программа ТМОx - Высшая школа экономики

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Московский институт электроники и математики Национального
исследовательского университета "Высшая школа экономики"
Факультет прикладной математики и кибернетики
Программа дисциплины
Теория массового обслуживания
для направления/ специальности 230401.65 «Прикладная математика»
Специализации: Математическое и программное обеспечение систем обработки информации и
управления
Математическое моделирование физико-механических систем и процессов
Применение математических методов к решению инженерных и экономических задач
Математическое и программное обеспечение систем управления
Автор программы:
Каштанов В.А., доктор физ.-мат. наук, профессор, VAKashtan@yandex.ru
Одобрена на заседании кафедры высшей математики «___»____________ 2012 г
Зав. кафедрой Кузьмина Л.И.
Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС] «___»____________ 2012 г
Председатель [Введите И.О. Фамилия]
Утверждена УС факультета прикладной математики и кибернетики «___»_____________2012 г.
Ученый секретарь [Введите И.О. Фамилия] ________________________ [подпись]
Москва, 2012
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления подготовки/ специальности 230401.65 «Прикладная математика», обучающихся по специализациям «Математическое и программное обеспечение систем обработки информации и управления», «Математическое моделирование физикомеханических систем и процессов», «Применение математических методов к решению инженерных и экономических задач», «Математическое и программное обеспечение систем управления», изучающих дисциплину «Теория случайных процессов».
.
Программа разработана в соответствии с:
 ГОС ВПО http://www.edu.ru/db-mon/mo/Data/d_09/prm722-1.pdf;
 Образовательной программой специальности 230401.65 «Прикладная математика»
 Рабочим учебным планом университета по специальности 230401.65 «Прикладная
математика», обучающихся по специализациям «Математическое и программное
обеспечение систем обработки информации и управления», «Математическое моделирование физико-механических систем и процессов», «Применение математических методов к решению инженерных и экономических задач», «Математическое и программное обеспечение систем управления», утвержденным в 2009 г.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Теория массового обслуживания» являются подготовка
выпускников к профессиональной деятельности в качестве исполнителей или менеджеров
младшего и среднего уровней, к проведению информационно-аналитической и научноисследовательской работы с возможностью продолжения обучения в аспирантуре или магистратуре.
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины




В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать
основные понятия теории массового обслуживания процессов, особенности моделей
массового обслуживания, методы анализа систем массового обслуживания;
основные принципы, методы и результаты современной теории вероятностей и математической статистики применительно к исследованию систем массового обслуживания;
свойства случайных процессов, описывающих системы массового обслуживания;
классификацию систем массового обслуживания.
 Уметь
 вычислять вероятностные характеристики, характеризующие качество функционирования систем массового обслуживания;
 использовать методы асимптотического анализа;
 строить физические и математические модели реально функционирующих систем массового обслуживания.
 Иметь навыки (приобрести опыт)
 использования методов анализа систем массового обслуживания;
 математической формализации прикладных задач;
 анализа и интерпретации решений соответствующих моделей.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Компетенция
стремится к саморазвитию, повышению своей
квалификации и мастерства
осознает
социальную
значимость своей будущей профессии, обладать высокой мотивацией к выполнению профессиональной деятельности
использует
основные
законы естественнонаучных дисциплин в
профессиональной деятельности,
применять
методы математического
анализа и моделирования, теоретического и
экспериментального исследования
способен
оформлять,
представлять и докладывать результаты выполненной работы
Код по Дескрипторы – основные признаки
ФГОС/ освоения (показатели достижения
НИУ
результата)
ОК-9
ОК-10
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
демонстрирует
саморазвитию,
стремление к Лекции-дискуссии, творческие задания, выдвижение гипотез студентами и
их анализ
представляет связи реальных Лекции-дискуссии, творслучайных процессов, протека- ческие задания, выдвижеющих во времени и модельных ние гипотез студентами и
процессов, изучаемых в теории их анализ
ОК-12
Дает определение основных
понятий, воспроизводит формулировку методов решения
стандартных задач, распознает
область применимости методов.
Владеет навыками математической формализации прикладных задач
Ознакомление с терминологией, формулировка типовых задач и методов их
решения
ОК-14
Использует стандартные математические модели, демонстрирует знание основных методов
решений, способность грамотно
и четко представлять результаты выполненной работы
Применяет математические модели безопасности и надежности
Решение типовых задач
соответствующими математическими методами,
творческие задания
Владеет методами анализа,
представляет связи стандартных и нестандартных постановок проблем
Анализирует и интерпретирует
решения соответствующих математических моделей
Решение задач в нестандартных формулировках,
комбинирование математических методов
владеет основными ме- ПК-10
тодами защиты производственного персонала
и населения от возможных последствий аварий,
катастроф, стихийных
бедствий
знает основные положе- ПК-11
ния, законы и методы
естественных наук; способностью
выявить
естественнонаучную
сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, готовностью использовать для их решения
соответствующий
естественнонаучный аппарат
3
Творческие задания, выдвижение гипотез студентами и их анализ
Творческие задания, выдвижение гипотез студентами и их анализ
Компетенция
Код по Дескрипторы – основные признаки
ФГОС/ освоения (показатели достижения
НИУ
результата)
способен самостоятель- ПК-14
но изучать новые разделы
фундаментальных
наук
4
Распознает тип поставленной
задачи, обосновывает применимость метода решения, применяет необходимый метод, интерпретирует полученный результат, оценивает влияние
внешних воздействий на полученное решение поставленной
задачи.
Демонстрирует
способность
самостоятельно изучать новые
разделы фундаментальных наук
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
Лекции-дискуссии, творческие задания, выдвижение гипотез студентами и
их анализ
Решение задач в нестандартных формулировках,
комбинирование математических методов
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу специальных дисциплин и блоку дисциплин,
обеспечивающих профессиональную подготовку.
Для всех специализаций настоящая дисциплина является базовой.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
 Математический анализ
 Линейная алгебра и аналитическая геометрия
 Дифференциальные уравнения
 Функциональный анализ
 Теория вероятностей и математическая статистика
 Теория случайных процессов
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
 Теорию пределов;
 Дифференциальное и интегральное исчисление;
 Теорию матриц;
 Решение систем линейных уравнений;
 Случайные величины, их характеристики, системы случайных величин, теория
меры;
 Предельные теоремы теории вероятностей.
 Процессы восстановления
 Теорию марковских процессов
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:
 Теория управления
 Методы оптимизации
 Теория игр и исследование операций
4
Тематический план учебной дисциплины
5
Аудиторные часы
Всего
№
Название раздела
1
Общая характеристика систем массового обслуживания. Элементы систем. Символика Кендалла
Исследование входного по-
2
тока.
3
Марковские системы массового обслуживания
4
Полумарковские системы
массового обслуживания
часов Лекции Семинары
Самостоя-
Практические
тельная
занятия
работа
2
2
0
0
12
4
4
4
18
6
6
6
18
6
6
6
50
18
16
16
0
5
6
Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
Текущий
(неделя)
Форма контроля
Параметры **
Контрольная работа
Промежуточный
Зачет
Курсовая работа
Итоговый
Экзамен
6.1
1 год
1
2
*
9
письменная работа 90
минут
*
устный экзамен 90 мин.
Критерии оценки знаний, навыков
Контрольная работа. По словесной формулировке задачи студент должен продемонстрировать способность: вводить необходимые математические обозначения, выбирать метод решения задачи, используя освоенные теоретические положения (теоремы, леммы, следствия), проводить числовые выкладки, делать практические выводы.
Курсовая работа не предусмотрена.
Зачет.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
При проведении зачета студент должен четко и точно формулировать доказываемые
утверждения (теоремы, леммы, следствия), корректно использовать теорию при решении конкретных учебных задач, при изложении всего материала студент должен владеть грамотной речью.
6.2
Порядок формирования оценок по дисциплине.
При оценке знаний студентов по курсу «Теория массового обслуживания» предложенная методика не используется.
На оценку студента за промежуточный и итоговый контроль влияет:
 умение четко и точно формулировать доказываемые утверждения (теоремы, леммы, следствия),
 корректно использовать теорию при решении конкретных учебных задач,
 при изложении всего материала студент должен владеть грамотной речью.
Преподаватель оценивает работу студентов на семинарских и практических занятиях: [Укажите, каким образом и что
оценивается на семинарских и практических занятиях, например, активность студентов в деловых играх, дискуссиях, правильность решения задач на семинаре и т.д.]. Оценки за работу на семинарских и практических занятиях преподаватель выставляет
в рабочую ведомость. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за работу на семинарских и практических занятиях определяется перед промежуточным или итоговым контролем - Оаудиторная.
Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: [Укажите, каким образом оценивается самостоятельная
работа, например, правильность выполнения домашних работ, задания для которых выдаются на семинарских занятиях (имеются ввиду домашние работы, которые не включаются в РУП, это не форма текущего контроля "Домашнее задание"), полнота освещения темы, которую студент готовит для выступления с докладом на занятии-дискуссии и т.д.]. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за
самостоятельную работу определяется перед промежуточным или итоговым контролем – Осам. работа.
Накопленная оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом:
Онакопленная= k1* Отекущий + k2* Оауд + k3* Осам.работа
6
где
Отекущий рассчитывается как взвешенная сумма всех форм текущего контроля, предусмотренных в РУП
Отекущий = n1·Оэссе + n2·Ок/р + n3·Ореф + n4·Окол + n5·Одз ;
[Оставьте те формы текущего контроля, которые предусмотрены в РУП. сумма удельных весов должна быть равна
единице: ∑ni = 1] Способ округления накопленной оценки текущего контроля: [указывается способ – арифметический, в пользу
студента, другое].
Результирующая оценка за дисциплину рассчитывается следующим образом:
1.
Если дисциплина преподается один модуль:
Орезульт = k1* Онакопл + k *·Оэкз/зач
Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме зачета: [указывается способ –
арифметический, в пользу студента, другое].
2.
Если дисциплина преподается несколько модулей (например, 3):
Опромежуточная i = m1·Отекущая i этапа + m2·Опромежуточный зачет/экзамен
Где Отекущая i этапа рассчитывается по приведенной выше формуле
Онакопленная Итоговая= (Опромежуточная 1+ Опромежуточная 2+ Онакопленная 3):на число модулей
Где Опромежуточная 1+ Опромежуточная 2 – промежуточные оценки этапов 1 и 2,
а Онакопленная 3 – накопленная оценка последнего этапа перед итоговым зачетом/экзаменом
Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме экзамена: [указывается способ
– арифметический, в пользу студента, другое].
[Сумма удельных весов должна быть равна единице: ∑mi = 1, при этом, 0,2 ≤ m1 ≤ 0,8 (согласно Положению об организации контроля знаний, утвержденному УС НИУ ВШЭ от 29. 06.2012,протокол №38, приказ "О введении в действие
новой редакции Положения об организации контроля знаний" № 6.18.1-06/2307-03 от 23.07.2012 г.)]
[Далее, по желанию автора, определите, может ли студент получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль или работу на занятиях, самостоятельную работу]
На пересдаче студенту не предоставляется возможность получить дополнительный балл для компенсации оценки за
текущий контроль.
На зачете студент может получить дополнительный вопрос (дополнительную практическую задачу, решить к пересдаче домашнее задание), ответ на который оценивается в 1 балл.
На экзамене студент может получить дополнительный вопрос (дополнительную практическую задачу, решить к пересдаче домашнее задание), ответ на который оценивается в 1 балл.
[Оставьте те оценки, которые учитываются при выставлении результирующей оценки за промежуточный или итоговый контроль. Сумма удельных весов должна быть равна единице: ∑ki = 1, при этом, 0,2 ≤ k1 ≤ 0,8 После всех формул в обязательном порядке приводится способ округления полученного результата.]
[Только для многомодульных дисциплин, по которым предусмотрен промежуточный контроль, укажите один из предложенных вариантов формирования оценки, которая идет в диплом]
В диплом выставляет результирующая оценка по учебной дисциплине, которая формируется по следующей формуле:
Орезульт = k1·Онакопл + k2·Оитоговый
Способ округления результирующей оценки по учебной дисциплине: [указывается способ – арифметический, в пользу
студента, другое].
ВНИМАНИЕ: оценка за итоговый контроль блокирующая, при неудовлетворительной итоговой оценке она равна
результирующей.
7
7
Содержание дисциплины
Раздел 1. Общая характеристика систем массового обслуживания. Элементы систем. Символика Кендалла.
Вводные замечания. Характерные особенности систем массового обслуживания: входной поток, обслуживающие приборы, очередь, дисциплина очереди. Примеры систем массового
обслуживания. Примеры входных потоков, примеры дисциплины очереди. Символика Кендалла.
Количество часов аудиторной работы –2 часа (лекции).
Литература по разделу:
1.
Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания. –
М.: URSS, 2012.
2.
1.
Раздел 2. Исследование входного потока.
Определение свойств потоков
Стационарность P{ (t   )   (t )  k )}  k ( )
2. Отсутствие последействия
P{ A,  (t   )   (t )  k}  P{ (t   )   (t )  k / A}P{ A}  k ( ) P{ A}
3. Ординарность
 ( )  o( )
k 2
k
Лемма. Если поток стационарен с отсутствием последействия, то
0 (t )   t  e  t ln  e  t
Доказательство.
1
0 (1)   , [0 (n 1 )]n   , 0 ( n 1 )   n , 0    1
k
0 (kn 1 )  [0 (n 1 )]k   n
k 1
k
t  ,
n
n

k 1
n
k
 0 ((k  1)n 1 )  0 (t )  0 (kn 1 )   n
0 (t )   t  e t ln  e  t
Параметр потока (определение)
1  0 (t )

t 
t
Теорема. Если входной поток стационарен, то
1  0 (t )
lim

t 
t
Доказательство. Функция w( x)  - вероятность того, что на интервале длины икс появится хотя бы одно требование. Пусть x, y, x  y  (0, a). Так как w( x  y )  w( x)  w( y ) , то
a
w( )
a w(a )
w(a)  mw( ),
 m
a
m
a
m
w( x) w(a )

 const
Тогда   sup lim
x
a
x 
w(t )  1  0 (t ), lim
8
w(c)
c
c
 ,
x
c
m
m 1
c
c
c
w( )
w( )
mw( )
w( x)
m

1
m

1
m 
m  m  1 w(c)  (1  1 )(   )
 m 
c
c
x
m
m
c
m
c
m
m 1
m
w(c)
c
c
 A,
x
При   
c
m
m 1
c
c
c
w( )
w( )
mw( )
w( x)
m 1 m
m 1
m  m  1 w(c)  (1  1 ) A
 m 

c
c
x
m
m
c
m
c
m
m 1
m
При    существует c>0
Определение интенсивности:
интенсивность – математическое ожидание числа требований, поступивших за единицу
времени.

w( x)
, t  H (t )   kk (t )
x 
x
k 0
Теорема. Если стационарный поток имеет конечную интенсивность    , то равенство    влечет за собой ординарность
Очевидное неравенство
   ,   H (1),   lim
Доказательство.


k 0
k 1
t   kk (t ), t  k (t )  o(t ),



k 2
k 2
k 2
 (k  1)k (t )  o(t ), 0  k (t )   (k  1)k (t )  o(t )
ФУНКЦИИ ПАЛЬМА-ХИНЧИНА
w(t )  1  0 (t ) вероятность того, что на интервале длины t появится хотя бы одно требование
H k ( , t ) - вероятность того, что на интервале длины t появятся не более k требований, а
не смежном интервале длины тау по крайней мере одно требование
H k ( , t )
h ( , t )
, k (t )  lim k
  k (t )   k 1 (t )
 0 w( )
 0 w( )
hk ( , t )  H k ( , t )  H k 1 ( , t )
 k (t )  lim
Существование доказывается аналогично существованию параметра.
Формулы Пальма-Хинчина (для стационарного и ординарного потока с конечным параметром).
k
k (  t )   P{n1  r , n2  k  r}  P{n1  0, n2  k}  P{n1  1, n2  k  1}  o( )
r 0
k (t )  P{n1  0, n2  k}  P{n1  0, n2  k},
P{n1  0, n2  k}  k (t )  P{n1  0, n2  k}  k (t )  hk ( , t ),
P{n1  1, n2  k  1}  P{n1  0, n2  k  1}  P{n1  1, n2  k  1}  hk 1 ( , t )  o( ),
k (  t )  k (t )  hk ( , t )  hk 1 ( , t )  o( )
9
Теорема Зеделя.
Теорема Королюка.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ. На практических занятиях решаются учебные задачи
по темам:

По физическому описанию свойств потоков.

Исследование свойств пуассоновского потока,

Исследование свойств рекуррентного потока.
Количество часов аудиторной работы – лекции 6 часов, практические занятия 4 часа.
Литература по разделу:
1. Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания. – М.:
URSS, 2012.
2. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: URSS,
2005.
3. Кокс Д.Р. и Смит В.Л. Теория восстановления. М.: Советское радио, 1967. – 300с.
Раздел 3. Марковские системы массового обслуживания.
Построение марковского процесса, описывающего эволюцию системы M/M/n/∞:
 Исследование интенсивностей перехода,
 Построение уравнений Колмогорова,
 Решение для стационарного случая,
 Исследование условий регулярности,
 Исследование характеристик очереди,
 Исследование времени пребывания в системе.
Построение марковского процесса, описывающего эволюцию системы M/M/n/N:
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ. На практических занятиях решаются учебные задачи
по темам:



Построение марковского процесса, описывающего эволюцию системы M/M/n/∞ при
различных n,
Построение марковского процесса, описывающего эволюцию системы M/M/n/N при
различных n и N.
Примеры моделей надежности.
Количество часов аудиторной работы – лекции 12 часов, практические занятия 12 часов.
Литература по разделу:
1. Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н. Теория массового обслужива-
ния. – М.: URSS, 2012.
2. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания.
М.: URSS, 2005.
3. Карлин С. Основы теории случайных процессов. М.: Мир, 1971-536с.
10
Раздел 4. Полумарковские системы массового обслуживания.
Определение полумарковских процессов
Исследование системы M/G/1/∞
 Метод вложенных цепей Маркова. Основной закон стационарной очереди
 Исследование периода занятости,
 Исследование времени начала обслуживания.
Анализ приоритетной системы с абсолютным приоритетом.
Количество часов аудиторной работы – лекции 12 часа, практические занятия 12 часов.
Литература по разделу:
1. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. Изд. 3-е,
испр. и доп. М.: КомКнига, 2005. – 400с.
2. Каштанов В.А., Ивченко Г.И., Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания: Учебное
пособие. Издание 2-е, испр. и доп. – М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2012. – 304 с.
3. Каштанов В.А. Элементы теории случайных процессов, Москва, МИЭМ, 2010
8
Образовательные технологии
При проведении лекций используются различные виды учебной работы, в том числе
дискуссии по исследуемым проблемам, обсуждение различных гипотез, выдвигаемых студентами относительно возможных математических результатов, теоретическое обсуждение заданий, выполняемых в рамках самостоятельной работы.
При проведении практических занятий осуществляется разбор практических и учебных
задач.
8.1
Методические рекомендации преподавателю
Рекомендуется следующая структура практического занятия:
 Напоминание студентам о теоретических положениях (теоремах, следствиях,
леммах), на которых базируются решения практических и учебных задач.
 Обратить внимание студентов на проверку условий допустимости использования
данных теоретических положений
 По завершении решения задачи, обратить внимание студента на необходимость
сделать окончательный практический вывод.
Методические указания студентам
Каждому студенту выдается литература, изданная в типографии МИЭМ и в центральных
изданиях.
8.2
9
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Тематика заданий текущего контроля
Контрольная работа. Тема: марковские модели массового обслуживания. Пуассоновский
входящий поток и экспоненциальное распределение времени обслуживания. Построение и исследование свойств процесса, описывающего эволюцию системы массового обслуживания (доказательство марковского свойства). Определение показателей качества функционирования системы массового обслуживания.
9.1
11
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Примерный перечень вопросов к зачету по курсу
9.2
1. Описать характерные особенности систем массового обслуживания.
Описать входной поток, структуру системы и дисциплину очереди.
Привести примеры систем массового обслуживания.
Привести примеры входных потоков, примеры дисциплины очереди.
Классификация систем массового обслуживания. Символика Кендалла.
2. Дать определения свойств входящих потоков (стационарность, отсутствие последействия,
ординарность). Сформулировать лемму о существовании параметра. Соотношение интенсивности и параметра. Определить функции Пальма-Хинчина. Сформулировать теоремы Зеделя и Королюка.
3. Процессы восстановления
Определение простого процесса восстановления и процесса восстановления с запаздыванием
4. Пуассоновский процесс и его свойства
5. Марковские процессы с непрерывным временем и дискретным множеством состояний.
Процессы гибели и размножения
6. Построить марковский процесс, описывающий эволюцию систем M/M/n/∞ и M/M/n/N.
Исследовать интенсивности перехода. Выписать уравнения Колмогорова, решить уравнения для стационарного случая. Сформулировать условия регулярности процесса обслуживания. Исследовать характеристики очереди и времени пребывания в системе.
7. Определение полумарковских процессов.
8. Исследование системы M/G/1/∞ Метод вложенных цепей Маркова.
9. Основной закон стационарной очереди
10. Исследование периода занятости.
11. Исследование времени начала обслуживания.
12. Анализ приоритетной системы с абсолютным приоритетом.
10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10.1 Базовый учебник
1.
Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. Изд. 3-е, испр.
и доп. М.: КомКнига, 2005. – 400с.
2.
Каштанов В.А., Ивченко Г.И., Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания: Учебное
пособие. Издание 2-е, испр. и доп. – М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2012. – 304 с.
10.2 Основная литература
1.
2.
3.
4.
Кокс Д.Р. и Смит В.Л. Теория восстановления. М.: Советское радио, 1967. – 300с.
Карлин С. Основы теории случайных процессов. М.: Мир, 1971-536с.
Кемени Дж., Снелл Дж. Конечные цепи Маркова. Пер. с англ. - М.: Наука, 1970. – 265 с.
Кемени Дж., Снелл Дж., Кнепп А. Счетные цепи Маркова. Пер. с англ. - М.: Наука, 1987.
– 416с.
12