Алгебраическая теория дискретных систем Специальность

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского
Факультет компьютерных наук и информационных технологий
УТВЕРЖДАЮ
___________________________
"__" __________________20__ г.
Рабочая программа дисциплины
Алгебраическая теория дискретных систем
Специальность
090301 Компьютерная безопасность
Специализация
Математические методы защиты информации
Квалификация выпускника
Специалист
Форма обучения
очная
Саратов,
2012
1. Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины являются: овладение основными идеями и
алгебраическими методами современной теории дискретных систем, которые
являются основой теории информационных систем и имеют широкие приложения
к компьютерной науке и криптографии.
Задачами дисциплины являются: углубление математического образования и
развитие практических навыков в области прикладной математики и
информатики; формирование у студентов научного представления об основных
положениях, понятиях и достижениях современной алгебры и дискретной
математики; изучение теоретических основ информатики и криптографии;
освоение современных методов компьютерной науки и защиты информации.
2. Место дисциплины в структуре ООП
Данная учебная дисциплина входит в
естественнонаучный цикл. Вариативная часть».
раздел
«Математический
и
Для изучения дисциплины необходимы компетенции, знания, умения и
готовности, сформированные у обучающихся в результате освоения курсов,
входящих в базовую и вариативную части математического и естественного цикла
ООП: «Математический анализ», «Алгебра», «Геометрия», «Математическая
логика и теория алгоритмов», «Дискретная математика», «Теория информации»,
«Формальные языки и грамматики», «Теория автоматов». В ходе изучения
дисциплины происходит систематизация и обобщение знаний, полученных при
освоении указанных математических курсов, их роли в системе математических
наук, реализуется профессиональная направленность образовательного процесса.
Компетенции, знания, умения и готовности, сформированные у
обучающихся в результате освоения данной дисциплины, могут быть полезны при
изучении следующих курсов: «Криптографические методы защиты информации»,
«Введение в криптоанализ», «Криптографические протоколы», «Методы
алгебраической геометрии в криптографии», «Нейронные сети», «Теория
псевдослучайных генераторов».
3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины у студента должны сформироваться или
закрепиться следующие общекультурные компетенции (ОК):

способность логически верно, аргументировано и ясно строить
устную и письменную речь на русском языке, готовить и редактировать тексты
профессионального назначения, публично представлять собственные и известные
научные результаты, вести дискуссии (ОК-7);

способность к логически-правильному мышлению, обобщению, анализу,
критическому осмыслению информации, систематизации, прогнозированию,
постановке исследовательских задач и выбору путей их решения на основании
принципов научного познания (ОК-9);
В результате освоения дисциплины у студента должны сформироваться или
закрепиться следующие профессиональные компетенции (ПК):
общепрофессиональные:

способность выявлять естественнонаучную сущность проблем,
возникающих в ходе профессиональной деятельности, и применять
соответствующий физико-математический аппарат для их формализации, анализа
и выработки решения (ПК-1);

способность применять математический аппарат, в том числе с
использованием вычислительной техники, для решения профессиональных задач
(ПК-2);

способность понимать сущность и значение информации в развитии
современного общества, применять достижения современных информационных
технологий для поиска и обработки больших объемов информации по профилю
деятельности в глобальных компьютерных системах, сетях, в библиотечных
фондах и в иных источниках информации (ПК-3);

способность применять методологию научных исследований в
профессиональной деятельности, в том числе в работе над междисциплинарными
и инновационными проектами (ПК-4);
 способность учитывать современные тенденции развития информатики и
вычислительной
техники,
компьютерных
технологий
в
своей
профессиональной деятельности (ПК-7);

способность использовать языки и системы программирования,
инструментальные средства для решения различных профессиональных,
исследовательских и прикладных задач (ПК-9);

способность формулировать результат проведенных исследований в виде
конкретных рекомендаций, выраженных в терминах предметной области
изучавшегося явления (ПК-10).
В области научно-исследовательской деятельности:
способность осуществлять подбор, изучение и обобщение научнотехнической информации, нормативных и методических материалов по методам
обеспечения информационной безопасности компьютерных систем (ПК-14);

способность применять современные методы и средства исследований
для обеспечения информационной безопасности компьютерных систем (ПК-15);

способность
готовить
научно-технические
отчеты,
обзоры,
публикации по результатам выполненных работ (ПК-17).

В области проектной деятельности:
 способность участвовать в разработке проектной документации (ПК-22).
В области контрольно-аналитической деятельности:
способность обосновывать правильность выбранной модели решения
профессиональной задачи, сопоставлять экспериментальные данные и
теоретические решения (ПК-28).

В области организационно-управленческой деятельности:

способность организовывать работу малых коллективов исполнителей,
находить и принимать управленческие решения в сфере профессиональной
деятельности (ПК-30);

способность разрабатывать оперативные планы работы первичных
подразделений (ПК-31).
В области эксплуатационной деятельности:

способность разрабатывать и составлять инструкции и руководства
пользователей по эксплуатации средств обеспечения информационной
безопасности компьютерных систем и аппаратно-программных средств защиты
информации (ПК-38).
Для обучающихся по специализация № 2 «Математические методы защиты
информации»:
способность ориентироваться в современных и перспективных
математических методах защиты информации, оценивать возможность и
эффективность их применения в конкретных задачах защиты информации (ПСК2.1);

способность строить математические модели для оценки безопасности
компьютерных систем и анализировать компоненты системы безопасности с
использованием современных математических методов (ПСК-2.2);
 способность
моделировать алгоритмы в системах компьютерной
математики, оценивать их работоспособность и эффективность (ПСК-2.4);
 способность разрабатывать, анализировать и обосновывать адекватность
математических моделей процессов, возникающих при работе программноаппаратных средств защиты информации (ПСК-2.6).

В результате освоения дисциплины обучающийся должен
Знать:

основные понятия и методы современной дискретной математики;

основные понятия и методы современной общей алгебры;

алгебраические методы теории дискретных систем.

прикладные задачи, приводящие к основным теоретическим проблемам современной компьютерной науки.
Уметь:
разрабатывать концептуальные и теоретические модели решаемых
научно-практических проблем и задач в области дискретной математики и ее
приложений к компьютерным наукам;


логически-правильно мыслить, обобщать, анализировать, критически
осмысливать информацию, систематизировать, прогнозировать, ставить
исследовательские задачи и выбирать пути их решения на основании принципов
научного познания;

самостоятельно применять методы и средства познания, обучения и
самоконтроля для приобретения новых знаний и умений;

выявлять естественнонаучную сущность проблем, возникающих в
ходе профессиональной деятельности, и применять соответствующий физикоматематический аппарат для их формализации, анализа и выработки решения;

применять методологию научных исследований в профессиональной
деятельности, в том числе в работе над междисциплинарными и инновационными
проектами.

применять алгебраический аппарат, в том числе с использованием вычислительной техники, при исследовании дискретных систем;

разрабатывать эффективные вычислительные алгоритмы для криптографических приложений.
Владеть:
научным мировоззрением, профессиональной культурой и научноисследовательскими навыками IT-специалиста;

логикой развития математических методов и идей;

навыками публичного представления информации (проект, доклад,
презентация, стендовый доклад);

современными алгебраическими методами реализации решений в области
теории дискретных систем и информационных технологий по профильной
специальности 090301 Компьютерная безопасность.

4. Структура и содержание дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетных единицы 144 часа.
№
п/п
Раздел
дисциплины
Семестр
Неделя
семестра
1
Введение
в
универсальную
алгебру
Комбинаторная
теория полугрупп
Комбинаторная
теория групп
9
1-2
Ле:4
П:
Ла:6
С:4
9
3-6
Ле:8
П:
Ла:8
С:7
9
7-10
Ле:8
П:
Ла:6
С:6
2
3
Виды учебной работы,
включая
самостоятельную работу
студентов и
трудоемкость (в часах)
Формы текущего
контроля
успеваемости (по
неделям
семестра)
Формы
промежуточной
аттестации (по
семестрам)
Контрольная
работа №1
на 10 неделе
4
5
Комбинаторная
теория полей
Алгебраическое
распознавание
языков
Промежуточная
аттестация
Итого:
9
11-13
Ле:6
П:
Ла:6
С:6
9
14-17
Ле:8
П:
Ла:8
С:8
9
1-17
Л:34
П:
Ла:34
С:31
Контрольная
работа №2
на 17 неделе
Экзамен
45
Раздел «Введение в универсальную алгебру». Алгебра отношений: классификация отношений и операции над отношениями. Задание бинарных отношений
(предикатное, графическое и матричное). Произведение бинарных отношений, его
ассоциативность. Отношение эквивалентности и фактор-множество. Отношение
порядка и упорядоченные множества. Решетки и системы замыканий. Алгебраические операции, алгебры и алгебраические системы. Порождающие множества,
подалгебры и фактор-алгебры. Гомоморфизмы и изоморфизмы алгебр. Декартовы
произведения алгебр.
На практических занятиях: Способы задания бинарных отношений и
алгоритмы вычисления операций над отношениями. Свойства операций над
бинарными отношениями. Доказательство свойств бинарных отношений.
Построение фактор-множества. Построение диаграмм упорядоченных множеств и
решеток.
Алгоритмы
вычисления
замыканий
бинарных
отношений.
Классификация свойств алгебраических операций, алгебр и алгебраических
систем. Алгоритмы вычисления подалгебры, конгруэнции алгебры и факторалгебры. Построение гомоморфизмов, изоморфизмов и декартовых произведений
алгебр.
Раздел «Комбинаторная теория полугрупп». Основные понятия теории
полугрупп. Симметрическая полугруппа бинарных отношений, ее специальные
элементы. Приложения полугрупп бинарных отношений к анализу
криптографических свойств преобразований информации. Симметрическая
полугруппа преобразований, ее специальные элементы. Подполугруппа,
порождающие элементы. Морфизмы полугрупп. Теорема Кэли о представлении
полугрупп преобразованиями. Конгруэнции, фактор-полугруппы и основные
теоремы о гомоморфизмах. Идеалы полугрупп и отношения Грина. Строение
конечных полугрупп. Свободные полугруппы и определяющие отношения.
Копредставления полугрупп. Конструирование полугрупп. Подполугруппы
свободных полугрупп и коды.
На практических занятиях: Алгоритм проверки ассоциативности бинарной
операции. Доказательство свойств операций и элементов полугрупп. Вычисление
числовых характеристик полугрупп и их элементов. Анализ криптографических
свойств преобразований информации с помощью полугрупп бинарных
отношений. Описание идеалов и отношений Грина полугруппы преобразований.
Построение подполугрупп, фактор-полугрупп и декартовых произведений
полугрупп. Представление полугрупп преобразованиями. Полугруппа слов и
копредставление полугрупп (циклическая
Алгебраические свойства кодов.
и
бициклическая
полугруппы).
Раздел «Комбинаторная теория групп». Основные понятия теории групп.
примеры. Симметрическая группа перестановок, ее специальные элементы.
Подгруппы, порождающие элементы. Порядок элемента группы, его свойства.
Циклические группы, их описание. Морфизмы групп. Теорема Кэли о
представлении групп перестановками. Разложение группы по подгруппе и
теорема Лагранжа. Нормальные делители и фактор-группы. Построение
гомоморфизмов групп, фактор-групп и декартовых произведений групп.
Полугруппа слов и копредставление групп. Теория перечисления Пойа: цикловой
индекс группы перестановок множества, транзитивные множества группы
перестановок и лемма Бернсайда, классы эквивалентных отображений, перечень
фигур и конфигураций, теорема Пойа о перечне классов эквивалентных
конфигураций.
На практических занятиях: Доказательство свойств операций и элементов
групп. Вычисление числовых характеристик групп и их элементов. Построение
подгрупп, фактор-групп и декартовых произведений групп. Представление групп
перестановками. Построение копредставлений групп. Вычисление групп
симметрий геометрических фигур. Вычисление циклового индекса группы
перестановок множества и классов эквивалентных отображений. Решение
комбинаторных задач с помощью теории Пойа.
Раздел «Комбинаторная теория полей». Основные понятия теории колец:
кольцо, область целостности и поле. Поле частных области целостности.
Отношение делимости в кольцах. Идеалы и фактор-кольца. Гомоморфизмы колец
и теорема о гомоморфизмах. Главные идеалы. Простые элементы области
целостности. Кольца главных идеалов, факториальные и евклидовы кольца.
Конечные поля. Теорема о примитивном корне. Характеристика поля.
Алгебраические и трансцендентные элементы над конечным полем. Простые
поля. Строение конечных полей. Неприводимые многочлены и разложение
многочленов над конечными полями. Построение поля Галуа. Алгебраическое
построение комбинаторных блок-схем. Приложения конечных полей к теории
рекуррентных последовательностей.
На практических занятиях: Доказательство свойств операций и элементов
колец. Построение подколец и идеалов, порожденных множествами элементов
кольца, гомоморфизмов колец и фактор-колец. Доказательство свойств колец, в
основе которых лежит понятие делимости элементов кольца. Построение
алгебраических расширений полей. Построение полей Галуа. Построение
комбинаторных блок-схем с помощью конечных полей. Построение линейных
рекуррентных последовательностей с помощью конечных полей.
Раздел «Алгебраическое распознавание языков». Формальные языки
конечных слов. Распознавание формальных языков полугруппами и автоматами.
Описание языков рациональными выражениями. Определение языков
логическими
формулами.
Теорема
Клини-Нероуда-Майхилла-Буши
о
эквивалентности альтернативных подходов к распознаваемым языкам. Потоки
распознаваемых языков и псевдомногообразия конечных полугрупп. Иерархии
распознаваемых языков. Понятие –полугруппы и разновидности автоматов
(Буши, Мюллера и др.). Алгебраическое распознавание языков бесконечных слов:
распознавание языков –полугруппами и автоматами, описание языков
рациональными выражениями и определение языков логическими формулами.
Сравнение альтернативных подходов к распознаваемым языкам бесконечных слов.
Общее понятие алгебраической распознаваемости множеств дискретных
структур.
На практических занятиях: Простейшие операции над автоматами и их
свойства. Распознавание формальных языков автоматами. Моноиды переходов
автоматов и распознавание формальных языков полугруппами. Описание языков
рациональными выражениями. Определение языков логическими формулами.
Важные классы распознаваемых языков.
На лабораторных занятиях студенты с преподавателем разбирают примеры
решения типовых задач из [2,3,8,10,14,16,17,19] и затем под руководством
преподавателя самостоятельно выполняют задания из учебно-методических
пособий [8,10,16,17,19] с практической реализацией основных алгоритмов теории
дискретных систем в форме компьютерных программ с использованием системы
компьютерной алгебры GAP (Группы, алгоритмы и программирование) и языков
программирования высокого уровня.
5. Образовательные технологии
Рекомендуемые образовательные технологии: мультимедийные лекции,
лабораторные занятия в компьютерной лаборатории, научно-исследовательская
работа студентов, знакомство с образовательными ресурсами научноисследовательской библиотеки СГУ и с Интернет-ресурсами.
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы
студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература:
1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. СПб. ; М. ; Краснодар : Лань ; М. : Физматкнига, 2007.
2. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М. : Высш. шк., 2006.
б) дополнительная литература:
1. Андерсон, Джеймс А. Дискретная математика и комбинаторика. М.: Издательский дом «Вильямс», 2004.
2. Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями. М.: Мир,
1994.
3. Асанов М.О., Баранский В.А., Расин В.В. Дискретная математика: графы,
матроиды, алгоритмы, Ижевск, 2001.
4. Богомолов А.М., Салий В.Н., Алгебраические основы теории дискретных
систем, М.:Наука, 1997.
5. Б.Л. ван дер Варден. Алгебра. М.: Наука, 2004.
6. Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра. М.: Гелиос АРВ, 2003.
7. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2002.
8. Комбинаторный анализ. Задачи и упражнения. М.: Наука, 1982.
9. Кон П., Универсальная алгебра, М.: Мир, 1968.
10.Коновалов А.Б. Система компьютерной алгебры GAP 4.4: Методические
указания. Запорожье: Изд-во Запорожского гос.ун-та, 1999. http://www.gapsystem.org/ukrgap/gapbook/manual.pdf
11.Кострикин А.И. Введение в алгебру. I-III. — М.: Физматлит, 2004.
12.Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979.
13.Лаллеман Ж., Полугруппы и комбинаторные приложения, М.:Мир, 1985.
14.Лидл Р., Пильц Г., Прикладная абстрактная алгебра. Екатеринбург: Изд-во
УрГУ, 1996.
15.Молчанов В.А. Алгебра и теория чисел. Саратов: Изд-во СГСЭУ, 2009.
16.Сборник задач по алгебре. Под ред. А.И. Кострикина. М: Наука, 1987.
17.Сборник задач по общей алгебре и дискретной математике. Под ред. Л.Н.
Шеврина. Екатеринбург: Изд-во УрГУ, 2003.
18.Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В., Дискретная математика. М.: ИНФРАМ, Новосибирск, Изд-во НГТУ. 2003.
19.Скиена С. Алгоритмы. Руководство по разработке. СПб.: БХВ-Петербург,
2011.
20.Мельников Ю. Б., Мельникова Н. В. Лекции по алгебре. Екатеринбург:
Уральское изд-во, 2003.
21.Смолин Ю.Н. Алгебра и теория чисел. М.: Флинта: Наука, 2006.
22.Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В., Дискретная математика. М.: ИНФРАМ, Новосибирск, Изд-во НГТУ. 2005.
23.Шевцов Г. С. Линейная алгебра. Теория и прикладные аспекты. М.: Финансы и статистика, 2003.
24.Perrin D., Pin J. Infinite Words. Automata, Semigroups, Logic and Games. Pure
and Applied Mathematics Vol 141, Academic Press, Elsevier, 2004.
25.Semigroups, Algorithms, Automata and Languages. New Jersey-LondonSingapore-Hong Kong: World Scientific Publishing, 2001.
26.Semigroups, Formal Languages and Groups, NATO ASI Series C: Mathematical
and Physical Sciences, 466, 1993.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы
Стандартное программное обеспечение компьютерного класса, система компьютерной алгебры GAP (Группы, алгоритмы и программирование), доступ к сети Интернет.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Лекционная аудитория с возможностью демонстрации электронных
презентаций при уровне освещения, достаточном для работы с конспектом.
Для обеспечения лабораторных занятий необходим компьютерный класс со
стандартным программным обеспечением, системой компьютерной алгебры GAP
(Группы, алгоритмы и программирование) и доступом к сети Интернет.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом
рекомендаций и Примерной ООП ВПО по специальности 090301 «Компьютерная
безопасность» и специализации «Математические методы защиты информации».
Автор
д.ф.-м.н., профессор
В.А.Молчанов
Программа одобрена на заседании кафедры теоретических основ компьютерной
безопасности и криптографии от «___» __________2012 года, протокол № ___
Зав. кафедрой
теоретических основ
компьютерной безопасности и криптографии
профессор
В.Н.Салий
Декан факультета
компьютерных наук
и информационных технологий
доцент
А.Г.Федорова