Приближенное вычисление значения суммы сходящегося ряда
реклама
Приближенное вычисление значения суммы сходящегося ряда
Задача Найти приближенное значение суммы сходящегося ряда
y
a
n 0
n
n
, общий член которого имеет вид an x / n! . Суммирование
прекратить, как только очередное слагаемое станет по абсолютной величине
меньше eps (0< eps< 1).
x x2 x3
y 1
...
1! 2! 3!
Входные данные:
x – значение, при котором вычисляется y,
eps – константа для оценки величины члена ряда
Выходные данные:
y – приближённое значение суммы ряда.
Промежуточные переменные: an – очередной член ряда,
n – целочисленная переменная обозначает номер очередного члена
ряда.
Метод решения
Вычисление суммы y
a
n 0
n
сходящегося ряда осуществляется
на основе рекуррентного соотношения:
yn yn1 an ,
y 0 a0
Для получения
n 1,2,...
рекуррентной зависимости, используемой при
вычислении очередного члена ряда, находят отношение следующего члена
ряда к предыдущему:
an
x n (n 1)! x 1 2 ...(n 1) x
,
a n 1
1 2 ... n
n
n!x n 1
откуда
a n an 1 x / n , n=1,2,… ,
a 0 =1, n=0.
Описание алгоритма
В цикле на каждой итерации
– проверяется абсолютная величина очередного члена суммы ряда:
|an| > eps,
– если условие выполняется, то слагаемое прибавляется к сумме,
определяется
значение
следующего
члена
ряда,
и
вычисления
продолжаются,
– если условие |an| > eps не выполняется, то завершается подсчёт
суммы.
Текст программы
program Row1;
var x, y, an, eps :real;
n:integer;
begin
writeln('введите x и eps');
readln(x,eps);
y:=0;
n:=0;
an:=1;
while abs(an)>eps do
begin
y:=y+an;
n:=n+1; an:=an*x/n
end;
writeln('сумма=', y:12:7)
end.
При нахождении суммы ряда следует
использовать рекуррентную
формулу для нахождения следующего члена ряда (если рекуррентная
зависимость существует).
Например, при вычислении суммы
s=1+1/2 2 +1/3 3 +…
an=1/i 2
отношение следующего члена ряда к предыдущему имеет вид:
1
2
an
i
;
1
an _ 1
(i 1) 2
(i 1) 2
an
(i 1) 2
;
an=an_1
, n=2, 3, …
an _ 1
i2
i2
a1=1;
Но в этом примере проще an вычислять, не пользуясь выведенной
зависимостью , а по формуле
an=1/i
2
Задания
Найти приближенное значение функции y=f(x), используя ее разложение в ряд.
Суммирование прекратить, как только модуль очередного слагаемого станет меньше eps,
(0 < eps << 1). Проверить полученный результат, используя соответствующую
стандартную функцию.
e x ex
x3
x5
x7
x
...
1) y shx
2
3!
5!
7!
e x ex
x2
x4
x6
1
...
2) y chx
2
2!
4!
6!
x2
x3
x4
...
3) y ln( 1 x) x
2
3
4
для 1 x 1
4 ) y ln x ( x 1)
( x 1) 2 ( x 1) 3 ( x 1) 4
...
2
3
4
для 0 x 2
x 1 ( x 1) 3
( x 1) 5
...
5) y ln x 2
3
5
5 ( x 1)
x 1 3 ( x 1)
1 1 x
x3
x5
x7
x
...
6) y arthx ln
2 1 x
3
5
7
7)
y arthx
1
x 1 1
1
1
1
ln
...
2
x 1 x 3x 3 5 x 5 7 x 7
x3
x5
x7
...
8) y arctgx x
3
5
7
9)
y arctgx
2
10) y arctgx
2
1
1
1
1
...
x 3 x 3 5 x5 7 x 7
1
1
1
1
...
x 3 x3 5 x5 7 x 7
для x 0
для x 1
для x 1
для x 1
для x 1
для x 1
2
3
x 2 x2
2 4 x2 2 4 6 x2
y
arctgx
1
...
11)
1 x 2 3 1 x 2 3 5 1 x 2 3 5 7 1 x 2
y arcsin x arctg (
12)
x
1 x2
) x
1 x3 1 3 x5 1 3 5 x7
...
2 3
24 5
246 7
для x 1
1 x3 1 3 x5 1 3 5 x7
y arsh x ln( x 1 x ) x
...
2
3
2
4
5
2
4
6
7
13)
для x 1
2
y arsh x ln( x 1 x 2 ) ln( 2 x)
14)
15)
1
1 3
1 3 5
...
2
4
2 2x
2 4 4x
2 4 6 6x6
для x 1
y arsh x ln( x 1 x 2 ) ln 2 x
1
1 3
1 3 5
...
2
4
2 2x
2 4 4x
2 4 6 6x6
для x 1
1
1 1
1
1 3
1 3 5
y arcsch x ln 1 2
...
3
5
7
x
x
x
2
3
x
2
4
5
x
2
4
6
7
x
16)
для x 1
1
1
2 1 x 2 1 3 x 4 1 3 5 x 6
y arcsch x ln 1 2 ln
...
x 22 244 2466
x
17)
x
для 0 x 1
1
1
2 1 x 2 1 3 x 4 1 3 5 x 6
y arcsch x ln 1 2 ln
...
x
x
2
2
2
4
4
2
4
6
6
x
18)
для 1 x 0
m
19) y (1 x) 1 m x
m (m 1) 2 m (m 1) (m 2) 3 m (m 1) (m 2) (m 3) 4
x
x
x ...
2!
3!
4!
для натурального m
m
20) y (1 x) 1 m x
m (m 1) 2 m (m 1) (m 2) 3 m (m 1) (m 2) (m 3) 4
x
x
x ...
2!
3!
4!
для любого действительного m и | x |<1
