Лабораторная работа № 9 ВЯЗКОСТЬ И МОЛЕКУЛЯРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВОЗДУХА

Лабораторная работа № 9
ВЯЗКОСТЬ И МОЛЕКУЛЯРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВОЗДУХА
Вязкость или внутреннее трение в газах обусловливается переносом импульса молекул поперек направления движения слоёв газа, имеющих различные скорости. В результате теплового
движения молекулы перелетают из одного слоя газа в другой, перенося при этом свой импульс
mu (m – масса молекулы, u – скорость упорядоченного движения молекулы) упорядоченного
движения из одного слоя в другой. В результате обмена молекулами между слоями, движущимися
с различными скоростями, импульс упорядоченного движения более быстрого слоя уменьшается,
а более медленного - увеличивается. Это означает, что быстро движущийся слой тормозится, а
медленный - ускоряется. В этом и состоит механизм возникновения силы внутреннего трения между слоями газа, движущимися с различными скоростями.
Целью настоящей работы является ознакомление с предлагаемым методом измерения вязкости воздуха и некоторых молекулярных характеристик.
1. Основы метода измерения коэффициента вязкости и вычисления молекулярных характеристик воздуха
Согласно основному закону вязкости (закону Ньютона) сила, действующая на единицу площади, параллельно движению газа, пропорциональна градиенту проекции скорости в направлении,
перпендикулярном движению:
∂u y
f y = −η
.
(1.1)
∂x
Смысл коэффициента вязкости (просто вязкости) состоит в том, что он численно равен силе,
действующей на единицу площади, параллельной движению газа, при единичном градиенте проекции скорости в перпендикулярном направлении движения.
Для модели идеального газа коэффициент вязкости равен
1
2 πmkT
(1.2)
.
η = vl ρ =
3
3π πσ 2
1
Поскольку l ρ не зависит от давления ( l ~ , и ρ ~ P ), а v ~ T и также не зависит от давP
ления, то можно заключить, что вязкость не зависит от давления. Когда Максвелл впервые пришел
к этому выводу, он был так удивлен, что подверг его экспериментальной проверке, наблюдая затухание колебаний маятника в газах различной плотности. К его удовлетворению вывод оказался
верным. Интересно также и то, что в противоположность коэффициенту вязкости жидкостей, коэффициент вязкости газов растёт с ростом температуры приблизительно пропорционально T .
Единицей вязкости является 1 Па с=1 Н с/м2 = 1 кг/(м с). Вязкость газов при температуре 20
0
С и атмосферном давлении (101,3 кПа) имеет порядок 10-5 Па с. Например, вязкости воздуха, гелия, кислорода и водорода равны соответственно 1,82 10-5; 1,96 10-5; 2,02 10-5 и 0,88 10-5 Па с.
Введенное понятие коэффициента вязкости справедливо для слоистого, или ламинарного,
движения газа, которое имеет место тогда, когда траектории соседних элементов газа (элемент макроскопический небольшой объём газа) мало отличаются друг от друга. Течение газа, при котором его элементы совершают неустановившиеся неупорядоченные движения по сложным траекториям, называется турбулентным. При турбулентном течении происходит интенсивное перемешивание слоёв жидкости.
Турбулентное течение возникает в результате потери устойчивости ламинарного течения
при достаточно больших числах Рейнольдса:
ρud
Re =
,
(1.3)
η
1
где u - скорость потока; ρ - плотность движущейся среды (жидкость или газ), d - характерный размер течения (например, диаметр трубы при течении жидкости в трубе). Критическое число Рейнольдса Re кр , соответствующее переходу ламинарного течения в турбулентное, для гладких круглых труб равно Re кр ≈ 2300 .
При движении газа в цилиндрической трубе поток на начальном участке трубы состоит из
двух частей - пограничного слоя у стенки и невозмущенного ядра, в пределах которого скорость
газа во всех точках данного поперечного сечения одинакова (рис. 1,а). По мере удаления от входа
в трубу толщина пограничного слоя увеличивается (рис. 1,б) до тех пор, пока на расстоянии L p он
не заполнит всё поперечное сечение трубы (рис. 1,в).
a
b
c
R
Lp
Рис.1. Гидродинамическая стабилизация потока в трубе
Начальный участок длиной L p называется участком гидродинамической стабилизации, а течение жидкости за этим участком - стабилизированным. Для ламинарного потока в круглой трубе
1
(1.4)
L p = d Re ,
12
где d – диаметр трубы. Коэффициент вязкости можно связать с параметрами течения газа. Пусть
газ течет по гладкой круглой трубе длиной L>>Lp и радиусом R=d/2. Предполагаем, что величина
скорости течения u одинакова во всех точках, равноотстоящих от оси трубы (осевая симметрия).
Выделим в газе элементарный цилиндрический объём с радиусом основания, равным r и
длиной l. Согласно формуле (1.1) сила внутреннего трения, действующая на боковую поверхность
этого цилиндра, будет равна
du
F = −η
2πrl .
(1.5)
dr
При установившемся течении (за участком гидродинамической стабилизации) сила F уравновешивается разностью давлений ΔP на основаниях цилиндра, т.е.
du
η 2πrl + ΔPπr 2 = 0
(1.6)
dr
или
ΔP
du = −
rdr .
(1.7)
2ηl
Интегрируя последнее выражение (1.7), получим
ΔP 2
u (r ) = −
r + C,
(1.8)
4ηl
2
где C - постоянная интегрирования. Чтобы определить ее значение, положим, что скорость у стенки равна нулю. Тогда
ΔP 2
C=
R
(1.9)
4ηl
и
ΔP 2
u (r ) =
R − r2 .
(1.10)
4ηl
Формула (1.10) описывает распределение скоростей газа u(r) для круглой цилиндрической
трубы (стабилизированное ламинарное течение) и носит название формулы Пуазейля. Формулу
Пуазейля часто представляют другим выражением. Действительно, секундный объёмный расход
(объем газа, проходящего через поперечное сечение трубы за 1 с) можно подсчитать по формуле
(
V& =
)
2π R
∫ ∫ u (r )rdrdϕ .
(1.11)
0 0
Подставляя в (1.11) значение u( r ) из формулы (1.10) и произведя интегрирование, получим
πR 4 ΔP
.
(1.12)
V& =
8l η
Зная величины V& , R,l , ΔP, можно определить η :
η=
πR 4 ΔP
.
(1.13)
8l V&
Эта формула является исходной в данной работе.
Зная коэффициент вязкости, легко найти среднюю длину свободного пробега молекул l , а из
нее - эффективное сечение соударения газовых молекул (рис.2) - πσ 2 .
σ
σ
σ
Рис.2. Эффективное сечение соударений молекул
l=
3η ⎛ πμ ⎞ 1/ 2
⎜
⎟ ,
ρ ⎝ 8 RT ⎠
(1.14)
2 1 ⎛ μRT ⎞ 1/ 2
πσ =
⎜
⎟ ,
3 N Аη ⎝ π ⎠
2
(1.15)
где N А - число Авогадро; N А = 6,02 ⋅ 10 23 моль-1; R - универсальная газовая постоянная;
R = 8,31 Дж/(моль К).
3
2. Описание экспериментальных установок
Лабораторная установка 1 (рис.3) состоит из цилиндрического сосуда, закрепленного на
стойке. Сосуд снабжен водомерным стеклом.
5
2
4
1
3
6
7
Рис.3. Принципиальная схема экспериментальной установки 1:
1 - сосуд с водой; 2 - капилляр; 3 - кран; 4 - микроманометр; 5 - заливная пробка; 6 - мензурка;
7 – секундомер
В верхней части сосуда имеются разборное уплотнение для крепления капилляра, сообщающегося с окружающим воздухом, и заливная пробка; в нижней части - кран для стока воды и микроманометр для измерения перепада давлений при течении воздуха через капилляр (перепад давлений между воздушной полостью сосуда и окружающим воздухом). Для измерения объёмного
расхода служит мензурка и секундомер.
Рис.4. Принципиальная схема и фото экспериментальной установки 2:
1-расходомер; 2-капилляр; 3- жидкостной U-образный манометр; 4- насос; 5- клапан.
4
3. Методика проведения эксперимента
Подготовка к опыту
Ознакомиться с описанием и лабораторной установкой. Включить электронные приборы и
дать им прогреться в течение (10 - 15) мин. Заполнить сосуд водой до красной метки на водомерном стекле (см. рис 3).
Внимание! Питание электронных приборов осуществляется напряжением 220 В, соблюдайте осторожность при работе!
Задание
В настоящей работе необходимо измерить величину коэффициента вязкости воздуха. Рассчитать по нему среднюю длину свободного пробега молекул воздуха в окружающей среде и эффективное сечение соударений (столкновений) молекул воздуха при нормальных условиях.
& = AΔP , где A - некото1. Проверить формулу Пуазейля (1.13), т.е. проверить зависимость V
рый коэффициент, зависящий от размеров капилляра и коэффициента вязкости газа. Для одних и
тех же капилляра и газа (в нашем случае воздуха) этот коэффициент должен быть постоянным, а
& =V
& ( ΔP) - линейной. Фактически устройство, состоящее из капилляра с включёнзависимость V
ным параллельно дифференциальным манометром, представляет собой расходомер (прибор для
& =V
& ( ΔP) представляет собой градуировочную хаизмерения расхода газа), тогда зависимость V
рактеристику расходомера. Для получения градуировочной характеристики по схеме №1 необходимо:
а) открыв кран, установить некоторый постоянный расход воды, а значит, и воздуха через
капилляр. Постоянство расхода предполагает постоянство перепада давления, т.е. постоянство
показаний тягонапоромера (не допускать зашкаливания прибора!);
б) найти секундный расход воды (а значит, и воздуха через капилляр), измерив объем жидкости, вытекающей в мерный сосуд за некоторое время, зафиксировав при этом показания тягонапоромера;
в) повторить пункты «а», «б» 7 - 10 раз, построить график, проведя между экспериментальными точками наилучшим образом прямую линию; лучше всего это сделать на компьютере методом наименьших квадратов;
г) определить коэффициент A.
& =V
& ( ΔP) снимается непосредственно по показаниям расходоДля схемы №2 зависимость V
мера и U-манометра
Экспериментальные данные удобно представить в виде таблицы (для схемы №1)
№
п.п
V,
мл
t,
с
ΔP ,
дел
ΔP ,
Па
& = V/ t,
V
мл/с
η
η,
Н с/м
Δη
2
Для схемы №2 можно составить аналогичную таблицу.
2. По известным параметрам (указаны на установке) капилляра (капилляр с меткой) рассчитать коэффициент вязкости воздуха для каждого случая. Найти среднее значение
k
η =
∑ ηi
i =1
,
k
и случайную ошибку среднего
5
k = ( 7 − 10) ,
(3.1)
k
o
Δη = t
∑ (ηi − η )
2
i =1
,
t – коэффициент Стъюдента.
(3.2)
k (k − 1)
Результат сравнить со справочными данными.
3. Для среднего значения η рассчитать l и πσ 2 для молекул воздуха (прежде чем обнародовать свои результаты, подумайте, разумны ли они?).
4. Оценить Re и Lp, т.е. ответить на вопрос было ли течение ламинарным и стабилизированным?
5. Пользуясь погрешностью приборов, рассчитать систематическую ошибку Δη для доверительной вероятности P=0,95 по формуле
2
2
2
2
2
⎛ Δl ⎞
⎛ ΔP ⎞
⎛ ΔR ⎞
⎛ Δt ⎞
⎛ ΔV ⎞
⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ .
⎟ + ⎜ ⎟ + 4⎜
Δη = η ⎜
(3.3)
⎝ l⎠
⎝ P⎠
⎝ R⎠
⎝ t⎠
⎝ V⎠
Сравнить среднеквадратичную ошибку (3.2) с систематической ошибкой (3.3). Если необходимо, то посчитать суммарную ошибку измерения коэффициента вязкости. Сделать выводы.
4. Контрольные вопросы
1. Каков механизм передачи импульса в газе?
2. Что такое коэффициент вязкости (вязкость) газов, его физический смысл и размерность?
3. Как изменяется вязкость газов с изменением давления и температуры?
4. Как зависит длина свободного пробега и эффективное сечение от давления?
5. В чем различие ламинарного и турбулентного течений? Число Рейнольдса?
6. Зависит ли градуировочная характеристика от температуры газа?
Список литературы
1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. М.: Наука. 1974. Т.2.
2. Кикоин А.К., Кикоин И.К. Молекулярная физика. М.: Наука, 1976.
3. Енохович А.С. Краткий справочник по физике. М.: Высш. шк., 1976.
6