1972 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СБОРНИК Т. 89(131), № 2(10) УДК 517.53 Функции с заданной оценкой dfldz и теорема Н. Левинсона Е. М. Дынькин (Ленинград) В настоящей работе рассматриваются классы функций f, непрерывно дифференцируемых на комплексной плоскости С1, у которых производ­ ная dfldz убывает с заданной скоростью при приближении к единичной окружности. В частности, в точках единичной окружности должны вы­ полняться уравнения Коши — Римана. В § 1 описываются в терминах их дифференциальных свойств функ­ ции на единичной окружности, допускающие продолжение до функций такого класса. В § 2 для рассматриваемых классов выводится критерий квазианалитичности. В § 3 при помощи результатов §§ 1 и 2 дается новое доказательство теоремы Н. Левинсона о нормальности семейств анали­ тических функций. Краткое изложение результатов настоящей работы содержится в за­ метке [1]*. Всюду в дальнейшем приняты следующие обозначения: Г = {гбС\ | z | = 1} — единичная окружность; А == {г6С1, | г | < 1} — единичный круг, А — Д (J Г — его замыкание; {ф(/г)}!!оо— коэффициенты Фурье суммируемой функции ф, заданной на Г или на отрезке [—я, я]; l°° {dn}, где {dn}7— некоторая положительная последовательность, — класс всех суммируемых функций ф таких, что Ц)(п) =^0(d\n\)y п-> ± оо; z = x + iy, £ = £-f *тьд/dz = — (д/дх + id/dy). Автор приносит глубокую благодарность В. П. Хавину и Н. К. Ни­ кольскому за внимание к работе и ценные советы. § 1. Теорема существования Пусть h— положительная неубывающая функция, определенная на промежутке (0,+оо) и имеющая там непрерывную производную; А( + 0 ) = 0 . * После того, как рукопись [1] была сдана в печать, автору стали доступны не­ опубликованные результаты В. И. Мацаева, содержащиеся в его диссертации [2]. В частности, В. И. Мацаев доказывает теорему, обратную к теореме Н. Левинсона, и теорему, чуть более слабую, чем прямая теорема Н. Левинсона, при помощи близких соображений, также выводя их из критерия квазианалитичности некоторого класса функций. Функции с заданной оценкой df/dz 183 Классом DT(h) назовем класс всех непрерывно дифференцируемых функций / на комплексной плоскости С1 таких, что df dz < Kf h ([ 1 — | z 11), Kf = const, z б С1. Ясно, что класс DT(h) является алгеброй и содержит все функции,, аналитические в окрестности Г. Т е о р е м а 1. Пусть ф — дважды непрерывно дифференцируемая функция на окружности Г. Пусть далее ln] ап=^ J Л(г)(1— r)\\п\ dr, n - 0 , ± 1 , .... о Для того чтобы функция <р допускала продолжение класса DT(h) на всю плоскость, необходимо, чтобы ц)(п) = 0(ап), п->±оо, и достаточно, чтобы 2 ср(я) <^ -(- оо, е > 0. Д о к а з а т е л ь с т в о . Н е о б х о д и м о с т ь . Пусть функция f£Dr(h), совпадает с ф на Г. Тогда по формуле Грина при п ^ О f, Ф ( _ п) = — f <р (г) г"-1 dz = — f / (z) z""1 dz = — f f z""1 - ^ d*d#. 9-TTI* «Z Г P.Tti ^Jlt ilГ jt ^ Я? Переходя к полярным координатам, получим I Ф (— п)\ -^ const • J глА (1 — г) dr = const • ал. о Случай /г<0 рассматривается аналогично. Д о к а з а т е л ь с т в о д о с т а т о ч н о с т и опирается на следующую лемму. Л е м м а . Если 2 Ф (— п) — <^ + °°» £ > 0» tno существует не­ прерывно дифференцируемая функция f в замкнутом единичном круге А такая, что 1 ) / ( 9 = Ф(Б). ^ег, 2) ~4:{ге{*) = co(/)r 2 /i(l—г), г < 1, где со — непрерывная функция на dz [—я, я], причем \'/« max | со (/) | -< const • ( ^ Доказательство в виде ф ( — П)- л е м м ы . Будем искать нужное продолжение 184 Е. М. Дынькин Г А где S = reli, г 6 А. Нужно найти'непрерывную функцию со такую, что а) / непрерывно дифференцируема в А, б) /(£) = Ф(£) при всех £6Г. Если такая функция о найдена, то уравнение - ~ = (o(t)r2h(l—г) удовлетворяется автоматичедг ски. Рассмотрим подробнее условия а) — б) для функции (1). а) Так как ф имеет две непрерывные производные, то первый член в (1) непрерывно дифференцируем в А. Поэтому для выполнения условия а) достаточно, чтобы и второй член в (1) был таким же. Для этого, в свою очередь, достаточно потребовать, чтобы функция со была абсолютно непрерывной и ее производная со' входила бы в класс i>(—я, я) при не­ котором р>2. def б) Вычислим значения f(eiB) = lim / (rem). /•-•1-е eiQ Первый член в (1), т. е. интеграл типа Коши с плотностью ф, в точке принимает значение, равное 2 ф(п)е (см., например, [3]). Второй сю п=о член принимает в точке eib значение где (0 = 2 Г / г ( 1 — г ) - - ^ ^ - ^ — 2 | ] в - ^ Г/г(г)(1—г) J r-elt tZ* У Переходя к коэффициентам Фурье, получим [.37(л)^ф(л) — со(/г+1) Л(л), я > 0 ; }(п) = — ®(п+I) А(п), лг < 0. Но, как легко видеть, Л(п)=—2а п -2, я ^ О . Поэтому, если положить •ш(л)=0 при л ^ 1 и со(/г)=ф(м— 1)/2а п -з при д ^ О , то / ( Л ) = Ф(Л) при всех/г = 0, ± 1 , ... и f(£) = Ф (£), £6Г. Итак, для окончания доказательства леммы достаточно проверить, что (в наших условиях) величины со (я), определенные выше, действи­ тельно являются коэффициентами Фурье абсолютно непрерывной функ­ ции со, причем co'Gi>(—я, я) при некотором р>2. Функция со' имеет ко­ эффициенты Фурье, равные mco(ft), л = 0, ± 1 , .... По теореме Юнга — оо Хаусдорфа [3] достаточно проверить, что 2 |л5(«)Ге = 2 ф ( — П) 2 | « « ( " ) | 2 _ е < + °°. Но < +°°> Функции с заданной оценкой df/dz 185 так как, очевидно, a n + 2 ^ const -an при всех п. Лемма доказана. Теперь можно провести доказательство достаточности в теореме 1. Без ограничения общности можно считать функцию <р вещественной. Пусть /о — продолжение ф внутрь круга А, построенное в лемме. При | г | > 1 положим fi(z) =/ 0 (l/z). Тогда функция f, совпадающая с f0 при | г | ^ 1 и с fi при | z | > l , как легко проверить, имеет непрерывные про­ изводные на плоскости. Кроме того, при | z | > l z2 dz дг и поэтому дг -< const • h 11 — 1 \ i при L z I > 1. Теорема 1 доказана. § 2. Квазианалитичность классов Dr (h) В этом параграфе исследуется вопрос о квазианалитичности класса сужений функций из DT(h) на единичную окружность Г. В теории ква­ зианалитических классов функций рассматриваются два определения квазианалитичности (см. [4]). Именно, некоторый класс бесконечно диф­ ференцируемых функций на единичной окружности называется квази­ аналитическим (Д), если он не содержит функции, отличной от тожде­ ственного нуля и обращающейся в нуль в некоторой точке вместе со все­ ми производными. Класс называется квазианалитическим (/), если он не содержит функций, обращающихся в нуль на некоторой дуге и не равных нулю тождественно. Известно однако [4], что для классов Карлемана эти два определения совпадают. Подобным же образом, из содержащихся в этом параграфе рассмотрений следует, что и для классов DT(h) оба определения приво­ дят к одному понятию. В этом параграфе мы предполагаем, что функция h имеет непрерыв­ ную производную на (0, +оо) и что \\nh(eG) |— выпуклая функция а. Т е о р е м а 2. Для того чтобы класс сужений функций из Dr(ti) н единичную окружность был квазианалитическим*, необходимо и достаточ. но, чтобы \ In In dr = + °°J h (r) о Д о к а з а т е л ь с т в о . Теорема 1 показывает, что имеют место включе1 ния l°°{n-2an}czDT(h) \vczl00 {ап}, где, как и выше, ап= j h{r) (l — r)Wdr9 о а = 0, ± 1 , .... Пусть функция r-+h(r) (1 — г)п достигает максимума на от­ резке [0,1] при г = гп. Положим ф(г) = | In /г (г) |, тогда должно быть Ф'(0 + - г 2 - = °' Безразлично, (Д) или (/). 2 Математический сборник, т. 89(131), № 2(10) л=(гл-1)ф'(г«) 186 Е. М. Дынькин и, следовательно г я \ 0 . Стало быть, 1 1 ап = j A(r)(l - / f d r > А(гя) J (1 - г) я Л-> const . Л ( г л ) ( 1 - г л ) Л ; о 'я так как, очевидно, а я <Л(г я )(1—г я ) л , то /°° {n"3fe}CZDr(/i)|rC/00{&n}, где 6Л = Л(гя) (1 — гя)я, /г — 0, 1, ... . Пусть 0 < г < 1. Положим * (г) = (г — 1) q/ (r). Обратная функция t-+r(t) является убывающей функцией t. Положим p(t)=v(r(t))-tln(l-r(t))9 t>0. Л е м м а 1. Функция t-*tp'(t) возрастает на (О, +оо). Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы 1. Имеем p'(t)=—In ( I — r ( t ) ) . От­ сюда /р / (0 = - ' 1 п ( 1 - г ( 0 ) = ( 1 - г ( 0 ) Ф , ( г ( 0 ) 1 п ( 1 - г ( 0 ) . Поэтому достаточно проверить, что (1—r)q/(r)ln(l—г) — убывающая функция г. Но (1_Г)Ф'(Г)1П(1-Г) = (Г|Ф'(Г)|)^=^1П 1 1—г Первый сомножитель убывает, так как функция <р(еа) выпукла. Что ка­ сается второго, то d ' ^ ' . i n - A - U ^ + inO-/-))< о. dr \ r 1— г ] г Лемма доказана. Заметим теперь, что Ья = е"~р(/г), /г = 0, 1, . . . , и соответственно п"гЬп = = 0-Р(Л)-Зin/if /г = 0, 1, . . . . Согласно теореме Валле-Пуссена — Мандельбройта [4], применимой в силу леммы 1, необходимым и достаточным условием квазианалитичности (безразлично (А) или (/)) классов l°° {bn} и Г° {п~3Ьп} является условие j p(t)t~2dt = + оо. Поэтому теорема 2 будет оо доказана, если мы проверим, что интегралы \p(t)r2dt и J In In о dr h (r) сходятся или расходятся одновременно. По определению функции р J р (/) t"4t - j ф (г (0) Г2й/ + j iГА1шIn -I—' ­^ l l Л. 1 В первом из этих интегралов замена переменной t= (r—1)<р'(г) дает равенства (r) Ф() fJ Ф(Г(*))Г«Я = JГ (! —\/•)<? w , 2 ^ ( 0 + f „ У' W J (i — 0 1 Ф г 2 1 О 2 .л-d r ^1 AI H M (Ol ш 187 Функции с заданной оценкой df/dz Но ф (г) = ф (1) + J | Ф' (к) | dX < const • | ф' (г) |. Поэтому в / 2 подынтегральг ная функция ограничена. Далее, *(г) т1 = Г J (1~г)ф'(г)2 dy' (г) < const. f - i £ L rfY9' (Wr) Y W ^ J о ф'(г)2 = о /*! = — const • \ ф (r) d < < const. flim - ^ - 4 - - ^ 1 + const . [dr < + °°. Поэтому достаточно исследовать сходимость интеграла Г Г 1 In или, что т о ж е самое, Г t~lr(t)dt In (так как r(t)->0 dt 1 — r(t) J при /->оо и ~ г (/)). Та же замена переменной t = (г— 1) ф' (г) приводит к авенствам ОО /Ч Г! 1 (У /-(*)# = — (*г£Ип|ф'(г)|+ [ T Z T ^ 1 0 0 Ясно, что \ —— d r < + °°. Интегрируя по частям, получим J 1—г о /"1 — Trdlnlф' (г) | a l n | Ф ' (гО| Ч-Urn rln|ф' (г)| + \ ln\<f'(r)\dr. Итак, класс DT{h) | г будет квазианалитическим (/) или (Д) тогда и толь­ ко тогда, когда ljmrln|<p'(r)l+ Пп|ф'(г)|йг = + оо. J 0 г->о а) Пусть \ In In J л (г) dr = + °°« Это значит, что \ 1пф(г)<2г = + оо. J о о Но ф (г) < const • | ф' (г) | и поэтому J In | ф' (г) | dr = + оо. Наконец, оче0 видно, lim r In | ф' (г) | > 0. Следовательно, класс Dr (h) | г квазианалитичен. г-*о б) Пусть, напротив, \ In In о d r < + оо, т. е. J 1пф(г)йг< + со. Мг) о Докажем следующую лемму. Л е м м а 2. Если J 1пф(г)с(г< оо, mo j In |ф' (г) |dr << -f oo. е о 2* ш Е. М. Дынькин , - X Доказательство леммы 2. ф (г) = ф(1) + 1 |ф' (A,)|dA,> г > I A, | ф'(А,)]>— > 2г | ф' (2г)! 1п 2, так как функция ф (еа) выпукла. СледоваJ ^ы о тельно, | ф' (г) | < const - г~1ф (г/2) и J In | ф' (г) | dr < + °°. Лемма доказана. 8 Теперь мы можем завершить доказательство теоремы 2. В случае ) In In dr < -f- oo получаем, по лемме 2, j In | ф' (г) | ° < d r < <^ + oo, а так как подынтегральная функция монотонна, то должно быть Нтг1п|ф' (г)\ = 0 . Следовательно, в этом случае класс Dp (h) | г некваГ-»0 зианалитичен. Теорема 2 доказана. З а м е ч а н и е 1. Из сходимости интеграла \ In In dr вытекает не- 0 квазианалитичность класса Dr(h)\r при единственном условии монотонно­ сти А, как это следует из приводимой ниже леммы. Л е м м а 3. Если функция h монотонна, положительна, ft(-f0)=0 a i In In l h{r) dr<^ + oo, mo существует функция hx такая, что а) A i ( r ) < A ( r ) > 0 < r < l > б) h\ имеет непрерывную производную, и a-^\lnhi(e°) функция, в) \ In In | —выпуклая d r < + °°. Д о к а з а т е л ь с т в о . Без ограничения общности можно считать функцию h непрерывной и строго возрастающей. Пусть, по-прежнему, Ф= |1пА|. Положим *(*) = ]*$*\. хр Тогда г|? имеет непрерывную производную г|/ (х) = s= ф (—), xty' (х) = ф | —), которая возрастает вместе с х, и поэтому ^(я^)—вы пуклая функ­ ция а. Далее, г|)(*)<4.\Г2ф(л;/2), х > 0 , и поэтому j ln^(*)djt<-{-oo. Наконец, JC/2 Положим hi(r)=exp(—2ty(r)). казана. Тогда функция hi — искомая. Лемма до­ Функции с заданной оценкой df/dz З а м е ч а н и е 2. В случае \ In In J о h (r) 189 d r < + 0 0 теорема Валле-Пуссена— Мандельбройта [4], действительно, дает более сильное утверждение. Для любых дуг 1\ и / 2 , 1\<^12аТ существует функция ср, q>£DT(h)\T, такая, что а) 0 ^ ф ^ 1 , б) ф=1 на / ь в) ф = 0 вне 12. Иными словами, из функций класса DT(h)\T можно построить раз­ биение единицы. § 3. Теорема Н. Левинсона Н. Левинсоном была доказана следующая теорема об условиях нор­ мальности (см., например, [5], [6], [7]). Т е о р е м а 3. Пусть G=(a,b)X(—1,1)Если М — убывающая поло­ жительная функция на (О,1), М^е и j In In M (у) dy < + ooy то семейство о FM всех функций /, аналитических в G и таких, что \f{z)\ ^ М ( | 1 т г | ) , 26G, нормально в G. С помощью теоремы 2 может быть получено следующее доказатель­ ство теоремы Н. Левинсона. Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим произвольный отрезок веществен­ ной оси [аи bi]cz(a, b) и два выпуклых дважды непрерывно дифферен­ цируемых контура Л и Л, лежащих целиком в G, симметричных друг другу относительно вещественной оси и содержащих отрезок [а2, Ь2\ [аи bl]cz(a2, 62)с=[а2, b2]cz(a, b), в качестве своей общей части. Если w = %(z) — конформное отображение внутренности контура Л на единичный круг А, то найдется число с, с < + оо, такое, что 1 — \%(z) | ^ c | Imz|. Положим h(r) =M(r/c)~l. Тогда класс DT(h)\T будет, в силу теоре­ мы 2 и леммы 3, неквазианалитическим, и существует функция Ф, y£DT(h), такая, что 0 ^ ф ( ^ ) ^ 1 при | о ; | = 1 , ф=1 на образе отрезка [аи Ь{\ при отображении %, ф = 0 на Г вне образа отрезка (а2, Ь2). Для любого 2бЛ° (Л° — внутренность контура Л) положим [i(z) = = ф(х(^)). Тогда \х — непрерывно дифференцируемая функция, [х = 0 на контуре Л вне (а2, Ь2) и |я=1 на отрезке [аи Ь\]. В то же время (k^d%_ dw dz < const • h [с | Imz |] < const M (| Im z j)-"1. В частности, jx = 0 на контуре Л вне [а2, Ь2\ и, так как там выполняют­ ся уравнения Коши — Римана, то и нормальная производная функции \х на контуре Л обращается в нуль вне [а2у Ь2]. Поэтому, если для всех z, Imz^zO, z$A°, положить [i(z)=0, то мы получим непрерывно дифферен­ цируемую функцию в верхней полуплоскости. Если продолжить ее по симметрии в нижнюю полуплоскость, то \i станет непрерывно дифферен­ цируемой функцией на плоскости такой, что a) JLX = 0 на внешнем обводе Л U Л, б) jx = 1 на [аА], в) ^ = О [М (| bnz Щ . ог 190 Е. М. Дынькин Пусть теперь z лежит в той окрестности отрезка [ah b{\ на плоскости, в которой \\х\ > ! /2. Для любой функции f из FM формула Коши —Грина, в применении к внешнему обводу A|JA, дает /ЮМ*) — - ff в /(?)|f^, л°ил I/(z) [i (z) I <const - \ * ц < const < + oo, л°и"л° I f (z) I <J Const < + oo. Если теперь учесть, что отрезок [аи b{\cz(a, b) выбирался произволь­ но, а нормальность семейства означает равномерную ограниченность функций этого семейства на каждом компакте, то мы придем к требуе­ мому результату. (Поступила в редакцию 14/IV 1972 г.) Литература 1. Е. М. Д ы н ь к и н , Операторное исчисление, основанное на формуле Коши — Грина, и квазианалитичность классов D(h), Записки научн. семинара ЛОМИ, 19 (1970), 221 — 226. 2. В. И. М а ц а е в, Некоторые теоремы о полноте и компактности, связанные с клас­ сической квазианалитичностью, Диссертация, Харьков, 1964. 3. А. З и г м у н д , Тригонометрические ряды, Москва, изд-во «Мир», 1965. 4. С. М а н д е л ь б р о й т, Квазианалитические классы функций, Москва, ОНТИ, 1936. 5. N. L e v i n s о n, Gap and density theorems, Amer. Math. Soc. Coll. Publ. 1940. 6. Y. D o m a r , On a largest subharmonic minorant of a given function, Arkiv Mat., 3, № 5 (1958), 429-440. 7. Ж. Н. К е ш и ш я н , О некоторых критериях нормальности семейств аналитических функций, Изв. АН Арм. ССР, серия физ-матем., 15, № 2 (1962), 45—57.