Утверждаю» научной деятельности

«Утверждаю»
научной деятельности
—'
Д.К. Нургалиев
лЛ____ 2014 г.
ОТЗЫВ
ведущей организации на диссертацию Дворжецкого Юрия
Сергеевича «Системы уравнений над алгебраическими системами
с порядком», представленную на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук по специальности
01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел.
Задачи на составление и решение систем уравнений с несколькими
неизвестными
можно найти
даже
в
вавилонских,
египетских,
древнегреческих, индийских и китайских рукописях, некоторые из которых
датируются 4-2 веками до нашей эры. После того, как в 16 веке была введена
символизация алгебры, были развиты методы и заложены фундаментальные
основы теории систем алгебраических уравнений, что нашло свое отражение
в исследованиях Г. Крамера, К.Ф. Гаусса, Л. Кронекера, А. Капелли, Ф.Г.
Фробениуса, М.Э.К. Жордана и других. Последние два века исследования в
этой области перетекли в изучения аффинных алгебраических многообразий,
то
есть
множеств
решений
систем алгебраических уравнений,
сформировавшись в одну их самых трудных научных дисциплин алгебраическую геометрию.
Естественное обобщение систем алгебраических уравнений на случай
произвольной алгебраической системы привело к появлению такого
направления исследований, как универсальная алгебраическая геометрия,
которое последнее время вызывает все больший интерес, особенно в работах
таких авторов, как Б.И. Плотников, Г. Баумслаг, А.Г. Мясников, О.Г.
Харлампович, В.Н. Ремесленников и др.
Данная диссертация посвящена изучению систем алгебраических
уравнений над упорядоченными алгебраическими структурами. Автор
диссертации сфокусировал свои исследования над изучением систем
алгебраических уравнений над дистрибутивными решетками, в частности,
1
над алгебрами Ершова и над решетками с выделенным идеалом. Диссертация
объемом 93 страницы состоит из введения, четырех глав, заключения и
списка литературы.
Во введении автор приводит обзор современного состояния дисциплины
в данном направлении исследований.
В первой главе приводится обзор основных определений и результатов
алгебры логики, теории моделей, теории решеток, алгебраической геометрии
и универсальной алгебраической геометрии.
Во второй главе приведены определения и результаты перенесенные из
из теории моделей. А именно, даются определения атомарной стабильности и
^.-стабильности. Показано, что теория, у которой все модели нётеревы по
уравнениям, являются атомарно стабильными. Построен контрпример,
показывающий, что обратное не верно.
Третья глава посвящена системам уравнений над дистрибутивными
решетками и, в частности, над алгебрами Ершова. Получен критерий
нётеревости по уравнениям над дистрибутивными решетками. А именно,
доказано, что дистрибутивная С-решетка нётерова по уравнениям тогда и
только тогда, когда дистрибутивная решетка С, порожденная константами,
конечна. Интересно отметить, что, как показано в диссертации, критерий
слабой нётеровости по уравнениям над булевыми алгебрами, полученный
А Н. Шевляковым, на дистрибутивные решетки не переносится.
В этой же главе получен критерий нётеровости по уравнениям над
алгебрами Ершова. А именно, С-алгебра Ершова нётерова по уравнениям
тогда и только тогда, когда подалгебра констант С конечна. Получено также
описание слабой нётеровости по уравнениям над алгебрами Ершова.
Четвертая глава посвящена системам уравнений над решетками с
выделенным идеалом. В этой главе обобщен критерий нётеровости по
уравнениям над булевыми решетками, полученный А.Н. Шевляковым, на
случай дистрибутивным решеток с конечным набором предикатов. А именно,
доказано, что дистрибутивная С-решетка с конечным набором предикатов
нётерова по уравнениям тогда и только тогда, когда дистрибутивная решетка
С, порожденная константами, конечна. В этой же главе показывается, что
критерий А.Н. Шевлякова слабой нётеровости по уравнениям для булевых
решеток не переносится на случай булевых решеток с выделенным простым
идеалом.
2
Переходя к оценке диссертации, отметим, что автор диссертации
владеет непростыми методами универсальной алгебраической геометрии.
Оформление диссертации хорошее. К недостаткам стоит отнести
недостаточно широкий список литературы, в частности, нет ссылок на
работы Б.И. Плотникова и О.Г. Харлампович - крупных ученых в данной
области исследований. Однако, этот недостаток, а также обнаруженные
опечатки, которых легко устранимы при внимательном прочтении, не портят
общего впечатления о диссертации.
Считаем, что диссертация Дворжецкого Юрия Сергеевича отвечает
требованиям ВАК, а ее автор заслуживает присуждения ему ученой степени
кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 математическая логика, алгебра и теория чисел.
Отзыв на диссертацию подготовлен к.ф.-м.н., доцентом Фроловым
Андреем Николаевичем, обсужден и утвержден на заседании кафедры
алгебры и математической логики КФУ 29 августа 2014 года (протокол № 7).
3