090301_s2.b.4_algebra - Саратовский государственный

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского
Факультет компьютерных наук и информационных технологий
УТВЕРЖДАЮ
___________________________
"__" __________________20__ г.
Рабочая программа дисциплины
Алгебра
Специальность
090301 Компьютерная безопасность
Специализация
Математические методы защиты информации
Квалификация (степень) выпускника
Специалист
Форма обучения
очная
Саратов,
2012 год
1. Цели освоения дисциплины «Алгебра»
Современные методы компьютерных наук опираются на существенную
теоретическую базу, включающую в себя, в частности, общую алгебру, точнее,
ее часть, занимающуюся теорией конечных групп, колец и полей. Эта часть в
определенной степени граничит с теорией чисел, в частности с криптографическими ее приложениями. Цель курса состоит в изложении этого материала в объеме, позволяющем в дальнейшем служить базой для других учебных курсов,
включая курсы теории кодирования и криптографии.
2. Место дисциплины в структуре ООП специалиста
Данная учебная дисциплина входит в раздел «Математический и естественнонаучный цикл. Базовая часть С.2.Б.4». Дисциплина «Алгебра» является
общим курсом. Изучение курса требует знания математики в объеме средней
общеобразовательной школы. В свою очередь, знание линейной алгебры, общей
алгебры и теории конечных полей в той или иной степени необходимо для всех
курсов математического, естественнонаучного и профессионального циклов.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
В результате освоения дисциплины выпускник должен обладать следующими общекультурными компетенциями:
 способность логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь на русском языке, готовить и редактировать
тексты профессионального назначения, публично представлять собственные и известные научные результаты, вести дискуссии (ОК-7);
 способностью к письменной и устной деловой коммуникации, к чтению и переводу текстов по профессиональной тематике на одном из
иностранных языков (ОК-8);
 способностью к логически-правильному мышлению, обобщению,
анализу, критическому осмыслению информации, систематизации,
прогнозированию, постановке исследовательских задач и выбору путей их решения на основании принципов научного познания (ОК-9);
 способность самостоятельно применять методы и средства познания,
обучения и самоконтроля для приобретения новых знаний и умений,
в том числе в новых областях, непосредственно не связанных со сферой деятельности, развития социальных и профессиональных компетенций, изменения вида своей профессиональной деятельности (ОК10).
Выпускник должен обладать следующими профессиональными компетенциями:
 способностью выявлять естественнонаучную сущность проблем,
возникающих в ходе профессиональной деятельности, и применять
соответствующий физико-математический аппарат для их формализации, анализа и выработки решения (ПК-1);
 способностью понимать сущность и значение информации в развитии современного общества, применять достижения современных
информационных технологий для поиска и обработки больших объемов информации по профилю деятельности в глобальных компью-
терных системах, сетях, в библиотечных фондах и в иных источниках
информации (ПК-3);
 способностью применять методологию научных исследований в
профессиональной деятельности, в том числе работе над междисциплинарными и инновационными проектами (ПК-4);
 способностью использовать нормативные правовые документы в
своей профессиональной деятельности (ПК-5);
 способностью работать с программными средствами прикладного,
системного и специального назначения (ПК-8);
 способностью использовать языки и системы программирования, инструментальные средства для решения различных профессиональных, исследовательских и прикладных задач (ПК-9);
 способностью формулировать результат проведенных исследований
в виде конкретных рекомендаций, выраженных в терминах предметной области изучавшегося явления (ПК-10);
 способностью готовить научно-технические отчеты, обзоры, публикации по результатам выполненных работ (ПК-17);
 способностью моделировать алгоритмы в системах компьютерной
математики, оценивать их работоспособность и эффективность
(ПСК-2.4).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать:
 все базовые и общие определения, формы, закономерности и инструментальные средства для данной дисциплины;
 основные свойства алгебраических структур;
 основы линейной алгебры над произвольными полями;
 свойства кольца многочленов;
 свойства векторных пространств;
 основные теории групп и теории групп подстановок.
Уметь:
 понять поставленную задачу, формулировать результат, на основе
анализа увидеть и корректно сформулировать математически точный
результат, самостоятельно увидеть следствие сформулированного результата, грамотно пользоваться языком предметной области, находить, анализировать и контекстно обрабатывать научно-техническую
информацию, грамотно пользоваться языком предметной области,
выделять главное в строгих математических доказательствах;
 решать основные задачи векторной алгебры и аналитической геометрии;
 использовать расчетные формулы, таблицы, графики, компьютерные
программы при решении математических задач;
 проводить вычисления в числовых и конечных кольцах и полях с
подстановками, многочленами, матрицами, в том числе с использованием компьютерных программ;
 решать системы линейных уравнений над конечными полями.
Владеть:
 базовыми знаниями в различных математических областях, фундаментальной подготовкой по основам профессиональных знаний, контекстной обработкой информации, способностью к анализу и синтезу;
 навыками решения линейных уравнений над полем и кольцом вычетов;
 навыками решения стандартных задач в векторных пространствах;
 методами построения быстрых вычислительных алгоритмов алгебры
и теории чисел.
4. Структура и содержание дисциплины «Алгебра»
Общая трудоемкость дисциплины составляет 8 зачетных единиц 288 часов.
Лекции – 68 часов.
Практические занятия – 68 часов
Самостоятельная работа – 107 часов.
Продолжительность курса – 2 семестра.
№
п/п
Раздел дисциплины
Семестр
1. 1 Элементы теории 1
групп.
2. 2 Теорема Лагранжа. 1
Неделя
семестра
1,2
3
Фактор-группа.
1
4
4. 3 Гомоморфизм
групп.
5. 4 Кольца и числовые
поля.
6. 5 Поле комплексных
чисел.
7. Корни n-ой степени
из единицы.
8. 6 Кольцо многочленов.
9. Основная теорема
алгебры.
10. 7 Кольцо матриц.
1
5
1
6
1
7
3.
8
1
9
10
1
11
Виды учебной работы, включая самостоятельную работу
студентов и трудоемкость (в
часах)
Лек.
ч.
Лек.
ч.
Лек.
ч.
Лек.
ч.
Лек.
ч.
Лек.
ч.
Лек.
ч.
Лек.
ч.
Лек.
ч.
Лек.
4 Пр.
4 ч.
2 Пр.
2 ч.
2 Пр.
2ч
2 Пр.
2 ч.
2 Пр.
2 ч.
2 Пр.
2 ч.
2 Пр.
2ч
2 Пр.
2 ч.
2 Пр.
2ч
2 Пр.
Сам
4 ч.
Сам
2 ч..
Сам
2 ч.
Сам
4 ч.
Сам
4 ч.
Сам
4 ч.
Сам
2 ч.
Сам
2 ч.
Сам
2 ч.
Сам
Формы текущего
контроля успеваемости (по неделям
семестра)
Формы промежуточной аттестации
(по семестрам)
Опрос
Консультации
Консультации
Беседа, вопросы
Консультации
Контр. работа
Коллоквиум
Коллоквиум
Консультация
Коллоквиум
11. Ранг матриц.
1
12
12. 8 Линейные
пространства.
13. 9 Системы линейных
уравнений.
14. 1 Идеалы в кольцах.
1
15. 1 Гомоморфизм ко2 лец.
16. Кольцо вычетов.
1
13,14
1
15
1
16
1
17
1
18
Промежуточная
аттестация
Итого за 1 сем
17. 1 Расширения полей.
3
18. 1 Алгебраические и
4 трансцендентные
элементы.
19. 2 Связь конечности и
0 алгебраичности
расширения.
20. 2 Минимальный
1 многочлен.
21. 2 Структура простых
2 расширений.
22. 2 Конечность и ал3 гебраичности конечно порожденных полей.
23. 2 Конечные расши3 рения
конечных
полей.
24. 2 Нормальные рас4 ширения.
25. 2 Сепарабельные
5 расширения.
26. 2 Расширения Галуа.
6 Группа Галуа. Соответствие Галуа.
27. 2 Круговые расши7 рения.
28. 2 Циклические рас8 ширения.
Промежуточная
аттестация
Итого за 2сем
Итого
ч.
Лек.
ч.
Лек.
ч.
Лек.
ч.
Лек.
ч.
Лек.
ч.
Лек.
ч.
2
4
2
2
2
2
2 ч.
Пр.
2ч
Пр.
4 ч.
Пр.
2 ч.
Пр.
2 ч.
Пр.
2 ч.
Пр.
2ч
4 ч.
Сам
4 ч.
Сам
4 ч.
Сам
4 ч.
Сам
2 ч.
Сам
2 ч.
Сам
4 ч.
Коллоквиум
Коллоквиум
Коллоквиум
Контр. работа
Консультация
Консультации
Зачет
36
36
Лек .4 Пр.
ч.
2 ч.
Лек. 4 Пр.
ч.
2 ч.
50
Сам
4 ч.
Сам
7 ч.
Беседа, вопросы
2
1,2
2
3,4
2
5,6
Лек. 4 Пр.
ч.
2ч.
Сам
4 ч.
Консультация
2
7
2
8
9
Сам
6 ч.
Сам
4 ч.
Сам
4ч
Контрольная работа
Консультации
2
Лек.2
ч.
Лек. 2
ч.
Лек 2
ч.
2
10
Лек. 2 Пр.
ч.
2 ч.
Сам
4 ч.
Консультация
2
11,12
13
2
14
Сам.
4 ч.
Сам.
4 ч.
Сам.
6 ч.
Консультация
2
Лек. 4 Пр.
ч
2ч
Лек. 2 Пр.
ч
2ч
Лек. 2 Пр.
ч
4ч
2
15
16
Пр.
4ч
Пр.
4 ч.
Сам.
6 ч.
Сам
4 ч.
Консультация
2
Лек. 2
ч
Лек.2
ч.
32
68
32
68
57
107
Содержание разделов дисциплины.
Пр.
2ч.
Пр.
4 ч.
Пр.2
ч.
Консультация
Коллоквиум
Консультация
Коллоквиум
Контрольная работа
Экзамен (45 ч.)
45
Раздел 1. Элементы теории групп.
1. Понятие полугруппы, группы, примеры.
2. Группа подстановок.
3. Подгруппы. Порожденные подгруппы.
4. Циклические группы.
5. Порядок элемента. Теорема о порядке элемента.
Раздел 2. Теорема Лагранжа.
6. Смежные классы.
7. Теорема Лагранжа, ее следствия.
Раздел 3. Фактор-группа.
8. Нормальные подгруппы, их свойства.
9. Фактор-группа, примеры.
Раздел 4. Гомоморфизм групп.
10. Гомоморфизм групп, простейшие свойства и примеры, виды отображений.
11. Ядро и образ гомоморфизма.
12. Критерий инъективности гомоморфизма.
13. Основная теорема о гомоморфизме групп.
Раздел 5. Кольца и числовые поля.
14. Понятие кольца, тела, поля. Примеры.
15. Свойства делимости.
16. Простые и составные числа. Теорема Евклида.
17. Основная теорема арифметики. Каноническое разложение числа.
18. Количество и сумма натуральных делителей натурального числа.
19. Функция Эйлера. Свойства функции Эйлера
Раздел 6. Поле комплексных чисел.
20 Операции над комплексными числами в алгебраической форме.
21. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
22.Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
23. Формула Муавра.
Раздел 7. Корни n-ой степени из единицы.
24. Извлечение корней n-ой степени из комплексного числа.
25. Корни n-ой степени из единицы.
26. Свойства корней n-ой степени из единицы.
27. Первообразные корни, два критерия первообразности.
28. Циклическая группа корней n-ой степени из единицы.
Раздел 8. Кольцо многочленов.
29. Теорема о делении с остатком в кольце многочленов.
30. Теорема Безу, схема Горнера.
31. Наибольший общий делитель, алгоритм Евклида.
32. Взаимно простые многочлены, их свойства.
33. Неприводимые над кольцом k многочлены, их свойства.
34. Разложение на неприводимые многочлены.
35. Теорема об отделении кратных множителей.
Раздел 9. Основная теорема алгебры.
36. Основная теорема алгебры, ее следствия.
37. Терема Виета.
38. Теорема о неприводимых над R и Q многочленах.
39. Метод Штурма.
Раздел 10. Кольцо матриц.
40. Матрицы и определители. Понятие матрицы, свойства матриц.
41. Определитель, его свойства. Условия равенства нулю определителя.
42. Понятие обратной матрицы, свойства.
Раздел 11. Ранг матрицы.
43. Размерность пространства.
44. Ранг матрицы, теорема о ранге матрицы.
Раздел 12. Линейное векторное пространство.
45. Линейная зависимость и линейная независимость систем векторов, их свойства.
46. Базис систем векторов, его свойства. Примеры.
Раздел 13. Системы линейных уравнений.
47. Понятие системы линейных уравнений.
48. Формулы Крамера. Метод Гаусса.
49. Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений.
Раздел 14. Идеалы в кольцах.
50. Понятие идеала. Примеры. Главные, простые и максимальные идеалы.
51. Область главных идеалов.
52. Фактор-кольцо. Примеры.
53. Критерии простоты и максимальности идеала.
Раздел 15. Гомоморфизм колец.
54. Гомоморфизм колец. Образ и ядро гомоморфизма.
55. Основная теорема о гомоморфизме колец. Теорема о гомоморфизме полей.
Раздел 16. Кольцо вычетов.
56. Делители нуля, область целостности. Терема о конечных областях целостности.
57. Теорема о кольце вычетов.
Раздел 17. Расширения полей.
58. Характеристика поля. Поля конечной характеристики.
59. Автоморфизм Фробениуса.
60. Мультипликативность степени в башнях расширений.
Раздел 18. Алгебраические и трансцендентные элементы.
61. Алгебраические и трансцендентные элементы.
62. Поле алгебраических чисел.
Раздел 19. Связь конечности и алгебраичности расширения.
63. Теорема о связи конечности и алгебраичности расширений.
64. Пример конечных алгебраических расширений.
Раздел 20. Минимальный многочлен.
65. Минимальный многочлен, его свойства.
66.Теорема о неприводимости минимального многочлена.
Раздел 21. Структура простых расширений.
67. Теорема о строении простых расширений.
68. Следствия из теоремы о строении простых расширений. Прмеры.
Раздел 22. Конечность и алгебраичности конечно порожденных полей.
69. Эквивалентность конечности и алгебраичности конечно порожденных полей.
70. Примеры конечно порожденных алгебраических полей.
Раздел 23. Конечные расширения конечных полей.
71. Критерий конечности. Конечные расширения конечных полей.
72. Теорема о примитивном элементе.
Раздел 24. Нормальные расширения.
73. Нормальные расширения, свойства.
74. Примеры нормальных и ненормальных расширений.
Раздел 25. Сепарабельные расширения.
75. Сепарабельные расширения, свойства.
76. Примеры сепарабельных и несепарабельных расширений.
Раздел 26. Расширения Галуа.
77. Группа Галуа. Соответствие Галуа.
78. Дополнительные свойства расширения Галуа.
79. Понятие сравнимости целых чисел. Свойства сравнений. Классы вычетов по
модулю m.
80. Теоремы Эйлера и Ферма (малая).
Раздел 27. Круговые расширения.
81. Теорема о круговых расширениях.
82. Сравнения с одним неизвестным, его степень. Решение сравнений. Равносильные сравнения.
Раздел 28. Циклические расширения.
83. Теорема о циклических расширениях.
84. Китайская теорема об остатках, дополнение к ней.
85. Число решений сравнения по простому модулю. Критерий простоты числа.
5. Образовательные технологии.
Подготовлен электронный вариант лекционного курса, который предлагается студентам. Практические занятия и консультации проходят в виде бесед,
научного диалога и опроса, включающие подготовку студентов по смежным вопросам дисциплины, используя дополнительную литературу. Задания для практических занятий в основном берутся из источника 2 основной литературы и источника 3 дополнительной, приведенных в разделе 7.
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
«Алгебра и теория чисел»
Основная литература
1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Краснодар: Лань, 2007 г., М.: Физматгиз, 2007 г.
2. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Изд-во МГУ, 2006.
Дополнительная литература
1. Д. К. Фаддеев. Лекции по алгебре СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2007
2. Сецинская Е.В., Кривобок В.В. Алгебра. Часть I.: Учеб. пособие. для
студентов мех.-мат. фак. – Саратов: Изд-во «Научная книга», 2007.
3. Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Задачи по высшей алгебре. – СПб.; М.;
Краснодар: Лань, 2007.
4. Виноградов И.М. Основы теории чисел.– СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2006.
5. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры – М: Наука, 1975.
6. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
7. Сушкевич А.К. Основы высшей алгебры. - М.: Наука, 1977.
8. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1966.
9. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. Краснодар: Лань, 2004.
10.Лидл Р., Пильц Г. Прикладная абстрактная алгебра.- Екатеринбург: Изд-во
Урал. Ун-та, 1996.- 744 с.
11.Ленг С. Алгебра -М.: «Мир», 1968.
12.Постников М.М. Теория Галуа. – М.: Физматгиз, 1983.
13.Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. – М.: Наука, 1972.
14.Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
13. Воеводин В.В. Линейная алгебра. – СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2008.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины «Алгебра»
Учебная аудитория с обязательным наличием специализированной доски,
мела (маркера), проектора, с возможностью размещения всех обучающихся по
данной дисциплине.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и Примерной ООП ВПО по специальности: «090301 Компьютерная безопасность» и специализации: «Математические методы защиты информации».
Автор:
к.ф-м.н., доцент
___________________________В.В. Кривобок
Программа одобрена на заседании кафедры компьютерной алгебры и теории чисел
от 4 мая 2012 года, протокол № 13.
.
Подписи:
Зав. кафедрой
д.т.н., профессор
_____________________________ В.Н. Кузнецов
Декан
механико-математического факультета,
к.ф.-м.н., доцент
_____________________________ А.М. Захаров
Декан
факультета компьютерных наук
и информационных технологий,
к.ф.-м.н., доцент
_____________________________ А.Г. Федорова