Л6 Закон сохранения момента импульса Закон сохранения момента импульса – момент импульса замкнутой системы тел относительно любой неподвижной точки не изменяется с течением времени. Это один из фундаментальных законов природы. Аналогично для замкнутой системы вращающихся вокруг оси z: dL M 0, dt z z отсюда L const I ω const z z или 1 Если момент внешних сил относительно неподвижной оси вращения тождественно равен нулю, то момент импульса относительно этой оси не изменяется в процессе движения. Кинетическая энергия вращающегося тела Кинетическая энергия – величина аддитивная, поэтому кинетическая энергия тела, движущегося произвольным образом, равна сумме кинетических энергий всех n материальных точек, на которое это тело можно мысленно разбить: mi i2 K 2 i 1 n 2 Если тело вращается вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью то линейная скорость iй точки ωR Следовательно, i i ω Iω mR . 2 2 2 K 2 n 2 вращ. i 1 i i Таким образом, момент инерции тела I – является мерой инертности при вращательном движении. Так же как масса m – мера инерции при поступательном движении. 3 В общем случае движение твердого тела можно представить в виде суммы двух движений – поступательного со скоростью с и вращательного с угловой скоростью вокруг мгновенной оси, проходящей через центр инерции. Тогда полная кинетическая энергия этого тела: m I 2 2 2 K c полн. 2 c Здесь Ic – момент инерции относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр инерции. 4 Скорость центра масс обруча равна v, масса обруча m. Определим его кинетическую энергию при движении по горизонтальной поверхности. Имеем 1 1 2 2 , mv + mv обод Kполн = 2 2 v обод – линейная скорость обода в системе ц.м. Для наблюдателя, движущегося вместе с центром обруча, скорость точки соприкосновения обруча с плоскостью равна v. Поэтому v обод = v. 1 1 2 2 m v m v Таким образом, Kполн = + = mv2. 2 2 5 Теорема Штейнера В некоторых случаях нахождение момента инерции значительно упрощается, если воспользоваться теоремой Штейнера: Z' J z J 0 Ma 2 Z центр масс a ρ'i n где J 0 i2 mi i 1 момент инерции тела относительно оси Z', mi ρi M проходящей через центр масс Теорема Штейнера Момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, параллельно данной и момента инерции материальной точки с массой всего тела относительно выбранной оси 6 Аналогия уравнений поступательного вращательного движения Формулы кинематики и динамики вращательного движения легко запоминаются, если сопоставить их с формулами поступательного движения 7 Поступательное движение dS dt d a dt at 0 at S t 2 0 S dt t 0 Вращательное движение d dt d dt t 0 2 t 0 t 2 2 dt t 0 8 dL M dt Iε M L Iω Iω const dp F dt ma F p m m const A FS N Fv m mgh const 2 2 A Mф N Mw I mgh const 2 2 9 Работа и энергия 10 Работа если каждой точке пространства поставлено в соответствие определенное значение физической величины - говорят, что задано физическое поле, движение материальной точки в силовом поле: 2 если за элементарное время dt точка, под действием силы F, совершает элементарное перемещение dr, то сила совершает работу по перемещению тела A Fdr при произвольном перемещении, например от точки 1 до точки 2 работа равна сумме элементарных работ F F F F F Силовое поле F L 1 2 A12 A 1 A Fdr L 11 Теорема о кинетической энергии если под действием силы F элементарное перемещение точки - dr,то элементарная работа 2 m v 1 dv 2 A Fdr m dr mvdv md v d 2 dt 2 mv 2 - кинетическая энергия тела F T F 2 2 F F F Таким образом получаем для элементарных перемещений A dT Элементарная работа, совершенная над телом, равна дифференциалу кинетической энергии тела F L теорему о кинетической энергии 1 На произвольном перемещении 2 A12 dT T2 T1 A T 1 Работа по перемещению тела между любыми двумя точками пространства равна разности кинетических энергий тела в конечной и начальной точках 12 Потенциальные поля Рассмотрим элементарное перемещение dr тела под действием внешних сил A Fdr Fx dx Fy dy Fz dz Будем считать, что силы, действующие на тело при его движении, в любой точке пространства удовлетворяют условию Fx ( x, y, z ) x 1 Fy ( x, y, z ) y Fz ( x, y, z ) z где Φ(x,y,z) - некоторая скалярная функция Тогда A F F F F F L dx dy dz d( x, y, z ) x y z F 13 Потенциальные поля Таким образом, элементарная работа δA в силовом поле, удовлетворяющем условию (1), равна полному дифференциалу (с обратным знаком) некоторой скалярной функции многих переменных Φ(x,y,z) 1 A d( x, y, z) Функцию Φ(x,y,z) называют потенциальной функцией силового поля Соответственно, силовое поле, удовлетворяющее условию (1), называют потенциальным силовым полем Свойства потенциальных полей для элементарных перемещений Элементарная работа, совершенная в потенциальном поле над телом, равна дифференциалу (с обратным знаком) потенциальной функции на произвольном перемещении 2 A12 d 1 2 A 1 Работа по перемещению тела в потенциальном поле не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением тела A 14 Потенциальные поля Согласно условию (A), при движении по замкнутой траектории 1 1 A11 d 1 1 0 Следовательно 1 Работа в потенциальном поле по любой замкнутой траектории равна нулю Fdr 0 2 Силовое поле, удовлетворяющее условию (2), называют консервативным И мы получаем, что Если поле потенциально, то оно консервативно 1 2 15 Потенциальные поля Очевидно выражение (1) можно записать следующим образом F i j y z x k i j k z x y Величина в скобках является вектором, - его называют оператор-вектор В физике, оператор-вектор называют - оператор «набла» действие оператора «набла» на скалярную функцию называют градиентом функции grad Градиент функции – это вектор, направленный в сторону быстрейшего возрастания функции С помощью оператора «набла» выражение (1) – условие потенциальности силового поля - получает наиболее лаконичную форму F 1 16 Потенциальные поля В потенциальных полях множество точек поля, в которых потенциальная функция имеет одинаковые значения, называют эквипотенциальной поверхностью Уравнение эквипотенциалей ( x, y, z) const В потенциальном поле F grad Φ4 -Φ Φ3 Φ1 Φ2 т.е. сила направлена в сторону быстрейшего убывания потенциальной функции (Φ1> Φ3> Φ4) и следовательно, всегда перпендикулярна эквипотенциальным поверхностям Φ2> Линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением силы в этой точке, называется силовой линией В потенциальном поле силовые линии и эквипотенциальные поверхности всегда взаимно перпендикулярны 17 Потенциальная энергия A12 1 2 Как мы установили, работа в потенциальном поле равна Экспериментально измеримой физической величиной является работа, соответственно, потенциальная функция измерима только с точностью до произвольной константы – это означает, что в потенциальном поле любую одну потенциальную поверхность можно принять за поверхность с нулевым значением потенциальной функции Φ0= В этом случае Ai 0 i работа по перемещению тела из данной точки поля в точку с нулевым потенциалом, численно равна значению потенциальной функции в этой точке 0 1 2 Φ0 3 Численное значение потенциальной функции в любой точке поля (при заданном нулевом значении) называют потенциальной энергией тела, находящегося в этой точке Это означает, что i U i i Потенциальная энергия есть мера той работы, которую нужно совершить, чтобы переместить тело из данной точки в точку с нулевым значением потенциальной функции 18 Потенциальная энергия Учитывая, что потенциальная функция – это способ описания силового воздействия окружающего поля на тело, можно сформулировать следующее качественное определение потенциальной энергии потенциальная энергия - это мера взаимодействия тела, помещенного в данную точку поля, с окружающим миром потенциальная функция потенциальная энергия характеристика поля в данной точке характеристика тела в этой же точке U i i Следовательно, для произвольных перемещений в потенциальном поле A12 U1 U 2 U Соответственно, для элементарных перемещений A dU ( x, y, z) И выражение (1) – условие потенциальности силового поля - получает еще одну форму F U 1 19 Закон сохранения энергии Итак, для элементарных перемещений в потенциальном поле Но по теореме о кинетической энергии для элементарных перемещений A dT Ap dU ------------------------------------------------------Изменим запись последней формулы d T U An Итак для элементарных перемещений Дифференциал полной механической энергии тела, равен элементарной работе непотенциальных сил над телом мы определяем работу любых сил (потенциальных и непотенциальных) Т.е. A Ap An dT dU An Величину E T U называют полной энергией тела механической Для произвольных перемещений Изменение полной механической энергии тела на любом его перемещении равно работе непотенциальных сил над телом E An 20 Закон сохранения энергии Если элементарная работа непотенциальных сил равна нулю An 0 то полная механическая тела сохраняется энергия E const dE 0 полная механической энергии тела сохраняется в любых состояниях этого тела, если в этих состояниях работа непотенциальных сил над телом равна нулю Частные случаи Если непотенциальные силы отсутствуют Fn 0 An 0 При движении тела в потенциальном поле его полная механическая энергия сохраняется При полном отсутствии сил (для свободного тела) F 0 i A0 i полная механическая энергия тела очевидно сохраняется, но этот случай имеет очень ограниченное практическое значение 21