Справочные материалы по математике

Министерство образования Тульской области
государственное образовательное учреждение
среднего профессионального образования Тульской
области
«Тульский колледж профессиональных технологий и
сервиса»
Справочные материалы по математике
Тула 2014
Рассмотрено и одобрено на заседании предметно-цикловой
комиссии математических и естественнонаучных
дисциплин
Составитель: Г.В. Горина, преподаватель математики ГОУ
СПО ТО ТКПТС
Материалы данной брошюры представляют собой сведения
из курса математики основной школы и предназначены
студентам средних профессиональных учебных заведений.
Тула, 2014
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Арифметика……………………………………………..
Действия с обыкновенными дробями…………………
Действия с десятичными дробями…………………….
Действия с положительными и отрицательными
числами…………………………………………………..
Порядок выполнения действий………………………...
Признаки делимости……………………………………
Некоторые приемы рационального счета…………….
Алгебра…………………………………………………..
Умножение многочленов……………………………….
Формулы сокращенного умножения…………………..
Способы разложения на множители…………………..
Уравнения и неравенства с одной переменной……….
Функции и графики……………………………………..
Геометрия………………………………………………..
4
4
5
6
8
8
9
10
10
10
11
12
19
22
3
Арифметика
І. Действия с обыкновенными дробями
1. Сложение и вычитание:
a c ad bc ad  bc
 


.
b d bd bd
bd
2. Умножение и деление:
a c ac
a c a d ad
 
   
.
b d bd
b d b c bc
Примеры:
7
5
73
52
21  10 31





а)
;
24 36 24  3 36  2
72
72
б) 1 
11 30 11 19



;
30 30 30 30
3
4 14 70 14  33 3


 .
в) 1  2 
11
33 11 33 11  70 5
Задания для самопроверки:
7
3
23 5

 ... ;
а)
б) 1   …
15 20
25 12
4
ІІ. Действия с десятичными дробями.
1. Сложение и вычитание.
Уравниваем число десятичных знаков
после запятой, приписывая нули;
подписываем дроби друг под другом так,
чтобы запятая оказалась под запятой;
выполняем действие, как с натуральными
числами; в результате запятую ставим
под запятыми.
2. Умножение.
Подписываем числа друг под другом, не
обращая внимания на запятые;
выполняем умножение; в результате
отделяем запятой справа столько
десятичных знаков, сколько их в обоих
множителях после запятой вместе.
3. Умножение на 10, 100, 1000 и т.д.
Запятая в умножаемом числе переносится
вправо на одну, две, три и т.д. цифр. Если
цифр не хватает, дописываем нули.
4. Умножение на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д.
Запятая в умножаемом числе переносится
влево на одну, две, три и т.д. цифр. Если
5
цифр не хватает, дописываем нули.
5. Деление.
Переносим запятую вправо на столько
знаков, сколько их после запятой в
делителе (делитель должен стать
натуральным числом); выполняем
деление уголком; запятую в частном
ставим тогда, когда окончено деление
целой части.
Задания для самопроверки:
а) 12,45+5,4289; б) 12,45-11,672;
в) 3,4·1,23; г) 2,35·10; д) 2,35·100;
е) 2,35·1000;
ж) 2,35·0,1;
з) 2,35·0,01;
и) 26,039.
ІІІ. Действия с положительными и
отрицательными числами.
1. Сложение.
При сложении двух чисел с одинаковыми
знаками складывают их модули и ставят
перед результатом их общий знак.
Пример:  3  7  10 .
При сложении двух чисел с разными
6
знаками из большего модуля вычитают
меньший и ставят знак того числа, модуль
которого больше.
2. Примеры: а)  3  7  4 ; б) 3  7  4 .
3. Умножение и деление.
При умножении (делении) чисел с
одинаковыми знаками результат будет
положительным, с разными знаками –
отрицательным.
Примеры: а)  3  (7)  21 ; б) 3  (7)  21 ;
3
в)  3  7   .
7
4. Правило раскрытия скобок.
Если перед скобками стоит знак <+>, то при
раскрытии скобок знаки не изменяются.
Пример: 3+(4 – 6 + 7) = 3+4 – 6+7.
Если перед скобками стоит знак <–>, то
знаки в скобках меняются на
противоположные.
Пример: 3– (4 – 6+7) = 3 – 4+6 – 7.
a. Числа а и -а называются
противоположными.
Сумма противоположных чисел равна нулю:
3 + (-3) = 0; -5,2 + 5,2 = 0.
7
1
называются взаимно
а
обратными (при условии, что а  0 ).
5. Числа а и
Произведение взаимно обратных чисел равно 1:
1
 3  1;
3
7 2
  1.
2 7
ІV. Порядок выполнения действий в
арифметических примерах.
1. Возведение в степень;
2. умножение или деление;
3. сложение или вычитание.
Если присутствуют скобки, то сначала выполняют
действия в скобках.




V. Признаки делимости.
На 2 делятся четные числа, т.е. те, которые
оканчиваются четной цифрой: 0, 2, 4, 6, 8
(2092; 395860).
На 5 делятся числа, оканчивающиеся
цифрой 5 или 0 (575, 2960).
На 10 делятся числа, оканчивающиеся
цифрой 0 (1280).
На 25 делятся числа, оканчивающиеся
сочетанием цифр: 00, 25, 50, 75 (125, 3750,
4775, 4900).
8
 На 4 делятся те числа, у которых число,
образованное двумя последними цифрами,
делится на 4 (320, 1164).
 На 3 делятся те числа, сумма цифр которых
делится на 3 (число 1725 делится на 3, т.к.
1+7+2+5=15, 15 кратно трем).
 На 9 делятся те числа, сумма цифр которых
делится на 9 (число 7398 делится на 9, т.к.
7+3+9+8=27, 27 кратно 9).
VІ. Некоторые приемы рационального счета.
0,5 
1
2
0,2 
1
5
0,25 
1
4
0,75 
3
4
0,125 
1
8
a
1
 an
n
Пример:
1
800  160  24 800 160 24
984  0,125  984   984  8 



 100  20  3  123
8
8
8
8
8
Задания для самопроверки:
1
8
1
4
1
3
а) 4  2  (1  2
1
 2) ;
4
б)  3,075  1,5  0,5  (0,04  3
4
);
25
3
4  1
в)    1   4,2  4 .
9  2
9
Алгебра
Умножение многочленов
Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно
каждое слагаемое первого многочлена умножить
на каждое слагаемое второго многочлена.
Пример:
(2a  3b  5)  ( x  6 y )  2ax  12ay  3bx  18by  5 x  30 y
.
Формулы сокращенного умножения:
1. Квадрат суммы (разности):
(a  b)2  a 2  2ab  b2
2
2
2
Пример: (2 x  3 y)  4 x  12 xy  9 y
2. Куб суммы (разности):
(a  b)3  a3  3a 2b  3аb2  b3
Пример:
( x  4)3  x3  3x2  4  3x42  43  x3  12 x2  48x  64
3. Разность квадратов: (a  b)( a  b)  a  b
2
2
Пример: (3x  5)(3x  5)  9 x  25
4. Сумма (разность кубов):
2
(a  b)( a 2  ab  b2 )  a3  b3
Пример:
( x  2)( x2  2 x  4)  x3  23  x3  8
10
Разложить многочлен на множители – значит
представить его в виде произведения.
Способы разложения на множители
1. Вынесение за скобки общего множителя.
Пример: 16 х 3 y 4  24 xy2  8xy2 (2 x 2 y 2  3) .
2. Способ группировки
Пример:
3x  xy2  x 2 y  3 y  (3x  3 y)  ( xy2  x 2 y) 
 3( x  y)  xy( y  x)  3( x  y)  xy( x  y )  ( x  y)(3  xy)
3. Применение формул сокращенного
умножения
a. Квадрат суммы или разности:
x 2  2 xy  y 2  ( x  y ) 2
Пример: x 2  6 xy  9 y 2  x  3 y 2
b. Разность квадратов:
x 2  y 2  ( x  y)( x  y)
Пример: 4a 2  9b 2  2a  3b2a  3b
c. Сумма (разность) кубов:
x 3  y 3  ( x  y)( x 2  xy  y 2 )
Пример: x 3  8  ( x  2)( x 2  2 x  4)
4. Разложение на множители квадратного
трехчлена:
11
ax 2  bx  c  a( x  x1 )( x  x2 ) , где х1 и х2 – корни
соответствующего квадратного уравнения.
Пример: Разложить на множители квадратный
трехчлен 2 x 2  3x  1 .
Корнями соответствующего квадратного
уравнения: 2 x 2  3x  1 =0 являются числа 1 и
1
.
2
1
Имеем: 2 x 2  3x  1  2 х  х  1  2 х  1х  1 .

2
Уравнения и неравенства с одной переменной
Определение 1. Уравнение – это равенство,
содержащее переменную.
Определение 2. Корень уравнения – это значение
переменной, обращающее уравнение в верное
числовое равенство.
Определение 3. Решить уравнение – значит найти
все его корни или доказать, что корней нет.
Определение 4. Равносильные уравнения – это
уравнения, имеющие одинаковые корни или не
имеющие корней.
12
Операции, приводящие к равносильным
уравнениям
1. Раскрытие скобок.
2. Приведение подобных слагаемых.
3. Перенос слагаемых из одной части
уравнения в другую.
4. Умножение или деление обеих частей
уравнения на число или выражение, не
равное нулю.
5. Возведение обеих частей уравнения в
нечетную степень.
I. Линейные уравнения с одной переменной
Определение 5. Уравнение вида ax  b , где a и b –
некоторые
числа,
называется
линейным
уравнением с одной переменной.
Решение:
a0
Делят обе части
коэффициент при х:
уравнения
на
b
a
3х  7 : 3
Пример:
7
х .
3
ax  b : a  x 
13
a  0,
b0
a  0,
b0
Уравнение принимает вид: 0x  b .
Так как левая часть не равна правой ни
при каком значении х, то уравнение
корней не имеет.
Уравнение принимает вид: 0x  0 .
Так как левая часть равна правой при
любом значении х, то уравнение имеет
бесконечное множество корней.
II. Квадратные уравнения
Определение 6. Уравнение вида ax 2  bx  c  0 , где
a, b, c – некоторые числа, причем a ≠ 0, называется
квадратным.
Решение:
Общая формула: D  b 2  4ac ,
если
-
D  0, то x1, 2 
b D
2a
Теорема Виета для приведенного
квадратного уравнения вида x 2  рx  q  0
 x1  x 2   p

 x1 x 2  q
14
- Частные случаи:
c
a
c
если a  c  b, то x1  1, x2  
a
если a  b  c  0, то x1  1, x 2 
III. Линейные неравенства с одной переменной
Определение 7. Неравенство вида ax  b
( ax  b, ax  b, ax  b ), где a и b – некоторые числа,
причем a ≠ 0, называется линейным неравенством
с одной переменной.
Решение:
Делят обе части неравенства на коэффициент при
х: ax  b | : a
если a  0 , то знак
неравенства не
b
a
3х  7 : 3
Пример:
7
х .
3
изменяется: x 
Если a  0 , то знак
неравенства меняется на
противоположный: x 
Пример:
b
a
 3 х  7 : (3)
7
х .
3
15
IV. Квадратные неравенства.
Определение 8. Неравенство вида ax 2  bx  c  0
( ax 2  bx  c  0, ax 2  bx  c  0, ax 2  bx  c  0 ), где
a, b, c – некоторые числа, причем a ≠ 0, называется
квадратным.
Решение:
1. Если a  0 , умножаем обе части неравенства
на –1 (знак неравенства при этом поменяется
на
противоположный,
а
старший
коэффициент станет положительным).
2. Решаем квадратное уравнение ax 2  bx  c  0 .
3. Схематически строим соответствующую
параболу y  ax 2  bx  c .
а). ветви параболы направлены вверх (см.
пункт 1).
б). далее для каждого вида неравенства
возможны
три
случая:

ax 2  bx  c  0
D  0 , значит, уравнение
имеет два различных
действительных корня, а
парабола пересекает ось
ОХ в двух точках.
х1
х2
(; x1 )  ( x2 ;)
16
D  0 , значит, уравнение
имеет два одинаковых
действительных корня, а
парабола касается оси
ОХ в одной точке.
х0
x  x0
D  0 , значит, уравнение
действительных корней
не имеет, а парабола ось
ОХ не пересекает и
находится в верхней
полуплоскости.
xR
 ax 2  bx  c  0
D0
х1
D0
х2
(; x1 ]  [ x2 ;)
D0
х0
xR
xR
17
 ax 2  bx  c  0
D0
х1
D0
х2
х0
нет решений
( x1 ; x2 )
D0
нет решений
 ax 2  bx  c  0
D0
х1
D0
х2
[ x1 ; x2 ]
D0
х0
x  x0
нет решений
18
Функции и их графики
Определение: зависимость переменной y от
переменной х, при которой каждому значению
переменной х ставится в соответствие
единственное значение переменной y, называется
функциональной или просто функцией. Пишут:
f
x  y или y  f (x ) .
Переменная х называется независимой переменной
или аргументом, переменная y называется
зависимой переменной или функцией.
Способы задания функции: табличный,
графический, аналитический, описательный.
Свойство графика функции: любая вертикальная
прямая пересекает график функции в
единственной точке.
І. Линейная функция.
Определение: Функция, заданная формулой
y  kx  b , где k и b – некоторые числа, называется
линейной. График линейной функции – прямая, для
построения которой достаточно двух точек.
19
Частные случаи линейной функции:
Если k = 0, то
Если b = 0, то функция
функция принимает принимает вид y = kx.
вид y = b.
В этом случае линейную
В этом случае
функцию называют также
линейную функцию прямой
называют также
пропорциональностью.
постоянной. График График такой функции
такой функции
представляет собой
представляет собой
прямую, проходящую через
прямую,
начало координат.
параллельную оси
абсцисс.
Число k называется угловым коэффициентом
прямой. По его знаку определяют угол наклона
прямой к положительному направлению оси
абсцисс. Если k > 0, то угол острый, если k < 0, то
угол тупой, а если k = 0, то угол равен нулю, т.е.
прямая параллельна оси ОХ.
ІІ. Обратная пропорциональность.
k
x
Определение: Функция, заданная формулой y  ,
где k  0 , называется обратной
пропорциональностью. График обратной
пропорциональности представляет собой
20
гиперболу, состоящую из двух ветвей и
расположенную в І и ІІІ координатных четвертях,
если k > 0 и во ІІ и ІV четвертях, если k < 0.
ІІІ. Квадратичная функция.
Определение: Функция, заданная формулой
y  ax 2  bx  c , где а, b и с – некоторые числа,
причем a  0 , называется квадратичной. График
квадратичной функции – парабола. Для ее
построения используют следующий алгоритм:
1. Определяют направление ветвей (если a > 0,
то ветви параболы направлены вверх, а если
а < 0, то вниз).
2. Определяют координаты вершины параболы
(абсцисса вершины находится по формуле:
xв 
b
).
2a
3. Находят еще несколько точек для
построения графика. Необходимо
учитывать, что парабола – симметричная
кривая. Ось симметрии параболы проходит
через ее вершину.
21
Г е о м е т р и я
Треугольники

Сумма углов треугольника равна 180°.

Биссектриса равнобедренного треугольника,
проведенная к основанию, является медианой и
высотой.

Катет, лежащий против угла в 30°, равен
половине гипотенузы.

Средняя линия треугольника параллельна
третьей стороне и равна ее половине.

Медианы треугольника точкой пересечения
делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Биссектриса треугольника делит
противоположную сторону на отрезки,
пропорциональные прилежащим сторонам.
a
b
c


.
sin A sin B sin C
Теорема косинусов: a 2  b 2  c 2  2bc  cos A .

Теорема синусов:


Высота правильного треугольника со
стороной a: h 

a 3
.
2
Площадь правильного треугольника со
a2 3
стороной a: S 
.
4
22

Площадь произвольного треугольника:
S
ah
2
1
ab  sin C
2
S  pr , где p  полупериметр, r  радиус вписанной окружност
S  p( p  a)( p  b)( p  c) (формула Герона)
S

Площадь прямоугольного треугольника (a и
ab
.
2
Теорема Пифагора: c 2  a 2  b 2 .
b – катеты, c – гипотенуза): S 


Пифагоровы тройки: 3,4,5; 5,12,13;
8,15,17; 7,24,25; 9,40,41.

c
2
В прямоугольном треугольнике: m  , где m
– медиана, опущенная на гипотенузу, c –
гипотенуза.
Четырехугольники:

Диагональ квадрата со стороной a: d  a 2 .

Площадь квадрата: S  a 2 .

Площадь прямоугольника: S  ab . Периметр
прямоугольника: P  2  (a  b) .

Площадь параллелограмма:
S  ah, S  ab  sin C .
23
d1  d 2
.
2

Площадь ромба: S 

Площадь трапеции с основаниями a и b:
S
( a  b)
h
2
Выражение стороны, площади и периметра
правильного многоугольника через радиусы
вписанной и описанной окружности:
Колво
сторо
н
3
R
r
a3  R 3
a3  2r 3
4
6
a4  R 2
a4  2r
n
a n  2 R  sin
a6  R
2r 3
a6 
3
180
180
an  2r  tg
n
n
S
S
a2 3
4
S  a2
P
P  3a
P  4a
3a 2 3 P  6a
S
2
S  pr
P  na
24


Окружность и круг
Длина окружности: C  2R .
Площадь круга: S  R 2 .

Длина дуги в α°: l 

R
.
180
R 2
S
360 .
Площадь сектора:
Значения синуса, косинуса, тангенса и
котангенса табличных углов
30° 45° 60°
sin
1
2
cos
3
2
3
3
3
tg
ctg
2
2
2
2
3
2
1
2
1
3
1
3
3
А
b
C
c
а
В
25
Катет прямоугольного треугольника равен
произведению:

гипотенузы на синус противолежащего угла
( a  c  sin A );

гипотенузы на косинус прилежащего угла
( a  c  cos B );

другого катета на тангенс противолежащего
угла ( a  b  tgA );

другого катета на котангенс прилежащего
угла ( a  b  ctgB ).
26