Функциональные пространства - Учебно

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
«УТВЕРЖДАЮ»:
И.о. проректора-начальник
управления по научной работе
_______________________ Г.Ф. Ромашкина
__________ _____________ 2011 г.
Функциональные пространства
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для аспирантов специальности 01.01.01, вещественный, комплексный и
функциональный анализ. ОЧНОЙ И ЗАОЧНОЙ ФОРМ ОБУЧЕНИЯ
«ПОДГОТОВЛЕНО К ИЗДАНИЮ»:
Автор работы _____________________________/Латфуллин Т,Г./
«______»___________2011 г.
Рассмотрено на заседании кафедры математического анализа и
12.04.2011, протокол № 8
Соответствует требованиям к содержанию, структуре и оформлению.
«РЕКОМЕНДОВАНО К ЭЛЕКТРОННОМУ ИЗДАНИЮ»:
Объем 10 стр.
И.о. зав. кафедрой __________________ /А.Г. Хохлов/
«______»______________ 2011 г.
теории функций,
Рассмотрено на заседании УМК Института математики, естественных наук и
информационных технологий 28.06.2011, протокол № 4
Соответствует ФГОС ВПО и учебному плану образовательной программы.
«СОГЛАСОВАНО»:
Председатель УМК ________________________/Глухих И.Н./
«______»_____________2011 г.
«СОГЛАСОВАНО»:
Нач. отдела аспирантуры
и докторантуры_____________М.Р. Сорокина
«______»_____________2011 г.
2011
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт
Кафедра математического анализа и теории функций
Латфуллин Т.Г.
Функциональные пространства
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для аспирантов специальности 01.01.01 вещественный, комплексный и
функциональный анализ.
очной и заочной форм обучения
Тюменский государственный университет
2011
Латфуллин Т.Г. Функциональные пространства. Учебно-методический
комплекс. Рабочая программа для аспирантов специальности 01.01.01,
Вещественный, комплексный и функциональный анализ.
Тюмень, 2011, 10 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с ФГТ к структуре
основной профессиональной образовательной программы послевузовского
профессионального образования (аспирантура).
Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте
ТюмГУ Функциональные пространства [электронный ресурс] / Режим
доступа: http://www.umk3.utmn.ru., свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического анализа и теории
функций. Утверждено и.о. проректора-начальника управления по научной
работе Тюменского государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ
РЕДАКТОР:
и.
о.
заведующего
математического анализа и теории функций А.Г. Хохлов.
© Тюменский государственный университет, 2011.
© Т.Г. Латфуллин, 2011.
кафедрой
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа включает следующие разделы:
1. Пояснительная записка:
1.1. Цели и задачи дисциплины
Цели.
1) Показать аспирантам, что функциональные пространства являются
эффективным инструментом исследования математических проблем.
2) Объяснить, что теория функциональных пространств еще далека от завершения
и привить интерес аспирантов к поиску и решению новых задач этой теории.
Задачи.
1) Изучение общих принципов построения функциональных пространств.
2) Изучить специфику различных функциональных пространств.
3) Научить применять свойства функциональных пространств в исследовании
отображений..
1.2. Место дисциплины в структуре ООП.
Дисциплина «функциональные пространства» относится к разделу ОПД.В1 –
дисциплины по выбору.
Знания, умения и навыки, полученные аспирантами в результате освоения учебной
дисциплины «функциональные пространства» могут быть использованы во всех видах
деятельности в соответствии с федеральным государственным образовательным
стандартом и основной профессиональной образовательной программой послевузовского
профессионального образования
(аспирантура) по специальности 01.01.01,
вещественный, комплексный и функциональный анализ.
1.3. Требования к результатам освоения дисциплины:
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих
компетенций: ОК-1, ОК-6, ОК-9, ОК-10, ОК-12, ОК-13, ПК-1, ПК-4, ПК-5,
ПК-6, ПК-10.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать: основные понятия, определения и свойства функциональных пространств,
формулировки и доказательства утверждений, методы их доказательства, связи и
приложения в других областях математического знания и в дисциплинах
естественно-научного содержания.
Уметь: доказывать утверждения теории функциональных пространств, решать задачи на
применение свойств элементов функциональных пространств, уметь применять
полученные навыки в других областях математического знания и в дисциплинах
естественно-научного содержания
Владеть: аппаратом теории функциональных пространств, навыками решать задачи на
применение свойств элементов функциональных пространств и навыками
применения полученных знаний в других областях математического знания и в
дисциплинах естественно-научного содержания.
2. Трудоемкость дисциплины.
Семестр 6. Форма промежуточной аттестации – зачет, Общая трудоемкость
дисциплины составляет 5 зачетных единиц, 180 часов.
1
1
2
3
4
5
8
6
Таблица 1
Формы
контроля
форме
лекции*
Всего часов
Тема
самостоятельн
ая работа*
виды учебной работы и
самостоятельная работа, в
час.
семинарские
(практические
) занятия*
лабораторные
занятия*
№
4. из них в интерактивной
3. Тематический план.
7
8
Пространства непрерывнодифференцируемых функций.
6
2
4
У
2
Пространства Лебега Lp(G)
8
2
6
У
3
Определение пространств
Соболева, основные свойства
20
4
12
У
4
Аппроксимация гладкими
функциями
10
4
6
У
5
Геометрические свойства
областей
16
2
2
12
КР
6
Теоремы о непрерывном
вложении Wmp(G)
18
4
2
12
У
7
Следы функций из Wmp(G) на
(G).
10
2
2
6
У
8
Операторы продолжения для
Wmp(G).
18
4
2
12
У
9
Компактные вложения Wmp(G).
14
2
12
КР
10
Интеграл Бохнера
16
2
2
12
У
11
Полугруппы операторов и
абстрактная задача Коши
18
4
2
12
У
12
Пространства Соболева Wsp(G)
дробного порядка
12
2
2
8
У
13
Прямые и обратные теоремы о
следах
14
2
12
КР
4
Итого:
14
180
36
18
126
из них часов в интерактивной
форме
У – устный ответ, КР – контрольная работа
15
Метрические свойства отображений областей евклидова пространства (якобиан,
характеристика, коэффициент квазиконформности).
Классы отображений.
Нормальные семейства отображений.
Теорема Лиувилля о конформных отображениях многомерных областей.
Теорема о радиусе инъективности отображений с ограниченным искажением.
Аппроксимация квазиконформных отображений квазигиперболическими.
Таблица 2.
Планирование самостоятельной работы аспирантов
№
Темы
Виды СРС
обязательные
дополнительные
Чтение
книг
и
Решение задач
конспектов
Объем часов
1
Пространства
непрерывнодифференцируемых
функций.
2
Пространства Лебега
Lp(G)
Чтение
книг
конспектов
и
Решение задач
4
3
Определение пространств
Соболева, основные
свойства
Чтение
книг
конспектов
и
Решение задач
12
4
Аппроксимация гладкими
функциями
Чтение
книг
конспектов
и
Решение задач
8
5
Геометрические свойства
областей
Чтение
книг
конспектов
и
Решение задач
8
6
Теоремы о непрерывном
вложении Wmp(G)
Чтение
книг
конспектов
и
Решение задач
8
7
Следы функций из Wmp(G)
на (G).
Чтение
книг
конспектов
и
Решение задач
8
8
Операторы продолжения
для Wmp(G).
Чтение
книг
конспектов
и
Решение задач
10
9
Компактные вложения
Wmp(G).
Чтение
книг
конспектов
и
Решение задач
10
10
Интеграл Бохнера
Чтение
книг
конспектов
и
Решение задач
10
4
11
Полугруппы операторов и
абстрактная задача Коши
Чтение
книг
конспектов
и
Решение задач
10
12
Пространства Соболева
Wsp(G) дробного порядка
Чтение
книг
конспектов
и
Решение задач
10
13
Прямые и обратные
теоремы о следах
14
Подготовка к экзамену
10
Чтение
книг
конспектов
и
Решение задач
ИТОГО:
14
126
5.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
№
п/п
1.
2.
6.
Наименование
обеспечиваемых
(последующих)
дисциплин
Функциональные
пространства
Избранные
главы
математического
анализа
Темы дисциплины необходимых для изучения обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
1
2
3
4
Пространства
Пространства Определение Геометрические
непрерывноЛебега Lp(G) пространств свойства
дифференцируемых
Соболева,
областей
функций.
основные
свойства
Пространства
Пространства Определение
непрерывноЛебега Lp(G) пространств Геометрические
дифференцируемых
Соболева,
свойства
функций.
основные
областей
свойства
Содержание дисциплины.
1. Пространства непрерывно-дифференцируемых функций.
2. Пространства Лебега Lp(G)
3. Обобщенные функции
4. Определение пространств Соболева, основные свойства
5. Аппроксимация гладкими функциями
6. Геометрические свойства областей
7. Теоремы о непрерывном вложении Wm p ()
8. Следы функций из Wm p (омега) на д омега.
9. Операторы продолжения для Wm p (омега).
10. Компактные вложения Wm p (омега) .
11. Пространства Соболева дробного порядка
12. Интеграл Бохнера
13. Полугруппы операторов и абстрактная задача Коши
14. Пространства Соболева Wsp (омега) дробного порядка
15. Прямые и обратные теоремы о следах
7.
Планы семинарских занятий.
1. Определение пространств Соболева, основные свойства
2. Геометрические свойства областей
3. Теоремы о непрерывном вложении Wmp(G)
4. Следы функций из Wmp(G) на (G).
5. Операторы продолжения для Wmp(G).
6. Интеграл Бохнера
7. Полугруппы операторов и абстрактная задача Коши
8. Пространства Соболева Wsp(G) дробного порядка
8.
Темы лабораторных работ. (Лабораторный практикум)
Лабораторные работы не предусмотрены
9.
Примерная тематика курсовых работ
Курсовые работы не предусмотрены
10. Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля).
Планируются два вида самостоятельной работы:
1) чтение книг и конспектов,
2) решение задач.
11.
12.
Образовательные технологии.
Чтение книг и конспектов, решение задач.
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
11.1. Основная литература:
1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального
анализа. – М: Наука, 1976. – 544 с.
2. Павлова М.Ф., Тимербаев М.Р. Пространства Соболева (теоремы вложения). Учебное
пособие. Казанский государственный университет. 2010
3. Мазья В.Г. Пространства С.Л.Соболева. – Ленинград: Изд-во Ленинградского
университета, 1985.
4. Гольдштейн В.М., Решетняк Ю.Г. Ведение в теорию функций с обобщенными
производными и квазиконформные отображения. – М.: “Наука”', 1983.
_______________________________________________________________________
11.2. Дополнительная литература:
1. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М., "Наука", 1974.
2. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. – М: Наука, 1977. – 744 с.
3. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической
физике.– М: Наука, 1988. – 336 с.
4. Харди Г., Литтлвуд Дж.Е., Полиа Г. Неравенства. – М.: ИЛ, 1948, –456 с.
________________________________________________________________________
11.3. Программное обеспечение и Интернет – ресурсы:
1. http://window.edu.ru/window/library
2. http://math.ru/lib/3
________________________________________________________________________
12.
Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).
Лекционные и практические занятия проводятся в специализированных аудиториях,
оснащенных мультимедийной техникой.
_____________________________________________________________________________
Дополнения и изменения в рабочей программе на 201 / 201 учебный год
В рабочую программу вносятся следующие изменения:
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
______________________
Рабочая программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры математического
анализа и теории функций
____________________ « »_______________2011 г.
Заведующий кафедрой ___________________/А.Г. Хохлов/