Страницы 53–59

реклама
Ë ÈÌ
ÌÏ
ÏÈ
ÄÛ
Î ËÎ È
ÈÀ À
ÄÛ
#!
XVI Ìåæäóíàðîäíàÿ îëèìïèàäà
«Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí»
Ìåæäóíàðîäíûé èíòåëëåêò-êëóá (ÌÈÊ) «Ãëþîí» â ðàìêàõ ìåæäóíàðîäíîé ïðîãðàììû «Äåòè. Èíòåëëåêò. Òâîð÷åñòâî» ïðè ó÷àñòèè Óíèâåðñèòåòà ãîðîäà Ðåòèìíî (Ãðåöèÿ),
ÌÃÓ èì.Ì.Â.Ëîìîíîñîâà, Ôîíäà íåêîììåð÷åñêèõ ïðîãðàìì
«Äèíàñòèÿ» è ïðè ïîääåðæêå êîìïàíèé «Êèðèëë è Ìåôîäèé», «Ôèçèêîí», «1Ñ», èçäàòåëüñêîãî Äîìà «Ïåðâîå ñåíòÿáðÿ» è æóðíàëà «Êâàíò» ïðîâåë î÷åðåäíóþ òåñò-ðåéòèíãîâóþ îëèìïèàäó «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí».
Îëèìïèàäà ïðîõîäèëà ñ 7 ïî 14 îêòÿáðÿ 2007 ãîäà íà
îñòðîâå Êðèò (Ãðåöèÿ). Íà îëèìïèàäó ïðèåõàëè ó÷àñòíèêè èç
ðàçíûõ ðåãèîíîâ Ðîññèè è èç Íîðâåãèè. Îäàðåííûå øêîëüíèêè, ïðîÿâèâøèå èíòåðåñ ê ôóíäàìåíòàëüíûì íàóêàì,
ñîðåâíîâàëèñü â êîìàíäíûõ è èíäèâèäóàëüíûõ òóðàõ ïî
ìàòåìàòèêå, ôèçèêå, èñòîðèè íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé. Â
îëèìïèàäå òàêæå ó÷àñòâîâàëè øêîëüíèêè, èíòåðåñóþùèåñÿ
ýêîëîãèåé è áèîëîãèåé.
Àáñîëþòíûì ïîáåäèòåëåì îëèìïèàäû «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí-2007» ïî ôóíäàìåíòàëüíûì íàóêàì â êîìàíäíîì çà÷åòå ñòàëà ñáîðíàÿ êîìàíäà ãîðîäà Áóãóëüìà (Òàòàðñòàí). Åé áûë âðó÷åí ãëàâíûé ïðèç ñîðåâíîâàíèé – Ñóïåðêóáîê. Êîìàíäà áûëà òàêæå ëó÷øåé â òóðàõ ïî ôèçèêå è
èñòîðèè íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé. Âòîðîå ìåñòî â îáùåì
çà÷åòå çàíÿëà êîìàíäà Êëàññè÷åñêîãî ëèöåÿ 1 ïðè ÐÃÓ
(Ðîñòîâ-íà-Äîíó). Îíà òàêæå çàíÿëà âòîðîå ìåñòî ïî ôèçèêå
è èñòîðèè íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé. Íà òðåòüå ìåñòî âûøëà
ñáîðíàÿ êîìàíäà ãîðîäà Àëüìåòüåâñêà, êîòîðàÿ òàêæå ñòàëà
âòîðîé ïî ìàòåìàòèêå è òðåòüåé ïî èñòîðèè íàó÷íûõ èäåé è
îòêðûòèé.
 èíäèâèäóàëüíûõ ñîðåâíîâàíèÿõ àáñîëþòíûì ïîáåäèòåëåì îëèìïèàäû ñòàëà Äàðüÿ Ïóñåâà, ó÷åíèöà 11 êëàññà
Êëàññè÷åñêîãî ëèöåÿ 1 ïðè ÐÃÓ. Åé áûëè âðó÷åíû áîëüøàÿ
çîëîòàÿ ìåäàëü è ìàëûå çîëîòûå ìåäàëè çà ïåðâûå ìåñòà ïî
ìàòåìàòèêå è ôèçèêå. Âòîðûì ïðèçåðîì â îáùåì çà÷åòå ñòàë
Èãîðü Ìàñêî, ó÷åíèê 11 êëàññà ÔÒË 1 ãîðîäà Ñàðàòîâà, åìó
áûëà âðó÷åíà áîëüøàÿ ñåðåáðÿíàÿ ìåäàëü è ìàëàÿ ñåðåáðÿíàÿ ìåäàëü çà âòîðîå ìåñòî ïî ôèçèêå. Áîëüøóþ áðîíçîâóþ
ìåäàëü â îáùåì çà÷åòå è ìàëóþ áðîíçîâóþ ìåäàëü çà òðåòüå
ìåñòî ïî ìàòåìàòèêå çàâîåâàë Ìèõàèë Ìèõàéëîâ, ïðåäñòàâëÿþùèé ãîðîä Àëüìåòüåâñê. Äèëÿ Çàéíóëëèíà (Áóãóëüìà)
ïîëó÷èëà ìàëóþ áðîíçîâóþ ìåäàëü çà òðåòüå ìåñòî ïî
ôèçèêå, à Äàðüÿ Êîðîâèíà (ãèìíàçèÿ 1567, Ìîñêâà) áûëà
íàãðàæäåíà çà âòîðîå ìåñòî ïî ìàòåìàòèêå ìàëîé ñåðåáðÿíîé ìåäàëüþ.
Âñå ïîáåäèòåëè ïîëó÷èëè ðàçëè÷íûå ïîäàðêè è ïðèçû îò
îðãàíèçàòîðîâ è ñïîíñîðîâ îëèìïèàäû.
Ìåæäóíàðîäíûé èíòåëëåêò-êëóá «Ãëþîí» ïðèãëàøàåò ðåãèîíàëüíûå öåíòðû, øêîëû, ëèöåè è ãèìíàçèè, ðàáîòàþùèå
ñ îäàðåííûìè äåòüìè, ïðèíÿòü ó÷àñòèå â XVII Ìåæäóíàðîäíîé îëèìïèàäå «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí», êîòîðàÿ ïðîéäåò â îêòÿáðå 2008 ãîäà â Ãðåöèè.
Çàÿâêè íà ó÷àñòèå ïðèñûëàéòå ïî àäðåñó: 115522 Ìîñêâà,
Ïðîëåòàðñêèé ïðîñïåêò, ä.15/6, êîðï.2, ÌÈÊ «Ãëþîí»
Òåëåôîí: (495)517-8014, ôàêñ: (495)396-8227
Å-mail:gluon@yandex.ru
(ñì.òàêæå ñàéò: http:\\www.gluon.ru)
ÇÀÄÀ×È ÎËÈÌÏÈÀÄÛ
Ïèñüìåííûé èíäèâèäóàëüíûé òóð
Ìàòåìàòèêà
1. Ìîæåò ëè ïðè êàêîì-íèáóäü íàòóðàëüíîì n ÷èñëî
n4 + 2n3 + 2n2 + 1 áûòü ïîëíûì êâàäðàòîì?
2. Íàéäèòå õ + ó, åñëè
x +
1 + x2
y +
1 + y2 = 1 .
3. Íà ñòîðîíå ÀÂ ðîìáà ABCD âî âíåøíþþ ñòîðîíó
ïîñòðîèëè ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê ÀÌÂ. Íàéäèòå óãîë
CMD.
4. ×èñëà x, y è z ïîïàðíî ðàçëè÷íû è îòëè÷íû îò íóëÿ.
Êàêèå ðàçëè÷íûå êîìáèíàöèè çíàêîâ ìîãóò áûòü ó ÷èñåë
X=
y - x x - z ,
yz
Z=
Y=
z - y y - x ,
x - z z - y
xy
xz
?
5. Ïîäðÿä âûïèñàíû öèôðû äåñÿòè÷íûõ çàïèñåé íàòóðàëüíûõ ÷èñåë N è 3N. Îáÿçàòåëüíî ëè ñðåäè âûïèñàííûõ
öèôð íàéäåòñÿ õîòÿ áû îäíà èç öèôð 1, 2, 9?
6. Äàí òðåóãîëüíèê ÀÂÑ. Íà ïðîäîëæåíèÿõ ñòîðîíû ÂÀ çà
òî÷êó À, ñòîðîíû ÀÑ çà òî÷êó Ñ è ñòîðîíû Ñ çà òî÷êó Â
îòëîæåíû îòðåçêè AA1 = ÂÑ, CC1 = ÀÂ è BB1 = ÀÑ.
Íàéäèòå óãëû òðåóãîëüíèêà A1B1C1 , åñëè óãëû À, Â è
Ñ èñõîäíîãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ðàâíû α , β è γ ñîîòâåòñòâåííî.
7. Íà êîíãðåññå ñîáðàëèñü ó÷åíûå, ñðåäè êîòîðûõ åñòü
äðóçüÿ. Îêàçàëîñü, ÷òî íèêàêèå äâîå ó÷åíûõ, èìåþùèå íà
êîíãðåññå ðàâíîå ÷èñëî äðóçåé, íå èìåþò îáùèõ äðóçåé.
Íàéäåòñÿ ëè ñðåäè íèõ ó÷åíûé, ó êîòîðîãî ðîâíî îäèí äðóã?
Ôèçèêà
1. Èñêóññòâåííûé ñïóòíèê Çåìëè íàõîäèòñÿ íà êðóãîâîé
îðáèòå âûñîòîé h = 200 êì. Âêëþ÷àåòñÿ äâèãàòåëü, è ñêîðîñòü
ñïóòíèêà âîçðàñòàåò íà ∆v = 5 êì/ñ. Â ðåçóëüòàòå îí óëåòàåò
â ìåæïëàíåòíîå ïðîñòðàíñòâî. Íàéäèòå ñêîðîñòü ñïóòíèêà
âäàëè îò Çåìëè. Ðàäèóñ Çåìëè 6370 êì, óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ 9,8 ì ñ2 .
2. Èçâåñòíî, ÷òî êîìïðåññîð äîìàøíåãî õîëîäèëüíèêà
ïåðèîäè÷åñêè âêëþ÷àåòñÿ è âûêëþ÷àåòñÿ. Îöåíèòå ñîîòíîøåíèå âðåìåí ðàáîòû è ïàóçû êîìïðåññîðà, åñëè èçâåñòíî,
÷òî åãî ìîùíîñòü ïîðÿäêà Ð = 100 Âò, ÷åðåç ñòåíêè õîëîäèëüíèêà çà ÷àñ ïðîõîäèò êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q = 1 ÌÄæ,
òåìïåðàòóðà â ïîìåùåíèè, ãäå ñòîèò õîëîäèëüíèê,
t1 = +20 °C , òåìïåðàòóðà âíóòðè õîëîäèëüíèêà t2 = +3 °C .
3. Îöåíèòå, êàêóþ ìîùíîñòü èìååò ñòîâàòòíàÿ ýëåêòðè÷åñêàÿ ëàìïà íàêàëèâàíèÿ â íà÷àëüíûé ìîìåíò âêëþ÷åíèÿ åå â
îñâåòèòåëüíóþ ñåòü íàïðÿæåíèåì 220 Â, åñëè ðàáî÷àÿ òåìïåðàòóðà íèòè íàêàëèâàíèÿ 2700 °Ñ, à òåìïåðàòóðíûé êîýôôèöèåíò ñîïðîòèâëåíèÿ âîëüôðàìà, èç êîòîðîãî ñäåëàíà íèòü
íàêàëà, 0,004 1/°Ñ.
4.  êàìåðå êîëüöåâîãî óñêîðèòåëÿ ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñîì R äâèæåòñÿ òîíêèé ïó÷îê ýëåêòðîíîâ.  íà÷àëüíûé
#"
ÊÂÀÍT 2008/¹3
ìîìåíò âðåìåíè çíà÷åíèå ñèëû òîêà I0 , ÷èñëî ÷àñòèö â
êàìåðå N. Ìàãíèòíûé ïîòîê ÷åðåç íåèçìåííóþ îðáèòó ïó÷êà
óìåíüøàåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ vΦ . Êàêèì ñòàíåò çíà÷åíèå ñèëû
òîêà ïîñëå òîãî, êàê ÷àñòèöû ñäåëàþò îäèí îáîðîò? Ðàññìîòðèòå íåðåëÿòèâèñòñêèé ñëó÷àé.
5.  ÷àéíèêå «Òåôàëü» ìîùíîñòüþ Ð = 1 êÂò êèïèò âîäà.
Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ èç åãî íîñèêà âûðûâàåòñÿ ñòðóÿ ïàðà,
2
åñëè ïëîùàäü îòâåðñòèÿ íîñèêà S = 5 ñì , óäåëüíàÿ òåïëîòà
6
èñïàðåíèÿ âîäû r = 2,26 × 10 Äæ/êã, íîðìàëüíîå àòìîñ5
ôåðíîå äàâëåíèå p0 = 10 Ïà, óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ R = 8,31 Äæ ìîëü × Ê ?
6. Ïðè êàêîé ìèíèìàëüíîé íà÷àëüíîé ñêîðîñòè ìîæíî
ïåðåáðîñèòü êàìåíü ñ óðîâíÿ çåìëè ÷åðåç ïîëóöèëèíäðè÷åñêèé àíãàð âûñîòîé (ðàäèóñîì) R?
7. Ìåòàëëè÷åñêèé øàð ðàäèóñîì R, ïîëíûé çàðÿä êîòîðîãî ðàâåí Q, ðàçðåçàí íà äâå ÷àñòè. Ïëîñêîñòü ðàçðåçà
ïðîõîäèò íà ðàññòîÿíèè L îò öåíòðà øàðà (L < R). Ñ êàêîé
ñèëîé îòòàëêèâàþòñÿ ýòè ÷àñòè øàðà?
Óñòíûé êîìàíäíûé òóð
Ìàòåìàòèêà
1.  ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 1 * * * * * * * 7 (çâåçäî÷êàìè îáîçíà÷åíû ÷èñëà) ñóììà ëþáûõ òðåõ ñîñåäíèõ ÷èñåë ðàâíà 15.
Íàéäèòå âòîðîé ÷ëåí ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (ò.å. ÷èñëî,
îáîçíà÷åííîå ïåðâîé çâåçäî÷êîé).
2. Íà ïëîñêîñòè íàðèñîâàëè 4 ðàâíûõ òðåóãîëüíèêà òàê,
÷òî ëþáûå äâà èç íèõ èìåþò îáùóþ âåðøèíó. Âåðíî ëè, ÷òî
âñå òðåóãîëüíèêè èìåþò îáùóþ âåðøèíó?
3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà õ, ó è z óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå
óðàâíåíèé
ì x + y + z = 2,
í
î xy + xz + yz = 1.
Íàéäèòå íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ õ.
4. Êîíôåðåíöèÿ íà÷àëàñü ìåæäó 10 è 11 ÷àñàìè, êîãäà
÷àñîâàÿ è ìèíóòíàÿ ñòðåëêè áûëè íàïðàâëåíû â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû, à çàêîí÷èëàñü ìåæäó 16 è 17 ÷àñàìè, êîãäà
ñòðåëêè ñîâïàëè. Ñêîëüêî âðåìåíè ïðîäîëæàëàñü êîíôåðåíöèÿ?
5. Ïðÿìîóãîëüíóþ ñòàëüíóþ ïëàñòèíêó ðàçìåðîì 19 ´ 73
ïîëîæèëè íà ëèñò áóìàãè è îáâåëè êàðàíäàøîì. Ïîëüçóÿñü
òîëüêî ñàìîé ïëàñòèíêîé è êàðàíäàøîì, íàéäèòå (ïîñòðîéòå) öåíòð ïîëó÷åííîãî ïðÿìîóãîëüíèêà.
6. Êàêîå íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî ëàäåé ìîæíî ïîñòàâèòü
íà øàõìàòíóþ äîñêó (ðàçìåðîì 8 ´ 8 êëåòîê) òàê, ÷òîáû âñå
áåëûå ïîëÿ îêàçàëèñü ïîä áîåì?
7. Èìåþòñÿ äâà òðåóãîëüíèêà. Èçâåñòíî, ÷òî ñóììà äâóõ
ñòîðîí êàæäîãî èç íèõ ðàâíà ñóììå äâóõ êàêèõ-òî ñòîðîí
âòîðîãî. Ðàâíû ëè ýòè òðåóãîëüíèêè?
8.  êîìïàíèè èç n ÷åëîâåê êàæäûé èìååò ðîâíî òðåõ
çíàêîìûõ.
à) Äîêàæèòå, ÷òî n ÷åòíî.
á) Âñåãäà ëè ìîæíî ýòó êîìïàíèþ ðàçáèòü íà ïàðû
çíàêîìûõ ìåæäó ñîáîé ëþäåé?
9. Ìîæíî ëè ðàçðåçàòü êëåò÷àòûé êâàäðàò ðàçìåðîì
14 ´ 14 íà ïðÿìîóãîëüíèêè 2 ´ 5 è 3 ´ 9 ?
10. Íàéäèòå âèä òðåóãîëüíèêà (ò.å. îñòðîóãîëüíûé îí,
ïðÿìîóãîëüíûé èëè òóïîóãîëüíûé), åñëè ïðî åãî ñòîðîíû à,
3
3
3
b è ñ èçâåñòíî, ÷òî a + b = c .
Ôèçèêà
1. Áî÷êà îáúåìîì V = 50 ë äîâåðõó çàïîëíÿåòñÿ çàñàëèâàåìûìè íà çèìó îãóðöàìè. Ïëîòíîñòü âåùåñòâà îãóðöîâ
ρ1 = 1100 êã ì3 . Ñðåäíÿÿ ïëîòíîñòü îãóðöîâ â êó÷å
ρ2 = 660 êã ì 3 . Ñêîëüêî ëèòðîâ ðàññîëà íàäî ïðèãîòîâèòü
äëÿ çàëèâêè?
2. Îöåíèòå, êàêîé ãëóáèíû «ÿìà» îáðàçóåòñÿ ïðè çàâèñàíèè âåðòîëåòà íà íåáîëüøîé âûñîòå íàä âîäíîé ïîâåðõíîñòüþ.
3. Êàê èçìåíèòñÿ ñèëà âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ ìàëåíüêèõ
äèýëåêòðè÷åñêèõ øàðèêîâ, îäèí èç êîòîðûõ çàðÿæåí, à
äðóãîé íåò, åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè âîçðàñòåò â n ðàç?
4. Èçâåñòíî, ÷òî â òðîïèêàõ íà áîëüøèõ âûñîòàõ (áîëåå
10–15 êì) äóþò ïîñòîÿííûå âåòðû îò ýêâàòîðà ïî íàïðàâëåíèþ ê ïîëþñàì. Ïî÷åìó?
5. Íàéäèòå óãîë îòñêîêà øàðèêà ïðè óãëå ïàäåíèÿ 45° íà
èäåàëüíî ãëàäêóþ ïîâåðõíîñòü, åñëè ïðè óäàðå øàðèê òåðÿåò
òðåòüþ ÷àñòü ñâîåé êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè.
6. Ê íèæíåìó êîíöó ëåãêîé ïðóæèíû, âåðõíèé êîíåö
êîòîðîé çàêðåïëåí, ïîäâåøåíû ñâÿçàííûå íåâåñîìîé íèòüþ
ãðóçû: âåðõíèé ìàññîé m1 = 0,4 êã è íèæíèé ìàññîé m2 =
= 0,6 êã. Íèòü, ñîåäèíÿþùóþ ãðóçû, ïåðåæèãàþò. Ñ êàêèì
óñêîðåíèåì íà÷íåò äâèãàòüñÿ âåðõíèé ãðóç?
7. Äâà ìîëÿ èäåàëüíîãî îäíîàòîìíîãî ãàçà ñíà÷àëà èçîõîðíî îõëàäèëè, à çàòåì èçîáàðíî íàãðåëè äî ïåðâîíà÷àëüíîé
òåìïåðàòóðû 400 Ê, óâåëè÷èâ îáúåì ãàçà â òðè ðàçà. Êàêîå
êîëè÷åñòâî òåïëîòû îòäàë ãàç íà ïåðâîì ó÷àñòêå?
8.  ñîñóäå íà ïîâåðõíîñòè ïðîçðà÷íîé æèäêîñòè ïëàâàåò
ëåãêàÿ òîíêàÿ ïëîñêîâûïóêëàÿ ëèíçà, îáðàùåííàÿ âûïóêëîé ñòîðîíîé ââåðõ. Ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ëèíçû â âîçäóõå
F. Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ æèäêîñòè n. Âûñîòà óðîâíÿ
æèäêîñòè â ñîñóäå h. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè L íàä ëèíçîé íà
åå ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè íóæíî ðàñïîëîæèòü òî÷å÷íûé
èñòî÷íèê ñâåòà, ÷òîáû åãî èçîáðàæåíèå íàõîäèëîñü íà äíå
ñîñóäà?
9. ×åðåç äâà íåïîäâèæíûõ áëîêà, íàõîäÿùèõñÿ íà îäíîé
âûñîòå, ïåðåêèíóòà äëèííàÿ ëåãêàÿ íèòü, ê êîíöàì êîòîðîé
ïðèêðåïëåíû äâà ãðóçà îäíîé
è òîé æå ìàññû (ðèñ.1). Íèòü
íà÷èíàþò ìåäëåííî îòòÿãèâàòü
âíèç çà òî÷êó, íàõîäÿùóþñÿ
ïîñåðåäèíå ìåæäó áëîêàìè.
Ãðàôèê çàâèñèìîñòè ñèëû F,
ïðèêëàäûâàåìîé ê íèòè, îò ñìåùåíèÿ x ýòîé òî÷êè ïðèâåäåí
íà ðèñóíêå 2. Íàéäèòå ïðèáëèçèòåëüíî ìàññó m êàæäîãî èç
ãðóçîâ è ðàññòîÿíèå l ìåæäó Ðèñ. 1
áëîêàìè.
Ðèñ. 2
10. Íèæíèå êîíöû ëåñòíèöû-ñòðåìÿíêè ìàññîé m = 10 êã
ñîåäèíåíû âåðåâêîé. Êàæäàÿ ñòîðîíà ëåñòíèöû ñîñòàâëÿåò ñ
ïîëîì óãîë α = 45° . Ñ÷èòàÿ ïîë àáñîëþòíî ãëàäêèì, íàéäèòå ñèëó íàòÿæåíèÿ âåðåâêè.
Èñòîðèÿ íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé
Ìàòåìàòèêà
1. Â 2007 ãîäó èñïîëíèëîñü 300 ëåò ñî äíÿ ðîæäåíèÿ
âåëèêîãî ìàòåìàòèêà Ëåîíàðäà Ýéëåðà (04.04.1707 – 07 (18).
09. 1783). Íåò, ïîæàëóé, òàêîé îáëàñòè ìàòåìàòèêè, ãäå
##
ÎËÈÌÏÈÀÄÛ
Ýéëåð íå äîñòèã áû ôóíäàìåíòàëüíûõ ðåçóëüòàòîâ. Èìåþòñÿ
îíè è â òåîðèè ÷èñåë.
 ÷àñòíîñòè, îí ââåë â ðàññìîòðåíèå ôóíêöèþ, íàçâàííóþ
âïîñëåäñòâèè åãî èìåíåì – ôóíêöèåé Ýéëåðà, ϕ n . ×åðåç
ϕ n , ãäå n – íàòóðàëüíîå (öåëîå ïîëîæèòåëüíîå) ÷èñëî,
îáîçíà÷àþò êîëè÷åñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, âçàèìíî ïðîñòûõ ñ ÷èñëîì n è íå ïðåâîñõîäÿùèõ n. Íàïðèìåð, ϕ 5 = 4
– òîëüêî ÷èñëà 1, 2, 3, 4 íå èìåþò ñ ÷èñëîì 5 îáùèõ
äåëèòåëåé, êðîìå 1, è îäíîâðåìåííî íå ïðåâîñõîäÿò ÷èñëà 5;
ϕ 10 = 4 – òîëüêî ÷èñëà 1, 3, 7, 9 íå èìåþò ñ ÷èñëîì 10
îáùèõ äåëèòåëåé, êðîìå 1, è îäíîâðåìåííî íå áîëüøå, ÷åì
÷èñëî 10.
Íàøà ïåðâàÿ çàäà÷à ïîñâÿùåíà ýòîé ôóíêöèè.
Âûïèøåì â ñòðî÷êó âñå n äðîáåé:
n
1 2 3
; ; ; K; .
(* )
n n n
n
à) Ñêîëüêî ñðåäè äðîáåé ñòðî÷êè ( * ) íåñîêðàòèìûõ?
Ïóñòü d1 = 1, d2,K , dk = n – âñå äåëèòåëè ÷èñëà n.
á) Ïðîâåäåì âñå âîçìîæíûå ñîêðàùåíèÿ â äðîáÿõ ñòðî÷êè
( * ) è âûïèøåì âñå ñîêðàùåííûå äðîáè (êàæäóþ îäèí ðàç)
è âñå «ñòàðûå» íåñîêðàòèìûå äðîáè â íîâóþ ñòðî÷êó.
Ñêîëüêî â ýòîé íîâîé ñòðî÷êå äðîáåé èìåþò çíàìåíàòåëü
di äëÿ âñåõ âîçìîæíûõ çíà÷åíèé i?
â) Äîêàæèòå òîæäåñòâî Ýéëåðà
ϕ d1 + ϕ d2 + K + ϕ dk = n .
2.  XYII âåêå â ìàòåìàòèêó âîøëè ðÿäû – ñóììû
áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà ñëàãàåìûõ, èãðàþùèå â íàñòîÿùåå âðåìÿ
áîëüøóþ ðîëü â íåêîòîðûõ ðàçäåëàõ ìàòåìàòè÷åñêîé íàóêè
è ïðàêòèêè.  òî âðåìÿ ñ íèìè îáðàùàëèñü äîñòàòî÷íî
âîëüíî: ñïîêîéíî, êàê îáû÷íûå êîíå÷íûå ñóììû, óìíîæàëè,
äåëèëè è ò.ä., ñòðîãàÿ òåîðèÿ ïîÿâèëàñü ëèøü â XYIII – XIX
âåêàõ.
Ïîïðîáóéòå, çíàÿ, ÷òî
1
= 1 + x + x2 + K + x n + K
1– x
(êîíå÷íî æå, ýòî õîðîøî âàì çíàêîìàÿ ñóììà áåñêîíå÷íî
óáûâàþùåé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè), âû÷èñëèòü ñóììó
1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + K + nx n -1 + K
3. Àïîëëîíèé Ïåðãñêèé, æèâøèé ïðèìåðíî â 200 – 160 ã.
äî í.ý. äðåâíåãðå÷åñêèé ìàòåìàòèê, îñòàâèë çàìåòíûé ñëåä â
ãåîìåòðèè (èìåííî îí ââåë òàêèå ïîíÿòèÿ è òåðìèíû, êàê
«ãèïåðáîëà», «ïàðàáîëà», «ýëëèïñ», «ôîêóñ» (êðèâûõ) è
ò.ä.).  ÷àñòíîñòè, îí ðàññìàòðèâàë çàäà÷ó î ïîñòðîåíèè ñ
ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè îêðóæíîñòè, êàñàþùåéñÿ òðåõ
ïðîèçâîëüíûõ äàííûõ îêðóæíîñòåé. Ìû íå ïðåäëàãàåì âàì
ðåøàòü ýòó äîâîëüíî òðóäíóþ çàäà÷ó, à äàåì áîëåå ïðîñòóþ.
Ïîñòðîéòå ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè îêðóæíîñòü,
êàñàþùóþñÿ òðåõ äàííûõ ðàâíûõ íåïåðåñåêàþùèõñÿ êðóãîâ:
à) âíåøíèì îáðàçîì; á) âíóòðåííèì îáðàçîì.
4. Âû, êîíå÷íî, ìíîãî ðàç ñëûøàëè èìÿ âåëèêîãî ó÷åíîãî
àíòè÷íîñòè Àðõèìåäà, æèâøåãî ïðèìåðíî â 287 – 212 ã. äî
í.ý. Îí, â ÷àñòíîñòè, âî ìíîãîì ïðåäâîñõèòèë íåêîòîðûå
èäåè èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ, âû÷èñëÿÿ ïëîùàäè è îáúåìû ðàçíûõ ôèãóð. Ïðåäëàãàåì âàì ðåøèòü ñëåäóþùóþ
ñîçâó÷íóþ íåêîòîðûì åãî èññëåäîâàíèÿì çàäà÷ó.
Ïóñòü ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ îñè àáñöèññ, ïåðåñåêàåò
2
ïàðàáîëó y = x â òî÷êàõ À è Â, à òî÷êà Î – íà÷àëî
êîîðäèíàò. ×åðåç ñåðåäèíó Ì îòðåçêà ÎÀ ïðîâåäåì ïàðàëëåëüíî îñè ïàðàáîëû (îñè îðäèíàò) ïðÿìóþ äî ïåðåñå÷åíèÿ
ñ ïàðàáîëîé â òî÷êå D. Ïóñòü ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ÀÎÂ
ðàâíà S. Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ÀÌD.
5.  ïåðâîé ïîëîâèíå XIX âåêà æèë è ðàáîòàë çàìå÷àòåëüíûé íåìåöêèé ìàòåìàòèê Ï.Ã.Ë.Äèðèõëå (1805 – 1859). Åìó
ïðèíàäëåæàò ìíîãèå êðàñèâûå òåîðåìû.  ÷àñòíîñòè, îí
äîêàçàë çíàìåíèòóþ òåîðåìó î òîì, ÷òî âñÿêàÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ ñ îáùèì ÷ëåíîì à + dn, ãäå ïåðâûé ÷ëåí à è
ðàçíîñòü ïðîãðåññèè d – âçàèìíî ïðîñòûå ÷èñëà, ñîäåðæèò
áåñêîíå÷íîå êîëè÷åñòâî ïðîñòûõ ÷èñåë. Ìû íå ìîæåì ïðîñèòü âàñ äîêàçàòü ýòó òåîðåìó – åå äîêàçàòåëüñòâî ñëèøêîì
ñëîæíî. Îäíàêî ìû íàäååìñÿ, ÷òî âû ñìîæåòå äîêàçàòü
ñëåäóþùèé ôàêò.
 àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè 3, 7, 11, … (ñ îáùèì ÷ëåíîì
an = 4n + 3 ; ïðè÷åì n = 0, 1, 2, …) áåñêîíå÷íî ìíîãî
ïðîñòûõ ÷èñåë.
(Êàê âèäèòå, ïåðâûé ÷ëåí è ðàçíîñòü ýòîé ïðîãðåññèè –
âçàèìíî ïðîñòûå ÷èñëà.)
Ôèçèêà
1. Â 1907 ãîäó Íîáåëåâñêàÿ ïðåìèÿ ïî ôèçèêå áûëà
âðó÷åíà «çà ñîçäàíèå ïðåöèçèîííûõ îïòè÷åñêèõ ïðèáîðîâ è
âûïîëíåíèå ñ èõ ïîìîùüþ ñïåêòðîñêîïè÷åñêèõ è ìåòðîëîãè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé». Ó÷åíûé, ïîëó÷èâøèé ïðåìèþ, íà÷àë
ñâîþ íàó÷íóþ äåÿòåëüíîñòü ñ ýêñïåðèìåíòàëüíîãî îïðîâåðæåíèÿ òåîðèè ìèðîâîãî ýôèðà (â ñîàâòîðñòâå ñ äðóãèì
èçâåñòíûì ó÷åíûì). Ïðàêòè÷åñêè âñþ ñâîþ äàëüíåéøóþ
äåÿòåëüíîñòü ýòîò ó÷åíûé ïîñâÿòèë îäíîé îáëàñòè îïòè÷åñêîãî ïðèáîðîñòðîåíèÿ, íåïðåðûâíî ñîâåðøåíñòâóÿ äâà òèïà
ïðèáîðîâ, îñíîâàííûõ íà ïðåäñòàâëåíèÿõ âîëíîâîé îïòèêè.
 ÷èñëå åãî ðàáîò – èññëåäîâàíèå âîçìîæíîñòè ñîçäàíèÿ
ýòàëîíà åäèíèöû äëèíû, îïèðàÿñü íà äëèíó âîëíû èçëó÷åíèÿ îäíîãî èç õèìè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ.  1920 ãîäó ñ ïîìîùüþ
ðàçðàáîòàííîãî èì ïðèáîðà âïåðâûå áûë èçìåðåí óãëîâîé
ðàçìåð çâåçäû.
à) Êòî ýòîò ó÷åíûé?
á) Êàêîâà èäåÿ ýêñïåðèìåíòà, ïîñòàâëåííîãî äëÿ îáíàðóæåíèÿ íàëè÷èÿ èëè îòñóòñòâèÿ ìèðîâîãî ýôèðà?
â)  ðàçðàáîòêó êàêèõ îïòè÷åñêèõ ïðèáîðîâ âíåñ âûäàþùèéñÿ âêëàä ýòîò ó÷åíûé?
ã) Êàêîé õèìè÷åñêèé ýëåìåíò áûë ïðåäëîæåí ýòèì ó÷åíûì äëÿ ñîçäàíèÿ ýòàëîíà äëèíû?
ä) Äëÿ êàêîé çâåçäû áûë âïåðâûå èçìåðåí óãëîâîé ðàçìåð?
2. Ýòîò ó÷åíûé ñòîÿë ó èñòîêîâ ñîâðåìåííîãî åñòåñòâîçíàíèÿ. Îí äàë íàçâàíèå íàóêå ôèçèêå. Åãî ìîæíî ñ÷èòàòü
ïåðâûì ôèçèêîì-òåîðåòèêîì. Êàê è áîëüøèíñòâî ó÷åíûõ
äðåâíîñòè, îí áûë ó÷åíûì-ýíöèêëîïåäèñòîì. Êàê è ìíîãèå
âåëèêèå ó÷åíûå, îí áûë ïåäàãîãîì: ïðåïîäàâàë â ó÷åáíîì
çàâåäåíèè, íàçâàíèå êîòîðîãî ñîõðàíèëîñü äî íàøèõ äíåé.
Îí áûë âîñïèòàòåëåì âûäàþùåãîñÿ ãîñóäàðñòâåííîãî äåÿòåëÿ. Îí áûë âåëèê äàæå â ñâîèõ çàáëóæäåíèÿõ.
à) Êòî ýòîò ó÷åíûé? Êîãäà è â êàêîé ñòðàíå îí ðîäèëñÿ
è æèë?
á) Ïî÷åìó îí íàçâàë ôèçèêó ôèçèêîé è ïî÷åìó åãî ìîæíî
ñ÷èòàòü òåîðåòèêîì?
â)  êàêèõ åùå îáëàñòÿõ íàóêè ðàáîòàë ýòîò ó÷åíûé?
ã) Êàê íàçûâàëîñü óïîìÿíóòîå ó÷åáíîå çàâåäåíèå è ãäå
îíî íàõîäèëîñü?
ä) Êòî èç ãîñóäàðñòâåííûõ äåÿòåëåé äðåâíîñòè áûë åãî
âîñïèòàííèêîì?
å) Êàêèå âçãëÿäû ýòîãî ó÷åíîãî, ñåãîäíÿ ñ÷èòàþùèåñÿ
çàáëóæäåíèÿìè, âàì èçâåñòíû?
3. Íåìåöêèé ó÷åíûé è èíæåíåð, ðîäèëñÿ â 1907 ãîäó. Åùå
ãèìíàçèñòîì îí çàíÿëñÿ ñîâåðøåííî íîâûì äëÿ òîãî âðåìåíè
äåëîì – ðàäèîòåõíèêîé. Íå ïîëó÷èâ îôèöèàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ, óæå ñòàë âåäóùèì ñîòðóäíèêîì ôèðìû «Òåëåôóíêåí».  ãîäû, ïðåäøåñòâóþùèå âòîðîé ìèðîâîé âîéíå,
óñïåøíî ðàáîòàë íàä ïðîáëåìàìè ýëåêòðîííîãî òåëåâèäåíèÿ
è ðàñòðîâîé ýëåêòðîííîé ìèêðîñêîïèè. Îí ñîçäàâàë ýëåêò-
#$
ÊÂÀÍT 2008/¹3
ðîííûå óñòðîéñòâà â ðàìêàõ àòîìíûõ ïðîåêòîâ â Ãåðìàíèè
â ãîäû âîéíû è â ÑÑÑÐ ïîñëå âîéíû. Âåðíóâøèñü íà ðîäèíó
â 1956 ãîäó, ïîëó÷èë îò ïðàâèòåëüñòâà ÃÄÐ ðàçðåøåíèå íà
âëàäåíèå íåäâèæèìûì èìóùåñòâîì, ïðèíàäëåæàâøèì åãî
ñåìüå. Ñâîèì ïðàâîì îí âîñïîëüçîâàëñÿ â äóõå ëó÷øèõ
òðàäèöèé ëþäåé íàóêè: îðãàíèçîâàë â ôàìèëüíîì èìåíèè â
Äðåçäåíå íàó÷íî-èññëåäîâàòåëüñêèé èíñòèòóò.  ñâîåé èññëåäîâàòåëüñêîé ðàáîòå ó÷åíûé ïåðåêëþ÷èë âíèìàíèå íà
íîâîå íàïðàâëåíèå – ïðèìåíåíèå ýëåêòðîíèêè â ìåäèöèíå è
áèîëîãèè. Ñêîí÷àëñÿ â 1997 ãîäó.
Íàçîâèòå èìÿ ýòîãî ó÷åíîãî.
4. Âîïðîñ î òîì, êàê óñòðîåíà Âñåëåííàÿ, âîëíîâàë ëþäåé
âñåãäà. Ñåãîäíÿøíèå ïðåäñòàâëåíèÿ î åå ñòðîåíèè îñíîâàíû
íà òîì, ÷òî ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî ôóíäàìåíòàëüíûõ îáúåêòîâ, èç êîòîðûõ ôîðìèðóåòñÿ âñå ìíîãîîáðàçèå óñòðîéñòâà è
ñâîéñòâ Âñåëåííîé. Íåêîòîðûå èç ýòèõ îáúåêòîâ íåïëîõî
èçó÷åíû, ñóùåñòâîâàíèå äðóãèõ ïîêà óñòàíîâëåíî êîñâåííî,
ïî èõ äåéñòâèþ íà èçó÷åííûå îáúåêòû.
Íàçîâèòå ýòè ôóíäàìåíòàëüíûå îáúåêòû, èõ ñâîéñòâà è
ðîëü âî Âñåëåííîé. Êàêèå ñîâðåìåííûå òåîðèè ñòðîåíèÿ
Âñåëåííîé âàì èçâåñòíû?
5.  XVIII âåêå òåðìîäèíàìè÷åñêèå ÿâëåíèÿ îïèñûâàëèñü
íà îñíîâå òåîðèè òåïëîðîäà – îñîáîé æèäêîñòè, ïåðåòåêàþùåé èç îäíîãî òåëà â äðóãîå ïðè òåïëîïåðåäà÷å.
à) Êàêèå îïûòû ïîñëóæèëè îñíîâàíèåì äëÿ îòêàçà îò
òåîðèè òåïëîðîäà?
á) Êàêèå òåðìîäèíàìè÷åñêèå ïîíÿòèÿ, ââåäåííûå â ðàìêàõ òåîðèè òåïëîðîäà, ñîõðàíèëèñü â ñîâðåìåííîé ôèçèêå?
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Â.Àëüìèíäåðîâ, À.Åãîðîâ,
À.Êðàâöîâ, Â.Êðûøòîï, Æ.Ðàááîò
Âñåðîññèéñêàÿ ñòóäåí÷åñêàÿ
îëèìïèàäà ïî ôèçèêå
Ïî ðåçóëüòàòàì î÷åðåäíîé Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû
ñðåäè ñòóäåíòîâ òåõíè÷åñêèõ âóçîâ, êîòîðàÿ ñîñòîÿëàñü â
íîÿáðå 2007 ãîäà, â êîìàíäíîì çà÷åòå ïåðâîå ìåñòî çàíÿëà
êîìàíäà Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà (ÌÃÒÓ) èì. Í.Ý.Áàóìàíà (133 áàëëà), âòîðîå ìåñòî
– êîìàíäà Ñàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî àýðîêîñìè÷åñêîãî
óíèâåðñèòåòà èì. àêàäåìèêà Ñ.Ï.Êîðîëåâà (95 á.), òðåòüå
ìåñòî – êîìàíäà Óôèìñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî àâèàöèîííîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà (85 á.).
 ëè÷íîì çà÷åòå ïåðâîå ìåñòî çàâîåâàë À.Ïóäîâêèí (ÌÃÒÓ
èì. Í.Ý.Áàóìàíà, 48 áàëëîâ), âòîðîå ìåñòî çàâîåâàëà Ä.Êîâàëåâà (ÌÃÒÓ èì. Í.Ý.Áàóìàíà, 46 á.), íà òðåòüåì ìåñòå îêàçàëñÿ Í.Òðîøêèí (Ñàìàðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé àýðîêîñìè÷åñêèé óíèâåðñèòåò èì. àêàäåìèêà Ñ.Ï.Êîðîëåâà, 44 á.).
Ñïåöèàëüíûì ïðèçîì æþðè íàãðàæäåí ñòóäåíò Ðîññèéñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà íåôòè è ãàçà èì.
È.Ì.Ãóáêèíà Ê.Êîðíèøèí – çà îðèãèíàëüíîå ðåøåíèå äâóõ
çàäà÷ ýòîé îëèìïèàäû è çà ñòàáèëüíî óñïåøíîå ó÷àñòèå â
ãîðîäñêèõ è âñåðîññèéñêèõ òóðàõ ñòóäåí÷åñêèõ îëèìïèàäàõ.
ÇÀÄÀ×È ÎËÈÌÏÈÀÄÛ
1. Âåëîñèïåäèñò äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v. Ðàññòîÿíèå
ìåæäó îñÿìè êîëåñ ðàâíî l, öåíòð òÿæåñòè âåëîñèïåäèñòà ñ
âåëîñèïåäîì íàõîäèòñÿ ïîñðåäèíå ìåæäó êîëåñàìè íà âûñîòå h îò äîðîãè. Îïðåäåëèòå ìèíèìàëüíûé òîðìîçíîé ïóòü,
åñëè òîðìîæåíèå âîçìîæíî òîëüêî çàäíèì êîëåñîì.
2. ×åðåç îòâåðñòèå â ïîòîëêå ïðîïóùåíà íåðàñòÿæèìàÿ
íèòü, ê êîíöó êîòîðîé ïðèâÿçàí ãðóç ìàññîé m, ðàñêðó÷åííûé â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè äî ñêîðîñòè v è èìåþùèé
ðàäèóñ âðàùåíèÿ îòíîñèòåëüíî âåðòèêàëüíîé îñè R. Êàêóþ
ðàáîòó íàäî ñîâåðøèòü, ÷òîáû ìåäëåííî ïîäòÿíóòü ãðóç
âäâîå áëèæå ê ïîòîëêó?
3. Ê ïëàíåòå ðàäèóñîì R è óñêîðåíèåì íà ïîâåðõíîñòè g
ïîäëåòàåò ñ áîëüøîãî óäàëåíèÿ êîñìè÷åñêèé àïïàðàò ìàññîé
Ì ñ äâèãàòåëåì ìàëîé òÿãè Fò = mg , èìåþùèé ñêîðîñòü v.
Îïðåäåëèòå ìèíèìàëüíóþ õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ñêîðîñòü,
íåîáõîäèìóþ äëÿ ïåðåõîäà àïïàðàòà íà íèçêóþ îðáèòó
âîêðóã ïëàíåòû. Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ñêîðîñòü – ýòî ñêîðîñòü, êîòîðóþ ïîëó÷èò êîñìè÷åñêèé àïïàðàò â ñâîáîäíîì
ïðîñòðàíñòâå ïðè òåõ æå çàòðàòàõ òîïëèâà.
4. Öåïî÷êà ìàññîé m è äëèíîé l ïîäâåøåíà çà âåðõíåå
çâåíî, à íèæíèì êàñàåòñÿ ãîðèçîíòàëüíîé ïëàòôîðìû ìàññîé M, óäåðæèâàåìîé ñíèçó â ðàâíîâåñèè ñèñòåìîé ïðóæèí
îáùåé æåñòêîñòüþ k. Öåïî÷êó îòïóñòèëè, è â ìîìåíò ñîïðèêîñíîâåíèÿ âåðõíåãî çâåíà ñ ïëàòôîðìîé ïëàòôîðìà îïóñòèëàñü îò òî÷êè ðàâíîâåñèÿ íà âåëè÷èíó b è äîñòèãëà ñêîðîñòè
v. Îïðåäåëèòå èìïóëüñ, ïåðåäàííûé öåïî÷êîé ïëàòôîðìå â
ïðîöåññå ïàäåíèÿ, è âûäåëèâøååñÿ ïðè ýòîì êîëè÷åñòâî
òåïëîòû.
5. Øàð ðàäèóñîì R ìàññîé M, ñòîÿùèé íà ãîðèçîíòàëüíîé
ïëîñêîñòè, ðàñêðóòèëè îòíîñèòåëüíî âåðòèêàëüíîé îñè äî
óãëîâîé ñêîðîñòè ω . Çàòåì ïî øàðó íàíåñëè óäàð, ïåðåäàâøèé åìó èìïóëüñ p = MRω âäîëü ãîðèçîíòàëüíîé ëèíèè,
ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð øàðà. Îïðåäåëèòå ñêîðîñòü, ñ
êîòîðîé ïîêàòèòñÿ øàð, åñëè ïðîñêàëüçûâàíèå ìåæäó øàðîì
è ïëîñêîñòüþ îòñóòñòâóåò.
6. Öèêëè÷åñêèé ïðîöåññ, ïðîâîäèìûé ñ ãàçîì, ñîñòîèò èç
èçîõîðû, èçîáàðû è èçîòåðìû. Îïðåäåëèòå ìàêñèìàëüíûé
ÊÏÄ öèêëà, åñëè äàâëåíèå ìîæåò ìåíÿòüñÿ îò p1 äî p2 .
7. Äâà òî÷å÷íûõ çàðÿäà Q è –Q íàõîäÿòñÿ íà ðàññòîÿíèè
3l äðóã îò äðóãà. Ïîñðåäèíå ìåæäó íèìè ïîìåùàþò òåëî,
ñîñòîÿùåå èç äâóõ ìåòàëëè÷åñêèõ øàðèêîâ ðàäèóñîì r = l ,
ñîåäèíåííûõ î÷åíü òîíêèì ìåòàëëè÷åñêèì ñòåðæíåì, ñîâïàäàþùèì ñ ëèíèåé, ñîåäèíÿþùåé çàðÿäû. Îïðåäåëèòå, íà
ñêîëüêî èçìåíèòñÿ ñèëà âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó çàðÿäàìè,
åñëè äëèíà ñòåðæíÿ ðàâíà l.
8. Ïåðåìû÷êà ìàññîé m è ñîïðîòèâëåíèåì R ëåæèò íà äâóõ
ãîðèçîíòàëüíûõ ïàðàëëåëüíûõ ðåëüñàõ, ðàññòîÿíèå ìåæäó
êîòîðûìè ðàâíî a. Ê ðåëüñàì íà âðåìÿ t ïîäêëþ÷èëè
èñòî÷íèê ñ ÝÄÑ - . Êàêîå âåðòèêàëüíî íàïðàâëåííîå ìàãíèòíîå ïîëå B íåîáõîäèìî ñîçäàòü, ÷òîáû ñêîðîñòü ïåðåìû÷êè ïîñëå îòêëþ÷åíèÿ èñòî÷íèêà äîñòèãëà ìàêñèìàëüíîãî
çíà÷åíèÿ? Ñ÷èòàòü, ÷òî exp(1,26) = 3,52.
9. Íà ïóòè ïëîñêîé ñâåòîâîé âîëíû íàõîäèòñÿ êðóãëîå
îòâåðñòèå, â êîòîðîì ïîìåùàåòñÿ ëèøü íåáîëüøàÿ ÷àñòü
ïåðâîé çîíû Ôðåíåëÿ äëÿ òî÷êè íàáëþäåíèÿ Ð, èíòåíñèâíîñòü ñâåòà â êîòîðîé ðàâíà I0 .  îòâåðñòèå ïîìåñòèëè
ñïåöèàëüíóþ ëèíçó, ïðè ïðîõîæäåíèè ñâåòà ÷åðåç êîòîðóþ
âîëíîâîé ôðîíò ñòàíîâèòñÿ êîíè÷åñêèì. Îïðåäåëèòå èíòåíñèâíîñòü ñâåòà â òî÷êå íàáëþäåíèÿ Ð, åñëè â ïðèñóòñòâèè
ëèíçû â îòâåðñòèè ïîìåùàåòñÿ 5 çîí Ôðåíåëÿ.
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Ì.ßêîâëåâ, Â.Ãîëóáåâ
#%
ÈÌ
È ÀÀÄÖ
ÛÈ ß
È Í ÎÔË Î
ÐÏÌ
Çàî÷íàÿ øêîëà ÑÓÍÖ ÍÃÓ
Çàî÷íàÿ øêîëà (ÇØ) Ñïåöèàëèçèðîâàííîãî ó÷åáíî-íàó÷íîãî öåíòðà (ÑÓÍÖ) Íîâîñèáèðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà (ÍÃÓ) ïðèãëàøàåò øêîëüíèêîâ 7–11 êëàññîâ è
àáèòóðèåíòîâ ðàñøèðèòü è óãëóáèòü ñâîè çíàíèÿ ïî øêîëüíûì ïðåäìåòàì è ïîäãîòîâèòüñÿ ê âñòóïèòåëüíûì ýêçàìåíàì
â âûñøèå ó÷åáíûå çàâåäåíèÿ.
Êðîìå îòäåëüíûõ ó÷àùèõñÿ, â ÇØ ïðèíèìàþòñÿ ôàêóëüòàòèâíûå ãðóïïû, îðãàíèçîâàííûå â îáùåîáðàçîâàòåëüíûõ
øêîëàõ. Ëó÷øèå ó÷àùèåñÿ ÇØ åæåãîäíî ïðèãëàøàþòñÿ â
Ëåòíþþ øêîëó äëÿ ó÷àñòèÿ â êîíêóðñå ÑÓÍÖ ÍÃÓ. Ó÷àùèåñÿ, óñïåøíî âûïîëíèâøèå âñå çàäàíèÿ, ïî îêîí÷àíèè îäèííàäöàòîãî êëàññà ïîëó÷àþò óäîñòîâåðåíèå ÇØ.
Çà÷èñëåíèå â Çàî÷íóþ øêîëó ÑÓÍÖ ÍÃÓ ïðîèçâîäèòñÿ
êðóãëîãîäè÷íî. ×òîáû òóäà ïîñòóïèòü, íåîáõîäèìî ïðèñëàòü
â àäðåñ ÇØ âûïîëíåííîå ïåðâîå çàäàíèå è çàÿâëåíèå î
ïðèåìå. Ðàáîòà äîëæíà áûòü âûïîëíåíà â ó÷åíè÷åñêîé
òåòðàäè â êëåòêó. Îáÿçàòåëüíî çàïèøèòå êðàòêîå óñëîâèå
êàæäîé çàäà÷è. Íîìåðà çàäà÷ äîëæíû ñîâïàäàòü ñ òåìè,
êîòîðûå óêàçàíû â çàäàíèè. Ïèøèòå ÷åòêî, ðàçáîð÷èâî,
îñòàâëÿÿ ïîëÿ äëÿ çàìå÷àíèé ïðåïîäàâàòåëÿ.
Íà îáëîæêå òåòðàäè íóæíî óêàçàòü:
1) Îòäåëåíèå (ìàòåìàòè÷åñêîå èëè ôèçè÷åñêîå)
2) Íîìåð çàäàíèÿ
3) Ôàìèëèþ, èìÿ, îò÷åñòâî
4) Êëàññ, â êîòîðîì Âû ó÷èòåñü â ñâîåé øêîëå
5) Âàø ïîäðîáíûé äîìàøíèé àäðåñ, ñ óêàçàíèåì èíäåêñà
ïî÷òîâîãî îòäåëåíèÿ, òåëåôîíà (ñ êîäîì ãîðîäà), e-mail
6) Àäðåñ Âàøåé øêîëû è òåëåôîí/ôàêñ, (ñ êîäîì ãîðîäà), e-mail
7) Ôàìèëèþ, èìÿ, îò÷åñòâî ïðåïîäàâàòåëåé â Âàøåé
øêîëå ïî ìàòåìàòèêå è ïî ôèçèêå
Ðàáîòó îòñûëàéòå òîëüêî ïðîñòîé áàíäåðîëüþ. Â òåòðàäü
âëîæèòå ëèñòîê áóìàãè ðàçìåðîì 6 ´ 10 ñì ñ íàïèñàííûì íà
íåì Âàøèì àäðåñîì.
Âûïîëíåííîå çàäàíèå è çàÿâëåíèå î ïðèåìå âûñûëàéòå ïî
ïî÷òîâîìó àäðåñó: 630090 Íîâîñèáèðñê-90, óë. Ëÿïóíîâà, 3,
Çàî÷íàÿ øêîëà ÑÓÍÖ ÍÃÓ èëè ïî ýëåêòðîííîé ïî÷òå:
distant@sesc.nsu.ru
Òåëåôîí: (383) 363-4066
Àäðåñ â èíòåðíåòå: http://zfmsh.nsu.ru
Ïåðâîå çàäàíèå
Ìàòåìàòè÷åñêîå îòäåëåíèå
7 êëàññ
1. Çà 5 ÷ âñàäíèê ïðîåõàë íà 8 êì ìåíüøå ïîëîâèíû âñåãî
ðàññòîÿíèÿ, à çà 7 ÷ îí ïðîåõàë íà 16 êì áîëüøå ïîëîâèíû
ýòîãî ðàññòîÿíèÿ. Îïðåäåëèòå ñêîðîñòü âñàäíèêà, åñëè îí
åõàë ñ îäíîé è òîé æå ñêîðîñòüþ.
2. Ãóñü, 3 óòêè è 2 êóðèöû èìåþò îáùóþ ìàññó 24 êã, à 2
ãóñÿ, 5 óòîê è 4 êóðèöû èìåþò ìàññó 44 êã. Êàêîâà îáùàÿ
ìàññà 1 ãóñÿ, 4 óòîê è 2 êóðèö?
3. Èìåÿ îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî äåíåã â êîøåëüêàõ, Êðîêîäèë Ãåíà è ×åáóðàøêà ïîøëè íà áàçàð. Êðîêîäèë Ãåíà
ñíà÷àëà èñòðàòèë 20% ñâîèõ äåíåã íà ÿáëîêè, à çàòåì 10% îò
îñòàâøèõñÿ ó íåãî äåíåã èñòðàòèë íà êîíôåòû. ×åáóðàøêà æå
èñòðàòèë 30% ñâîèõ äåíåã íà àïåëüñèíû. Ó êîãî èç äðóçåé
äåíåã â êîøåëüêå îñòàëîñü áîëüøå?
4.Íàéäèòå ðàçíîñòü ìåæäó ñóììîé âñåõ ÷åòíûõ ÷èñåë è
ñóììîé âñåõ íå÷åòíûõ ÷èñåë, íå ïðåâîñõîäÿùèõ 100.
5. Åñëè îò çàäóìàííîãî òðåõçíà÷íîãî ÷èñëà îòíÿòü 11 è
ïîëó÷èâøååñÿ ÷èñëî ðàçäåëèòü íà 11, òî â îñòàòêå ïîëó÷èòñÿ
4. Åñëè îò òîãî æå çàäóìàííîãî ÷èñëà îòíÿòü 8 è ïîëó÷èâøååñÿ ÷èñëî ðàçäåëèòü íà 8, òî îñòàòîê îò äåëåíèÿ áóäåò 4. Åñëè
æå îò çàäóìàííîãî ÷èñëà îòíÿòü 7 è ïîëó÷èâøååñÿ ÷èñëî
ðàçäåëèòü íà 7, òî îñòàòîê îïÿòü áóäåò 4. Íàéäèòå çàäóìàííîå
÷èñëî.
6. Êàê ðàçðåçàòü êâàäðàò íà 5 ïðÿìîóãîëüíèêîâ òàê, ÷òîáû
íèêàêèå äâà èç íèõ íå èìåëè îáùåé ñòîðîíû?
7. Âîññòàíîâèòå öèôðû â ïðèìåðå íà óìíîæåíèå:
126
**
***
+
****
1*2*6
×
Çàïèøèòå ñâîè ðàññóæäåíèÿ.
8 êëàññ
1. Ãîðîäà À è Â ðàñïîëîæåíû íà ðåêå íà ðàññòîÿíèè 10 êì
äðóã îò äðóãà.  êàêîì ñëó÷àå òåïëîõîäó ïîòðåáóåòñÿ áîëüøå
âðåìåíè: ïðîïëûòü îò À äî Â è îáðàòíî èëè ïðîïëûòü 20 êì
ïî îçåðó?
2. Ñëóæàùèå áàíêà ðåøèëè ðàçëîæèòü ïîðîâíó ïàðòèþ
çîëîòûõ ñëèòêîâ ïî ñåéôàì. Ñíà÷àëà â êàæäûé ñåéô ïîëîæèëè ïî 12 ñëèòêîâ, íî ïðè ýòîì îäèí ñëèòîê îñòàëñÿ. Çàòåì
èç îäíîãî ñåéôà âûíóëè âñå ñëèòêè, è òîãäà â îñòàâøèåñÿ
ñåéôû óäàëîñü ðàçëîæèòü âñå ñëèòêè ïîðîâíó. Ñêîëüêî
ñëèòêîâ áûëî â ïàðòèè, åñëè â êàæäûé ñåéô ïîìåùàåòñÿ íå
áîëåå 20 ñëèòêîâ çîëîòà?
3. Äàí ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê ÀÂÑ. Íà ïðîäîëæåíèè
ñòîðîíû ÀÑ çà òî÷êó Ñ âçÿëè òî÷êó Ð, à íà ïðîäîëæåíèè
ñòîðîíû ÂÑ çà òî÷êó Ñ – òî÷êó K òàê, ÷òî BP = PK.
Äîêàæèòå, ÷òî AP = CK.
Ä×Ó×Á×Î×Ê
? Â ðåáóñå
4. ×åìó ðàâíî çíà÷åíèå äðîáè
ß×Ñ×Å×Í×Ü
îäèíàêîâûìè áóêâàìè îáîçíà÷åíû îäèíàêîâûå öèôðû, ðàçíûìè – ðàçíûå.
5. Â òÿæåëóþ äëÿ ñåáÿ ãîäèíó Áàáà ßãà ðåøèëà ðàññòàòüñÿ
ñî ñâîåé ñòóïîé è ñ ìåòëîé, âûñòàâèâ èõ íà ðàñïðîäàæó.
Ñòóïà äîðîæå ìåòëû íà 25%. Íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ ìåòëà
äåøåâëå ñòóïû?
6. Ìàëü÷èø Ïëîõèø õî÷åò êóïèòü âàðåíüå, ïå÷åíüå è
êîíôåòû. Åñëè îí êóïèò òîëüêî áî÷êó âàðåíüÿ, òî ó íåãî
îñòàíåòñÿ 3 äîëëàðà, åñëè æå òîëüêî êîðçèíó ïå÷åíüÿ, òî
îñòàíåòñÿ 4 äîëëàðà, à åñëè òîëüêî êîðîáêó êîíôåò, òî – 8
äîëëàðîâ. Õâàòèò ëè ó Ïëîõèøà äåíåã, ÷òîáû êóïèòü áî÷êó
âàðåíüÿ è êîðçèíó ïå÷åíüÿ?
7.Ó÷åíèêó íàäî áûëî íàéòè ïðîèçâåäåíèå ÷èñëà 136 íà
íåêîòîðîå äâóçíà÷íîå ÷èñëî, â êîòîðîì öèôðà åäèíèö âäâîå
áîëüøå öèôðû äåñÿòêîâ. Ïî ðàññåÿííîñòè îí ïîìåíÿë ìåñòàìè öèôðû äâóçíà÷íîãî ÷èñëà, îò÷åãî è ïîëó÷èë ïðîèçâåäåíèå íà 1224 áîëüøå èñòèííîãî. ×åìó ðàâíî èñòèííîå ïðîèçâåäåíèå?
9 êëàññ
1. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî 42007 + 22009 + 3 ÿâëÿåòñÿ ñîñòàâíûì.
2
2
2. Ðåøèòå óðàâíåíèå x + 5y - 4 xy - 6 y + 9 = 0 äëÿ äåéñòâèòåëüíûõ x è y.
3. Áèññåêòðèñà îäíîãî èç îñòðûõ óãëîâ ïðÿìîóãîëüíîãî
òðåóãîëüíèêà äåëèò êàòåò â îòíîøåíèè 5:3. Íàéäèòå ãèïîòåíóçó ýòîãî òðåóãîëüíèêà, åñëè äëèíà áèññåêòðèñû äðóãîãî
îñòðîãî óãëà ðàâíà 10 .
4. Èçâåñòíî, ÷òî ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî à ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç
#&
ÊÂÀÍT 2008/¹3
êîðíåé óðàâíåíèÿ
0
x x+3
x + 3 Kx + 3 = 1.
1
20
-90
Äîêàæèòå, ÷òî a < 10 .
5. Â îêðóæíîñòü âïèñàíû òðàïåöèÿ, îñíîâàíèåì êîòîðîé
ñëóæèò äèàìåòð, è ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê, ñòîðîíû
êîòîðîãî ïàðàëëåëüíû ñòîðîíàì òðàïåöèè. Äîêàæèòå, ÷òî
òðàïåöèÿ è òðåóãîëüíèê èìåþò ðàâíûå ïëîùàäè.
6.  íîâîãîäíåì êàðíàâàëå ó÷àñòâóþò 100 ÷åëîâåê. Êàæäûé èç íèõ çíàêîì íå ìåíåå ÷åì ñ 50 èç ïðèñóòñòâóþùèõ.
Äîêàæèòå, ÷òî ñðåäè ó÷àñòíèêîâ êàðíàâàëà íàéäóòñÿ ÷åòûðå
÷åëîâåêà, êîòîðûõ ìîæíî ïîñòàâèòü âîêðóã åëêè òàê, ÷òîáû
ëþáûå ñòîÿùèå ðÿäîì ó÷àñòíèêè áûëè çíàêîìû.
10 êëàññ
1. Âû÷èñëèòå ñóììó
22 + 42 + 62 + ... + 20082 - 12 - 32 - 52 - ... - 20072
(êâàäðàòû ÷åòíûõ ÷èñåë áåðóòñÿ ñ ïëþñîì, êâàäðàòû íå÷åòíûõ – ñ ìèíóñîì).
2. Åñëè ïåðâûé àâòîìîáèëü ñäåëàåò 4 ðåéñà, à âòîðîé – 3
ðåéñà, òî 21 òîííó ãðóçà îíè ïåðåâåçòè íå ñìîãóò. Åñëè æå
ïåðâûé ñäåëàåò 7 ðåéñîâ, à âòîðîé – 4 ðåéñà, òî îíè ñìîãóò
ïåðåâåçòè áîëåå 33 òîíí ãðóçà. Êàêîé èç àâòîìîáèëåé èìååò
áóëüøóþ ãðóçîïîäúåìíîñòü?
3. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë a è b
âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî 3 4(a + b) ³ 3 a + 3 b .
4. Èç âåðøèí Â è Ñ ïðîèçâîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ
ïðîâåäåíû ìåäèàíû BB1 è CC1 . Äîêàæèòå, ÷òî
9
BB12 + CC12 > BC 2 .
8
5. Äàí îñòðûé óãîë è îêðóæíîñòü âíóòðè íåãî. Íàéäèòå íà
îêðóæíîñòè òî÷êó, ñóììà ðàññòîÿíèé îò êîòîðîé äî ñòîðîí
óãëà áûëà áû: à) íàèìåíüøåé; á) íàèáîëüøåé.
6. Ñðåäè 101 ìîíåòû ðîâíî 50 ôàëüøèâûõ. Ìàññû âñåõ
íàñòîÿùèõ ìîíåò îäèíàêîâû, ìàññà êàæäîé ôàëüøèâîé
ìîíåòû îòëè÷àåòñÿ îò ìàññû íàñòîÿùåé íà îäèí ãðàìì (â
áîëüøóþ èëè ìåíüøóþ ñòîðîíó). Êàê çà îäíî âçâåøèâàíèå
íà ÷àøå÷íûõ âåñàõ ñî ñòðåëêîé, êîòîðàÿ ïîêàçûâàåò ðàçíîñòü âåñîâ íà ÷àøêàõ, îïðåäåëèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè äàííàÿ
ìîíåòà ôàëüøèâîé? Íà êàæäóþ ÷àøêó âåñîâ ìîæíî êëàñòü
ëþáîå êîëè÷åñòâî ìîíåò.
11 êëàññ
1. Äâà âåëîñèïåäèñòà âûåõàëè îäíîâðåìåííî è åõàëè ñ
ïîñòîÿííûìè ñêîðîñòÿìè îäèí èç A â B, äðóãîé – èç B â A.
Ïåðâûé ðàç îíè âñòðåòèëèñü â 40 êì îò B, ïîñëå ÷åãî êàæäûé
äîåõàë äî êîíå÷íîãî ïóíêòà (ïåðâûé äî B, âòîðîé äî A),
ðàçâåðíóëñÿ è ïîåõàë îáðàòíî. Âòîðîé ðàç îíè âñòðåòèëèñü
â 20 êì îò À ÷åðåç 8 ÷àñîâ ïîñëå èõ ïåðâîé âñòðå÷è. Íàéäèòå
ñêîðîñòè âåëîñèïåäèñòîâ è ðàññòîÿíèå îò À äî Â.
2. Íàéäèòå âñå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ
1
x - 2 x -1 + x +2 x -1 =
.
x -1
3. Ðåøèòå óðàâíåíèå
tg x + tg 2 x + tg x tg 2x tg 3 x = tg 3 x + tg 4 x .
4. Íà êàæäîé ñòîðîíå âûïóêëîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà êàê
íà äèàìåòðå ïîñòðîåí êðóã. Äîêàæèòå, ÷òî ÷åòûðå ïîñòðîåííûõ êðóãà ïîëíîñòüþ ïîêðûâàþò âåñü ÷åòûðåõóãîëüíèê.
5. Íàéäèòå êîëè÷åñòâî îòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë ñðåäè ïåðâûõ 2008 ýëåìåíòîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
o
cos 1o,cos 10o,cos 100o,...,cos 102007 .
6. Â òðåóãîëüíîé ïèðàìèäå ABCD èçâåñòíû äëèíû ðåáåð:
AB = 4, CD = 6, AC = AD = BC = BD = 7. Ìåäèàíû ãðàíè
BCD ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå Ì. Íàéòè îáúåì ïèðàìèäû
MACD.
Ôèçè÷åñêîå îòäåëåíèå
9 êëàññ
1. Êîëüöåâàÿ àâòîòðàññà èìååò ôîðìó ïðÿìîóãîëüíèêà ñî
ñòîðîíàìè 10 êì è 8 êì. Èç îäíîé òî÷êè òðàññû, ðàñïîëîæåííîé «â âåðøèíå ïðÿìîóãîëüíèêà», ïî áîëüøåé ñòîðîíå â
îäíîì íàïðàâëåíèè îäíîâðåìåííî ñòàðòîâàëè äâà àâòîìîáèëÿ: îäèí ñî ñêîðîñòüþ 60 êì/÷, äðóãîé ñî ñêîðîñòüþ
90 êì/÷. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè (ïî ïðÿìîé, à íå ïî òðàññå)
îêàæóòñÿ àâòîìîáèëè ÷åðåç 14 ìèí?
2. Ãðóç, íàïîëîâèíó ïîãðóæåííûé â æèäêîñòü, óäåðæèâàåòñÿ ïðèâÿçàííîé ê íåìó ñâåðõó íèòüþ. Îïðåäåëèòå ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà ρ x , èç êîòîðîãî èçãîòîâëåí ãðóç, åñëè
ïëîòíîñòü æèäêîñòè ρ, îáúåì ãðóçà V, íàòÿæåíèå íèòè T.
3. Ïåðâîíà÷àëüíî òâåðäûé îáðàçåö, íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà êîòîðîãî t1 = 15 °C , íàãðåâàþò â ñïåöèàëüíîì ñîñóäå.
Çàâèñèìîñòü òåìïåðàòóðû
t îáðàçöà îò âðåìåíè τ
ïðåäñòàâëåíà íà ðèñóíêå 1.
Ñèñòåìà îòðåãóëèðîâàíà
òàê, ÷òî â îáðàçåö ïîñòóïàåò â êàæäóþ åäèíèöó âðåìåíè îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû. ×åìó ðàâíà
óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü
òâåðäîãî îáðàçöà? Óäåëü- Ðèñ. 1
íàÿ òåïëîòà ïëàâëåíèÿ L =
= 240000 Äæ/êã, t2 = 90 °C , τ1 = 4 ìèí, τ2 = 8 ìèí. Âðåìÿ îòñ÷èòûâàåòñÿ ñ ìîìåíòà íà÷àëà íàãðåâà.
4.  ãèðëÿíäå ñîñòîÿùåé èç N = 25 ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ ëàìïî÷åê (ðèñ.2), ïåðåãîðåëà îäíà èç íèõ. Âî ñêîëüêî
ðàç íàäî óâåëè÷èòü âõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå R,
÷òîáû ïðè ïðåæíåì íàïðÿæåíèè íàêàë îñòàâøèõñÿ ëàìïî÷åê íå èçìåíèëñÿ?
10 êëàññ
Ðèñ. 2
1. Ðåøèòå çàäà÷ó 3 äëÿ 9 êëàññà.
2. Ïî ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè äâèæåòñÿ òåëî ìàññîé
m. Â ìîìåíò, êîãäà åãî ñêîðîñòü ðàâíÿëàñü v0 , íà íåãî
ïîäåéñòâîâàëè ïîñòîÿííîé ãîðèçîíòàëüíîé ñèëîé F0 , íàïðàâëåííîé íàâñòðå÷ó. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè s îò ýòîãî
ìåñòà îêàæåòñÿ òåëî, êîãäà åãî ñêîðîñòü ñíîâà áóäåò ðàâíÿòüñÿ v0 ? Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ µ . Èçâåñòíî, ÷òî
F0 > µmg .
3. Â ïîêîÿùåéñÿ âåðòèêàëüíîé çàïàÿííîé òðóáêå íàõîäèòñÿ ìàññèâíûé ïîäâèæíûé ïîðøåíü. Òðóáêó áûñòðî ïåðåâåðíóëè âîêðóã ïîðøíÿ. Íàéäèòå óñêîðåíèå ïîðøíÿ â ïåðâûé
ìîìåíò âðåìåíè ïîñëå ïåðåâîðîòà. Òðåíèåì ïîðøíÿ î ñòåíêè
òðóáêè ïðåíåáðå÷ü.
4. Êî äíó ñîñóäà ñå÷åíèåì S ïðèâÿçàí ëåãêèé ïóñòîé øàð
îáúåìîì V ñ öåíòðîì íà ãëóáèíå h. Øàð ëîïíóë. Êàêîå
êîëè÷åñòâî òåïëîòû âûäåëèòñÿ ê ìîìåíòó, êîãäà èç-çà âíóòðåííåãî òðåíèÿ äâèæåíèå æèäêîñòè ïðåêðàòèòñÿ? Ïëîòíîñòü
æèäêîñòè ρ , óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g. Ìàññîé
îáîëî÷êè øàðà ïðåíåáðå÷ü.
5. Íåáîëüøîå òåëî çàïóñòèëè ñî ñêîðîñòüþ v0 ïî ãîðèçîíòàëüíîìó æåëîáó, ïåðåõîäÿùåìó â ïîëóîêðóæíîñòü ðàäèóñîì R (ðèñ.3). Ïðåíåáðåãàÿ òðåíèåì, íàéäèòå ðàññòîÿíèå ïî
ÎÒÂÅÒÛ,
Î
ÌÀÏÍÈÈÀßÄ, Û Ð Å Ø Å Í È ß
ÓË
ÊÈ
ÀÇ
ãîðèçîíòàëè x, íà êîòîðîì îêàæåòñÿ ýòî òåëî
ïîñëå îòðûâà îò æåëîáà. Èçâåñòíî, ÷òî
v02 > 4 gR .
#'
ïðîòèâëåíèåì êîòîðîãî ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, ïîêàçûâàåò òîê
I = 2 A?
4. Äâà êîíäåíñàòîðà, îäèí åìêîñòüþ Ñ, à äðóãîé åìêîñòüþ
2Ñ, âíà÷àëå áûëè ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèñîåäèíåíû ê èñòî÷íè-
11 êëàññ
1. Ðåøèòå çàäà÷ó 4
äëÿ 10 êëàññà.
2. Èç îäíîé òî÷êè
êîëüöåâîé ãîíî÷íîé òðàññû îäíîâðåìåííî, íî â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ ñòàðòóþò äâà ãîíî÷íûõ àâòîìîáèëÿ À
è Â. ×åðåç 20 ìèí àâòîìîáèëè ïðîåõàëè ìèìî äðóã äðóãà â
íåêîòîðîé òî÷êå Ñ. Íà ñêîëüêî ðàíüøå îêàæåòñÿ íà ìåñòå
ñòàðòà àâòîìîáèëü À, åñëè åãî ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü íà 25% âûøå
ñêîðîñòè àâòîìîáèëÿ Â?
3. Â öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 4, ïîääåðæèâàåòñÿ
ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå
U = 9 Â. Ïîñòîÿííîå è
ïåðåìåííîå ñîïðîòèâëåíèÿ îäèíàêîâû è ðàâíû
R = 12 Îì. Â êàêîì
îòíîøåíèè äåëèò ïîäâèæíûé êîíòàêò K ïåðåìåííîå ñîïðîòèâëåÐèñ. 4
íèå, åñëè àìïåðìåòð, ñîÐèñ. 3
Ðèñ. 5
êó ñ ïîñòîÿííûì íàïðÿæåíèåì U (ðèñ.5). Ïîñëå ïîëíîé
çàðÿäêè èõ îòñîåäèíèëè îò èñòî÷íèêà è ñîåäèíèëè îáêëàäêè
ñ îäíîèìåííûìè çàðÿäàìè, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå. Íà
ñêîëüêî óìåíüøèòñÿ ýíåðãèÿ êîíäåíñàòîðîâ ïîñëå òàêîãî
ñîåäèíåíèÿ?
5. Òåëî ìàññîé m è çàðÿäîì q óäåðæèâàþò íà ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè. Íàä ïîâåðõíîñòüþ íà âûñîòå h çàêðåïëåí
çàðÿä q. Ðàññòîÿíèå ïî ãîðèçîíòàëè îò òåëà äî òî÷êè,
ðàñïîëîæåííîé ïîä çàðÿäîì, ðàâíî L. Êàêóþ ìèíèìàëüíóþ
ãîðèçîíòàëüíóþ ñêîðîñòü v0 íåîáõîäèìî ñîîáùèòü òåëó,
÷òîáû îíî ïðîñêî÷èëî òî÷êó, ðàñïîëîæåííóþ ïîä çàêðåïëåííûì çàðÿäîì?
ÎÒÂÅÒÛ, ÓÊÀÇÀÍÈß, ÐÅØÅÍÈß
ÊÌØ
Çàäà÷è
(ñì. «Êâàíò» ¹2)
1. 7. Íåñëîæíî çàìåòèòü, ÷òî
135135 = 135 × 1001 = 1 × 3 × 5 × 9 × 7 × 11 × 13 .
2. Cóùåñòâóþò. Âîò ïðèìåð äâóõ ïîäõîäÿùèõ ÷èñåë:
1010010007 è 3000001006 – êàæäîå èç íèõ îïèñûâàåò âòîðîå.
Êàê ïîäîáðàòü òàêèå ÷èñëà? Íåòðóäíî ñîîáðàçèòü, ÷òî â êàæäîì òàêîì ÷èñëå ñóììà öèôð ðàâíà 10. Âîçüìåì ëþáîå äåñÿòèçíà÷íîå ÷èñëî ñ òàêîé ñóììîé öèôð è ñîñòàâèì âòîðîå ÷èñëî, ó êîòîðîãî ïåðâàÿ öèôðà ðàâíà êîëè÷åñòâó åäèíèö èñõîäíîãî ÷èñëà, âòîðàÿ – êîëè÷åñòâó äâîåê è ò.ä. Ïîòîì òàêèì æå
îáðàçîì íà îñíîâå âòîðîãî ÷èñëà ñîñòàâèì òðåòüå, çàòåì –
÷åòâåðòîå, ïÿòîå… Â êîíå÷íîì èòîãå ñ äîâîëüíî áîëüøèìè
øàíñàìè ìû îáíàðóæèì óêàçàííóþ ïàðó ÷èñåë.  ÷àñòíîñòè,
ê íèì ïðèâîäÿò «ñàìûå íàïðàøèâàþùèåñÿ» èñõîäíûå ÷èñëà
1000000009 èëè 1234000000. Êîíå÷íî, íå èñêëþ÷åíà âîçìîæíîñòü, ÷òî â ïîñòðîåííîé íàìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìû íàòêíåìñÿ íà óêàçàííîå â óñëîâèè ÷èñëî 2100010006. ×òî æ,
òîãäà ïðèäåòñÿ çàìåíèòü èñõîäíîå ÷èñëî.
Íàéòè äðóãèå «çàöèêëèâàíèÿ» èñõîäíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
íå óäàëîñü, õîòÿ âïîëíå âåðîÿòíî, ÷òî îíè ñóùåñòâóþò.
3. Ðåøåíèå îáåèõ çàäà÷ èñïîëüçóåò íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà.
à) Âåðíî âñåãäà. Èëè ê îäíîìó, èëè ê äðóãîìó êîíöó íàèáîëüøåãî ðåáðà ïèðàìèäû ïðèìûêàþò äâà äðóãèõ ðåáðà, èç
êîòîðûõ âìåñòå ñ ýòèì íàèáîëüøèì ðåáðîì ìîæíî ñîñòàâèòü
òðåóãîëüíèê.
á) Ïèðàìèäó ìîæíî ñîñòàâèòü íå âñåãäà. Íàïðèìåð, åñëè ñòîðîíû îäíîãî òðåóãîëüíèêà âûðàæàþòñÿ ÷èñëàìè 1000, 1002,
1004, à äëèíû âñåõ ñòîðîí äðóãîãî ðàâíû 1, òî èç ýòèõ øåñòè
îòðåçêîâ ñîñòàâèòü ïèðàìèäó
íå óäàñòñÿ: íèêàêèå äâà ðåáðà
èç ðàçíûõ òðîåê íå ìîãóò
èìåòü îáùèõ êîíöîâ.
4. Íå ñóùåñòâóþò. Î÷åâèäíî,
÷òî z > x, z > y. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè áóäåì ïîëàãàòü
x £ y < z . Òîãäà
x × 2x + y × 2y £ y × 2y +1 <
< y + 1 × 2y +1 £ z × 2z .
Ðèñ. 1
5. Îäíà èç âîçìîæíûõ ñõåì
äîðîã ïîêàçàíà íà ðèñóíêå 1.
Çäåñü äëÿ ëþáûõ òðåõ ïåðåêðåñòêîâ À,  è Ñ (À – ïåðåêðåñòîê, â êîòîðîì íàõîäèòñÿ Íåóëîâèìûé Äæî,  è Ñ – ïåðåêðåñòêè, â êîòîðûõ íàõîäÿòñÿ ïîëèöåéñêèå) ñóùåñòâóåò ÷åòâåðòûé ïåðåêðåñòîê D, ñîñåäíèé ñ À è íå ÿâëÿþùèéñÿ ñîñåäíèì äëÿ ïåðåêðåñòêîâ  è Ñ.
Êîíêóðñ «Ìàòåìàòèêà 6–8»
(ñì. «Êâàíò» ¹ 6 çà 2007 ã.)
11. Íåñëîæíî çàìåòèòü, ÷òî ÷èñëèòåëü êàæäîé äðîáè â óñëîâèè çàäà÷è äåëèòñÿ íà çíàìåíàòåëü. Íàïðèìåð,
x + y + z5 - x5 - y5 - z5 äåëèòñÿ íà õ + ó, ïîñêîëüêó
x + y + z 5 - z5 äåëèòñÿ íà (x + y + z) – z = x + y è x5 + y5
äåëèòñÿ íà x + y. Âîñïîëüçîâàâøèñü òîæäåñòâîì
x + y + z5 - z5 - y5 - z5 =
= 5 x + y y + z z + x x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx ,
ïåðåïèøåì ýòî óñëîâèå â âèäå
x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx = a 2 + b2 + c2 + ab + bc + ca ,
Скачать