Универсальная обёртывающая алгебра Реферат на тему:

Реферат на тему:
Универсальная обёртывающая алгебра
План:
Введение





1 Мотивация
2 Универсальное свойство
3 Прямое построение
4 Частные примеры
5 Дальнейшее описание структуры
Введение
В математике, для любой алгебры Ли L можно построить её универсальную
обёртывающую алгебру U(L). Эта конструкция приводит от неассоциативной структуры
L к (более привычной, и возможно более простой в обращении) унитарной ассоциативной
алгебре, которая перенимает важные свойства L.
Чтобы понять основную идею данной конструкции, во-первых следует отметить, что
ассоциативная алгебра А над полем К становится алгеброй Ли над К со скобкой Ли:
[a,b] = ab − ba.
То есть, из ассоциативного произведения можно построить скобку Ли с помощью
простого взятия коммутатора. Обозначим эту алгебру Ли AL.
Построение универсальной обёртывающей алгебры пытается обратить этот процесс: для
данной алгебры Ли L над K находят «наиболее общую» ассоциативную K-алгебру A
такую, что алгебра Ли AL содержит L, это алгебра U(L). Важное ограничение —
сохранение теории представлений: представления L соотносятся точь-в-точь так же как и
модули над U(L). В типичном контексте, где L задаётся инфинитезимальными
преобразованиями, элементы U(L) действуют как дифференциальные операторы всех
порядков.
1. Мотивация
Важная тема в изучении алгебр и вероятно основной путь их появления в приложениях
это представление алгебры Ли. Представление ρ ставит каждому элементу x алгебры Ли
линейный оператор ρ(x). Данное пространство линейных операторов не только алгебра
Ли, но также и ассоциативная алгебра, так что возможно рассматривать произведения
ρ(x)ρ(y). Суть введения универсальной обёртывающей алгебры в изучении таких
произведений в различных представлениях алгебры Ли. Сразу видится одно препятствие в
наивной попытке сделать это: свойства произведений коренным образом зависят от
выбранного представления, а не только от самой алгебры Ли. Например, для одного
представления можно получить ρ(x)ρ(y) = 0, в то время как в другом представлении это
произведение может быть не нулевым. Тем не менее определённые свойства
универсальны для всех представлений, то есть сохраняют справедливость для всех
представлений одновременно. Универсальная обёртывающая алгебра — это способ
охватить все такие свойства и только их.
2. Универсальное свойство
Пусть L — произвольная алгебра Ли над K. Задав гомоморфизм унитальной
ассоциативной K-алгебры U и алгебры Ли:
h: L → UL,
будем говорить, что U 'универсальная обёртывающая алгебра алгебры L, если она
удовлетворяет следующему универсальному свойству: для любого гомоморфизма
унитальной ассоциативной K-алгебры A и алгебры Ли
f: L → A
существует единственный гомоморфизм унитальной алгебры
g: UL → A
такой, что
f = gh.
Это универсальное свойство выражает то, что функтор, отображающий L в её
универсальную обёртывающую алгебру, левосопряжённый к функтору отображающий
унитальную алгебру A в её алгебру AL.
3. Прямое построение
Из этого универсального свойства, можно доказать, что если алгебра Ли имеет
универсальную обёртывающую алгебру, то эта обёртывающая алгебра единственным
образом определяется алгеброй L (с точностью до изоморфизма). С помощью следующей
конструкции, которая напрашивается из общих соображений (например, как часть пары
сопряжённых функторов), устанавливается, что на самом деле любая алгебра Ли
обязательно имеет универсальную обёртывающую алгебру.
Начиная с тензорной алгебры T(L) на векторном пространстве алгебры L, мы получаем
U(L) факторизацией T(L) посредством соотношений:
для любых a и b в L, где скобки в правой части выражения обозначают лиево
произведение в L.
Формально мы определили
U(L) = T(L) / I
где I — двусторонний идеал T(L) порождённый элементами вида
Естественное отображение L → T(L) сводится к отображению h : L → U(L), и именно этот
гомоморфизм алгебры Ли используется в вышепривёденном универсальном свойстве.
Аналогичная конструкция для супералгебр Ли очевидна.
4. Частные примеры
Если L абелева (то есть, скобка всегда 0), то U(L) — коммутативна; если выбран базис
векторного пространства L, то U(L) может рассматриваться как алгебра полиномов над K,
с одной переменной для каждого базисного элемента.
Если L — алгебра Ли группы Ли G, U(L) может рассматриваться как алгебра
левоинвариантных дифференциальных операторов (всех порядков) на G, c L лежащей
внутри неё в качестве левоинвариантного векторного поля дифференциальных операторов
первого порядка.
Относительно двух приведённых случаев: если L — это векторное пространство V как
абелева алгебра Ли, то дифференциальные операторы являются операторами с
постоянными коэффициентами, которые на самом деле являются алгеброй полиномов в
частных производных первого порядка.
Центр U(L) обозначается Z(L) и состоит из лево и правоинвариантных дифференциальных
операторов; он в случае некоммутативности G не будет порождаться операторами первого
порядка (смотри например оператор Казимира).
Другая характеристика в теории групп Ли U(L) — это алгебра со свёрткой обобщённых
функций с носителем только на единичном элементе e группы G.
Алгебра дифференциальных операторов в n переменных с полиномиальными
коэффициентами может быть получена начиная с лиевой алгебры группы Гейзенберга.
(Для этого смотри алгебра Вейля.) Нужно факторизовать так, чтобы центральные
элементы данной алгебры Ли действовали как скаляры.
5. Дальнейшее описание структуры
Фундаментальная теорема Пуанкаре-Биркгоффа-Витта даёт точное описание U(L);
наиболее важное следствие из неё это то, что L может рассматриваться как линейное
подпространство U(L). Более точно: каноническое отображение h : L → U(L) всегда
инъективно. Более того, U(L) порождается L как унитальная ассоциативная алгебра.
L действует на себе как присоединённое представление алгебры Ли, и это действие может
быть расширено на представление L на U(L): L действует как алгебра производных на
T(L), и это действие уважает наложенные соотношения, так она фактически действует на
U(L). (Это чисто инфинитезимальный способ смотреть на вышеупомянутые инвариантные
дифференциальные операторы.)
При таком представлении, элементы U(L), инвариантные под действием L (то есть
действие на них любого элемента L дает ноль), называются инвариантными элементами.
Они порождаются инвариантами Казимира.
Как было сказано выше, конструкция универсальных обёртывающих алгебр это часть
пары сопряжённых функторов. U — функтор из категории алгебр Ли над K в категорию
унитальных ассоциативных K-алгебр. Этот функтор — левосопряженный к функтору,
который отображает алгебру А в алгебру AL. Следует отметить, что конструкция
универсальной обёртывающей алгебры не является в точности обратной к формированию
AL: если начать с ассоциативной алгебры A, то U(AL) не равна A; она значительно больше.
Сведения, о теории представлений, упомянутые ранее, могут быть уточнены следующим
образом: абелева категория всех представлений L изоморфна абелевой категории всех
левых модулей U(L).
Построение групповой алгебры заданной группы во многом аналогична построению
универсальной обёртывающей алгебры для заданной алгебры Ли. Оба построения
универсальны и переносят теорию представлений в теорию модулей. Более того, как
групповые алгебры, так и универсальные обёртывающие алгебры несут естественные
коумножения, которые превращают их в алгебры Хопфа.