1985 Об'Ь8АИН8ННОГО АУ б на СООб1Ц8НИR

СООб1Ц8НИR
Об'Ь8АИН8ННОГО
ИНСТИТУТа
RABPHЬII
ИСС18АОВ8НИI
АУ б на
Pl7-85-961
М . Т . Тураев* ,
А . С . Шумовский,
В . И . Юкалов
СВЕРХИЗЛУЧЕНИЕ
В ДВУХКОМПОНЕНТНОЙ ДИПОЛЬНОЙ СИСТЕМЕ
*
Инст и тут ядерной физики АН УзССР
1985
В
работах
уравнений
с тем,
В
была
для
систему из
ных
/ 1-3/.
N
двухуровневых
безусловный
систем,
состоящих
системах налИчие
из
кинетических
представляющей
в
среде.
собой
Вместе
изучение многокомпонент­
центров
разных
сортов.
взаимодействия между компонентами может
к
существенному
нерацию.
В
раеневесном случае,
приводит
иерархия
системы,
атомов одного сорта
п ривести
вие
точная
интерес представляет
двухуровневых
таких
построена
сверхизлучательной
изменению
к nовышению
параметров,
например,
температуры
определяющих
ге­
подобное взаимодейст­
фазового
перехода
в
состоя­
ние со спонтанной поляризацией системы 14 1 .
В
этой
связи
излучения
в
в
настоящей
двухуровневой
характеризуемые дипольными
ваемой
работе мы исследуем процесс
системе,
содержащей
моментами.
системы можно представить
в
две
Гамильтониан
рассматри­
виде:
Н = Hs- I + Hph + HI-ph + HS - ph '
где
энергия
среды
Н 8 _ 1 = l , g cs;
r, r
± _
sr
х+ . у
1s r
- sr -
+
r r-;- = 1 ~-
± il ~-,
Оператор
го
Нрь
оператором
l Пr S/
r
а
N
Sa = l
'
/1/
описывается
r;- + I ~ s; ) +11
сверх­
компоненты,
+
t 4r n; -I/·
(а = х , у ,
Sr ,
,
/2/
z) ,
r= !
131
N а
1а = ): Ir ' .
r=l
/4/
Нрь соответствует
энергии
свободного электромагнитно­
поля
=
11 ы q
l
q
(а+q а q
, qq
где а;
-
вым вектором
+
/5/
2
операторы рождения и уничтожения фотонов
q
дипольных
Н 1-ph
+
систем
l
q ,r'
iЛ
qy
(а+
q
с
полем
излучения
задаются
и Нs-рь :
. -+-+,.
. -+-+ 1
Hl- ph = l ) Л qx(aq e- Jq r + a q e 1 qr ) Ir'E
q ,r
+
с волно-
и поляризацией е.
Взаимодействия
операторами
..!_ ) ,
e-iq7'+
а
q
eiq 7')
тУ
")- '
+
!61
'
1~'\t.iiil'.lt'IШЫЙ ВНСТ11ТJТ
ti~BЬII вtc~eagstuвl
БИ& ЛИеТЕИА
1
1
":
и мы имеем обычную нормировку для статистического оператора
_
.
+
-i<i1
iqr
дипольной
х
Hs-ph - I .1/Lqx (aq е
+ aq е
) St +
q,r
+ _ . -+-+
. -+-+
+ I i/L (а е IQr +а e1 qr)s{
q,r QY. q
q
·
2
где унитарный оператор
U (t ,t 0 ) удовлетворяет уравнению
ffi_дд U(t, t 0 ) = HU (t, t 0 ),
U(t 0 ,to )= 1.
_1_( 2rrticp )1/2
.
y'N q .
(qyeqz -qz eqy ) ,
<'lJ >t
= Тr 'lJ (t, S, 1 )Dt =
( S,/ )
+ qxez ),
( S, 1)
y'N
-у
q.
qz
- q . е, )
z
Здесь ~а
лучателей
-
со
рассматриваемой системы с гамильтонианом
этой
системы
можно
описать
с
/1/.
помощью
неравновесного
оператора Dt , удовлетворяющего уравнению Лиувилля
при
начальных
Dt
= р (S) ~ D (1),
/10/
о
условиях:
-1
D (1 ) = Z
( 1)
Как
видно,
Тr p(S) = 1,
(S)
принятое
Тr D (1) =1 • .
( 1)
начальное условие
соответствует
/12/
ской
в этот же момент
системой
s,
поло-
включено взаимодействие его с динамиче­
характеризуемой
оператором р (S).
Так как из /11/ и
/12/
Тr Dt = Тr D t ,
(S,/ )
(S, 1) О
2
равновесным статистическим
следует,
что
фотонов
подсистем
/1/
и
коммутируют
принимая
во
внима­
получим следующие уравне­
/14/
.....
-iq!.l
.
х
у
х
у
]
t(Лqxlr (t)+ Лqу Ir (t)) + <ILq~r (t) + 1Lq.}3r (t)) •
Bq (t) = 1 I е
q,r
/14/
/15/
имеет вид
aq (t) = aq (t) - i Fq (t),
/16/
{ a+(t) =а+ (t) + iF (t),
q
q
q
-iы (t
t )
aq(t)= aq(t )e
q
- о
0
F (t) _ 1
t
-1ы
q
- -:r- · fdre
q
to
n
Пусть
19
ные функции
(t-r)
IUI
В+()
·
qr'
~ nроизвольный оnератор, действующий на собствен­
гамильтониана
/1/
в nредставлении Гейзенберга.
да соо1 · ветствующее уравнение движения для
i1ii-19 =[19, Н] .
то
Тr Dt
(S, 1 )
уничтожения
где
тому
жению, когда в момент времени t = t 0
фотонное поле 1 находится
в состоянии статистического равновесия с обратной температурой
f3,и
где
Формальное решение системы
/111
ехр(-fШ (1 )) ,
где
Z = Тr exp(-f3H(I )),
и
дипольных
maq (t) = t (Uq aq (t) + в~ (t),
+
.
д
•.1.
рождения
операторами
{ itl а; (t) ~ wq а~ (t)- Bq (t),
Динамические
1n atDt =[Н, Dt ],
113/
=
ния движения в представлении ГейЗенберга
подсистем.
Следуя 151 , nостроим обобщенное кинетическое уравнение для
свойства
как операторы
всеми
ние известные бозе-соотноwения,из
единичный вектор поляризации, р и р-:..плотности из­
соответствующих
О
\U- (t,t 0 )'lJ(t,S, I)U(t,t 0 )1Dt:.·
(S, 1 )
-u
191
=·-1-(2"1ice ' 1/ 2
,
qy - y'N
q.
)
(qzex + qt е ~z) •
1?· 1 )U(t,t о) Dt u -1 (t,t 0 )
1
= Тr
qz '
Так
IL
в момент времени
'lJ (t, S, 1 )
имеем
t
= Тr 'lJ(t,
и _1_
_ ..( 2Jicp' .) 1/2 (q :. е ,
.
Для среднего значения оператора
!81
{ л qy -= _1_
.
yN .( 2"tюе
q : .) 1/2 (qzex
величины
'lJ(St, lt) = u- 1 (t, t 0 )'lJ(S,I )U(t, .t 0 ),
t
л
·чх
для динамической
'lJ(S ,1 ), заданной в представлении Шредингера, выражением
Здесь
1Lqx
системы.
(S,I )
Введем представление Гейзенберга
171
19
Тог­
имеет вид
/18/
= Тr p(S) ТrD(I) =1,
(S)
(/ )
8
Будем
исследовать
посредством
/18/
д
-~ -1
аt < 0 >+ (Ш )
-1
.j.
= (in )
это уравнение
на основ е метода 15 1• Усредняя
имеем
/13/,
/16/
д
at <0> + (iti)
- 1
уравнение
/19/
1
+
112
-1
q,r to
лучаем
= (i11 )
q
-+
-1
-t
+
чтобы
+
- 1
q,r
того,
L < Fq (t)[0 ,Вq(t)] > +
/ '2. 0/
q,r
L < aq (t)[0, Bq (t) ]>+ -h
+ (i11)
Для
L < а (t)[0, Bq(t)] >
q,r
-1
избавиться
от
входящих в
/20/ бозонных переменных -aq (t) , -aq+ (t ) ,
Боголюбова и Боголюбова 1мл . 1 151 :
at < 0 >+ (ffi)
ехр (-,В ti (L) q
помощи соотношений
д
at < 0 > + (it)
-1
/
q
L,
/16/
воспользуемся леммой
х
1
-1
+ iF (t)), [ 0 , В (t ) ]]> -n
q
q
1
+ (iti)- L Nq
q,r
+
L < F q (t)[0, B q(t) ] > +
/ 21 /
q,r
q,r
в н им ани е
[aq (t), Гl'J, Bq(t)]] = о ,
и
/ 17/ ,
из
/21/ ,
< Fq+(t) [ 0,
1
f2
l
L
q, r
t
f
to
d те
-iu.J
q
уравнений
для
В
+
q (t),
по-
рассматрива­
/1/:
с гамильтонианом
<[Hs- 1 ,0 ] > =
q (; _; ')]
< (Iл ( т) + S (т) х
N
11
q
s11 (t )) ]> -
+
(I A (т) + S11 (т)) >+
t
dт е
(t- т
i [ (,,
q
1+
i\
(r -~ ' J]
(1 + N ) < (IA (т) + S (т)) х
B~(t) ] > .
х [0 , О л (t) +
t
f
to
dт е
i [ (L)
Ч
11
q
о
s11 (t))] > -
<t- r) + q (r-r ' 1 J
N
Ч
< [t:), (1 А (t) + S (t ))]
х
/1
[[ 0, в ; (t)], а~ (t)] = о
в
с в ою очеред ь
( 1 -т)
х Сiл (т)+
п олуч аем
S11 (т)) > ,
гд е
=
-
х
у
! л (к) ~ Aqx I r , (к)+ Aqy l r , (к),
+
Nq < Bq (т) Г 0, В (t) ] > -
s/1 (к)
.
:=
х
(к =
t,
т)
у
llчx sr (к) + flq y s r (к) .
q
Подчерк н е м,
вой
4
кинетических
q(t) и
0
-:i=2 2 2 f
n q r .r t
-- 2 2
1i 2 q r,r'
со от н ош ен и е
д < ~,>
" + (ш)
.J, - 1 < [H _ , u
'" ] >
at
8 1
=
иерархию
В
t
-i[ (L) ( t -т) + q(; _;'J ]
J dr е
q
(1 + N ) < [ 0,(Iл(t ) + S (t )) ] x
t
q
11
х
< [[ 0, в;(t)] , (a~(t )- iFq (t)) ]>+ 'fi- 1 L
во
явные выражения операторов
[0 , О л (t)
~ r (1 + N q ) < [ (aq (t ) +
1
Пр ини мая
"' +
N q< [u, Bq (t )] Bq (т) > .
/23/
1
J.- 1
/22/
Теперь уравнение /20/ при
принимает вид
<[Hs- 1 , 0 ] > = (i\1 )
( t- т)
q
to
r, r
- li2 qr,
L L,
r
2) / sh (,вti (L)q / 2) .
+
(1 + N q) < Bq (т)[0, Bq (t) ] > -
уравнения
-+
-+
<aq (t) 11> = Nq < [ 11 , aq (t) ]> ,
=
+
(1 + N q) < [ 0 , Bq(t) ] Bq (т) > +
t
.:..i[ы q (t-т ) +
J dтe
1
<ач (t) 11 > = с1 + Nч ) < [ач (t), 11 J> ,
г де Nq
(t- т)
искомую
системы
=.r'2 L
правую часть
i(L)
- 1
·n"
q
сюда
д
+
L < Fq(t)[ 0, Bq(t)] > .
q,r
i(L)
dт е
Подставляя
<[Hs- 1 , бJ > =
-
(t- т)
to
1
- ':fi2
"L ft
переписывается в виде
/19/
t
L f dт е
емой
.
- ieuq
dт е
q,r to
<[Hs- 1 , бJ> =
+
+
L l <aч (t)I0 ,Bq (t) ] >+< aч (t)[ 0 , B ч(t ) ]> l.
q, r
С учетом
1
t
- 1\2
L f
части
что
урав не н ия
эта
и е рар хи я
со д е ржа тс я
явЛ яется
точной ,
средни е боле е
так
как
в
п ра ­
выс око го по р яд~а ,
5
чем в левой,
и она
является общим
случаем иерархии,
d
у
х
z
х
-dt .< 1 (t)> + 2 I.,g < Sr (t) lr' (t)>- ~ о;• <1 1 ,(t)>
построенной
в работах 11 • 3 1 .
r,r ·
=-i I. ~ Jt d
р
._,
т
q r,r t
ПРОБЛЕМА СПОНТАННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
ЗДесь обсудим возможные следствия уравнения
специальный
случай,
когда
в
начальный
момент
/23/.
времени
=
Рассмотрим
/24/
при
танное излучение.
/23/
t > to
можно в этом
можно преобразовать
д
at <б> + (ш)
.1- -1
1
t
J
=:J:"2 · I. I.,
n"' q r,r
/24/
как
спон­
уравнение
+Лqx Л qy !У.
>r · (т)lz
r (t)+"r-q xAq х S 1x(т)l~(t)+ll
r
qy Л qx sY(т)l~(t)
r
r
-е
·
t
-i[w (t-т) + q (r -r ') ]
q
< (Iл(т)+S (т)) х
11
i [w (t- т)+ q (r -r ' )]
q
х (Iл (т)+
+
= ~]I. I.,
-е
(а
11
= х, у, z)
llqxлqys: (т)
i[wq(t-т)+q(r-r')]
l 1z,(t) +
из
+ Л21x,(т)IY(t)+ll
(t-т) + q (r -r ')) < ЛqхЛq (IY,(т)IY
Y'r
r
.
(t) -1 х,(т)I х (t)) +
r
r
< >. Л lz, (t)lx.
:-qx qy r
r
(т)+ л 2
lz, (t)li
q,y r
1, ·
r
r
Л
qx · qк
Sx(т)l~(t)+ll
r
r
Л
/26в/
SY(т)IY,(t)-
qy qx r
r
- Л 2 1 У, (т) 1 х (t)- 11 Л sx (т) Т~ (t) -!l Л SY (т) 1 х, (t)>qy r
r
qx qy r
1:
ЧУ qy r
r
имеем
/25/
-е
llqyлqy S{(т) I 1z, (t) > -
+ А 11 1 z, (t) Sx (т)+ Л " 1 z, (t) S у (т) >
qy qx r
r
qy r-qy r
r
6
-i[wq
о
< [б , (Iл(t)+S (t))] x
I. g <Sy (t) I ~ (t) > + I. ·о' · < 1 ~ (t) >
r ,r' .
r
r
r' . r
r ·
(t) +
f dт !е
Пqrrt
fto dт !е-i [wq (t- т) + q (r -r ')]<А qx А qy I rх, (т) I rz (t) +
Л~уl{' (т) 1;
l,
d
-d <lz(t)>+ 2 I.,g( <lx,(t) Sy(t)- Sx(t)IY, (t) > =
t
r,r
r ·
r
r
r
s11 (т)) > .
=Ia, · S а.
~ < I x(t) > + 2
= i I. I.
'f1]q r,r '
Л lz, (t)IY (т)+
qx qy r
r
r
Л 1 ~ (t) Sх(т)+ 11 ,\ 1 z, (t) SY (т)>
qx qx r ·
r
qy qx r
r
qx
dt
qx r
/25/
- ·-1i I.I. ,J dтe
2 q r,r t0
б
/26б/
i[wq(t-т)+ q(r-r')] <Л2 lz,(t)lx (т)+ Л
.
При
+
~
+ 11
х [б, (Iл (t) + .S (t)) ]> . ll
1
(t)
к виду
<[Hg.-.1 , б] > =
dте
to
случае трактовать
С учетом начального условия
т
r
1 е -.i[wq(t-т)+q(r-r')]<Л2qx 1 rx,()lz
излучение
10>< 01.
Появление поля
r
0
/поле/ в системе отсутствует:
о,
•
(т)+
i[wq(t-т)~q(r-r')] < Л
А (IY, (t)ly (т) -lx, (t)lx (т))+
qx qy ,r
r
r
r
Л IYj.t)S У(т) + 11 Л !У 't) S У (т) + >.. 2 1 У, (t) 1 х (т) + 11
q,x r
r
qx qx r
r
qy qx r"
r
/2ба/
- Л~у\~ (t)Ii (т)-llqxЛqy 1 1х, (t)S~(т)-llqyAqylrx' (t)S{(т) >
1.
..!_ < sx (t) > + 2 I. ,g <1 ~(t) S ~ (t) > + I. 'or <S~ (t)>
dt
i
t
=:s:"'!!I. I., J
11 q r,r to
r, r
dт !е
r
-i[w (t -т) +q (r-r '))
q
< !l
х
z
S (т) S ,(t) +
qx qy r
r
11
7
Соотношения
+ 11 2 S У, (т) S z (t) ~ А 11
1 х, (т)- S z (t) + А
11
I У, (;) S z (t) > qx qy r
r
qy qy r
r
qy r
r
i
-е
[ыq
(t- r) + q (r - r ')]
<
11 qx 11 qy
циальные
средние более
s:r (t) S rх, (т) +
рейдем
ния
/27а/
+ 112 s z (t) S У,( т) + А
11
S z (t) 1rx' (r)
qx qy r
qy r ·
r
+ Aqy llqy s; (t) 1 ; ,
к
< 1а
(т) > ! .
в
"' < if >
правой
высокого
приближению
бинарных
< SasfЗ>
+
/26/-/27/ представляют собой интегро-дифферен­
уравнения,
части
порядка,
которых
чем
в
самосогласования,
средних
стоят
левой .
Для
т.е.
двухвременные
простоты
совершим
пе­
рас ц епле­
вида
<S~ ,
1f3:,= < 1a > < 1{3 > ,
< SI > ~ < S > < 1 > .
у
d
-
х
х
z
Тогда уравнения
< S (t) > + 2 l , g < Ir' (t) Sr (t) > - l О r < S r >
r ,r
r
dt
i
_,
= -~ l
в
+ 11
11
t
l , f dr\e
q r,r to
( t- r) + q (r- r')]
-i [cu
Пr = П .
qx qy
S y(r) S ~(t) +А 11
l х, (r) S z(t) + А 11
1 У, (т) S (t) > r
r
qx qx r
r
qy qx r
r
i[cuq(t-r) + q(r -r')] <iL 2 S Z(t)
- е
· qх r
d
2
2
Sx(т)
+ rll q х ,... qy s rz(t)S Y
, (r)
r'
r
11
qx
11
(t) 1х, (т)+ А 11 S (t)1 У, (т) >
qx r
r
qy qx r
r
S
2
2
/2 7 б /
qy
.
t
= h l l ,J dт\е
n ~ q r. r to
-i [си
( t- r)
+ q (r - r ')]
q
<11
qх
Л
qy
q
(t) > =
11
(S Y( r)S ~.(t)- Sx(т)Sx).t )) ~
qy r
r
r
r
" 11 А
qy qy
е
(t -r )+ q(r-r'J J <
flqxllqy
2
+ 11q x s; (t) s :,(r) + AqxllqxS /(t)
(SY(t)S~ (т) _ 8 х
/27в/
1 1_х,
r
r
r
~-~Nt\) 21- l,fdr
q r,r t
r'
(r) + AqyllqxS/(t) 1; , (r)-
-112qySx(t) SY,( r)-A
/L
Sx(t)1 x,( r)-A 11
Sx(t)1 Y, (т) >
r
r
q:x qy r
r
qy qy r
r
8
j
(t)S x(r)) +
1.
< 1 z (t) > < SY (т) > )
-1с < 1 у (t) > + 2g <S\ t) /
-11 2 SY(т)S:.(t)-A
11 Jx, (r)Sx(t)- А "
1 Y,(r)Sx(t)>qy r
r
qx qy r
r
qyr qy r
r
i[rи
q (r- r '>]
(А
qx
А
qx
А
qy
qy
< 1 х(т) > < IY (t) > +
+А
-в
/28а/
< 1 z (t) > < 1x ( т) >+
+ A ~y < 1 2 . (t) >< iY(т)>+ Лqyllqx< 1 z (t) > <Sх(т) >
1.
+ 11 2 S x(r) S Yjt) + А 11
1 х, (r) S у (t) + А 11
1 ~ (т) S у (t) qx r
r
qx qx r
r
qy qx r
r
_
t-
< SY (т) > < 1 2 (t) '> ) -
i[cu (t -т )+q(r-r ' >](A
-е
у
(частоты
I Л2 < 1Y(r)>< 1 z(t) >+ ll
Л
< Sx(т) >< 1 2 (t) >+
qy
qx qy
+
1.
z
х
у
х
d
- - < S (t) > + 2l,g < Sr (t) 1r ' (t) -1r' (t)S
dt
r,r
принимают вид
.
i
t
CN1i)2lq rl ' { dт \е -i[ыq (t- r)
,r to
+/L
+А
/27/
d t < 1x(t ) > + 2g < S Y(t) > < 1 z (t) > + 0 '< 1Y(t) > =
< 112 SХ( т) S ,(t) +
qx r
r
q
и
/26/
о; =- П') :
t-
1.
< I \ t ) > -П ' < 1x(t) > =
\e-·i[,uq(t-r) .: q(r-r') ]
(A~y < I x(r) >
< 1 z(t.) '-' +
0
/28б/
А < I y(r) >< 1 2 (t) > + " А < Sx (т) > < 1 z(t)>+ ll
А < S Y(т) >< 1 z (t) > )qx qy
rчх qx
qy qx
i[си
-i AqxA
q
(t-т) + Ч (r -r ') 1 (А2 < I:;r;(t) > < 1X (т) > +
qy
qx
< 1 z(t) >< 1y ( r) > +ll
А
qx qx
< 1 2 (t) >< Sx (т) > + il
А
< 1 1:t) >< S y (т)>)l.
qy qx
9
:t
.< 1 z(t)> +2g (:lx(t)><Sy (t)>-<Sx(t)> <ly (t)> )=
-(~~
t•ш)
2I. I.
fdт\e-i(cuq (t-т)+q(r-r')](Л Л
qx qy
i[cuq (t-т) +q(r -r')] (р. 2 .<S z (t) > <S х (т) > +
qx
-е
(<IY(т)><IY(t)>-<lx(т)><lx(t)>)+
+ fL
fL
qx qy
<Sz(t) > <SY(т)>+Л !l .< Sz(t)> < lx(т) > +
qx qx
+ ЛqyJlq;x <Sz (t) ><IY(т) >)l', .
+
Лq2 .<lx
а
(т)><lу (t)> + fL qx Л qa
.,<S х(т) >< l у (t) +"гqу Л q.a.<S У(т) > <l у (t)> /28в/
d
z
][
у
][
у
dt <S (t)>+2g (<S (t)><l (t) > -<1 (t)>.<S (t) > ) =
-Лq2 y<IY(r) >< lx(t)>-f.l qx Л qy <Sx(т)><lx(t) > -f.! qy Л qy<SY(т)><lx(t)>]-е
i
t
-i(cu (t-т)+ q (r- r ') ]
=-2I.I.jdт\e · q
[fL fL
( < SY(т) >< SY(t) > - < Sx(т) >< Sx(t)>)+
(NТI) q r,r t
qx qy
i{cu (t-ry+q(r-r')]
·
q
(Л Л
(<1 У (т)> <1 У (t)>- <1 х (т)> <1 x(t)>) +
qx qy
.
о
+ л:х <ly (t)> <1 х (т)>+ llq~·\x <1 у (t) > <Sx (т) > + fLqy '\х .<1 у (t)> <Sy (т)> -
+fL2qx <SX(т)>.<SY(t) > +Л qx!l q.,<JX(т)><SY(t) > +fL qxЛ qy < IY(т)
. > .<SY(t)>-
-Л 2 < lx(t)><ly(т) > -f.! Л <lx(t)><Sx(т)>-f.! Л <lx(t)><SY (т)>]l.
qy
qx qy
qy qy
_fL2<SY(т)>.<Sx(t)>-Л /.1 <lx(т)>.<Sx(t) > -Л Jl < IY(т) ><Sx(t)>]qy
qx qy
.
qy qy
-е i [cuq (t-т )+ q (r -r ')] [
d
dt<Sx(t)>+2g<IY(t) >< Sz(t) > +П <SY (t)> =
i
t
·(~*)2I. I., f
_гш q r,r to
-i(cu (t-т)+q(r-r)]
dт \е
q
(!l ~
q
х
<S (т) >< S (t) > +
qy
2
+Л
i(cuq(t-т)+q(r-r')] (!l !l
и
q:l qy
Учитывая
~1 I. е ((j['
< Sz(t)>< Sx(т) > +/.12 <Sz(t) > <Sy(т)>+
qx qy
-i [си (t- т)+ q (r- r ')]
q
(!l
из
+/.1qx fL qy <SY(т) >< Sz(t)>+Л qx fL qx <lx(т) >< Sz(t) > +
Л
<1 У (т)><Sz (t)>)-
/28/
и
/29/
]1 •
соотношения
N-2ф(q) ф(-<J.J=ф2
(q),
получим
•
-+
t
=pi. ф2 (q) fdr\e
q
-i (U
q
(t- т)
(ЛqxЛqy<lx(r)><lz(t)>+
to
/30а/
+ л~у< l у (r) > <1 z (t) > + /.lqxЛqy <S][ (r)> <1 Z(t) > + ilqy л qy<S у (т)> <l z (t)>) -е icuq (t- т) (Л .л
Qa
10
т>
d~ <lx(t) > +2g<Sy (t)><lz(t)>+П'<IY(t)>=
2
< Sx(т) >< Sz (t) > +
qx .
/296/
qx qy
у()
t ><1
= ф (ii) • .
о
+fL
][()
ф ( ~) = ф (q ;) •.
d
t
][
r, r
dt<Sy (t)>+2g<l х (t)><Sz (t) > -0 <S х (t)>=
i ·,
известные
N-2I.,e-iq(r-r') =N2·
/.1 <Sz(t) >< IY(т) >)l,
qy qy
Nll: q r,r t
х
r
qy
<Sz(t)><lx(т) > +Л
,._(:Т:)2I I., fdт\e
у
][
-Jlqy <S (t)><S (т)>-Лqx!lqy<S (t) > <l (т) > -Лq Y. ILqy < S
+ fLq2y<SY (т)> <S :r. (t)> + Aqx !lqy <1 х(т)> <S z (t) > + Лqy.tqy<!Y(т)> <Sz (t) > )-
е
!l
(<SY (t)>.<SY (т) > - .<S х (t)> <S х (т)>)+
!l qx qy
2 <SY(t) ><Sx (т)>+Ах" . <SY(t) >< lx(т) > +" Л <Sy (t) >< IY(т) > +fLqx
· ч гqх
.
гqх
qy
z
/29а/
-
/29в/
qy
< lz (t) >< lx (т)>+ Л 2 <1 z (t)> <l У (т) > +
qy
11
+ Лq y l1q:x < 1z (t) > <S х(т) >+ Лqy11q y < 1 z (t) > <SY (т)
+ Лqx11qy <Sz (t) >< l х (т) > + Aqyl1qy <S z (t)> < l у (r) > )
1,
d
-d < 1 у (t) > + 2g <S х (t) > < 1 z (t) > -0 ' < 1 х (t) > =
t
i
.... t
-i (U
= --1\"21 Ф (q) J d т !е
(
t-
т)
2
(Лqх < 1
to
q
+ Лqх .\qy <1 у
х
(т) >< l
d'\- < Sy (t) > +2g <1 х (t) > <S z (t) > -0 <S х (t) > =
z
i
t
-+
= -~1ф 2 (q)[dт!е
(t) > +
(т) >< 1 z (t) > + 11qx \х <S х (т) > < 1 z (t) > + 11qy Л qx <S у (т) > <1 z (t) > ) -
/ЗОб/
q
(t-т)
(J1 2 < Sx(r) ><Sz(t) > +
qx
/Зlб/
+ 11qx11qy <S у (т) > <Sz (t) > + \x11qx < 1 х (т) >< S z (t) > + 11qx Лqу <1 у (r) ><S z (t)> )-е
Л < lz(t) >< Sx(т) >+ l1 Л < lz(t.) >< SY(т) > )l,
qx qx
qy qx
-iы
о
q
iшq (t-т)(Л2qx < lz (t) >< l х(т) >+ Л qx'qy
А <1 Z(t) >< IY (т) > +
-е
+11
1,
iы
q
(t-т)
(J1
< SZ(t) >< Sx(т) > +l1
2
qx
11 < S z (t) >< SY(т) > +
qx qy
+ Лqx11qx <Sz (t) > < lx (т) >+ Лqу 11qx <S z (t) > <1 У (т) > )
1,
d
z
х '
у
х
у
d t < l (t) > +2~( < 1 (t) >< S' (t) '- - <S (t) >< l (t) > )
d
z
.
х
у
х
у
-d(t) >< l (t) > -<1 (t) > <S (t) > ) =
t <S (t) > +2g(<S
.
i
2-+
~ ~1 ф (q)
= ~2 1 ф 2 (q) Jdт!e- ыq(t-т)[l1 11 (<Sy(r) ><SY
н<
to
qx qy
.
t
f
to
П" q
dт!е
-i<,)
(t-T)
q
[Л Л (< ly(т) >< IY(t) '- - < lx(т) > < lx (t) > ) +
qxqy
2
+Л qx< 1x(r) > < I Y (t) > + l1 qx Лqx < Sx (т) >< I Y (t) '-~ 11 qxЛ qx <S y (r) >< IY(t) >
2
+ 11qx
-
i cu
+ Л
2
q
( 1. - т)
(Л
чх
\'
qх
<1· (t) >< l
Л
х
( т) '- • 1(
-Л 2 < lx (t.) >< IY (т) > -11
qy
qx
qx
Л
Л
у
qx
ч ~·
-.1· (t) .>< S
х
(т) '- + 1 (
· sx (т) · · ' lx(t) '- -11
qy
Л
,\
У
qx
qy qy
·
2
+ 11 <SY
qx
у
< 1 (t) '-< S· ( т ) > -
<S Y (т) · < lx (t) >,JI. /ЗОв/
(t) > - <Sx(r) > <Sx(t) > )+
/Зlв/
-е iы 11 (t-r)
v
qy ( < 1· (t) '> < JY( т)- < IX(t) >< lx(т) '> ) +
.
1
< Sx(r) ><SY(t) > + Л qx 11qx < lx(т) >< SY(t) > +Лqy 11 qx < IY(r) > <SY(t) > -
2
-11 qy <SY
. (r) >< Sx
-Лq2 y< IY(r) >< lx(t) > - 11 qx Л qy < Sx(т) > < lx(t) > -11 qyЛ qy<S Y(r) ' < lx(t) > ]-е
t
[11
(t) > -Лqx 11 qy < lx(r) > <Sx (t) > -Лq.y11qx < ly(т) ><Sx(t) > ]-
11 ( <S
qx qy
у (t) > <SY
(r) > -<S x(t) > <Sx
(т) > )
+
(t) ><Sх(т) >+ Лqx 11qx < SY (t) >< lх(т) >+ Л qy 11qx <S Y(t) > < I У (т) > -
2
-11 qy
<Sx(t) >< S Y (r) > -Лqx 11 qy < Sx(t) >< lx(т) > -Л qy 11 qy <Sx(t) >< f Y(r) > ]l.
Чтобы интегрировать правые части уравнения, сделаем следую­
щие предположения . С учетом условия /24/ предположим, что из­
d
- - < Sx (t) > +2g < IY(t) " <S 2 (1.) >+ !1 <SY(t) '> =
dt
лучатели
жестко
закреплены
в
узлах
простой
кубической
решетки .
Будем также предполагать, что распределения собственных частот
i - 2,.. t
-i <•>
=11 2 ~ф(q) { d т ! е
q
to
q
+ ~~ <S ~·
( 1.- 7)
(J.L
11
qx qy
излучателей О;- и Or симметричны относительно некоторой часто­
ты О и не зависят от координат излучателей . Обозначим J (O) функ­
х
.
2
<-. S( т ) ·· < S (t) '>~
цию распределения частот и усредним велич и ну
( т) > <S z (t ) > + лq xl(qy < 1 х (т) '> <S z (t) > + лqy11q y <' 1 у (т) ... <S Е (t ) > ) -
/Зlа/
о днор о дного лоре н ц е ва
<е
. -е
12
i (.,)
q
(t - т )
z
х
Юr t
>= е
Ю r t +оо
f
е
i Wt
eiOr
t
с учетом не­
уширения~ /
J(Ji) dW = e
Юt
е
- l ti/ 2T
,
2
(J1qx J.1:qy <S · (t ) '>< S (т) > + /1 qy < S z (t ) >< S Y(т) > +
13
-
где Т
так
называемое
время
жизни
осциллятора.
Заметим,
обычно рассматривается лишь простейший случай ~ .=0
Следовательно,
<1
а
(т)
а
а
в
силу определения
=.<1 (t) > е
а
-iO' ( t-т)
<8 (т) = .<8 (t) >e
Теперь
. ddt
.
с учетом
е
- ( t-т)/2т' ·
уравнения
2
Х 1 =(<0> ·p.qy
Х 2 =((О')· \xllqx
Х3 = .((0'). \УР.ЧУ'
х 4 = g<П> · P.qx •
'1
(2=({0)
имеем:
-iO(t-т) - ( t-т)/ 2Т
е
/32/
что
и 0'r = 0~
/32/
/30/-/31/
принимают вид
<1:к> + 2g<:8у> <1~+0' < 1у> =[у 1 < 1:к > + r.2 .<1~+уз .<8 ~ +у 4 <8Y >]<lz.> ,
.
d
у
:1
z
,:1
у
:1
:1
у
z
dt<1 >+2g <8 >< 1 >-0 <1 > =[-у 1 < 1 > -71 1 <1 > -71 2 <8 > -71 3 <8 >] < 1 >
/33/
1
=
'(.{1').\уР.q:к'
где
({О)= * ф
(J(), = I
\•• )
d
dt<8:к > +2g <1 У:. <8z > +О < 8у > = (уз < 8:к > + х < 8у >+ х <1 ~ + х <1 у> ) <8z > ,
1
2
3
d
(Гt<8y
> +2g <1 ~ <8z > -0 < 8 ~ =-(х < 8:к > + у з < 8 у >+ х <1 ~ -.; < 1 у >)<8z > ,
4
2
/34/
d
z
:1
у
:1
у
у2
:12
)'
:1
у
dt<8 >+2g(<S > <1 > - .< 1 > <8 > )=уз(<8 > - <8 > ) + .., 2<8 >.<8 > +
+ х <1:к >< 8У > + (з < 1У> <8У > - ( < 1х >< 8:к > -х < 1У >< 8х > .
2
4
3
·{Jt:x-llq~) ,
( 4 = g(O ') лqxP.qy•
.t з = (<о'>' лqyP.q :к •
2
8w Т
-+
2
(q) h[4 (ctJ2-02)T2 + 4iOT +1]
q
: d
z
:1
у
:1
у
у 2
:12
х
у
- <1 > + 2g (<1 ><8 > - <8 ><1 > ) = у (<1 > - < 1 > )+1J <1 >< 1 > +
1
4
dt
+71 <8x >< IY> -71 з< 8у> < 1у > -уз < 8 ~ <1 х > - у <8 ~ < 1:к > .
2
4
2
ф2(q)
q
8w (Т ') 2
q
h [4( w~- (О ') 2) (Т' ) 2 + 4 iO 'Т'+ 1]
Эти выражения получены при
t0
ли замкнутую систему уравнений
щую
процесс
.
'
спонтанного
-+ -оо.
/33/
Таким образом,
и
коллективного
мой двухкомпонентной дипольной
'
/34/,
излучения
системе.
В
мы построи­
полностью описываю­
силу
в
рассматривае­
существенной
нелинейности этой системы ее дальнейшее исследование может быть
выпоЛнено численно, что предполагается сделать в дальнейшем.
ЛИТЕРАТУРА
Боголюбов Н.Н./мл . /, Фам Ле Киен, Шумавекий А.С. ТМФ,
с. 423.
Боголюбов Н.Н./мл./, Фам Ле Киен, Шумавекий А.С. ТМФ,
56, 3, с.108 .
1982,
52.
1984,
Bogolubov N.N.(Jr.), Fam Le Kien, Shumovsky A.S. Physica,
1984, 128А, р.273 .
.
.Кудрявцев И.К.,
эле'ктроника,
Аллен А.,
атомы .
11
Эберли Дж.
Мир 11 , М.,
Рукоп и сь
29
14
Мелешко А.Н., Шумавекий А.С.
1979, 11,
Квантовая
с.2434.
Оптический
резонанс и двухуровневые
1978.
поступила
декабря
в
1985
издательский отдел
года.
. 16
НЕТ ЛИ ПРОБЕЛОВ В ВАШЕЙ БИБЛИОТЕКЕ?
Тураев М.Т.,
Вы можете получить по почте перечисленные ниже книги,
если
д17-81-758-
Р18-82-117
они
не
были
заказаны
ранее.
IV
для
реwениА
д3,lt-82-70it
Труды совещания
ускореннА.
Труды
Xl
ЧехословакиА,
nрямые
оnисываю­
взаимо­
75
к.
3
р.
30
к.
5
р.
00
к.
2
р.
к.
6
р.
55
р.
00
50
Cooб-.eiOie Объединенного института •дерных исследова101й. Дубна
1985
к.
-Дубна,
1983.
Труды
Труды
2
к.
Братислава.
VII
р.
lt
50
к.
1983.
Международного семинара
физики вwсоких энергий. Дубна,
W Международного
lt
р.
5
р.
50
к.
7
р.
75
к.
30
к.
Перевод О.С.Вииоградовой.
Turaev М.Т., Shumovsky A.S., Yukalov V.I.
Supperradiance in Тwo-Component Dipole System
по проблемам
1981t.
тома/
Труды
V Международного
совещаниА по про­
блемам математического моделированиА,
граммированио
и
математическим
про­
методам
реwе­
3
ниА физических задач. Дубна, 1983
Труды
IX
Всесоюзного совещаниА по ускорителАм
заряженных частиц. Дубна,
1984 /2
р.
50
13 p.SO
тома/
Pl7-85-961
Exact hierarchy of kinetic equations for а two-component
dipole system is found and applied to construct а closed system
of differential equations describing the process of collective
spontaneous radiation and taking account of direct interactions
of different-sort dipoles.
The investigation has been performed at the Laboratory
of Theoretical Pltysics, JINR.
симпозиума по избранным
проблемам статистической механики. Дубна,1981t.
/2
д4-8S-851
учитывающая
их применению
1982.
Труды 7 Международкого совещаниА по проблемам
к•антовой теории полА. Алушта, 1981t.
д1 о ,11-Bit-818
и
Международного симпозиума по
~дерной электро~ ике.
д17- 81t-8SO
излучения
Труды р.бочего совещаниА по проблекам иsлучениА
Труды
Д1,2-8lt-599
сnонтанного
по системам и методам
вычислений на ЭВН и
и детектированиА гравитационных •олн.
дz-8/t-366
nроцесс
Работа выnолнена в Лаборатории теоретической физики ОИЯИ.
Труды Международной школы-семикара по физике
ТАЖВЛЫХ ИОНОВ. Алушта, 1983.
Д13-8lt-63
к.
80
на основе
действия диnолей разных сортов.
р.
1982.
1982.
в теоретической физике. Дубна,
Д2,13-83-689
р.
3
1982.
совещания
аналитич~ских
д7- 83-61tlt
щая
1981.
кинетических уравнений,
которой nостроена система дифференциальных уравнений,
1\еждународной wколы по нейтронной
IV
Труды
Pl7-85-961
по коллективным методам
Дубна,
физике. Дубна,
Д11-83-511
к.
40
Труды совещаниА по исследованиям в области
релятивистской Адерной физики. Дубна,
д9-82-661t
р.
научно-технических
и народнохозАйственных задач. Дубна,
ДZ-82-568
Получена точная иерархия
5
совещаниА по использованию новых ядерно­
физических методов
Юкалов В.И.
системе
Труды !!·Международного симпозиума по избранным
проблемам статистической механики. Дубна, 19~1.
Труды
Шумовский А.С.,
Сверхизлучение в двухкомnонентной диnольной
к.
к.
Труды Международной wколы по структуре
ядра, Алуwта,
1985.
3
р.
75
к.
Заказы на упомянутые книги могут быть . направлены по адресу:
101000
Москва,
Главпочтамт,
п/я
79
Издательский отдел Объединенного института ядерных исследованиР
Coшшunication
"'
of the Joint Institute for Nuclear Research.
DuЬna
1985