуждении механизмов пищеварения.
Как индивидуальное соединение фермент впервые был
выделен в 1926 году (уреаза), а в 70-е годы был наконец синтезирован первый фермент (рибонуклеаза).
Пусть S – субстрат, P – продукт, E – фермент.
Реакция S → P без участия катализаторов идет очень
медленно.
k1
k2
S + E ⇔ ES → E + P
k −1
В биосистемах все идет через промежуточные
вещества, в противном случае либо процессы идут
медленно, либо эффективность усвоения энергии
значительно меньше.
66
Свойства ферментов:
1. Ускоряют скорость реакции на несколько порядков
(иногда в миллион раз)
Уравнение Арениуса для константы скорости:
⎛ E
k = fZ exp ⎜ − a
⎝ RT
⎞
⎟,
⎠
где:
• Z – частота колебаний связи (1-й порядок) или соударений молекул (2-3-й порядок),
• f – стерический фактор (вероятность «правильного»
столкновения, при которой пойдет реакция),
• Ea – энергия активации (энергия, необходимая для
преодоления потенциального барьера и запуска реакции),
• T – температура, выраженная в градусах Кельвина.
Ускорение реакции возможно путем:
• Понижения энергии активации реакции Ea за счет
изменения энергетического профиля реакции:
Рис. 6.1. Энергетический профиль реакции
67
•
•
Увеличения частоты соударений Z – внутри фермента
реагирующие молекулы оказываются в «клетке» и не
могут далеко отойти друг от друга, как в свободном
растворе.
Правильной ориентацией молекул внутри активного
центра (увеличивается стерический фактор f )
Рис. 6.2. Активный центр фермента
•
•
Увеличение сродства к субстрату соседних субъединиц белка с четвертичной структурой – например, после связывания одной субъединицей гемоглобина с
молекулой кислорода остальные субъединицы становятся более реакционно способны.
Организацией «конвейера» ферментов – после окончания реакции молекулы не уходят в цитоплазму, а
передаются следующему ферменту. Примеры: передача высокоэнергетического электрона по цепи переносчиков в процессе фотосинтеза или окисление молекул в цикле Кребса.
2. Ускоряют как прямую, так и обратную реакции
Иначе говоря, ферменты ускоряют процесс достижения
равновесных концентраций. Отметим, что многие реакция
являются односторонними, т.е. их равновесие значительно
смещено в сторону продуктов и обратную реакцию можно не
рассматривать.
68
3. Высокоспецифичны (работают с конкретными веществами)
Существуют несколько моделей взаимодействия субстрата с ферментом. Наиболее известные из них – «ключ-замок»
(lock-and-key model) и индуцированного соответствия (induced fit model):
Рис. 6.3. Модели взаимодействия субстрата с ферментом
В модели «ключ-замок» предполагается, что структура
субстрата точно соответствует структуре активного центра
фермента, вплоть до пространственного расположения атомов. Например, ферменты работают только с Lаминокислотами. После прохождения реакции продукты отделяются от активного центра.
В модели индуцированного соответствия после сближения субстрата и активного центра фермента их структура меняется так, чтобы облегчить протекание реакции. После завершения реакции и отделения продуктов активный центр
возвращается в исходную конформацию.
69
4. Многие белки содержат неорганическую часть, называемую коферементом, в котором находится атом металла. Кофермент образуется из витаминов. Примером кофермента является гем с атомом железа,
который входит в состав белка гемоглобина.
5. Энергию, необходимую для работы фермента, обеспечивает гидролиз АТФ или поток ионов.
6. При понижении температуры белки теряют активность, при нагревании разрушаются – применять стиральный порошок «с энзимами» в воде с температурой менее 10 0С или более 50 0С бессмысленно.
7. Активность работы ферментов можно регулировать с
помощью ингибиторов (будет дальше).
Найдем, как меняется скорость реакции при участии
фермента. Из закона действующих масс:
w = k2 [ ES ]
d [ ES ]
= k1[ E ][ S ] − (k −1 + k 2 )[ ES ]
dt
Чтобы не решать дифференциальных уравнений,
воспользуемся методом квазистационарных концентраций.
Поскольку связавшийся с ферментом субстрат очень быстро
превращается в продукт, его концентрация очень мала: [ES]
<< [S]. Это значит, что концентрация [ES] практически не
меняется со временем:
d [ ES ]
≈0
dt
k1[ E ][ S ] = (k −1 + k 2 )[ ES ] ⇒
[E] =
(k −1 + k 2 )[ ES ]
k1[ S ]
Поскольку фермент не расходуется в процессе реакции,
то из уравнения материального баланса:
[ E ] = [ E ]0 − [ ES ]
70
Выразим [ES] и подставим в выражение для скорости
реакции:
[ E ]0
[ E ]0 [ S ]
= k2
,
k−1 + k2
[
S
]
K
+
M
1+
k1[ S ]
k + k2
где K M = −1
– константа Михаэлиса-Ментон. Само
k1
w = k2
уравнение носит то же самое имя.
Рис. 6.4. Зависимость скорости ферментативной реакции от
концентрации субстрата
Рассмотрим его свойства:
• При больших концентрациях субстрата ( [ S ] >> K M )
скорость реакции стремится к пределу, который
зависит от концентрации фермента: wmax = k2 [ E ]0 .
Таким образом, уравнение Михаэлиса-Ментон можно
переписать:
w = wmax
71
[S ]
[S ] + K M
•
Константа Михаэлиса-Ментон имеет размерность
концентрации. Ее физический смысл состоит в том,
что [ S ] = K M скорость реакции составляет половину
от максимальной: w =
•
wmax
. Таким образом, чем
2
более активен фермент, тем меньше значение
константы.
В реальных организмах концентрации субстрата
достаточно малы ( [ S ] << K M ). При этом скорость
реакции линейно зависит от концентрации субстрата:
w≈
•
wmax
k
[ S ] = 2 [ E ]0 [ S ]
KM
KM
Уравнение Михаэлиса-Ментон имеет линейный вид в
координатах 1/w от 1/[S]:
1
1
K
1
=
+ M
w wmax wmax [ S ]
Обращаем внимание, что тангенс угла наклона прямой
пропорционален
константе
Михаэлиса-Ментон,
а
пересечение с осью ординат характеризует максимальную
скорость реакции.
Рассмотрим применение линеаризации уравнения
Михаэлиса-Ментон на примере регуляции активности
ферментов при помощи специальных веществ –
ингибиторов. Ингибирование бывает конкурентным,
неконкурентным и смешанным.
При конкурентном ингибировании вещество-ингибитор
занимает то же место в активном центре, что и субстрат.
Таким образом, часть времени, которое фермент мог бы
обрабатывать субстрат, он неактивен из-за связи с молекулой
ингибитора. При этом максимальная скорость реакции
остается той же, а эффективная константа МихаэлисаМентон увеличивается:
72
Рис. 6.5. Конкурентное ингибирование
При
неконкурентном
ингибировании
веществоингибитор связывается с ферментом не с активным центром,
а в другом месте. Однако при этом фермент теряет свою
работоспособность и не может обрабатывать субстрат.
Эффективная
концентрация
активных
ферментов
понижается, что приводит к снижению максимальной
скорости реакции. На графике это соответствует к смещению
прямой вверх,
при сохранении тангенса угла наклона
(пропорционального константе Михаэлиса-Ментон):
Рис. 6.6. Неконкурентное ингибирование
73
В случае смешанного ингибирования веществоингибитор влияет как на активность фермента, так и на его
эффективную концентрацию. Это приводит с уменьшению
максимальной скорости реакции и увеличению константы
Михаэлиса-Ментон.
Рис. 6.7. Смешанное ингибирование
Отметим, что некоторые реальные ферменты имеют
более сложную зависимость скорости реакции от
концентрации субстрата вследствие дополнительного
взаимодействия между различными субъединицами. В
качестве примера можно привести связывание кислорода
гемоглобином, когда при присоединении кислорода к первой
субъединице сродство к кислороду остальных субъединиц
возрастает:
74
Рис. 6.8. Проявление свойства кооперативности на
примере гемоглобина
Активность
любого
органического
фермента
существенно зависит от температуры и кислотности
окружающей среды. Вначале с повышением температуры
скорость реакции увеличивается, однако потом начинает
снижаться
вследствие
уменьшения
эффективной
концентрации фермента из-за частичной денатурации
(потери структуры его молекулами). Таким образом, у
каждого типа фермента есть свой температурный оптимум,
при котором скорость реакции является максимальной:
75
Рис. 6.9. Зависимость активности фермента от
температуры
Для большинства ферментов человека температурный
оптимум расположен примерно при 40 0С. Однако
существуют бактерии-термофилы, живущие в термических
источниках и горячих горных породах на дне океана – для
них максимум существенно смещен в сторону высоких
температур.
Зависимость скорости работы фермента от pH среды для
многих ферментов представляет распределение с одним
максимумов при pH = 8 :
76
Рис. 6.10. Зависимость активности фермента от pH среды
(характерная кривая).
Однако у некоторых специализированных ферментов
(например, участвующих в пищеварении) максимум может
быть смещен или вообще отсутствует:
77
Рис. 6.11. Другие случаи зависимости активности разных
ферментов от pH среды
Что мы будем рассматривать?
использоваться зависимости типа
y = ym
В
задачах
будут
x
,
x+c
где ym – максимальная скорость. Использование более
сложных моделей проблематично из-за большого разброса
экспериментальных данных. Скорости реакций обычно
сравнивают при малых концентрациях [S], когда у них
линейные зависимости:
78
w≈
wmax
k
[ S ] = 2 [ E ]0 [ S ]
KM
KM
Задача 6.1. Растяжение полоски ткани
В изолированную полоску ткани селезенки кошки
делаются уколы адреналина ([А]) и норадреналина ([НА]), в
результате чего полоски удлиняются:
Вещество
А
А
НА
НА
Концентрация,
мкМ
30
60
80
150
Удлинение, мм
4,5
6,5
6,4
8,7
Рассчитать ЕД50 этих препаратов.
Под ЕД50 понимается концентрация препарата, при
котором эффект составляет 50% от максимального: ЕД50 =
КМ. Аналогично определяют ЕД80, ЕД30 и т.д.
ЛД50 – доза препарата, при котором летальный исход
статистически наступает в 50% случаев.
Поскольку для большинства лекарств (веществ) человек
себя будет плохо чувствовать и при избытке, и при
недостаче, вводится понятие «концентрационного окна» –
это диапазон концентраций, при которых эффективность не
ниже 90%. С понижением эффективности следуют легкие
недостаток и отравление, сильные недостаток и отравление,
летальные недостаток и отравление.
Широко известным примером такого явления в
обыденной жизни являются витамины – предшественники
коферментов, которые являются неорганическими частями
ферментов. При их недостатке наступает авитаминоз, при
приеме
избытка
синтетических
витаминов
–
гипервитаминоз.
79
Необходимо есть мясо для получения витамина B12.
Пример болезни, возникающей из-за недостатка витаминов –
цинга.
Решение.
Какое же из веществ
лекарственным средством?
y = ym
является
более
активным
x
x+c
30
⎧
⎪⎪4,5 = ym1 30 + c
1
⎨
60
⎪6,5 = y m1
60 + c1
⎩⎪
(с1 = ЕД50 для А)
80
⎧
⎪⎪ 6,4 = y m 2 80 + c
2
⎨
150
⎪8,7 = ym 2
⎪⎩
150 + c2
(с2 = ЕД50 для НА)
с1 = 50 мкМ, с2 = 100 мкМ
ym1 = 12 мм, ym2 = 14,5 мм
Активность зависит от области, в которой мы смотрим.
Поскольку область насыщения обычно физиологического
смысла не имеет, обычно сравнивают линейные участки.
Активнее будет вещество с меньшим ЕД50 => адреналин.
80
Задание на дом
1. Известно, что фермент состоит из нескольких
идентичных субъединиц, каждая из которых имеет два
одинаковых участка для связывания иона кальция. При [Ca2+]
= 4 мкМ с ферментом связывается в среднем 2,67 иона, а при
[Ca2+] = 10 мкМ – 4 иона. Сколько субъединиц содержит
фермент?
2. При концентрации хлора [Cl–] = 1 мкМ с белковой
молекулой связан в среднем только один ион, а при
повышении концентрации хлора в 10 раз с белком уже
связываются в 4 раза больше ионов. Сколько участков
связывания ионов хлора содержит данный белок?
3. Как Вы, несомненно, помните, ослик Иа-Иа ел
исключительно чертополох. И неплохо себя чувствовал, хотя
известно, что однообразное питание приводит к
авитаминозам, недостатку микроэлементов и другим
неприятным последствиям. Как же животные, питающиеся
однообразной пищей, справляются с этой проблемой?
4.
Инфаркт
миокарда
сопровождается
резким
повышением концентрации фермента аспартатаминотрансферазы, содержание которого в норме составляет 0,1 – 0,4
мкМ. Острота приступа прямо коррелирует с повышением
уровня аспартатаминотрансферазы, которая осуществляет
односубстратную реакцию, подчиняющуюся кинетике
Михаэлиса-Ментон:
k1
k2
⎯⎯
→ ES ⎯⎯
→E + P,
S + E ←⎯⎯
k −1
k2 = 1000 c-1
Что можно сказать о состоянии пациента, анализ крови
которого показал: в 1 мл сыворотки крови, насыщенной
субстратом, аспартатаминотрансфераза образует 120 мкмоль
продукта в минуту.
5. Вывести выражение для скорости ферментативной
реакции
в
приближении
Михаэлиса-Ментон
для
конкурентного,
неконкурентного
и
смешанного
ингибирования.
81
Семинар № 7. Решение задач по генетике.
В этом и последующем разделе мы рассмотрим законы
Менделя, причины их нарушения, и плавно перейдём к хромосомной теории наследования Моргана.
Сначала введём несколько определений:
• Ген – участок молекулы ДНК в хромосоме, содержащий информацию о первичной структуре одного белка; в диплоидном наборе хромосом гены всегда парные.
• Генотип – совокупность всех генов конкретного организма.
• Фенотип – совокупность всех внешних признаков
конкретного организма.
• Гибрид – организм, сформировавшийся в результате
скрещивания особей, различающихся по ряду признаков.
• Альтернативные признаки – различные варианты
проявления одного и того же признака (белый – черный, высокий - низкий).
• Локус – местоположение гена в хромосоме.
• Аллельные гены – два гена, занимающие одинаковые
локусы в гомологичных хромосомах и определяющие
альтернативные варианты одного признака.
• Неаллельные гены – гены, занимающие разные локусы в хромосомах.
В самом простом случае разные аллели одного гена могут
быть:
• доминантными, обозначаемыми прописной буквой
латинского алфавита (А, В, С и т.д.), или
• рецессивными, обозначаемом строчной буквой (а, b,
с и т.д.).
82
Генотип по каждому признаку записывается двумя буквами, соответствующими аллелям, например – Аа, АА или
аа. Если у признака есть только два варианта – доминантный
и рецессивный, то наличие в генотипе хотя бы одной доминантной аллели (варианты АА или Аа) ведёт к проявлению в
фенотипе доминантного варианта признака. И только в случае аа в фенотипе проявляется рецессивный вариант признака.
Организмы, имеющие одинаковые аллели одного гена,
например доминантные (АА) или рецессивные (аа), называются гомозиготными. Они дают один сорт гамет (А) или (а).
Организмы, имеющие разные аллели одного гена (Аа), называются гетерозиготными. Они дают два сорта гамет (А и а).
Используя эти определения, уже можно сформулировать
законы Менделя.
Рис. 7.1. Грегор Иоганн Мендель (22 июля 1822 – 6 января
1884)
83
•
•
•
•
Впервые ввёл понятие «ген».
1865 год – доложил о своих экспериментах на заседаниях Общества Естествознания в Брюнне
1866 год – вышла его книга «Эксперименты с растительными гибридами»
1868 год – стал аббатом, и его исследовательская деятельность прекратилась из-за административной нагрузки.
Первый закон: при скрещивании гомозиготных аллелей
AA и aa потомство генетически гетерозиготно (Aa) и фенотипически однотипно.
Второй закон: при скрещивании гетерозиготных аллелей
Aa и Aa потомство расщепляется генетически как
1(AA):2(Aa):1(aa), а фенотипически – как 3(AA и Аа):1(аа).
Третий закон: при скрещивании наследование разных
генов осуществляется независимо друг от друга.
Чтобы подробнее рассмотреть эти законы, мы используем такой инструмент, как решётку Пеннета. В ней в заголовки строк и столбцов мы выписываем варианты генотипов,
которые достались гибриду с гаметами от одного родителя и
от второго. Так, если родитель имел генотип АА, то в процессе мейоза могли получиться гаметы (напоминаем, что у соматических клеток имеется двойной, или диплоидный, набор
хромосом, а у гамет – одинарный, или гаплоидный) только с
генотипом А. Если же родитель был гетерозиготой Аа, то потомку могли с равной вероятностью достаться как ген А, так
и а.
Итак, рассмотрим первый закон: при скрещивании гомозиготных аллелей AA и aa потомство генетически гетерозиготно (Aa) и фенотипически однотипно. Что здесь имеется
ввиду, показано на схеме с решёткой Пеннета: каждый родитель даёт только один тип гамет (родитель АА – гаметы А,
родитель аа – гаметы а).
84
Рис. 7.2. Вид решетки Пеннета для I закона Менделя.
Заметим, что в подобной ситуации нет смысла писать две
идентичных строки с одним и тем же вариантом гамет, достаточно одной (то же самое справедливо для столбцов). Итого, потомство полностью состоит из гетерозигот, внешне неотличимых от доминантных гомозигот.
Теперь рассмотрим второй закон: при скрещивании гетерозиготных аллелей Aa и Aa потомство расщепляется генетически как 1(AA):2(Aa):1(aa), а фенотипически – как 3(AA и
Аа):1(аа). Заметим, что этот закон справедлив, если гамет с
разными генотипами образуется поровну и вероятность их
слияния в яйцеклетку не зависит от генотипа (в действительности это не всегда так – скажем, мальчиков всегда рождается немного больше, чем девочек).
85
Рис. 7.3. Вид решетки Пеннета для II закона Менделя.
И, наконец, третий закон Менделя: при скрещивании
наследование разных генов осуществляется независимо друг
от друга. Здесь для примера рассмотрим наследование двух
признаков, каждый из которых имеет доминантный и рецессивный варианты – А/а и B/b. Представим, что оба родителя
являются гетерозиготами по обоим этим признакам, и нарисуем решётку Пеннета:
Рис. 7.4. Вид решетки Пеннета для III закона Менделя.
86
Если посмотреть на эту таблицу, то легко подсчитать, что
при большом количестве потомства фенотипически оба признака будут проявляться в доминантной форме в 9/16 всех
случаев, один – в доминантной, а второй – в рецессивной в
3/16 случаев для каждого признака, и лишь в 1/16 оба признака будут присутствовать в рецессивной форме.
Заметим, что полученные цифры могут рассматриваться
как доля потомства с таким генотипом (или фенотипом)
только при очень большом количестве потомства. Сам Мендель, чтобы получить свои законы, пересчитал несколько тысяч горошин. Однако, скажем, для млекопитающих подобный подход оправдан только при анализе популяций, и то
сравнительно крупных. А для индивидуальных случаев имеет
смысл говорить о вероятности получения данного генотипа
(фенотипа).
Законы Менделя формулировались для признаков, у которых одна аллель доминирует над другой. Однако бывают
ситуации, когда доминирование носит неполный характер, и
гетерозиготная особь фенотипически отличается от обоих
родителей, представляя из себя, как правило, нечто среднее
между родительскими вариантами проявления признака.
Смысл третьего закона Менделя заключается в том, что
для независимых признаков вероятность появления у потомства определённой их комбинации равна произведению вероятностей появления соответствующих вариантов каждого из
признаков.
Теперь рассмотрим несколько задач на эту тему. 2
2
Задачи взяты из статьи Медведевой А.А. «Решение задач по генетике», которая опубликована в газете «Биология», выпуски № 4446, 48/1999; № 2-5/2000. http://bio.1september.ru
87
Задача 7.1.
У человека ген мелковьющихся волос является геном неполного доминирования по отношению к гену прямых волос.
От брака женщины с прямыми волосами и мужчины, имеющего волнистые волосы, рождается ребенок с прямыми, как у
матери, волосами. Может ли появиться в этой семье ребенок
с волнистыми волосами? С мелковьющимися волосами? Известно, что у гетерозигот волосы волнистые.
Решение.
Из условия задачи ясно, что мать – рецессивная гомозигота, а отец – гетерозигота. Ребёнок – как и мать, рецессивная
гомозигота.
Нарисуем схему скрещивания (см. ниже). Из получившейся решётки Пеннета ясно, что ребёнок у таких родителей
может быть с вероятностью 50% как с прямыми, так и с волнистыми волосами. А вот с мелковьющимися волосами детей
быть не может.
Определим гены и генотипы:
Ген
A
a
Признак
Мелковьющиеся
волосы
Прямые волосы
Генотип
AA
aa
Aa
88
Фенотип
Мелковьющиеся
волосы
Прямые волосы
Волнистые волосы
Решетка Пеннета:
a
½ Aa Волнистые волосы
½ aa Прямые волосы
½A
½a
Обращаем внимание на порядок решения задач по генетике:
1. Записываем в таблицу гены, возможные генотипы и
соответствующие им фенотипы. Это дает возможность перевести условие задачи на язык генотипов
родителей и их потомства.
2. Записываем схему скрещивания. Принято, что слева
записывается генотип матери (самки), справа – генотип отца (самца). Буква P обозначает parents – родители.
3. Указываем возможные гаметы (наборы гамет в случае
полигибридного скрещивания), которые может образовать каждый из родителей. Буква G обозначает
gamete – гаметы.
4. Выписываем все возможные комбинации генотипов
потомства и определяем их фенотип. Буква F обозначает fertility – рождаемость.
5. Для вычисления вероятности образования каждого из
генотипов записываем решетку Пеннета. Принято,
что в первой строке указываются гаметы матери, а в
первом столбце – гаметы отца. В первой строке и
первом столбце указываем вероятности образования
гаметы (набора гамет), для вероятности генотипа потомства перемножаем вероятности образования гамет
и потом суммируем для одинаковых генотипов (фенотипов) таблицы.
Задача 7.2.
Потомство лошадей белой и гнедой мастей всегда имеет
золотисто-желтую окраску. У двух золотисто-желтых лошадей появляются жеребята: белый и гнедой. Рассчитайте, ка-
89
кова была вероятность появления таких жеребят, если известно, что белая масть определяется доминантным геном
неполного доминирования, а гнедая – рецессивным геном.
Будут ли среди потомства этих лошадей золотисто-желтые
жеребята? Какова вероятность появления таких жеребят?
Решение.
Исходно условие задачи напоминает первый и второй законы Менделя: один родитель гомозиготен по доминантному
аллелю (белый), второй – по рецессивному (гнедой). Их потомство генетически однотипно, но из-за неполного доминирования фенотипически оно отличается от обоих родителей.
Итак, если родители – АА (белый) и аа (гнедой), то все
потомки будут гетерозиготами (Аа). В этом случае, используя выкладки, аналогичные второму закону Менделя, мы получаем расщепление по генотипу во втором поколении
1(АА):2(Аа):1(аа). Иными словами, вероятность появления
белых или гнедых жеребят в потомстве золотистых родителей – 25%, а золотистых жеребят – 50%.
Ген
A
a
Признак
Белая масть
Гнедая масть
Генотип
AA
aa
Aa
90
Фенотип
Белая масть
Гнедая масть
Золотистожелтая окраска
Решетка Пеннета:
½A
½a
½A
¼ AA
Белая
¼ Aa
Золотистая
½a
¼ Aa
Золотистая
¼ aa
Гнедая
Задача 7.3.
При скрещивании красноплодной и белоплодной земляники были получены только розовые ягоды. Напишите генотипы исходных и гибридных форм, если известно, что ген
красной окраски не полностью доминирует над геном, контролирующим белую окраску.
А вот эту задачу мы оставим для самостоятельного решения, так как она полностью аналогична двум предыдущим.
Теперь мы рассмотрим несколько более сложных задач,
описывающих ситуации, когда приходится иметь дело уже не
с одним, а с несколькими признаками. Сначала мы рассмотрим два признака (дигибридное скрещивание), а затем и три
(тригибридное).
Задача 7.4.
У женщины, страдающей сахарным диабетом, (у ее родителей углеводный обмен не был нарушен), резусположительной (ее мать также резус-положительная, тогда
как отец – резус-отрицательный), и мужчины, не имеющего
сахарного диабета, (у его матери был ярко выраженный сахарный диабет), резус-положительного (его отец был резусотрицательным), родился ребенок: резус-отрицательный,
страдающий сахарным диабетом уже с детства. Какие шансы
были у ребенка появиться именно таким, если учесть всю
имеющуюся в нашем распоряжении информацию о близких
и дальних родственниках этого ребенка? Ген резусположительности – доминантный ген (как и ген, контролирующий нормальный углеводный обмен).
91
Предполагается, что перед тем, как читать решение, читатель самостоятельно проработает условие задачи и попытается её решить. А пока, поскольку многие задачи по генетике
затрагивают человеческие синдромы, полезно будет упомянуть следующие факты:
• Каталог Мак-Кьюика насчитывает более 5000 нормальных и патологических признаков, наследуемых
по Менделю.
• Лондонская база по синдромологии содержит описания более 2500 синдромов, и 10-20 новых синдромов
описываются ежегодно.
Решение.
Итак, сначала установим соответствие между фенотипами (резус-фактор, наличие/отсутствие сахарного диабета) и
вариантами генотипов.
Ген резус-положительности – доминантный, значит доминантные гомозиготы и гетерозиготы будут резусположительны, и лишь рецессивные гомозиготы – резусотрицательным. Ген, контролирующий нормальный углеводный обмен (т.е. отсутствие сахарного диабета) – доминантный, а значит, сахарный диабет будет наблюдаться только у
рецессивных гомозигот.
Ген
A
a
Rh
rh
Признак
Сахарный диабет– (нормальный углеводный обмен)
Сахарный диабет+ (нарушенный углеводный обмен)
Резус-положительность
Резус-отрицательность
Исходя из этих соображений, мы достаточно точно можем определить генотипы матери, отца и их родителей. Вве-
92
дём обозначения и запишем их в виде схемы скрещивания,
поставив прочерки там, где невозможно определить, был ли
предок доминантной гомозиготой или же гетерозиготой.
Напомним еще раз, что во избежание путаницы в схеме
скрещивания слева записывается генотип матери, справа –
генотип отца. В решетке Пеннета гаметы матери записываются по горизонтали в первой строке, гаметы отца – по вертикали в первом столбце.
Теперь, используя эту схему, нужно оценить вероятность
появления ребёнка с отрицательным резусом и сахарным
диабетом. Это несложно проделать, зная генотипы обоих родителей, при помощи решётки Пеннета. Однако есть и другой путь. Согласно III закону Менделя, скрещивание разных
генов происходит независимо, поэтому можно расписать
схемы скрещиваний для каждого из признаков (моногибридное скрещивание), определить вероятности «нужных» вариантов и просто перемножить их.
Схема скрещивания по сахарному диабету:
93
Схема скрещивания по резус-фактору:
По резус-фактору оба родителя – гетерозиготы. Значит,
вероятность появления рецессивной гомозиготы в потомстве
– ¼ или 25%. По сахарному диабету вероятность появления
больного ребёнка – ½ (50%). Таким образом, вероятность появления ребёнка с диабетом и отрицательным резус фактором – 1/8, что и будет искомым ответом.
В задачах по полигибридное скрещивание достаточно
легко ошибиться, выписывая все возможные комбинации гамет родителей и генотипы потомства. Поэтому рекомендуем
студентам использовать схемы моногибридных скрещиваний
и дальнейшее произведение вероятностей для отдельных
признаков.
94
Задача 7.5.
У матери ребенка – II группа крови, круглое лицо, тонкие
кости; у отца – III группа крови, продолговатое лицо, нормальная толщина костей. Вычислить, какова вероятность появления в данной семье ребенка с I группой крови, внешне
похожего на отца (продолговатое лицо, нормальная толщина
костей), если известно, что гены, контролирующие формирование костей нормальной толщины и продолговатый овал
лица, – рецессивные и расположены в разных парах аутосом.
Группа крови контролируется одним геном, у которого
есть три альтернативных варианта – А, В и 0 (ноль). Соответственно, генотип может быть: 00 (I группа крови), 0А и АА (II
группа), 0B и ВВ (III группа) и АВ (IV группа). Это отнюдь не
единственный случай, когда один признак имеет более чем
два варианта, что следует учитывать в дальнейшем.
Решение.
Сначала введём обозначения для таких признаков, как
толщина костей и форма лица. Обозначения для групп крови
стандартные и приведены в предыдущем абзаце.
Ген
Признак
Тонкие кости
D
Кости нормальной толщины
d
Круглое лицо
E
Продолговатое лицо
e
По условию задачи, гены, контролирующие затронутые в
ней признаки, расположены в разных парах аутосом. Это означает, что они расположены в разных парах неполовых (соматических) хромосом и никак не взаимодействуют при
кроссинговере, что даёт нам право применять третий закон
Менделя.
Заметим, что если у родителей вторая и третья группы
крови, а у ребёнка – первая, то родители просто не могут
95
быть гомозиготами (АА или ВВ), и их генотипы – А0 и В0,
только в этом случае ребёнок может получить набор гамет 00
(первая группа).
Если у родителей доминантный фенотип, а у ребенка –
рецессивный, то родители являются гетерозиготами по данному гену, вероятность рождения – ¼ (см. II закон Менделя).
Гены, контролирующие нормальную толщину костей и
продолговатый овал лица – рецессивные, значит, отец является рецессивной гомозиготой по каждому из этих признаков. А по фенотипу матери можно сказать, что по крайней
мере одна аллель каждого из этих признаков у неё доминантная. Но может ли она быть доминантной гомозиготой хоть по
одному из них? Нет, иначе у ребёнка не будет шансов быть
похожим на отца. Значит, мать – гетерозигота и по гену, контролирующему форму лица, и по гену, отвечающему за толщину костей.
Таким образом, мы определили генотипы родителей. Теперь выпишем схему скрещивания и посмотрим, какие варианты гамет могли быть у матери и отца, и с какой вероятностью они могли привести к рождению ребёнка с первой
группой крови, являющегося рецессивной гомозиготой по
форме лица и толщине костей.
96
Чтобы воспользоваться третьим законом Менделя и получить окончательный ответ, распишем схемы моногибридных скрещиваний.
Группа крови:
Толщина костей:
Форма лица:
97
Таким образом, вероятность рождения ребёнка с заданной комбинацией признаков составляет ½ · ½ · ¼ = 1/16.
В задачах уже упоминалось, что гены, контролирующие
различные признаки могут располагаться как на соматических, так и на половых хромосомах. Половых хромосом у нас
всего одна пара, у женщин эта пара выглядит как ХХ, у мужчин – как XY.
Если ген, контролирующий признак, локализован на Yхромосоме, он будет проявляться только у мужчин. Причём,
заметим, такой признак будет контролироваться одной аллелью, а не двумя. Если же ген локализован на Х-хромосоме, то
у женщин он будет контролироваться двумя аллелями, а у
мужчин – всего одной. И наследование признаков, гены которых локализованы на половых хромосомах (говорят – признаков, сцепленных с полом) может существенно отличаться
от наследования обычных аутосомных признаков. Разберём
это подробнее на примере следующих ниже задач.
Задача 7.6.
От брака мужчины, у которого нет рахита, устойчивого к
лечению витамином D, и женщины, страдающей этим заболеванием, рождается здоровая, как и ее отец, девочка. Может
ли данная семья быть абсолютно уверенной в том, что и все
последующие дети, родившиеся в этой семье, будут такими
же здоровыми, как и эта девочка? Известно, что ген, ответственный за развитие этой болезни, – доминантный ген полного доминирования, локализованный в X-хромосоме.
Решение.
Итак, нам известно, что ген, отвечающий за развитие рахита, устойчивого к лечению витамином D – доминантный, и
локализован он на Х-хромосоме. Что можно сказать про генотипы родителей, исходя из этого?
Мать – больна, значит по генотипу она гетерозигота или
доминантная гомозигота. Отец – здоров, значит единственная
98
его аллель этого гена – нормальная. Если родилась здоровая
девочка, значит, мать – гетерозигота. В итоге мы можем нарисовать схему скрещивания и/или решётку Пеннета и посмотреть, какие варианты потомства будут возможны:
a
½X
½Y
½ XA
¼ XAXa
Рахит
¼ XAY
Рахит
½ Xa
¼ XaXa
Нет рахита
¼ XaY
Нет рахита
Получается, что вероятность рождения здорового ребёнка
– 50% (по 25% на мальчиков и девочек), и точно такая же ситуация с больными. Никаких гарантий того, что прочие дети
будут здоровыми, как и девочка-первенец, не существует.
Задача 7.7.
Известно, что ген гемофилии (несвертываемость крови) –
рецессивный ген, локализованный в X-хромосоме. Здоровая
женщина, мать которой так же, как и она, была здоровой, а
отец страдал гемофилией, вышла замуж за мужчину, страдающего гемофилией. Появление какого потомства можно
ожидать от этого брака (относительно рассматриваемого заболевания)? Использовать при решении этой задачи такую
весьма распространенную форму изображения половых хромосом: X-хромосома – как тире (—); Y-хромосома – как полустрелка (¬).
Решение.
Ген гемофилии, как и ген рассмотренного ранее рахита,
локализован на Х-хромосоме. Однако, в отличие от рахита,
этот ген рецессивен. Таким образом, гетерозигота (женщинаноситель) будет здорова, но может иметь больных гемофилией детей. А мужчины с таким геном всегда будут больны изза единственности копии.
99
Рассмотрим генотипы родителей в этой задаче: отец болен, следовательно единственная его копия гена – «болезненная». Мать здорова, но у неё был больной отец, значит –
она гетерозигота по гену, отвечающему за свёртываемость
крови. Иначе можно сказать, что она – носитель гена гемофилии. Осталось ввести обозначения соответственно требованиям задачи и записать схему скрещивания:
Ген
H
h
Признак
Гемофилия (нормальная свертываемость крови)
Гемофилия + (несвертываемость
крови)
–
Чтобы определить, какие варианты генотипов у детей
возможны, нарисуем решётку Пеннета:
100
Здесь стоит обратить внимание на клетку, соответствующую девочкам-гемофиликам (рецессивным гомозиготам).
Дело в том, что женщины с гемофилией (не просто носители
гена, а именно больные) встречаются намного реже, чем могли бы, исходя из частоты встречаемости гена. Большинство
зачатых гомозигот с гемофилией погибают до выхода из материнской утробы, что дало основания считать ген гемофилии полулетальным. В рамках этой задачи мы будем считать,
что женщин с гемофилией пренебрежимо мало. И мы можем
сделать следующие выводы в отношении зачатых детей:
1. Все девочки, родившиеся в этой семье, здоровы, но
имеют гетерозиготный генотип: Hh (1/4 от всех зачатых детей).
2. Появление здоровых мальчиков и мальчиковгемофиликов можно ожидать с равной вероятностью (по 1/4
от всех зачатых детей).
3. Наконец, при комбинации hh (1/4 от общего количества детей) должна бы родиться девочка, но этого, увы, не происходит, так как ген гемофилии является полулетальным геном.
В отношении же детей рождённых выводы будут несколько иные:
1. Все девочки (1/3 от рождённых) – здоровы, но являются носителями.
101
2. Мальчиков будет 2/3 от числа рождённых, из них половина будет больна гемофилией, другая половина – здорова.
До этого мы рассматривали признаки, сцепленные с Ххромосомой, которая встречается как у мужчин, так и у женщин. Однако существуют и признаки, гены которых локализованы на Y-хромосоме. Несложно догадаться, что такие
признаки проявляются только у мужчин и, соответственно,
передаются по наследству тоже только мужчинам.
Задача 7.8.
Женщина невероятно взволнована случайно полученной
от «доброжелателей» информацией о тайне семьи своего мужа. Оказалось, что и ее мужу, и его братьям, и их отцу в раннем детстве была сделана операция по ликвидации синдактилии – врожденного сращения указательного и среднего
пальцев на правой руке. Женщина обратилась за советом к
медикам. Как будут выглядеть дети, рожденные от одного из
представителей этого семейства (мальчики и девочки)?
Хотя в условии задачи этого прямо и не сказано, но вполне логично предположить, что речь идёт о генетическом нарушении, источник которого локализован именно на Yхромосоме.
Ещё заметим, что синдактилия – это вовсе не обязательно
именно сращение указательного и среднего пальца. Синдактилии – это целый класс врождённых нарушений, связанных
со сращением разных частей тела. Тот вариант, о котором
идёт речь в задаче – довольно простой и безобидный, к тому
же легко устранимый в раннем детстве косметической хирургической операцией.
Решение.
В свете сказанного выше мы имеем следующую схему
скрещивания:
102
Ген
A
a
Признак
Синдактилия –
(нормальное строение кисти)
Синдактилия +
(нормальное строение кисти)
Получается, что в потомстве все девочки будут здоровы,
а все мальчики – неизбежно больны.
Влияет ли хирургическое изменение фенотипа на генотип?
Изменение фенотипа не влечёт изменений в генотипе –
являясь внешне здоровым человеком, такой отец неизбежно
будет иметь сыновей с синдактилией.
Насколько этично и законно было сообщать женщине о
наследственном заболевании в семье мужа?
Конституция РФ и Уголовный кодекс РФ гарантируют
конфиденциальность персональных данных, в частности, сохранение врачебной тайны. Если подростку исполнилось 14
лет, даже родители не могут получать от врача информацию
о состоянии его здоровье без согласия на то подростка (например, о беременности девочки, венерологических заболеваниях, ВИЧ и т.д.). Если вам случайно стали доступны тако-
103
го рода сведения, необходимо сообщить о канале утечки информации человеку или соответствующей организации.
С другой стороны, в ряде случаев реализации своих конституционных прав (на учебу, на работу, на лечение) гражданин обязан представить достоверные данные о состоянии
своего здоровья в государственные службы, при вступлении
в брак или интимные отношения – своему партнеру. Сознательное сокрытие инфекционного заболевания, которое повлекло за собой опасность заражения других людей, является
уголовно наказуемым.
Может ли медицина гарантировать родителям рождение детей без генетических отклонений?
Экстрапоральное оплодотворение (ЭКО) – один из методов лечения бесплодия, при котором оплодотворение яйцеклетки происходит вне организма женщины. Показано, что
на определенном этапе развития эмбриона можно без вреда
для него изъять клетку и провести анализ генома на наличие
известных генетических аномалий, соответственно отобрав
только здоровые эмбрионы. К сожалению, при ЭКО могут
возникать осложнения.
Явление сцепленного наследования и кроссинговер.
До этого мы разбирали ситуации, которые довольно просто укладываются в законы Менделя. Даже наследование,
сцепленное с полом, несмотря на специфичность результатов, вносит коррективы лишь в случае локализации генов на
половых хромосомах. Однако нарушения законов Менделя
возможны и в том, случае, когда признаки локализованы на
соматических хромосомах, и именно о такой ситуации – следующая задача.
Задача 7.9.
Известно, что ген гемофилии и ген дальтонизма – это рецессивные гены, локализованные в Х-хромосоме; расстояние
между ними определено в 9,8 морганиды. Здоровая девушка,
104
мать которой дальтоник, а отец – гемофилик, выходит замуж
за мужчину, родители которого здоровы (относительно рассматриваемых заболеваний). Определить, какова вероятность
появления в этой семье здоровых детей (девочек, мальчиков).
Если гены локализованы на крайне незначительном расстоянии друг от друга, то они практически всегда передаются
вместе, то говорят о полном сцеплении. Если же гены локализованы в одной и той же хромосоме на значительном расстоянии друг от друга, то почти наверняка в процессе кроссинговера – обмена участками между хромосомами – аллели
поменяются местами.
Расстояние между генами, локализованными в одной и
той же хромосоме, измеряется в морганидах, или в процентах (отношение числа кроссинговерных особей к общему
числу потомства).
Решение.
Сначала введём обозначения – практически те же, что и в
предыдущих задачах:
Ген
D
d
H
h
Признак
Дальтонизм – (нормальное зрение)
Дальтонизм + (цветовая слепота)
Гемофилия – (нормальная свертываемость крови)
Гемофилия + (нарушение свертываемости крови)
L = 9,8%
Теперь выясним, каковы генотипы родителей. Из данных
о родителях девушки ясно, что от матери ей досталась хромосома с рецессивным геном, отвечающим за дальтонизм. От
отца же досталась хромосома, несущая ген, отвечающий за
нормальное зрение (дальтонизм отсутствует) и ген, приводящий к развитию гемофилии. Поскольку девушка здорова, то
105
можем заключить, что от матери ей достался ген, отвечающий за нормальную свёртываемость крови.
Проведя подобные же рассуждения в отношении отца и
его родителей, можем построить следующую схему скрещивания:
В последней строке этой схемы, после генотипов родителей, приведены варианты генотипов гамет, получаемых в
процессе мейоза. Тут стоит отметить, что мейоза между Х и
Y хромосомой (у отца) не происходит. А вот у матери – две
Х-хромосомы, и между ними вполне возможен мейоз, что и
приводит к появлению не 2-х, а 4-х вариантов генотипов у
гамет. Поскольку дано расстояние между генами (в морганидах), то можно сказать, что не-кроссинговерные (часто сокращают и пишут «кроссоверные» - см., например, таблицу)
варианты проявятся с вероятностью 90,2% (по 45,1% на каждый из двух), а кроссинговерные – с вероятностью 9,8% (по
4,9% на каждый).
106
Теперь осталось записать решётку Пеннета и подсчитать, каковы вероятности разных генотипов у детей.
В итоге мы получаем, что все девочки будут здоровы, а
вот при рождении мальчика шансы оказаться полностью здоровым весьма невелики – всего лишь 2,45%. Все остальные
мальчики будут больны либо гемофилией, либо дальтонизмом, либо и тем, и другим сразу.
Задание на дом
1. Если у пшеницы ген, определяющий малую длину колоса, не полностью доминирует над геном, ответственным за
возникновение колоса большой длины, то какой длины колосья могут появиться при скрещивании двух растений, имеющих колосья средней длины?
2. Анофтальмия (отсутствие глазных яблок) – это наследственное заболевание, за развитие которого отвечает рецессивный ген. Аллельный не полностью доминантный ген обусловливает нормальный размер глаз. У гетерозигот размер
глазных яблок несколько уменьшен. Если женщина с умень-
107
шенным размером глазных яблок выйдет замуж за мужчину с
нормальной величиной глаз, как будут выглядеть их дети?
3. Известно, что ген шестипалости (одной из разновидностей полидактилии), как и ген, контролирующий наличие
веснушек, – доминантные гены, расположенные в разных парах аутосом. Женщина с нормальным количеством пальцев
на руках и с веснушками на лице вступает в брак с мужчиной, у которого также по пять пальцев на каждой руке, но не
от рождения, а после перенесенной в детстве операции по
удалению шестого пальца на каждой руке. Веснушек на лице
мужчины не было от рождения, нет и в настоящее время. В
этой семье имеется единственный ребенок: пятипалый, как и
мать, и без веснушек, как отец. Высчитать, каков был шанс у
этих родителей создать именно такого ребенка.
4. Один из супругов имеет II группу крови, является резус-отрицательным. Его мать, как и он, со II группой крови и
резус-отрицательна. У его отца – также II группа крови, но он
резус-положительный. Второй супруг – с IV группой крови,
резус-положительный. О его родителях имеется следующая
информация: один из них – с IV группой крови и резусположительный, другой – с III группой крови и является резус-отрицательным. Определить вероятность появления в
этой семье всех возможных вариантов генотипов детей, учитывая при этом, что речь идет о группах крови (система АВО)
и что ген Rh – доминантный, а ген rh – рецессивный.
108
Семинар № 8. Взаимное влияние генов.
На этом семинаре мы рассмотрим некоторые случаи
взаимодействия генов, в частности:
• Комплементарность,
• Эпистаз,
• Полимерия,
• Плейотропное действие генов,
• Летальные гены.
Комплементарность
Комплементарностью называется такой вид взаимодействия генов, когда при наличии двух доминантных аллелей
разных генов проявляется новый признак. Примером может
служить появление потомства с розовыми цветками у двух
растений с белыми.
Каков механизм возникновения комплементарности? Одним из самых простых вариантов объяснения будет следующий: многие признаки зависят не от одного, а от нескольких
генов (скажем, в случае с душистым горошком для развития
окраски у цветов необходимо, чтобы в организме синтезировались определённые белки, а также ферменты, превращающие эти белки в пигмент). Если хотя бы один из этих генов
«ломается», то признак не реализуется (цветки остаются белыми, то есть неокрашенными).
«Рабочая» аллель гена является доминантной по отношению к «нерабочей». Тогда, если признак контролируется
двумя генами, мы можем иметь следующий вариант генотипов у двух неокрашенных цветков: у одного синтезируется
только фермент, а у другого – только белок-субстрат – ААbb
и aaBB. Разумеется, по рабочему гену родители могут быть и
гетерозиготны (Ааbb), но если уж брать обозначенную упрощённую ситуацию, то в потомстве все растения будут гетерозиготами по обоим генам – АаBb – и, значит, их цветки будут
окрашены.
109
А что будет во втором поколении, то есть какое количество растений в потомстве окажется окрашенным, и какие
генотипы будут встречаться? Для этого нарисуем решётку
Пеннета в предположении, что родители – гетерозиготы по
обоим генам.
AB
Ab
aB
ab
AB
AABB
AABb
AaBB
AaBb
Ab
AABb
AAbb
AaBb
Aabb
aB
AaBB
AaBb
aaBB
aaBb
ab
AaBb
Aabb
aaBb
aabb
Окрашенными будут те цветки, у которых хотя бы одна
аллель в каждом гене – доминантная. Для простоты восприятия такие генотипы в таблице выше помечены цветом. Несложно подсчитать, что окрашенного потомства будет 9/16
от всего, остальные же цветки будут неокрашенными.
А теперь посмотрите ещё раз на решётку Пеннета выше и
ответьте на следующие вопросы:
• Какие комбинации генотипов растений с неокрашенными цветками могут дать окрашенное потомство? А
какие из них гарантированно дадут неокрашенное потомство вне зависимости от его количества?
• Какая комбинация генотипов родителей с окрашенными цветками даст наибольшее количество неокрашенного потомства?
110
Эпистаз
При эпистатическом взаимодействии одна пара генов
может подавлять работу другой пары генов. Ген, подавляющий работу неаллельного ему гена, называется эпистатическим, или геном-супрессором, а подавляемый ген – гипостатическим.
Пример: доминантный ген серой окраски лошади подавляет проявление другой пары генов, определяющих масть
(вороную, рыжую, гнедую), вне зависимости от того, является эта пара рецессивной или доминантной гомозиготой или
гетерозиготой – окраска лошади будет только серой (лошади
с генотипами ААbb, Ааbb, ААВВ, АаВВ или АаВb).
При скрещивании двух серых лошадей, каждая из которых является гетерозиготой по обоим генам, мы в потомстве
получим распределение вероятности по окраске, соответствующее приведённой ниже решётке Пеннета:
AB
Ab
aB
ab
AB
AABB
AABb
AaBB
AaBb
Ab
AABb
AAbb
AaBb
Aabb
aB
AaBB
AaBb
aaBB
вороная
aaBb
гнедая
ab
AaBb
Aabb
aaBb
гнедая
Aabb
рыжая
Здесь серым цветом выделены собственно генотипы серых лошадей, а генотипы, соответствующие другим вариантам окраски, подписаны.
111
Полимерия
При полимерии один признак определяется несколькими
парами генов, причём эти гены в определённом смысле равноправны – интенсивность признака зависит от суммарного
количества доминантных аллелей во всех парах.
Пример: окраска семян овса определяется 2 парами генов. Доминантные гомозиготы по обеим парам имеют черную окраску, а рецессивные гомозиготы – желтую. Промежуточные формы имели серую окраску, причем было
установлена прямая зависимость интенсивности окраски от
числа доминантных аллелей.
AABB
AABb,
AaBB
AaBb,
AAbb,
aaBB
Aabb,
aaBb
aabb
Как можно понять по приведённой таблице, при двух парах генов, контролирующих один признак, получается пять
разных фенотипов.
• Посчитайте, какова вероятность получения потомства
средне-серого цвета для растений такой же окраски и
с генотипом AaBb.
• Согласно теории, цвет кожи человека определяется
пятью парами генов по принципу полимерии. У представителей негроидной расы генотип AABBCCDDEE,
а у европеоидов – aabbccddee. Определите, сколько
будет существовать фенотипов человека по цвету кожи.
Плейотропное действие генов
Плейотропное (множественное) действие гена заключается в том, что один и тот же ген может влиять на большое
количество признаков. Говоря о плейотропном действии генов, различают несколько типов генов по отношению к тако-
112
му взаимодействию: гены основного действия определяют
развитие признака, а гены-модификаторы – усиливают или
ослабляют (соответственно интенсификаторы и супрессоры)
действия основного гена .
Пример 1: ген карликовости (рецессивная аллель) определяет ненормальное развитие гипофиза. Рецессивные гомозиготы прекращали расти на второй неделе, были неспособны к размножению, внутренние органы, особенно железы
внутренней секреции, имели измененную форму, мыши были
менее подвижны и плохо переносили перепады температур.
Пример 2: Пигмент радужной оболочки глаза играет определенную роль в защите органа зрения от инфекций. Люди
с серой радужкой больше всего подвергаются травмам и осложнением глаз. Меньше подвергаются этим травмам и осложнениям лица с голубыми и карими глазами. Помимо этого, учеными зафиксировано повышение экстравертированности, ригидности и снижение общего индекса интеллекта
по мере перехода от светлой пигментации глаз к темной.
Определите, какие гены в приведённых выше примерах являются модификаторами, а какие – генами основного действия.
Летальность генов
Под летальностью генов подразумевают их способность
вызывать изменения в организме, несовместимые с жизнью.
Летальность генов может рассматриваться как вариант
плейотропного действия генов – определяя какой-то признак,
ген также влияет на жизнеспособность организма в целом.
Ярким примером летальности гена является ген платиновой окраски у лисиц. Примерно в 30-е года ХХ века этот ген
появился в результате мутации, и мех такой окраски быстро
вошёл в моду и стал очень дорогим. В результате перед селекционерами встала задача вывести чистую линию, гомозиготную по доминантному гену (платиновая окраска – именно
доминантный ген). Однако оказалось, что у платиновых ро-
113
дителей в потомстве также бывают серебристые лисята (исходно эти лисы были именно серебристыми), и их примерно
в два раза меньше платиновых. Кроме того, у нормальных
серебристых лисиц в помёте в норме 4-5 лисят, а у платиновых – 3-4. Из этого было установлено, что доминантные гомозиготы погибают на стадии эмбрионального развития, а
ген, определяющий их гибель, был назван летальным (часто
встречается термин «полулетальный», чтобы подчеркнуть
то обстоятельство, что гибнут именно гомозиготы по этому
гену).
Также бывают сублетальные гены – такие вызывают
врождённые заболевания, ведущие к смерти до наступления
половозрелости, хотя возможны и исключения.
Примером доминантного сублетального гена является
ген, определяющий заболевание ретинобластомой, при котором в раннем детстве развивается раковая опухоль в глазу.
Раньше это заболевание всегда приводило к смерти, а сейчас
проводят операции, спасающие от смерти, но приводящие к
слепоте на один или на оба глаза.
Еще примеры:
• «заячья губа и волчья пасть» – дефект развития верхней челюсти;
• гемофилия – отсутствие у крови способности свертываться (см. выше);
Задача 8.1.
При скрещивании между собой черных мышей всегда
получается черное потомство. При скрещивании между собой желтых мышей одна треть потомства оказывается черной, а две трети — желтой. Как это можно истолковать? Как
можно проверить правильность Вашего предположения
только генетическими опытами?
Решение.
Если при скрещивании жёлтых мышей в потомстве появляются чёрные, значит, жёлтый ген доминантен по отноше-
114
нию к гену, определяющему чёрную окраску, а по меньшей
мере один из жёлтых родителей – гетерозигота. Однако если
бы второй был гомозиготой по жёлтой окраске, то расщепление в потомстве составляло бы 1:1, что несложно проверить.
Значит, второй – тоже гетерозигота, а одна четверть потомства просто не рождается – по всей видимости, из-за летальности гена жёлтой окраски.
И действительно, установлено, что ген жёлтой окраски у
мышей является полулетальным. Проверить нашу догадку
можно следующим образом:
1. Подсчитать среднее количество мышат в помёте у
жёлтых мышей и у чёрных. Если ген – полулетальный, то численность помёта у жёлтых будет приблизительно на четверть меньше.
2. Скрестить жёлтую мышь в чёрной. В рамках наших
предположений жёлтая мышь – гетерозигота, а чёрная – рецессивная гомозигота, значит в потомстве в
среднем будет поровну жёлтых и чёрных мышей.
Попробуйте самостоятельно придумать ещё один-два
способа проверки.
Подобные способы проверки называются анализирующим скрещиванием. Они широко применялись селекционерами до открытия процедуры секвенирования ДНК (определения последовательности нуклеотидов).
С различными вариантами взаимодействия генов довольно часто сталкиваются в селекционной работе, когда идёт
отбор по одному – двум фенотипическим признакам. Наиболее ярко различные аномалии проявляются при близкородственном скрещивании, когда вероятность получения гомозиготы по какому-либо случайно взятому признаку может быть
существенно выше, чем если скрещивать двух особей, состоящих в дальнем родстве или попросту в оном не состоящих. Собственно, часто ссылаются на то, что близкородст-
115
венные браки были причиной упадка многих древних династий – скажем, древнеегипетских фараонов, у которых было
в порядке вещей брать в жёны собственных сестёр.
В собаководстве для поддержания частоты породы используется лайнбридинг – скрещивание родственников в 3-4
поколении. При выведении новых же пород используется,
как правило, ауткроссинг (аутбридинг) – спаривание неродственных производителей, для получения новых комбинаций
полезных признаков в одной породе; и инбридинг – спаривание близких родственников, на первом этапе становления одной породы. Стоит отметить, что в процессе инбридинга, по
крайней мере на первых порах, часто получаются психически
неустойчивые животные.
При близкородственных браках у людей (инбридинге у
животных) существенно повышается вероятность проявления
наследственных дефектов, которые доселе «мирно дремали»
в виде гетерозиготы.
Как отличить наследственное (следовательно, наследуемое) заболевание от, скажем, результата внутриутробной
травмы, последствий влияния внешней среды и т.п.? С этой
целью можно сформулировать признаки наследственного
происхождения аномалии:
• Соответствие данной аномалии описанию наследственных заболеваний. Иными словами, загляните в
медицинский справочник и поищите уже известную
аномалию, подходящую под ваше описание.
• Появление новорожденного с данной аномалией от
родственного скрещивания, причем не только при
близкой, но и при умеренной степени родства.
• Проявление подобных аномалий у родственников отца или матери потомка, рожденного с уродством.
• Проявление той же самой аномалии у нескольких потомков одного родителя.
116
Задание на дом
1. У душистого горошка гены С и Р порознь вызывают
белую окраску цветов, пурпурная окраска получается при
наличии в генотипе обоих доминантных генов. Растение душистого горошка с пурпурными цветами, скрещенное с растением, имеющим белые цветы, в потомстве дает половину
растений с пурпурными и половину с белыми цветами. Как
это можно объяснить? Определите возможные генотипы родительских растений.
2. Одна женщина много лет подряд выращивала дома на
подоконнике белоплодные баклажаны. Однажды она взяла у
знакомого садовода рассаду фиолетовых баклажан и одно из
растений скрестила с одним из своих белоплодных. На следующий год из гибридных семян она вырастила 5/8 растений
с белыми плодами и 3/8 с фиолетовыми. Какое расщепление
по цвету плодов получила бы женщина, если бы она самоопылила принесенное от садовода родительское растение,
дававшее фиолетовые плоды? Какой генотип имело ее собственное, взятое для скрещивания растение?
3. Доминантный аллель В определяет вороную окраску,
рецессивный аллель b – рыжую. Аллель А определяет серую
окраску и является геном-супрессором гена В. Какое потомство можно ожидать от родителей с серой и вороной окраски,
если они являются гетерозиготами по гену В?
4. У рыжего таракана прусака известны две доминантные
мутации по окраске тела: Pb (XI группа сцепления) — бледное тело и Bl (VI группа сцепления) — черное тело. При
скрещивании двух тараканов с бледным телом в потомстве
выщепилась 1/8 часть прусаков дикого типа и 1/8 часть особей с черным телом. Определите характер взаимодействий
генов и генотипы обоих родителей.
5. Рост человека контролируется несколькими парами несцепленных генов, которые взаимодействуют по типу полимерии. Если пренебречь факторами внешней среды и условно
ограничиться лишь тремя парами генов, то можно допустить, что в какой-то популяции самые низкорослые люди
117
имеют все доминантные аллели и рост 150 см, а самые высокие — все рецессивные и рост 180 см. Оцените рост людей, гетерозиготных по всем трем парам генов, контролирующих рост.
6. От брака негров и белых рождаются мулаты. Анализ
потомства большого числа браков между мулатами дал расщепление 1:4:6:4:1. Фенотипически это были черные и белые потомки, мулаты, а также темные и светлые мулаты.
Определите количество генов, обуславливающих окраску
кожи, характер их взаимодействия и генотипы родителей
и потомков. Может ли от брака белой женщины с мулатом
или с африканским негром родиться совершенно черный
ребенок – негр? Почему?
7. Если взять достаточно большое количество людей
(поймав их случайным образом в различных районах Земного
шара), выясняется, что статистически достоверно темноглазые люди имеют темные волосы, а светлоглазые – светлые.
Как вы думаете, с чем может быть связана такая зависимость,
особенно, если учесть, что из нее бывает множество исключений. Предложите как можно больше вариантов ответа.
118
Семинар № 9. Популяционная генетика.
На
предыдущих
семинарах
мы
рассматривали
статические состояния – соотношения между генами в
определенный момент времени. Теперь мы посмотрим, как
доля некоторого
генотипа или фенотипа меняется со
временем.
Этим занимается популяционная генетика – наука,
изучающая распределение аллелей и изменение их частоты
под влиянием четырех движущих сил эволюции: мутагенеза,
естественного отбора, дрейфа генов и переноса генов.
Мутагенез
–
процесс
возникновения
мутаций
(изменений) в ДНК особей, входящих в популяцию.
Существует несколько способов классификации мутаций, для
примера приведем классификацию по Мёллеру:
• Гипоморфные мутации – измененные аллели
действуют в том же направлении, что и аллели дикого
типа. Синтезируется меньше белкового продукта.
• Гиперморфные мутации – измененные аллели
действуют в том же направлении, что и аллели дикого
типа. Синтезируется больше белкового продукта.
• Аморфные мутации – выглядит как полная потеря
гена (признака).
• Антиморфные мутации – меняется мутантный
признак (например, окраска зерна кукурузы меняется
с пурпурного на бурый).
• Неоморфные мутации – появляется новый признак,
не имеющий аналогов в диком типе.
В процессе эволюции закрепляются те мутации, которые
оказались выгодными для выживания данного организма или
вида. Согласно эволюционной теории, это происходит в
результате естественного отбора – природного процесса,
при котором из всех живых организмов сохраняются во
времени только те, которые обладают качествами,
способствующими успешному воспроизведению себе
119
подобных. Автор понятия – английский натуралист и
путешественник Чарльз Роберт Дарвин (1809-1882).
Основные положения теории были изложены в труде
«Происхождение видов», изданном в 1859 году.
Формами естественного отбора являются:
• Движущий отбор – форма естественного отбора, при
которой действие направлено в пользу особей,
имеющих отклонение от средней нормы в сторону
либо усиления, либо ослабления признака. Изменение
признака может происходить как в сторону его
усиления, так и в сторону его ослабления, вплоть до
исчезновения.
• Стабилизирующий отбор – форма естественного
отбора, при которой действие направленно против
особей, имеющих крайние отклонения от средней
нормы, в пользу особей со средней выраженностью
признака.
• Дизруптивный отбор – форма естественного отбора,
при которой действие направленно против особей,
имеющих среднюю выраженность признака, в пользу
особей имеющих крайние отклонения от нормы.
• Отсекающий отбор — форма естественного отбора,
при которой из популяции выбраковывается
подавляющее
большинство
особей,
несущих
признаки, резко снижающие жизнеспособность при
данных условиях среды. С помощью отсекающего
отбора из популяции удаляются сильно вредные
аллели.
Также
отсекающему
отбору
могут
подвергаться особи с хромосомными перестройками
и набором хромосом, резко нарушающими
нормальную работу генетического аппарата.
• Положительный отбор — форма естественного
отбора, при которой в популяции увеличивается
число особей, обладающих полезными признаками,
повышающими жизнеспособность вида в целом. С
120
помощью положительного отбора и отсекающего
отбора совершается изменение видов (а не только
посредством уничтожения ненужных особей, тогда
любое развитие должно остановиться, но этого не
происходит).
Рис. 9.1. Три типа отбора, действующего в популяциях: O
–
первоначальное
положение
точки
соответствия
оптимального фенотипа оптимальным условиям среды; N –
новое
положение
точки
соответствия.
Особи
в
заштрихованных участках оказываются в невыгодном
положении
и
гибнет.
Цифрами
1–3
указана
последовательность поколений
Частными
направлениями
естественного
отбора
являются:
• Выживание физически сильнейших организмов,
поскольку физическая борьба за ресурсы является
неотъемлемой частью жизни.
• Выживание наиболее сексуальных организмов,
поскольку
половое
размножение
является
доминирующим способом размножения.
• Выживание наиболее приспособленных организмов,
например видов, обладающих жабрами в воде,
121
поскольку приспособленность позволяет выигрывать
борьбы за выживание.
Обращаем внимание, что все эти случаи являются
частными, а главным остаётся успешное сохранение вида во
времени.
Дрейф генов – это явление ненаправленного изменения
частот аллельных вариантов генов в популяции,
обусловленное случайными статистическими причинами.
Рассмотрим один из механизмов дрейфа генов. В
популяции в процессах размножения образуется большое
число половых клеток — гамет. Большая часть этих гамет не
формирует зигот. Тогда новое поколение в популяции
формируется из выборки гамет, которым удалось образовать
зиготы. При этом возможно смещение частот аллелей
относительно предыдущего поколения.
Примером того, насколько важную роль может играть
дрейф генов, является образование вида Homo sapiens – то
есть нас с вами. Существует теория, по которой популяция
наших предков была каким-то образом долгое время
изолирована в местности на территории современной
Африки в достаточно ограниченном ареале, который
обеспечивал стабильную численность популяции в течение
многих поколений. В этих условиях из-за дрейфа генов в
популяции стала доминировать одна генетическая линия –
«генетические» Адам и Ева – потомками которых являются
все люди.
Среди
явлений
переноса
генов
выделяют
горизонтальный перенос, когда гены передаются между
разными видами, как близкородственными, так и
филогенетически отдаленными, принадлежащими даже к
разным царствам. Особенно часто это явление наблюдается
в симбиотических и паразитарных системах. Горизонтальный
перенос генов является главным источником инноваций,
инструментом быстрого приобретения и возникновения
новых генов, способных радикально изменить свойства
клеток, расширить их адаптационный потенциал.
122
Проявление наследственных свойств в популяции
Для математического описания явления введем понятие
приспособленности генотипа W – отношение числа зигот,
продуцируемых поколением, по отношению к числу зигот,
которое продуцировало предыдущее:
W = u ⋅v⋅ f
Здесь в качестве множителей выступают коэффициенты
отбора:
• v
– половая активность генотипа или частота
половых отношений, т.е. сколько раз в условный
промежуток времени приносится потомство. Для
млекопитающих
это
определяется
продолжительностью периода беременности и ухода
за выводком, для бактерий – продолжительностью
роста между последовательными делениями, и т.д.
Например, домовая мышь за год дает 5-10 приплодов
(до 14).
• f – плодовитость генотипа (среднее количество зигот,
продуцируемых
генотипом).
Для
крупных
млекопитающих оно порядка единицы, для домовой
мыши – 3-12 детенышей в каждом приплоде. Кладка
у кур – 10-50 яиц. Растения за год продуцируют сотни
и тысячи семян. Ленточные черви, живущие в
кишечнике животных, за год продуцируют сотни
миллионов яиц.
• u – жизнеспособность генотипа, т.е. какая доля
доживает до репродуктивного возраста и дает
потомство.
Например,
относительно
низкая
плодовитость
у
млекопитающих
и
птиц
компенсируется
высокой
жизнеспособностью,
поскольку мать заботится о своем потомстве. В то же
время подавляющее количество семян растений и яиц
червей гибнет, не давая потомства.
123
В рамках такой модели можно сравнивать генотипы с
разными признаками. Рассмотрим популяцию, в которой
присутствуют особи, гомо- и гетерозиготные по некоторому
гену, причем каждому генотипу соответствует свой фенотип
и своя приспособленность. Примем в качестве относительной
приспособленности генома:
W Aa ≡ 1 , W AA = 1 − s , Waa = 1 − t
Здесь приспособленность гетерозигот принята за 1, s и t –
относительные коэффициенты отбора для доминантных и
рецессивных гомозигот (могут быть как положительными,
так и отрицательными).
Пусть p – доля гена A в популяции, q – гена a в исходной
популяции:
p + q = 1.
Доля генотипов AA, Aa, aa определяется законом ХардиВайнберга. Этот закон можно сформулировать следующим
образом: в популяции бесконечно большого размера, в
которой не действует отбор, мутационный процесс,
отсутствует обмен особями с другими популяциями, а так же
ассортативность скрещиваний, частоты генотипов по какомулибо гену (в случае если в популяции есть два аллеля этого
гена) будут поддерживаться постоянными из поколения в
поколение и соответствовать уравнению:
p 2 + 2 pq + q 2 = 1
Закон можно наглядно проиллюстрировать решеткой
Пеннета:
A
p
a
q
A
p
AA
p2
Aa
pq
a
q
Aa
pq
aa
q2
124
Ассортативность – явление, при котором образование
супружеских пар или скрещивание в отношении какого-либо
признака происходит не случайным образом: имеется
половое
предпочтение.
Например,
в
человеческих
популяциях
отмечается
ассортативность
по
росту.
Ассортативность положительна, если пары подбираются по
принципу сходства, и отрицательна, если по принципу
противоположности.
Таким образом, можем выписать доли каждого из
генотипов в исходный момент. Для нахождения доли
генотипа после отбора исходное значение надо умножить на
приспособленность и нормировать на 1:
Генотип
АА
Аа
аа
Σ
Доля до отбора
p2
2pq
q2
1
После отбора
p2(1-s)
2pq
q2(1-t)
1-p2s-q2t
Соотношение генов после отбора:
p1 =
=p
p 2 (1 − s ) + pq
p − ps + q
=p
=
2
2
1− p s − q t
1 − p 2s − q 2t
1 − ps
1 − p 2s − (1 − p ) t
2
q1 = 1 − p1 .
В следующем поколении:
p2 = p1
1 − p1s
1 − p s − (1 − p1 ) t
2
1
2
;
q2 = 1 − p2 .
И так далее. Мы имеет так называемую марковскую цепь,
одной из свойств которой является то, что через большое
125
количество популяций установится режим с устойчивым
значением p* :
p= p
1 − ps
2
1 − p s − (1 − p ) t
2
Возможные решения:
1) p* = 0
2) 1 − p 2s − (1 − p ) t = 1 − ps
Решения:
2
p* = 1 ,
p* =
t
s
( q* =
)
s+t
s+t
Будет ли это решение устойчивым? Поясним термин
«устойчивость» – при небольших отклонениях от
стационарной точки возникают «силы», которые стремятся
вернуть систему в стационарную точку. Если же система
продолжает удаляться от стационарной точки, то такая точка
является неустойчивой. Как правило, биологические системы
стремятся к устойчивым точкам и траекториям.
Физическая аналогия: равновесие на кончике иглы –
неустойчивое, чуть толкнёшь шарик – и он свалится; а
равновесие на дне лунки – устойчивое, так как шарик всегда
будет возвращаться на дно после небольших воздействий
(конечно, если его не выкатили и не дотащили до другой
лунки).
Для исследования решений на устойчивость рассмотрим
уравнение p = F(p). Пусть p* – его стационарное решение: p*
= F(p*). Разложим функцию F(p) в ряд Тейлора в точке p*:
F ( p ) = F ( p* ) + F ′( p* )( p − p* ) + ...
p − p* = F ′( p* )( p − p* ) + ... ≈ F ′( p* )( p − p* )
Здесь мы пренебрегли членами второго и следующего
порядков, считая их малыми. Видно, что решение будет
устойчивым, если F ′( p* ) < 1 и последовательность pn будет
сходиться к p*:
126
pn +1 − p* = F ′ ( p* )( pn − p* )
Вернемся к решениям для генотипов:
1) p* = 0 – устойчиво при t < 0 (генотип aa самый
выгодный, остальные вымирают)
2) p* = 1 – устойчиво при s < 0 (генотип АА самый
выгодный, остальные вымирают)
3) p* =
t
– устойчиво при t > 0 и s > 0 (генотип Аа
s+t
самый выгодный, но присутствуют и другие генотипы
соответственно закону Харди-Вайнберга).
Группы крови
Другой иллюстрацией применения закона ХардиВайнберга является распределения людей по группам крови.
Группа крови — описание индивидуальных антигенных
характеристик эритроцитов, определяемое через химический
состав углеводов и белков на мембране эритроцитов
животных.
В мембране эритроцитов человека содержится более 300
различных антигенных детерминант. Вливание крови
несовместимой группы может привести к иммунологической
реакции, склеиванию (агрегации) эритроцитов, которая
может выражаться в гемолитической анемии, почечной
недостаточности, шоке и летальном исходе. Две важнейшие
классификации группы крови человека — это система AB0
и резус-система.
Система AB0 характеризуется тем, что в плазме крови
человека могут содержаться агглютинины α и β, в
эритроцитах — агглютиногены A и B, причём из белков A и
α содержится один и только один, то же самое — для белков
B и β. Таким образом, существует четыре допустимых
комбинации; то, какая из них характерна для данного
человека, определяет его группу крови.
127
Группа крови определяется 3 генами: IA, IB, IO.
Возможные фенотипы:
• Фенотип О (I группа: IOIO) – α и β (нет
гликопротеинов)
• Фенотип А (II группа: IAIO, IAIA) – А и β (имеют
гликопротеин А на поверхности эритроцитов и белок
агглютинин β).
• Фенотип В (III группа: IBIO, IBIB) – B и α (имеют
гликопротеин B на поверхности эритроцитов и белок
агглютинин α)
• Фенотип АВ (IV группа: IAIВ) – А и В (нет
агглютенинов)
Донор дает эритроциты (т.е. гликопротеины), у
реципиента важна реакция иммунной системы. Допустимые
направления донорства:
Реципиент
I (α, β)
II (β)
III (α)
IV (-)
I (-)
+
+
+
+
II (A)
–
+
–
+
Донор
III (B)
–
–
+
+
IV (A, B)
–
–
–
+
Задача 9.1.
Соотношение групп крови в Европе I:II:III:IV =
0,4:0,4:0,15:0,05. Найти стационарные частоты генов по АВ0системе групп крови.
Решение.
Пусть соотношение генов:
I A : I B : IO = p:q:t ,
p + q +t =1
Тогда согласно закона Харди-Вайнберга соотношение
групп крови как генотипов:
128
I : II : III : IV = t 2 : ( p 2 + 2tp ) : ( q 2 + 2tq ) : 2 pq =
= 0, 4 : 0, 4 : 0,15 : 0, 05
Еще раз обращаем внимание, что для гетерозигот есть
множитель 2. Решая систему уравнений, получаем:
t ≈ 0,63 ; p ≈ 0,26 ; q ≈ 0,11 .
Задачи на дом.
1. При переливании крови можно пациенту перелить
цельную кровь (все вместе), отдельно эритроцитарную массу,
практически очищенную от сыворотки (надо учитывать
только агглютиногены), и отдельно сыворотку (надо
учитывать только агглютинины). Для какой ситуации
(переливание крови, эритроцитарной массы или сыворотки)
дана таблица (перед задачей 9.1)? Как будет выглядеть такая
таблица в остальных ситуациях?
2. Аспиранту Наплевайту было поручено просеквенировать геном (определить последовательность нуклеотидов во
всех хромосомах) Кноррозябра крапчатого (Knorre maculata).
Однако Наплевайт запорол работу, а поскольку отчёт был
необходим, он решил сфабриковать результат. Взяв из
Интернета уже известный к тому времени геном близкого
вида Кноррозябра губчатого (Knorre labiata), в котором даже
были определены границы хромосом, он случайным образом
заменил в нем 10% нуклеотидов и объявил полученный
результат геномом Knorre maculata. Однако профессор
Аккурат (также знакомый с результатами исследований
генома Knorre labiata), быстро понял, что это
фальсификация. Как Вы думаете, как он мог это обнаружить,
имея на руках только 2 последовательности нуклеотидов?
3. Между зонами расселения европеоидной и
монголоидной расы в Южной Сибири существуют большие
районы, населенные представителями смешанного типа.
Одни ученые считают, что это остатки древнего населения,
еще не разделившегося на европеоидную и монголоидную
129
расы, другие же думают, что местное население – результат
вторичного смешения. Какие данные надо собрать, чтобы
выбрать одну из этих точек зрения?
4. Альбинизм у человека наследуется как рецессивный
аутосомный признак с частотой 1:20000. Вычислите
количество гетерозигот в городе с населением 10 млн.
человек.
130
Семинар № 10. Модели динамики популяций
Основное отличие предмета биологии состоит в том, что
одним из ключевых свойств биологических систем является
изменение численности составляющих ее объектов. Изучением законов изменения численности занимается динамика популяций.
Приведем несколько примеров практического применения математических моделей динамики популяций в различных разделах биологии и медицины:
• Микробиология – в процессе роста клетки увеличивается количество органелл клетки, цитоплазматических белков и т.д. При достижении некоторого критического значения возможно начало деления клетки.
• Санитария – распространение эпидемий прямо связано со скоростью размножения и передачи патогенных
бактерий и вирусов.
• Медицина – развитие раковых опухолей, рост и дифференцировка тканей, образование зародыша из яйцеклетки связаны с изменением количества и типа
клеток в различных тканях.
• Экология – борьба с вредителями химическими методами, без понимания законов развития популяции
этого вида и его взаимодействий с другими видами
часто неэффективна и приводит к вредным последствиях как для человека (пестициды), так и для окружающей среды. Аналогично, построение моделей необходимо для сохранения редких видов.
• Экономика и демография – прогноз роста численности трудовых ресурсов, процессов миграции, планирование социальных программ по рождаемости, продлению жизни и пенсионному страхованию.
• История – реконструкция исторических событий, их
причин и следствий.
• Страхование жизни и здоровья – оценка рисков.
131
Отметим, что изменение числа молекул (концентрации,
давления) есть и в химии. Именно поэтому многие математические модели являются общими для обеих наук.
Определения
Ключевыми понятиями в динамике популяций являются
собственно популяция (население) и численность.
Биологическая популяция – совокупность особей одного вида, которые проживают в одном географическом районе, отделенном от прочих естественными преградами (географическая
популяция),
проживают
в
отдельном
экологическом ареале (экологическая популяция) или обладают схожим набором генетических признаков (генетическая популяция). Применительно к человеку вводят понятие
населения – непрерывно возобновляющаяся в процессе воспроизводства совокупность людей, живущих на Земле в целом или в пределах какой-либо её части (стране, части страны, группе стран и т. п.).
Численность популяции (населения) – число представителей популяции в определенной их совокупности (регион и
т.п.). Постоянно изменяется вследствие рождений, смертей,
миграции, измеряется и оценивается по состоянию на определенный момент времени.
Рост населения Земли:
• 15 тыс. лет до н.э. — 3 млн. человек
• 2 тыс. лет до н.э. — 50 млн. человек
• 0 год н.э. — 230 млн. человек
• в 1000 году — 275 млн. человек
• в 1800 году — 1 млрд. человек
• в 1900 году — 1,6 млрд. человек
• в 1960 году — 3 млрд. человек
• в 1993 году — 5,5 млрд. человек
• в 2003 году — 6,3 млрд. человек
• в июле 2008 года — 6,7 млрд. человек
132
• Прогноз на 2050 год — 9 млрд. человек
Крупнейшие по численности народонаселения страны
(июль 2008 года):
1. Китай – 1330 млн.
2. Индия – 1147 млн.
3. Евросоюз – 491 млн.
4. США – 303 млн.
5. Индонезия – 237 млн.
6. Бразилия – 196 млн.
7. Пакистан – 172 млн.
8. Бангладеш – 153 млн.
9. Нигерия – 146 млн.
10. Россия – 140,7 млн.
11. Япония – 127 млн.
Несколько фактов:
• Вплоть до 1970-х гг. численность населения мира
росла по гиперболическому закону; в настоящее время наблюдается прогрессирующее замедление темпов
роста населения Земли.
• В начале 2000-х гг. народонаселение мира ежегодно
увеличивалось примерно на 90 млн. человек.
• Географическое распределение народонаселения неравномерно: на 7 % суши живет 70 % человечества.
• В мире насчитывается свыше 2 тыс. народов (только
в России – более 100).
Показателями населения являются:
• численность и динамика численности;
• интенсивность демографических процессов: рождаемость, смертность, естественный прирост, брачность;
• расселение, урбанизация, миграция;
• возрастно-половой состав и семейное состояние;
• уровень образования;
• расовый, языковой, этнический и религиозный состав.
133
Изучением населения и его свойств занимается наука демография. Вернемся, однако, к динамике популяций.
Модель Фибоначчи
Одним из первых, кто занимался этой темой, был Леонардо из Пизы, более известный как Фибоначчи (жил примерно в 1170 – 1250 гг.) — итальянский купец, рассмотревший идею так называемых чисел Фибоначчи и считающийся
одним из самых значительных западных математиков средневековья.
Задача 10.1.
Некто выращивает кроликов в пространстве, со всех сторон обнесенном высокой стеной. Сколько пар кроликов рождается в один год от одной пары, если через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рожают кролики,
начиная со второго месяца после своего рождения.
Решение.
Решение этой задачи для числа пар взрослых кроликов
приводит к последовательности Фибоначчи, когда число равно сумме двух предыдущих чисел последовательно:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …
В общем виде:
N (t + 2) = N (t + 1) + N (t )
1 ⎡⎛ 1 + 5 ⎞
⎢⎜
N (t ) =
⎟
5 ⎢⎜⎝ 2 ⎟⎠
⎣
t +1
t +1
⎛ 1− 5 ⎞ ⎤
− ⎜⎜
⎟⎟ ⎥
⎝ 2 ⎠ ⎥⎦
Задача 10.2. (обобщение)
Кролики выращиваются в ограниченном пространстве.
Каждый месяц пара кроликов может с вероятностью p умереть или произвести k молодых пар, которые через месяц
становятся взрослыми и могу давать потомство. Исходно
есть N1 молодых и N2 взрослых пар кроликов.
134
1. Как будет меняться численность кроликов со временем?
2. При каких условиях рост численности кроликов будет строго в геометрической прогрессии?
3. При каких значениях k и p численность кроликов будет оставаться постоянной?
Модель Мальтуса
Следующим ученым, обратившимся к теме динамики популяций, был Томас Роберт Мальтус (англ. Thomas Robert
Malthus, 1766-1834) – английский священник и учёный, демограф и экономист.
В 1798 году он опубликовал свою книгу «Essay on the
Principle of Population» («Опыт о законе народонаселения»).
Основные ее положения:
• Если рост населения не задерживается какими-либо
причинами, то население будет удваиваться каждые
четверть века, и, следовательно, возрастать в геометрической прогрессии.
• В своей книге ученый впервые использовал категорию «борьба за существование», которая затем была
использована биологом Ч. Дарвином в его «Происхождении видов».
Пусть r0 – постоянный темп роста численности однополой популяции при избытке ресурса (например, бактерий,
клеток опухоли). r0 = a − b , где a – рождаемость, b – естественная смертность. Тогда изменение численности популяции будет пропорционально текущей численности:
dN
= r0 ⋅ N , N (0) = N 0
dt
Решение:
N (t ) = N 0 e r0t
При r0 > 0 ⇒ N → ∞ – численность популяции неограниченно растет
135
При r0 < 0 ⇒ N → 0 – численность популяции стремится к 0, т.е. популяция вымирает.
Неограниченный рост численности невозможен из-за ограниченности ресурсов, поэтому позднее были предложены
другие модели.
Еще раз обращаем внимание на темп роста численности
популяции как характеристику изменения ее численности.
Темп роста имеет размерность обратного времени и показывает отношение скорости роста к текущей численности. Если
известна динамика численности N(t), темп роста в данный
момент времени можно вычислить следующими способами:
1 dN d ln N
=
N dt
dt
1 N (t )
2) r = ln
t
N0
1) r =
3) Из тангенса угла наклона касательной к графику
dN
dt
от N.
Например, если в популяции численностью 100 тыс. особей за год родилось 2000 и умерло 1000, прирост составил
1000 особей, соответственно темп роста равен 0,01 год-1.
Задача 10.3.
Найти темп роста числа пар кроликов в задаче Фибоначчи.
Решение:
Поскольку мы знаем решение (задача 1), можно действовать по определению темпа роста:
r=
1 dN
.
N dt
Однако решить задачу можно и без знания общей формулы:
136
N (t + 2) = N (t + 1) + N (t )
N (t + 1) − N (t ) N (t − 1)
N (t )
N (t )
1
=
r=
=
=
=
N (t )
N (t )
N (t + 1) N (t ) + N (t − 1) 1 + r
r=
5 −1
≈ 0, 618
2
Модель Ферхюльста
Пусть ресурсы ограничены, k – емкость среды (показывает, какое максимальное количество особей могут прокормиться). В этом случае возникает дополнительная смертность
из-за конкуренции внутри популяции, которая пропорциональна ее численности:
⎛ N⎞
r0 = r ⎜1 − ⎟
k ⎠
⎝
Отсюда:
dN
⎛ N⎞
= r ⋅ N ⎜1 − ⎟ , N (0) = N 0
dt
k ⎠
⎝
При r > 0 ⇒ N → k – численность популяции стремится
к максимально допустимой для данной среды. Такая кривая
носит название логистической:
137
Рис. 10.1. Логистическая кривая
Обращаем внимание, что при малой численности популяции смертностью из-за конкуренции можно пренебречь и
модель совпадает с моделью Мальтуса.
Задача 10.4. Вылов рыбы в пруду.
Найти долю v рыбы, которую необходимо отлавливать
из пруда, чтобы количество отлавливаемой рыбы было максимальным и постоянным. Изменение численности рыбы при
отсутствии вылова описывается моделью Ферхюльста с параметрами r и k . (Вариант: найти количество отлавливаемой рыбы).
Решение
Вылов рыбы математически описывается в виде дополнительного слагаемого смертности. Поскольку в задаче вылов задан постоянным, то и общее количество рыбы является
постоянным (стационарным):
dN
⎛ N⎞
= r ⋅ N ⎜1 − ⎟ − v ⋅ N = 0
dt
k ⎠
⎝
138
⎛ N⎞
r ⎜1 − ⎟ − v = 0
k ⎠
⎝
⎛ v⎞
N стац = k ⎜1 − ⎟
⎝ r⎠
Найдем количество вылавливаемой рыбы:
⎛ v⎞
v ⋅ N стац = k ⋅ v ⎜1 − ⎟ = f ( v )
⎝ r⎠
Видно, что функция имеет максимум:
k
r
⎛ 2v ⎞
f ′ ( v ) = 0 ⇒ k ⎜1 − ⎟ = 0 ⇒ v = , N стац =
2
2
r ⎠
⎝
r ⋅k
. Видно, что опКоличество отлавливаемой рыбы:
4
тимально оставаться в точке, где кривая имеет точку перегиба и максимальную скорость роста:
Рис. 10.2. Логистическая кривая – график первой и второй производных.
139
Разнополая популяция
Для разнополой популяции при неограниченных ресурсах
скорость размножения популяции определяется числом
встреч самцов и самок:
dN
= r⋅N2
dt
Аналогия из химии – закон действующих масс для реакций 2-го порядка, когда для прохождения реакции необходимо столкновение 2 молекул. Здесь темп роста численности
выполняет роль константы скорости (и имеет другую размерность!). По такому же закону происходит распространение эпидемий, встречи хищников и жертв, и т.д.
Задача 10.5. Распространение эпидемии
В популяцию, состоящую из N здоровых особей,
попадает 1 больной организм. Заболевание передается при
контакте больной (А*) и здоровой (А) особей с константой
скорости k:
k
A* + A ⎯⎯
→ 2 A*
За какое время в популяции не останется ни одной здоровой особи?
Решение.
Уменьшение количества здоровых особей [A] (обозначаем в виде концентрации, чтобы подчеркнуть общность с моделированием химических реакций):
d [ A]
= −k [ A] ⎡⎣ A* ⎤⎦
dt
При этом сохраняется общее число особей:
[ A] + ⎡⎣ A* ⎤⎦ = N + 1 ,
поэтому
d [ A]
= − k [ A ] ( N + 1 − [ A] )
dt
140
Решая это дифференциальное уравнение методом разделения переменных и последующего интегрирования алгебраической дроби, получаем:
N + 1 − [ A]
[ A]
= Ce
k ( N +1)t
Константу интегрирования С найдем из начального условия: при t=0 [A]=N, отсюда получаем зависимость уменьшения числа здоровых особей от времени:
[ A] =
N ( N + 1)
N + e k ( N +1)t
Отметим, что изменение числа здоровых (или заболевших) особей происходит по логистической кривой.
Время Т, за которое в популяции не останется ни одной
здоровой особи, находим из условия, что в популяции осталась только одна особь, в следующий момент времени она
тоже заразится, поэтому
N ( N + 1)
=1
N + e k ( N +1)T
2 ln N
T=
k ( N + 1)
Критическая численность вида
При большой плотности число встреч очень велико и
размножение лимитируется числом самок в популяции, т.е.
имеет эффективный 1-й порядок. Одна из моделей рождений:
dN
β ⋅N2
=α ⋅
,
β +τ ⋅ N
dt
где α, β, τ – некоторые параметры. Видно, что при N → +∞ :
dN αβ
=
N
τ
dt
Добавим слагаемое смертности в популяции:
141
−γ N − σ N 2 ,
где γ N – обычная смертность, σ N 2 – внутривидовая
конкуренция (как в модели Ферхюльста). Объединение рождаемости и смертности дает модель Базыкина для двуполой
популяции:
dN
βN2
=α
− γ N − σ N 2 , N (0) = N 0
β +τ N
dt
Уравнение имеет три стационарные точки, в которых
численность постоянна:
• N = 0 и N = k (емкость среды) – устойчивые точки
• N = l , 0 < l < k – неустойчивая точка.
Здесь l – критическая численность вида. Ее смысл в
том, что при низких плотностях популяции время, необходимое для встречи и оплодотворения, становится больше времени жизни отдельной особи, способной к оплодотворению.
Пренебрегая членом смертности внутривидовой конкуренции
σ N 2 (тут бы встретиться для размножения…), получаем
оценку для критической численности:
dN
βN2
=α
−γ N = 0
β +τ N
dt
γ ⋅β
l=
α ⋅ β − γ ⋅τ
142
Рис. 10.3. Модель Базыкина – критическая численность вида
Если начальная численность популяции больше l, то
дальше численность увеличивается вплоть до ёмкости среды,
причем характерное время выхода на стационарное значение
зависит от исходной численности. Если же начальная численность популяции меньше l, то численность начинает экспоненциально уменьшаться до нуля и популяция вымирает.
Одним из основных применений данной модели является
определение критической численности видов и своевременный запрет охоты на них в случае угрозы их вымирания. Печальным примером являются голубые киты, охота на которых прекратилась уже после того, как их численность
перешла критическую отметку. Возможным вариантом сохранения видов, плотность которых уже ниже критической,
является выращивание необходимого числа особей в питомниках, с последующим переселением в места естественного
обитания. Недостаток такого подхода – отсутствие страха
перед человеком, который очень важен для выживания в диких условиях.
Модель с запаздыванием
До сих пор мы рассматривали простую модель одновременных событий, когда родившиеся особи сразу же начинают
влиять на рождаемость. Такие модели описываются обыкно-
143
венными дифференциальными уравнениями, для которых
хорошо развит математический аппарат. Однако в реальности между рождением особи и началом половой активности
проходит некоторый период созревания τ, т.е. в данный момент рожают особи, которые появились время τ назад:
dN
dN
= f (N) ⇒
= f ( N t −τ )
dt
dt
Например, для млекопитающих τ – это время вынашивания плода и развития особи (достижения половой зрелости),
для одноклеточных – время между делениями, когда клетка
увеличивает свою массу, период, требующийся клетке для
удвоения своей массы. При сезонном размножении “взросление” занимает год или несколько лет:
d
N n +1 = f ( N n )
dt
Влияние запаздывания по времени возможно не только
на рождаемость, но и на смертность. Например, среди некоторых рыб распространено поедание мальков взрослыми
особями:
dN
= N ⋅ ( r − δ ⋅ N t −τ ) ,
dt
где r отвечает за естественное размножение и смертность,
δ ⋅ xt −τ – поедание взрослыми особями. Введем величину
k = r / δ , тогда можно записать так называемое уравнение
Хатчинсона:
dN t
⎛ N ⎞
= r ⋅ N t ⎜ 1 − t −τ ⎟
dt
k ⎠
⎝
В более общем виде, если на смертность влияют несколько возрастов:
⎛ 1t
⎞
dN t
= r ⋅ N t ⎜ 1 − ∫ ω ( t − s ) N ( s ) ds ⎟
dt
⎝ k0
⎠
144
Здесь ω ( t − s ) – функция распределения времен запаздывания.
Величина 1/r имеет размерность времени и имеет смысл
собственного времени развития системы. При τ < 1/ r колебания вокруг стационарного значения затухают, а при
τ > 1/ r могут возникать нарастающие колебания. Проверить
это можно по простому линейному уравнению
dN t
π
= − N t −τ ,
2τ
dt
которое имеет периодическое решение
N (t ) = A cos
πt
.
2τ
При τ >> 1/ r уравнение Хатчинсона решение может терять периодическую форму, превращаясь в хаотические биения. Примером тому является саранча, у которой время развития от яйца до взрослой особи много больше времени
естественной смертности. При этом периодически происходит вспышка численности (самки откладывают «походное»
потомство, которые потом летят и съедают все растения),
причем амплитуда “вспышки” пропорциональна интервалу
между вспышками (“регулярный хаос“).
Для простоты рассмотрим случай k = 1, τ = 1 и последовательные значения численности (так называемое уравнение
Морана):
xn +1 = rxn (1 − xn )
Стационарными решениями являются значения 0 и 1.
При x0 > 0 для последовательности стационарным является
1. Возможны следующие варианты :
• r < 1 – численность стремится к устойчивому равновесию, причем отклонение уменьшается экспоненциально.
• 1 < r < 2,570 – возникают устойчивые циклы (например, x2 n + 2 = x2 n , x2 n +3 = x2 n +1 ). Точка r = 1 , когда качественно меняется поведение системы, называется точкой бифур-
145
кации. По мере увеличения r проходим новые точки бифуркации и продолжительность цикла растет – значения численности повторяются через 2, 4, 8, …, 2n поколений.
• r > 2,570 – количество стационарных значений стремится к бесконечно большому значению (непрерывному
спектру значений), т.е. происходит хаотизация решений, когда мы с учетом неизбежной погрешности начальных данных
не можем предсказать значение численности в определенный
промежуток времени. На языке математики это значит, что
два сколь угодно близких начальных значения x0 через какое-то время дают решения, значительно отличающиеся друг
от друга.
Указанные выше варианты изображены на рисунке:
146
Рис. 10.4. Типы динамики численности в модели популяции с неперекрывающимися поколениями при разных значениях собственной скорости роста: а – затухающие колебания;
б – монотонный рост; в – двухточечный цикл; г – четырехточечный цикл; д, е – квазистохастическое поведение.
Дискретные модели
Дискретные возрастные модели, в которых популяция
делится на конечное число возрастных групп, описываются
системой разностных уравнений Лесли:
G
G
x ( t + 1) = Lx ( t ) ,
147
G
где x ( t ) – вектор численности возрастных групп , а L матрица вероятностей перехода.
L=
0
m1
0
0 ... bk
0 ... 0
m2 ... 0
...
0
0
...
0
0
... ...
...
...
bk +1 ... bk + p ...
0 ... 0 ...
0 ... 0 ...
...
...
...
0
0
0
0
0
0
... ... ...
... 0
0
... mn −1 0
Разберем ее структуру. В первой строке располагаются
коэффициенты рождений – какое количество особей первой
возрастной группы (т.е. новорожденных) дает данная возрастная группа за единичный промежуток времени (например, за
год) в расчете на 1 особь. Общее количество новорожденных
даст суммирование по всем таким возрастам:
k+ p
x0 ( t + 1) = ∑ bi xi ( t )
i =k
Здесь k – возраст начала детородного периода, p – продолжительность детородного периода.
По диагонали матрицы ниже главной стоят коэффициенты смертности – они показывают, какая доля живущих в данном возрасте перейдет в следующую возрастную группу. Таким образом, 0 ≤ mi ≤ 1 . Для определения изменения
суммарной численности необходимо найти собственные значения и собственные вектора матрицы.
Например, в задаче Фибоначчи есть 2 возрастные группы
– молодые (x1) и взрослые (x2) особи. Пара взрослых кроликов производит пару молодых ( b = 1 ), пара молодых всегда
переходит в взрослое состояние ( m = 1 ), взрослые кролики
148
также остаются живы ( m = 1 ). Таким образом, уравнение изменения численности будет иметь следующий вид:
x1 (t + 1)
x2 (t + 1)
=
0 1 x1 (t )
1 1 x2 (t )
Найдем собственные значения матрицы:
det A − λ E = 0
−λ
1
= −λ (1 − λ ) − 1 = λ 2 − λ − 1 = 0
1 1− λ
λ1,2 =
1± 5
2
Собственные вектора – нетривиальные решения уравне-
JJG
ния ( A − λ E ) xs = 0 при подстановке собственных значений:
1
G
x s1 = 1 + 5
2
1
G
xs2 = 1 − 5
2
Общее решение:
t
t
1
1
⎛ 1+ 5 ⎞
⎛ 1− 5 ⎞
x1 (t )
= C1 1 + 5 ⎜⎜
⎟⎟ + C2 1 − 5 ⎜⎜
⎟⎟
x2 (t )
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
2
2
С учетом x1 ( 0 ) = 0 , x2 ( 0 ) = 1 :
C1 = −C2 =
1
5
t
t
1
1
⎛ 1+ 5 ⎞
⎛ 1− 5 ⎞
x1 (t )
1
1
=
1 + 5 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ −
1 − 5 ⎜⎜ 2 ⎟⎟
x2 (t )
5
5
⎠
⎝
⎠
⎝
2
2
В частности, для числа взрослых особей или числа рожденных особей в момент времени t:
149
1 ⎡⎛ 1 + 5 ⎞
⎢⎜
N (t ) = x2 ( t ) =
⎟
5 ⎢⎜⎝ 2 ⎟⎠
⎣
t +1
t +1
⎛ 1− 5 ⎞ ⎤
− ⎜⎜
⎟⎟ ⎥
⎝ 2 ⎠ ⎥⎦
Рассмотрим предельные случаи. Вариант n = 2 иллюстрирует двухвозрастная модель Степановой, которая используется для описания роста численности бактерий:
1
⎧ dN1 2
⎪ dt = T ⋅ N 2 − T ⋅ N1 − D ⋅ N1
⎪
2
1
⎨
⎪ dN 2 = 1 ⋅ N − 1 ⋅ N − D ⋅ N
1
2
2
⎪⎩ dt
T1
T2
Здесь T1 - среднее время созревания «молодой» клетки,
T2 - среднее время пребывания «старой» клетки в периоде
возможности деления. При делении «старая» клетка исчезает
и образуется 2 «молодых». Последний член в каждом уравнении описывает естественную гибель клеток.
Другим предельным случаем является n → ∞ – непрерывное распределение по возрастам. Обозначим x – возраст, t
– время, n ( t , x ) – плотность численности, т.е. количество
особей данного возраста.
Распишем полный дифференциал через частные производные по времени и возрасту:
∂n ( t , x ) ∂n ( t , x ) dx ∂n ( t , x ) ∂n ( t , x )
d
,
n (t, x ) =
+
⋅ =
+
dt
∂t
∂x
dt
∂t
∂x
dx
≡1
здесь
dt
Отсюда получаем уравнение МакКендрика – фон Ферстера для непрерывно распределенной по возрастам популяции:
150
∂n ( t , x ) ∂n ( t , x )
+
= − M ( t , x ) ⋅ n ( t , x ) , где
∂t
∂x
∞
n ( t , 0 ) = ∫ B ( t , x ) ⋅ n ( t , x ) dx ,
0
n ( 0, x ) = n0 ( x )
Здесь M ( t , x ) и B ( t , x ) – возрастные распределения интенсивностей смертности и рождаемости соответственно.
Рассмотрим их более подробно.
Допустим, что в начальный момент времени у нас есть
100000 новорожденных (когорта), за которыми мы наблюдаем и отслеживаем их состояние с возрастом – сколько остается в живых, а сколько к этому возрасту умерло по различным
причинам. Таким образом, мы строим L(x) – кривую дожития. Строго говоря, поскольку популяция дискретна, для
сравнения надо брать некоторые конечные периоды, например, 1 год или 5 лет. Однако, вместо гистограммы можно нарисовать непрерывную функцию, проведя ее через точки посередине периода:
Рис. 10.5. Кривая дожития
151
Зная кривую дожития L(x), можно вычислить количество
умерших D(x) в каждом возрасте (обычно считается на единицу времени, например за год):
D ( x) = −
dL ( x )
dx
Рис. 10.6. Распределение числа умерших
Отсюда можно найти среднюю продолжительность жизни:
∞
xср =
∞
∫ x ⋅ D ( x ) dx ∫ x ⋅ D ( x ) dx
0
∞
∫ D ( x ) dx
=
0
N0
0
В России в настоящее время средняя продолжительность
жизни женщин составляет порядка 74 лет, у мужчин намного
меньше – 60 лет (в среднем – 65 лет в 2007 году). Мировым
лидером по этому показателю является Япония – 82,3 года
(2007 год).
Возраст, в котором умирает последний представитель исходной когорты, называется предельной продолжительно-
152
стью жизни. Возраст, в котором число умерших максимально, называется модальным возрастом смерти. Вне зависимости от формы кривой количества умерших, площадь под
ней всегда равна начальному количеству живущих.
Показатель числа умерших обладает существенным недостатком – он зависит от текущего количества живущих.
Таким образом, после модального возраста число умерших
уменьшается, хотя факторов, приводящих к смерти, становится все больше. В связи с этим вводят смертность (интенсивность смерти) – отношение числа умерших за некоторый
период к числу живущих. Этот показатель не зависит от числа живущих:
M ( x) =
D ( x)
d ln L ( x )
1 dL ( x )
=−
=−
L ( x)
L ( x ) dx
dx
Рис. 10.7. Возрастная интенсивность смерти
Из графика можно выделить несколько этапов.
1. Младенческая и детская смертность – относительно
высока. В Японии минимальна младенческая смертность – 3,5 смерти в возрасте меньше 1 года на 1000
новорожденных (0,35%). В профилактике детской
153
смертности в возрасте 1-4 лет лидирует Швеция –
0,14%. В России и других постсоветских странах детская смертность примерно в 3 раза выше – 12-14
смертей на 1000 новорожденных. Однако это не идет
ни в какое сравнение с ситуацией в царской Россией в
18 веке, когда из 1000 младенцев в возрасте до года
умирали по разным причинам около 300 (т.е. 30%).
Именно высокая детская смертность (более 50%) во
времена Древней Греции приводила к тому, что средняя продолжительность жизни была около 18-20 лет,
хотя, естественно, выжившие к этому возрасту жили
намного дольше.
2. Подростковая смертность – минимальна. Организм в
возрасте 5-15 лет обладает максимальным иммунитетом и способностью к восстановлению, да и детей в
наше время очень оберегают.
3. С вступлением в детородный период, взрослую жизнь
и трудовой процесс смертность начинает увеличиваться. Особенно сильно это выражено у мужчин, что
в основном связано с производственным травматизмом и алкоголизмом. Если среди новорожденных
мальчиков немного больше, чем девочек, то к 20-25
годам число женщин существенно превышает число
сверстников-мужчин.
4. После 40 лет смертность растет все быстрее (согласно
некоторым моделям, экспоненциально). Это соответствует модели накопленных дефектов, в которой количество дефектов в системе увеличивается линейно,
а вероятность отказа (смерти) системы пропорциональна числу дефектов. Интересно, что одной математической зависимостью можно описать и смертность людей, и вероятность выхода из строя
автомобиля (формула Гомперца-Мейкема):
M ( x) = A + R ⋅ eα x
154
Первое слагаемое имеет смысл смертности от внешних
причин (инфекционные болезни, голод, несчастные случаи,
самоубийства), второе – от внутренних болезней, которые
развиваются с возрастом (болезни системы кровообращения,
онкологические заболевания, болезнь Альцгеймера и т.д.).
Характерные значения параметров:
A = 10−3 год-1, R = 10−5 год-1, α = 10−1 год-1.
Зная конкретный вид возрастной зависимости смертности, можно вычислить модальный возраст смерти:
d
d
D ( x ) = 0 = ( M ( x ) ⋅ L ( x )) =
dx
dx
= M ′ ( x ) ⋅ L ( x ) + M ( x ) ⋅ L′ ( x ) =
= M ′( x) ⋅ L ( x) − M 2 ( x) L ( x) =
= L ( x ) ⋅ ⎡⎣ M ′ ( x ) − M 2 ( x ) ⎤⎦
M ′( x) = M 2 ( x)
Основные причины смерти в России (Москва, 2008 год):
1. Болезни органов кровообращения (56,2%)
2. Онкологические заболевания (18,5%)
3. Несчастные случаи (7,8%)
В странах с высоким уровнем дохода список основных
причин смертности возглавляют болезни сердца, за которыми
следуют инсульт, рак легких, пневмония, бронхит или астма.
В странах с низким уровнем дохода основными причинами
смерти являются пневмония, болезни сердца, диарея,
ВИЧ/СПИД и инсульт. При этом на страны Африки приходится 9 из 10 случаев смерти детей от СПИДа во всем мире, а
также 9 из 10 случаев смертности детей от малярии.
Задание на дом
1. Как вы думаете, можно ли сохранить вид (именно в
виде дикой популяции), если его численность опустилась
155
ниже критической? Предложите несколько разных вариантов
спасения вида.
2. Исследовать уравнение Морана и определить точки
бифуркации.
3. Используя формулу Гомперца-Мейкема и характерные
значения параметров, вычислить модальный (максимальное
число умерших) и предельный (последний умерший) возраст
смерти. Исходная численность когорты 105 человек.
4. Имеется две изолированные популяции с показателями роста –2% и +2% (в год). Пусть в начальный момент их
численности 100 и 10 млн. чел. Найти минимум суммарной численности населения и момент его прохождения.
5. Популяция экспоненциально растет с показателем k,
который оценивается с относительной ошибкой е. По начальному условию N0 делают прогноз на t лет вперед. Найти интервал возможных значений для N(10), если N0 = 100
млн. чел., k = 0,01 (в год), е = 0,1.
6. Имеются группы населения А и Б со значениями средней продолжительности жизни 60 и 70 лет, причем их численности относятся как 6:4. Найти среднюю продолжительность жизни всего населения. Как она изменится, если
соотношение численностей станет равным 8:2, а средняя
продолжительность жизни в каждой группе увеличится на 1
год?
7. Пусть имеется популяция кроликов трех возрастов. За
один шаг каждая молодая пара становится взрослой, каждая
взрослая рождает 3 молодых и становится старой, из старых
1/2 умирает. Кроме того, происходит изъятие 4 молодых, 2
взрослых и 1 старой пары (после рождений, гибелей и переходов). Найти равновесное состояние.
156
Семинар № 11. Модели взаимодействия
популяций
На прошлом семинаре мы рассмотрели модели роста
численности одной популяции. А что изменится, если популяций несколько? Очевидно, что влияние на численность вида может быть положительным, отрицательными или нейтральным. По этому критерию выделяют несколько типов
взаимодействий:
• КОНКУРЕНЦИЯ – ведет к уменьшению численности
обоих видов.
• ХИЩНИЧЕСТВО – форма взаимоотношений между
организмами разных видов, из которых один (хищник) поедает другого (жертву, добычу), обычно предварительно убив его.
• СИМБИОЗ (форма мутуализма) – ведет к увеличению
численности обоих видов.
• КОММЕНСАЛИЗМ (от средневекового латинского
commensalis – сотрапезник), форма сожительства особей разных видов, при которой один организм (комменсал) живет за счет другого, не причиняя ему вреда.
• АМЕНСАЛИЗМ (от греч. а – отрицательная частица
и лат. mensa – стол, трапеза), форма взаимоотношений между организмами, полезная для одного вида,
но вредная для другого.
• ПАРАЗИТИЗМ – форма взаимоотношений между организмами (растениями, животными, микроорганизмами), относящимися к разным видам, из которых
один (паразит) использует другого (хозяина) в качестве среды обитания и источника пищи, возлагая при
этом (частично или полностью) на хозяина регуляцию
своих отношений с внешней средой.
Попробуем описать это математически на достаточно
простом примере взаимодействия 2 видов. Предположим, что
скорость изменения численности популяций пропорциональ-
157
на вероятности встреч особей, то есть произведению их численностей:
⎧ dx1
2
⎪⎪ dt = c1 x1 − a11 x1 + a12 x1 x2
⎨
⎪ dx2 = c x + a x x − a x 2
2 2
21 1 2
22 2
⎪⎩ dt
Здесь использованы следующие обозначения:
• x1, x2 – численность каждого из видов
• c1, c2 – темп свободного размножения видов
• a11, a22 – самоограничение роста численности популяции
• a12, a21 – взаимодействие между видами
Изучим, какие знаки имеют коэффициенты при различных типах взаимоотношений между видами:
Тип межвидового
взаимодействия
Симбиоз
a12
a21
+
+
Комменсализм
+
0
Хищник-жертва, па- +
разитизм
Аменсализм
0
–
–
Конкуренция
–
–
Нейтрализм
0
0
Разберем подробней некоторые случаи.
158
Симбиоз
Термин «симбиоз» впервые введён немецким ботаником
А. де Бари (1879) в применении к лишайникам. Некоторые
примеры симбиотических отношений приведены на рисунке.
Рис. 11.1 Примеры симбиотических отношений
1, 2 – лишайник = гриб + водоросли
3 – инфузория + водоросли
4 – спирохеты + жгутиконосец
5 – дрожжи в кишечнике жука
6 – рак-отшельник и актиния
7 – голотурия и живущая в кишечнике рыбка
8 – коралловый полип и крабы
159
В симбиотические отношения могут вступать растения с
растениями, растения с животными, животные с животными,
растения и животные с микроорганизмами, микроорганизмы
с микроорганизмами.
Факты о человеке:
• В кишечнике человека содержится порядка 1015 бактерий (массой более 1 кг) более чем 200 видов.
• От кишечной флоры, её состава и состояния зависят
течение процессов пищеварения, образование ряда
ферментов (например, целлюлазы, разлагающей
клетчатку) и других физиологически активных веществ (аминокислот, нуклеотидов, витаминов), не
синтезируемых организмом хозяина.
• Нарушение видового состава и количественных соотношений разных микробов в кишечной флоре, вызываемое, например, антибиотиками, называется дисбактериозом (или дисбиозом).
По сути, человек с симбиотическими ему видами бактерий является неким суперорганизмом, эволюция которого
идет как одно целое.
Другие примеры симбиоза:
• Митохондрии и хлоропласты произошли от прокариотов, в результате симбиоза потерявших самостоятельность.
• Пчелы и некоторые другие насекомые опыляют цветочные растений, последние дают им питание. Симбиотические связи могут быть настолько специфическими и важными, что при гибели одного из видов
симбионт тоже вымирает.
• Бобовые растение – фиксируют атмосферный азот с
помощью бактерий, живущих в клубеньковых клетках.
160
Основные причины симбиоза: питание, защита от хищников и среды, передвижение, помощь в размножении. Симбиоз играет ключевую роль в эволюции многих видов.
Квартиранство
Квартирантство – сожительство животных разных видов,
основанное на пространственных, а не пищевых связях.
• Синойкия – квартирант поселяется в жилище хозяина;
• Эпиойкия – квартиранты поселяются на теле хозяина;
• Энтойкия – квартирантство внутри тела хозяина, при
отсутствии пищевых отношений с ним.
Паразитизм
Признаки паразитизма:
• Средой обитания для паразита является другой живой
организм (хозяин), активно реагирующий на присутствие паразита.
• Между паразитом и хозяином устанавливаются более
или менее глубокие метаболические связи.
• Многие паразиты являются антигенами, вызывая образование в организме хозяина антител, что, в свою
очередь, приводит к реакциям иммунитета.
• Различают внешний (наружный) паразитизм, или эктопаразитизм (паразит живёт на поверхности тела хозяина), и внутренний паразитизм, или эндопаразитизм
(паразит живёт в теле хозяина).
• В зависимости от продолжительности паразитирования различают временный и стационарный паразитизм, включающий периодический и постоянный паразитизм.
Примеры паразитизма и его влияния на организм хозяина:
161
•
•
•
•
Паразитирующий на насекомых червь Spinochordodes
tellinii выделяет специальные белки, которые аналогичны белкам кузнечика и прямо или косвенно воздействуют на центральную нервную систему насекомого. Таким образом, червь начинает управлять
поведением хозяина, и в некоторый момент заставляет его прыгнуть в воду, которая ему нужна для превращения во взрослую особь. При этом длина взрослого червя в 3-4 раза превышает длину насекомого.
Бактерии, относящиеся к роду Wolbachia (близкие
родственники кишечной палочки Escherichia coli) –
широко распространенные внутриклеточные паразиты ряда беспозвоночных животных. Переходить от
одного хозяина к другому эти бактерии могут только
через яйцо. Если из этого яйца разовьется женская
особь, откладываемые ею яйца в будущем также могут быть заражены паразитом. Однако если из яйца
разовьется самец – бактерии, оказавшиеся в клетках
его организма, впоследствии погибнут вместе с хозяином. В некоторых случаях это приводит к тому,
что под влиянием веществ, выделяемыми бактериями, самцы гибнут, или в случае, когда половая принадлежность не является однозначным следствием
хромосомного набора, происходит подавление гормонов и самка не превращается в самца, повышается
плодовитость зараженных самок и т.д.
В геномах 4 видов насекомых и 4 видов круглых червей обнаружены фрагменты генома внутриклеточной
бактерии Wolbachia, причем в ряде случаев геном
бактерии оказался вставлен в геном хозяина практически целиком.
Два вида-двойника американских паразитических перепончатокрылых (наездников Nasonia), популяции
которых
практически
полностью
заражены
Wolbachia, в природе не образуют гибридов. Однако
их лабораторные линии, избавленные от паразитов с
162
•
помощью антибиотиков, легко скрещиваются друг с
другом – оказывается, разные виды ос поражены разными штаммами бактерий. Гибридное потомство
этих наездников, правда, не может размножаться
«само по себе», т.е. Wolbachia не являются единственным фактором, определяющим межвидовую изоляцию. В то же время два других видов наездников
того же рода – уже не «двойники», а хорошо различимые виды, паразитирующие на разных насекомых,
оказывается, способны не только скрещиваться между собой, но и давать вполне плодовитое гибридное
потомство – если только их также избавить от разных
штаммов внутриклеточных паразитов.
Некоторые растения семейства орхидных привлекают
опылителей не пыльцой или нектаром, а воздействуя
на их половые инстинкты. Формой и окраской цветки
таких орхидей имитируют готовую к спариванию
самку определенного насекомого. Причем с особой
тщательностью воспроизводятся детали, отмечающие
видовую и, конечно, половую принадлежность особи
– так называемые визуальные аттрактанты, служащие
для самцов сигналом к началу ухаживания. Мало того, запах этих орхидей имитирует запах феромона,
испускаемого неоплодотворенной самкой! Но и этого
недостаточно: чтобы самец не распознал обман до того, как успеет опылить цветок, на лепестках имеются
особые выросты и ворсинки, обеспечивающие еще и
имитацию тактильного контакта с телом самки! Как
показали исследования, самцы ос практически не
способны отличить запах самки от запаха цветка.
Оказавшись в зарослях орхидей, они перелетают от
одного растения к другому, в то время как самки, находящиеся поблизости, не имеют реальной возможности завладеть их вниманием. Таким образом воспроизводству в популяциях ос наносится ущерб.
163
•
•
Факультативные (случайные) паразиты поражают
часто лишь ослабленные растения или их части, находящиеся в недеятельном состоянии (например,
плоды и овощи при хранении), и вызывают быстрое
отмирание пораженных частей. Так, грибы – вредители овощей в хранилищах – проникают в субстрат через поверхностные ранки. Мицелий гриба поселяется
сначала на мёртвых тканях, где и разрастается; затем
гифы его выделяют токсины и ферменты. Токсины
убивают живые клетки, а ферменты (пектиназы) мацерируют 3 ткани. Таким образом гифы гриба не соприкасаются с живыми клетками питающего растения, растут только среди мёртвых клеток, питаясь их
веществами. Такое питание формально можно назвать сапрофитным, но так как гриб сам подготавливает для себя мёртвый субстрат из живых тканей, то в
этом есть существенные черты паразитизма.
9/10 самцов сверчков на Кауаи больше не способны
стрекотать из-за генетической мутации, изменившей
форму их крыла. И виной тому — маленькая муха
Ormia ochracea с очень чувствительными органами
слуха. Этот паразит определяет сверчка по звуку, нападает и откладывает свои личинки прямо на спине
самца. А личинки зарываются в тело сверчка, поедая
его в течение недели. По расчётам ученых, мутация
крыла началась у сверчков Кауаи в конце 1990-х и к
2004 году распространилась на 91% самцов, существенно сократив их смертность. Но разве неумение
привлечь самку не может стать причиной вымирания
вида? Оказывается — нет. Теперь, когда способны
стрекотать меньше 10% самцов, происходит следующее: чтобы найти партнёрш для спаривания, тихие
3
Мацерация (лат. maceratio, от macero — размягчаю, размачиваю),
разъединение растительных или животных клеток в тканях. Естественная мацерация — результат растворения межклетного вещества.
164
•
•
сверчки собираются рядом со своими "звонкими" сородичами, подсаживаясь к ним совсем близко, на расстоянии сантиметра, — и ждут "дам".
Внутриклеточный микроб-паразит Toxoplasma gondii,
чаще всего заражающий представителей семейства
кошачьих, но не брезгующий и многими другими теплокровными млекопитающими, по оценкам учёных,
уже заразил приблизительно 3 миллиарда человек, то
есть, половину человечества. Микроб влияет на поведение обычно очень осторожных кошек и крыс, после
заражения проявляющаяся опрометчивость у которых
ставит под угрозу их жизни. Так, крысы под влиянием микроорганизма без опаски вступают на помеченные котами территории, становясь лёгкой добычей.
Инфекция, распространяемая T.gondii, способна вызвать у некоторых людей формы невротического состояния, известного как невротицизм, к примеру, такую его форму, как комплекс вины.
100% видов вирусов – паразиты.
Вредоносность паразитов:
• Обычно присутствие паразита ведет к заболеванию
хозяина; иногда присутствие в теле хозяина патогенного паразита не приводит к заболеванию, но хозяин
становится источником распространения паразита
(паразитоносительство).
• Нередко хозяин бывает заражен одновременно несколькими видами паразитов, которые вступают в
определённые взаимодействия не только с хозяином,
но и между собой. Вся совокупность паразитов одного хозяина составляет паразитоценоз.
• Часто паразитизм характеризуется тем, что для прохождения жизненного цикла паразиту необходимы 2
или даже 3 хозяина, порой далёкие друг от друга в
систематическом отношении. Пример: лентец широ-
165
кий — веслоногий рачок (например, циклоп), рыбы и
хищные млекопитающие (или человек).
Борьба с паразитами и вредителями:
• Воздействие лекарств, веществ, убивающих паразитов – часто неэффективно и вредно для человека
• Проведение системы мероприятий, направленных на
разрыв жизненного цикла, на уничтожение промежуточных хозяев и переносчиков.
• Для борьбы с паразитами (вредителями) растений
широко используются паразиты этих вредителей (например, перепончатокрылые насекомые — наездники
и др.) — биологический метод борьбы.
Хищничество
Рассмотрим классический случай взаимодействия «хищник-жертва», когда есть 1 травоядный вид (например, зайцы)
и 1 хищник (например, рыси), которые взаимодействуют
только друг с другом. Предположим также, что количество
еды для зайцев очень большое и поэтому внутривидовая конкуренция отсутствует.
Пусть плотность (концентрация) численности зайцев – x,
рысей – y. Тогда мы можем записать систему дифференциальных уравнений Вольтерра-Лотки:
⎧ dx
⎪⎪ dt = ε1 ⋅ x − γ 1 ⋅ x ⋅ y
⎨
⎪ dy = γ ⋅ x ⋅ y − ε ⋅ y
2
2
⎪⎩ dt
Анализ системы показывает, что существует единственная стационарная точка типа «центр»:
x* =
ε2
y2
,
y* =
ε1
y1
Удобнее всего посмотреть решение на фазовой диаграмме, где по оси абсцисс отложена численность зайцев, по оси
166
ординат – численность рысей. В зависимости удаления исходного состояния системы от стационарной точки будет
происходить периодическое движение вокруг стационарной
точки.
Рис. 11.2. Траектории в системе «хищник-жертва». А) фазовая плоскость Б) зависимость численности от времени
На графике зависимости численности видов от времени
мы также увидим колебания, причем экстремумы для хищников «запаздывают» по сравнению с экстремумами для
жертв.
Отметим, что модель Вольтерра-Лотки не является структурно устойчивой, т.е. не выдерживает малое изменение параметров и функций, описывающих модель – при изменении
начального состояния системы траектория решения станет
другой. Для устойчивости добавим еще одно слагаемое, которое может, например, описывать внутривидовую конкуренцию:
167
⎧ dx
⎪⎪ dt = ε1 ⋅ x − γ 1 ⋅ x ⋅ y + k ⋅ f ( x, y )
⎨
⎪ dy = γ ⋅ x ⋅ y − ε ⋅ y + k ⋅ g ( x, y ) , k << 1
2
2
⎪⎩ dt
При разных видах функций f и g возможны различные
поведения системы – устойчивый узел, неустойчивый фокус,
устойчивый предельный цикл (множество устойчивых точек). Подробное исследование систем дифференциальных
уравнений на стационарные точки будет на 2 курсе.
Пример 1
По аналогии с моделью Базыкина для одной популяции
можно записать систему для 2 взаимодействующих популяций:
B⋅x⋅ y
⎧ dx
=
⋅
−
− E ⋅ x2
A
x
⎪ dt
1+ p ⋅ x
⎪
⎨
⎪ dy = −C ⋅ y + D ⋅ x ⋅ y − M ⋅ y 2
⎪⎩ dt
1+ p ⋅ x
Возможные решения: одно устойчивое равновесие, один
устойчивый предельный цикл, два устойчивых равновесия,
устойчивый предельный цикл и неустойчивое равновесие
внутри него, устойчивый предельный цикл и устойчивое равновесие вне его.
Пример 2
Взаимодействие 2 видов типа «хищник-жертва» можно
рассматривать не только во времени, но и в пространстве:
∂u
u
= Δu + u (1 − u ) +
v
∂t
u+h
∂v
u
= Δv + k
v − mv
∂t
u+h
168
Пример 3
Модель взаимодействия двух видов насекомых (MacArthur, 1971):
⎧ dx
2
⎪⎪ dt = x ( − k1 + k2 x − x + k3 xy )
⎨
⎪ dy = y ( k − k − k x + k xy )
5
6
7
8
⎪⎩ dt
Насекомые вида х поедают личинок вида у (член + k3y),
но взрослые особи вида у поедают личинок вида х при условии высокой численности видов х или у или обоих видов
(члены – k4xy, – у2 ).
При малых х смертность вида х выше, чем его естественный прирост ( 1–k1+k2x–x2 < 0 при малых х). Во втором уравнении член k5 отражает естественный прирост вида y; –k6y –
самоограничение этого вида, –k7x – поедание личинок вида у
насекомыми вида х, k8xy – прирост биомассы вида у за счет
поедания взрослыми насекомыми вида у личинок вида х.
Типы воздействий на систему:
1. Кратковременное, скачкообразное изменение величин
численности х и у – метод борьбы типа однократного
уничтожения одной или обеих популяций химическими средствами (в данном случае неэффективно).
2. Изменение вида функций взаимодействия между видами, например, при изменении значений параметров
системы. Именно такому, параметрическому, способу
отвечают биологические методы борьбы.
Так при внедрении стерилизованных самцов конкурирующего вида уменьшается коэффициент естественного прироста популяции. Если при этом мы получим другой тип фазового портрета, такой, где имеется лишь устойчивое
стационарное состояние с нулевой численностью вредителя,
управление приведет к желаемому результату – уничтожению популяции вредного вида.
169
Конкуренция видов
Допустим, мы поместили в некий ареал 2 вида со схожими потребностями в питании, размножении и т.д. Принцип
конкуренции Гаузе: в одной экологической системе выживет
только один вид, как правило, более для нее приспособленный.
Возьмем 2 вида с одинаковыми характеристиками:
⎧ dx
⎪⎪ dt = a ⋅ x − b ⋅ x ⋅ y
⎨
⎪ dy = a ⋅ y − b ⋅ x ⋅ y
⎪⎩ dt
Видно, что если один вид вымрет, численность второго
экспоненциально растет со временем.
Однако вымереть может и более приспособленный вид,
если его исходная численность была достаточно мала по
сравнению с конкурирующим видом.
В более сложной модели возможно как вымирание одного из видов (когда взаимное угнетение более интенсивно, чем
саморегуляция численности), так и сосуществование обоих
видов (если наоборот).
170
Задание на дом
1. Известно, что доминантный аллель гена А соответствует высокой смертности, рецессивный a – низкой смертности,
доминантный аллель гена B – высокой рождаемости, рецессивный b – низкой рождаемости. Каждая из двух изолированных популяций, имеющих генотипы AABB и aabb, показывает нулевой темп роста численности. В приближении
модели Ферхюльста определить присутствующие генотипы в
объединенной популяции через большое количество поколений.
2. Постройте и исследуйте модель системы, в которой 2
вида бактерий, помимо обычной конкуренции за пищевой
ресурс, дополнительно могут выделять антибиотики, повышающие смертность популяции другого вида. Выделение антибиотика пропорционально численности популяции, распад
идет по реакции первого порядка с известной константой
скорости k. Пищевой ресурс непрерывно поставляется в систему со скоростью W.
3. Исследуйте модель системы из 3 видов, в которой каждый из видов является хищником для второго вида и жертвой
для третьего.
4. Как изменится система «хищник-жертва», если существует некоторая малая область емкости P для жертв, которая
полностью недоступна для хищников? Число особей жертв,
переходящих из одной области в другую, пропорционально
общей численности жертв в области с некоторыми константами k1 и k2.
5. Исследовать систему «хищник-жертва» из 2 видов, в
которой первый вид является жертвой для взрослых особей
второго вида, однако взрослые особи первого вида могут поедать детенышей второго вида. Характерные времена взросления – T1 и T2 для каждого из видов.
171
Исследовательские задачи
1. Эффективность дыхания
Скорость поступления кислорода в кровь пропорциональна
его концентрации в легких. В спокойном состоянии человек
делает 16 вдохов и выдохов в минуту. При этом концентрация кислорода во вдыхаемом воздухе составляет 21%, константа скорости перехода кислорода в кровь равна 4,35 мин-1,
глубина вдоха – 0,5 л, объем воздуха в легких после выдоха –
2,5 л. Человек дышит непрерывно, т.е. паузы между вдохом и
выдохом нет, концентрация кислорода в легких в начале вдоха равна концентрации в конце выдоха, скорости вдоха и выдоха одинаковы и постоянны.
• Как изменится скорость поступления кислорода в
кровь (в мл/мин), если человек начнет дышать в 2
раза чаще, тогда как глубина вдоха и скорость кровообращения не изменятся?
• Исследуйте зависимость количества потребляемого
кислорода от глубины вдоха и числа вдохов и выдохов в минуту (полный объем легких – 3 л).
• При какой глубине вдоха скорость поступления кислорода в кровь является максимальной для данной
частоты дыхания? Постройте график.
• Решить аналитически задачу и ответить на приведенные выше вопросы для случая, когда вдох и выдох
происходят мгновенно.
2. Движение бактерии
Как известно, бактерия движется прямолинейно и равномерно в течение некоторого времени, потом останавливается и
начинает вращаться на месте (тамблинг), в результате чего
направление следующего движения выбирается случайно.
Частота тамблинга зависит от градиента концентрации аттрактанта. Если концентрация аттрактанта в конечной точке
меньше, чем в начальной точке трека, то следующий раунд
172
движения мотора будет дольше (и, соответственно, пробег
длиннее). Если концентрация увеличилась, то следующий
пробег будет меньше (зачем же бактерии убегать из хорошего места). Параметры движения бактерии таковы: скорость
перемещения во время пробега – 30 мкм/с, время пробега
обычно 1-3 секунды, переключение направления вращения
мотора – 0,01 сек, тамблинг занимает 0,1 сек. Насколько такая стратегия более выгодна по сравнению с вариантом, когда длина (время) каждого трека неизменны?
• Постройте распределение зависимости числа бактерий, достигающих максимума концентрации аттрактанта, от логарифма времени. Характерное время
движения "глупой" бактерии – 2 сек, "умной" – 1 сек
при увеличении концентрации и 3 сек при уменьшении концентрации. Сравните средние значения и дисперсии распределений.
• Как зависит среднее значение распределений от расстояния до максимума (т.е. минимального количества
шагов N, которое необходимо сделать бактерии в одну сторону, чтобы достичь максимума)? Рекомендуемый интервал: N = 10-100.
• В предположении, что время жизни бактерии ограничено, посчитать долю "глупых" и "умных" бактерий,
которые погибнут, не достигнув максимума.
• Насколько будут различаться результаты моделирования для одномерной и трехмерной диффузии?
• Исследуйте случай, когда есть 2 максимума концентраций, а бактерия исходно находится в минимуме
концентраций между ними.
• Исследуйте случай, когда время пробега "умной" бактерии обратно пропорционально концентрации аттрактанта, при различных значениях градиента концентраций.
173
3. КПД мотора бактерии
Оцените потери на вязкое трение и КПД мотора бактерии
E.coli (бактерия имеет цилиндрическую форму, длина – 2
мкм, толщина – 0,5 мкм) в воде при комнатной температуре.
На один оборот жгутика тратится порядка 103 протонов, при
прохождении 1 протона освобождается энергия 2,5·10-20 Дж.
Жгутик представляет собой относительно жесткую спираль,
обычно закрученную против часовой стрелки. Вращение
жгутика также осуществляется против часовой стрелки с частотой от 40 до 60 об/с. Вращательное движение жгутика преобразуется в поступательное движение клетки, скорость которого в жидкой среде для E. coli составляет 30 мкм/с. Длина
жгутика 10 мкм, толщина 12-20 нм. E.coli относится к классу
политрихов и имеет в норме 5-6 жгутиков.
• Постройте графики зависимости КПД мотора от радиуса спирали жгутика и его толщины.
• Какая доля энергии тратится на преодоление бактерией "лобового" сопротивления из-за вязкости воды?
4. Вторичная структура РНК
Написать программу, которая для заданной последовательности нуклеотидов в одноцепочечной нити РНК определяет ее
вторичную структуру. Критерием выгодности структуры является число связей A–У и Г–Ц, которые образуются комплементарными последовательностями. Например, последовательность
УААЦАУУЦААЦААУГУУУ
образует
«шпильку» с 6 связями. Соседние нуклеотиды водородные
связи не образуют.
• Постройте вторичную структуру для т-РНК
5. Экономическая стратегия клетки
Инопланетная бактерия E.lena отличается от земных бактерий тем, что производство цитоплазматических белков Р
клетки происходит при участии рибосом нескольких типов
А1, А2, …, An: А1 → А2 → … → An → P. Только что образовавшаяся клетка имеет объем 0,5 мкм3, концентрацию цито-
174
плазматических белков 0,33 г/см3, содержит [A1]0 = 7000
рибосом и начинает расти. Рибосома Ai имеет массу Mi (Да),
скорость синтеза – vi (а.о./сек). Часть вновь синтезированных
белков на рибосоме Ai идет на построение рибосом типа Ai+1,
а оставшаяся часть (общая для всех типов рибосом, обозначим ее k) – на создание новых рибосом своего типа. Созданные рибосомы сразу же включаются в работу. Мембранные
белки синтезируются только на рибосомах типа An. Определите оптимальное значение k, при котором концентрация цитоплазматических белков быстрее всего удвоится и клетка
вновь сможет поделиться. Характерные значения: M = 1.18
млн. Да, масса аминокислоты в среднем 110 Да, v = 15 а.о./с.,
1 Да = 1,661·10–24 г. Исследуйте следующие случаи:
• В клетке есть единственный тип рибосом, т.е. n = 1.
• Все типы рибосом обладают одинаковой массой и
скоростью синтеза.
• Есть лимитирующая стадия, когда один из типов рибосом синтезируется очень медленно.
6. Многополая популяция
Предложите модель хромосомной организации гипотетической многополой популяции, в которой при скрещивании
всех полов вероятность образования потомков каждого пола
была бы одинаковой.
• При каком минимальном числе половых хромосом
возможно решение? Предполагается, что могут существовать неаллельные взаимодействия между генами.
• Опишите схему мейоза для организмов такой популяции.
7. Жизнь водорослей
Колония одноклеточных водорослей состоит из нескольких
групп, каждая из которых характеризуется частотой мутации
ki : А → а, исходной численностью Ni и исходной частотой pi
гена А. Известно, что между группами происходит обмен, то
175
есть в каждом поколении из одной группы в другую переходит Lij клеток, i≠j, Lij = Lji . Приспособленность всех генотипов одинакова, дрейфом геном можно пренебречь.
• Через какое количество поколений мутация полностью вытеснит из такой колонии доминантный аллель, если численность всей популяции остается постоянной?
• При какой минимальной скорости роста колонии мутация не сможет полностью вытеснить доминантный
аллель? Предполагается, что число перемещающихся
из группы в группу клеток изменяется экспоненциально с тем же показателем скорости роста.
• В предположении, что клетки, которые являются гомозиготами по мутантному гену, являются нежизнеспособными, а численность всей популяции остается
постоянной, определить стационарную частоту гена А
в популяции. Через какое количество поколений она
будет достигнута?
Характерные значения: N = 106, L = 103, k = 10-4, p = 0,001-0,5.
Расчеты необходимо подтвердить численным моделированием.
8. Ромео и Джульетта
В городе Z. живут две враждующие между собой семьи.
Мужчины каждой из семей обладают уникальным геном, находящимся в Y-хромосоме. Известно, что каждый мужчина в
среднем имеет одного потомка мужского пола и одного –
женского, однако реальное число мальчиков является случайным, т.е. могут родиться одни девочки (ген не передается), а может быть 2 и более мальчиков (ген передается большему
числу
потомков). Вследствие
указа
короля,
пытающегося ограничить насилие и примирить семьи, суммарная численность мужчин в городе в каждом поколении
остается постоянной и равной N =1000 человек (лишних
мужчин высылают из города пропорционально численности
176
мужчин поколения каждой из семей, соответственно они не
оставляют потомства).
• Рассчитайте зависимость дисперсии распределения
количества новорожденных мальчиков от численности предыдущего поколения мужчин;
• Оцените среднее число поколений, через которое ген
одной из семей исчезнет (явление дрейфа генов).
• Сравните результаты теоретической модели с численными расчетами.
• При каком минимальном темпе роста численности
мужчин города гены сохранятся у обеих семей?
• Справедливы ли качественные выводы для случая
n>2 семей?
177
Содержание
Введение ..............................................................................2
О курсе ...........................................................................2
Благодарности ...............................................................3
Рекомендуемая литература ..........................................4
Семинар № 1. Модель радиоактивного распада ..............5
Задание на дом. ...........................................................16
Семинар № 2. Кинетика процессов в организме человека
............................................................................................18
Кинетика дыхания.......................................................19
Кинетика пищеварения ..............................................26
Задание на дом ............................................................32
Семинар № 3. Биологические молекулы. .......................33
Вода и ее роль в биологии .........................................33
Свойства белков ..........................................................37
Задание на дом ............................................................45
Семинар № 4. Модель случайных блужданий...............46
Одномерная диффузия ...............................................46
Двумерная диффузия..................................................48
Модель статистического клубка................................51
Задание на дом ............................................................53
Семинар № 5. Энергетика клетки. ..................................54
Фотосинтез ..................................................................54
Энергетические процессы в клетке...........................60
Задание на дом. ...........................................................65
Семинар № 6. Ферментативные реакции. ......................66
Задание на дом ............................................................81
Семинар № 7. Решение задач по генетике. ....................82
Задание на дом ..........................................................107
Семинар № 8. Взаимное влияние генов........................109
Комплементарность..................................................109
Эпистаз.......................................................................111
178
Полимерия .................................................................112
Плейотропное действие генов .................................112
Летальность генов.....................................................113
Задание на дом ..........................................................117
Семинар № 9. Популяционная генетика.......................119
Задачи на дом. ...........................................................129
Семинар № 10. Модели динамики популяций.............131
Модель Фибоначчи...................................................134
Модель Мальтуса......................................................135
Модель Ферхюльста .................................................137
Разнополая популяция..............................................140
Критическая численность вида ...............................141
Модель с запаздыванием..........................................143
Дискретные модели ..................................................147
Задание на дом ..........................................................155
Семинар № 11. Модели взаимодействия популяций ..157
Симбиоз .....................................................................159
Паразитизм ................................................................161
Хищничество.............................................................166
Конкуренция видов...................................................170
Задание на дом ..........................................................171
Исследовательские задачи .............................................172
179