Чуйкова Т. А. Модуль 5 Блок задач по теме «Элементы треугольника. Равнобедренный треугольник. Сумма углов треугольника.» Теория 1. Теорема сумма углов треугольника. 2. Свойство внешнего угла треугольника. 3. Соотношения между сторонами и углами треугольника. 4. Неравенство треугольника. 5. Определение равнобедренного треугольника. 6. Свойства равнобедренного треугольника. 7. Признаки равнобедренного треугольника. 8. Описанная окружность около треугольника. 9. Вписанная окружность в треугольник. 10.Площадь треугольника Справочный материал 1. Сумма углов треугольника равна 1800. 2. Внешний угол треугольника равен сумме углов несмежных с ним. 3. Против большего угла в треугольнике лежит большая сторона. Против большей стороны в треугольнике лежит больший угол. 4. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. 5. Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основание треугольника. 6. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.(свойство углов равнобедренного треугольника). В равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведенные к основанию, совпадают. (В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. 7. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. 8. Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника. 9. Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис углов треугольника. 10.Формулы площади треугольника B c h A a S= b b𝒉 𝟐 C B c 𝟏 a A S = ab𝐬𝐢𝐧 𝑪 𝟐 C a R b S= 𝒂𝒃𝒄 𝟒𝑹 , где R- радиус описанной окружности c S= 𝒓(𝒂+𝒃+𝒄) 𝟐 , где r- радиус вписанной окружности S=√𝒑(𝒑 − 𝒂)(𝒑 − 𝒃)(𝒑 − 𝒄) , 𝒑 = 𝒂+𝒃+𝒄 𝟐 Устная работа 1.Какой треугольник не изображен на рисунке. 1) прямоугольный 3) равносторонний 2) тупоугольный 4) равнобедренный В 2. ВD -биссектриса DВС = 350 А D С Сравнить отрезки АD и DС 3. Одна из сторон тупоугольного равнобедренного треугольника на 17см меньше другой. Найдите стороны этого треугольника, если его периметр равен 7см. 4. Стороны равнобедренного треугольника периметр этого треугольника. равны 10см и 25см. Найдите 5. Ключевая задача. (признак равнобедренного треугольника) Медиана треугольника является также его высотой. Докажите, что такой треугольник равнобедренный. В Дано: ВD – медиана и высота Доказать: АВ = ВС А 6. С D Ключевая задача. (признак равнобедренного треугольника) Биссектриса треугольника является его высотой. Докажите, что треугольник равнобедренный. В Дано: ВD – биссектриса и высота Доказать: АВ = ВС А D 7. Ключевая задача. С Доказать, что две высоты (биссектрисы) в равнобедренном треугольнике равны. 8. Ключевая задача. Доказать, что центр вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника лежат на высоте, а значит и на медиане и на биссектрисе, проведенной к основанию. Задачи для решения на уроке. 1. Биссектриса ВЕ треугольника АВС перпендикулярна медиане СМ. Найдите ВС, если АВ = 7. 2. В треугольнике АВС А = 300, ВH = DВ = DС. Найдите углы В и С треугольника АВС 3. Ключевая задача Один из углов треугольника равен α. Найдите угол между биссектрисами двух других углов. Дано: АВС АК и СК - биссектрисы В В=α Найти АКС К А Решение: КАС + С А + С = 180 – α по теореме сумма углов треугольника. 1 КСА = (180 – α) 2 1 𝛼 2 2 АКС = 180 - (180 – α) = 90 + . Ответ: 900 + 𝛼 2 4. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса АК. Найдите углы треугольника АВС, если известно, что угол АКВ равен 1320. В Дано: К А АВС АВ = ВС АК - биссектриса АКВ = 1320 С Найти: А, В, С Решение: КАС = х, тогда А = С = 2х по свойству углов равнобедренного треугольника. АКВ- внешний угол АКВ, то по свойству внешнего угла треугольника х + 2х = 1320. Отсюда х = 440. А = С = 880, 4 0. С = 180 – 176 = Ответ: 880, 880, 40 5. Ключевая задача Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. А Доказать: ВD АВ = DС АС В D C 6. В равнобедренном треугольнике основание и опущенная на него высота, равны 16. Найти радиус описанной около этого треугольника окружности. В 16 8 А Н С Решение: в треугольнике АВС – равнобедренном основание АС = 16, ВН = 16 – высота, проведенная к основанию АС (рис.). 1) АН = НС = 8 (по свойству равнобедренного треугольника). 2) Из треугольника ВНС – прямоугольного по теореме Пифагора ВС2 = ВН2 + НС2; ВС2 = 82 + 162 = (8 · 2)2 + 82 = 82 · 4 + 82 = 82 · 5; ВС = 8√5. 3) Рассмотрим треугольник АВС: по теореме синусов 2R = AB/sin C, где R – радиус описанной около треугольника АВС окружности. sin C = BH/BC (из треугольника ВНС по определению синуса). sin C = 16/(8√5) = 2/√5, тогда 2R = 8√5/(2/√5); 2R = (8√5 · √5)/2; R = 10. Ответ: 10 7. Длина высоты, проведенной к основанию равнобедренного треугольника, равна 36, а радиус вписанной окружности равен 10. Найти площадь треугольника. В О А Н С Решение. Пусть дан равнобедренный треугольник АВС. 1) Так как центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис, то О ϵ ВН и АО является биссектрисой угла А, а так же ОН = r = 10 (рис.). 2) ВО = ВН – ОН; ВО = 36 – 10 = 26. 3) Рассмотрим треугольник АВН. По теореме о биссектрисе угла треугольника АВ/АН = ВО/ОН; АВ/АН = 26/10 = 13/5, тогда пусть АВ = 13х и АН = 5х. По теореме Пифагора АВ2 = АН2 + ВН2; (13х)2 = 362 + (5х)2; 169х2 = 25х2 + 362; 144х2 = (12 · 3)2; 144х2 = 144 · 9; х2 = 9; х = 3, тогда АС = 2 · АН = 10х = 10 · 3 = 30. 4) SABC = 1/2 · (AC · BH); SABC = 1/2 · (36 · 30) = 540; Ответ: 540 Задачи для самостоятельной работы. 1. В равнобедренном треугольнике стороны равны 10 и 13. Найдите высоту, проведенную к боковой стороне треугольника. Ответ: 120 13 2. Вычислите площадь равнобедренного треугольника, если длина высоты, проведенная к боковой стороне, равна 12см, а длина основания равна 15см. Ответ: 75 см2 3. Найдите высоты треугольника со сторонами 10, 10 и 12. Ответ: 8; 9,6; 9,6 4. Найдите боковую сторону и площадь равнобедренного треугольника, если основание равно 18 см, а угол, противолежащий основанию, равен 1200. Ответ: 6√3 см, 27√3 см2 5. В равнобедренном треугольнике две стороны равны 5 и 20. Найти биссектрису угла при основании треугольника. Ответ: 6 6. Биссектриса АD треугольника АВС делит сторону ВС на отрезки СD и ВD, равные соответственно 4,5см и 13,5см. Найдите АВ и АС, если периметр треугольника АВС равен 42см. Ответ: АВ = 18см, АС = 6см.