Вопросы Междисциплинарного экзамена (версия 2014г.)

1. СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА МЕЖДИСЦИПЛИНАРНОГО
ЭКЗАМЕНА
1.1. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Аннотация
Рабочая программа по дисциплине "Уравнения математической физики" разработана для
студентов, обучающихся по направлению 010400, специальности “Прикладная математика и
информатика” очной формы обучения.
В программе дается содержание постановок различных задач математической физики,
классификация основных типов уравнений и изложение основных методов решения краевых
задач для уравнений в частных производных и интегральных уравнений.
Разработчик Огородников А.С., кафедра прикладной математики, АВТФ, e-mail:
am@am.tpu.ru, ogorodnikov@sibmail.com
1.1.1. Задачи, приводящие к уравнениям различных типов.
Рассмотрение законов сохранения энергии, массы импульса в различных формулировках:
законов Ньютона, Фурье (передача тепла), Нэрнста (диффузия). Уравнения колебаний струны и
мембраны. Уравнения гидродинамики. Уравнения теплопроводности и диффузии. Выполнение
математических постановок задач по конкретным условиям из области механики,
термодинамики, гидродинамики.
1.1.2. Классификация уравнений в частных производных.
Классификация линейных уравнений с двумя независимыми переменными. Приведение
уравнений к канонической форме. Замена переменных. Преобразование системы телеграфных
уравнений к уравнениям второго порядка. Преобразование системы уравнений Максвелла к
системам уравнений второго порядка.
1.1.3. Методы решения задачи Коши для волнового уравнения.
Метод Даламбера. Теорема об устойчивости решения задачи Коши от начальных данных.
Задача Коши для неоднородного волнового уравнения для бесконечной и полубесконечной
областей.
1.1.4. Метод Фурье решения краевых задач для уравнений гиперболического и
параболического типа.
Основные свойства собственных функций и собственных значений самосопряженных
операторов и их применение для решения краевых задач. Решение краевых задач для уравнений
гиперболического типа методом разделения переменных (уравнения и краевые условия
однородные). Решение неоднородных задач для уравнений гиперболического и
параболического типов. Решение задач в цилиндрической системе координат (неоднородные
уравнения, начальные и граничные условия).
1.1.5. Метод функций Грина решения задачи Коши для уравнений параболического типа.
Построение задачи Коши на прямой для уравнений параболического типа. Построение
решения задачи Коши для уравнения теплопроводности через функцию Грина на прямой и
полупрямой, а также в трехмерном пространстве.
1.1.6. Метод функций Грина решения задач для уравнений эллиптического типа.
Вторая формула Грина. Свойства гармонических функций. Построение функций Грина для
полупространства, круга и сферы методом электростатического изображения. Решение задачи о
распределении потенциала электростатического поля для круга.
БАНК ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ВОПРОСОВ
1. Уравнения колебаний струны и мембраны. Уравнения гидродинамики. Уравнения
теплопроводности и диффузии.
2. Система телеграфных уравнений. Уравнения электромагнитного поля. Постановка
краевых задач.
3. Классификация линейных уравнений с двумя независимыми переменными.
4. Приведение уравнений к канонической форме. Замена переменных.
5. Метод Даламбера. Теорема об устойчивости решения задачи Коши от начальных
данных.
6. Задача Коши для неоднородного волнового уравнения для бесконечной и
полубесконечной области.
7. Метод разделения переменных решения краевых задач (метод собственных функций).
8. Основные свойства собственных функций и собственных значений самосопряженных
операторов и их применение для решения краевых задач.
9. Метод Фурье для решения неоднородных краевых задач.
10. Разделение переменных в цилиндрической системе координат. Цилиндрические
функции.
11. Построение задачи Коши на прямой для уравнений параболического типа.
12. Построение решения задачи Коши для уравнения теплопроводности через функцию
Грина на прямой и полупрямой, а также в трехмерном пространстве.
13. Вторая формула Грина. Свойства гармонических функций.
14. Построение функций Грина для полупространства, круга и сферы методом
электростатического изображения.
15. Как зависит решение волнового уравнения для струны от силы натяжения.
16. Как зависит решение волнового уравнения для струны от линейной плотности
материалов струны.
17. Что происходит при возбуждении мембраны на одной из собственных гармоник.
Перечень рекомендуемой литературы
Основная литература
1. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. – М.: Наука, 2004.
– 432 с.
2. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. – М.:
Наука, 2002.- 688 с.
3. Кошляков М.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных
математической физики. – М.; Высшая школа, 1970. – 710 с.
4. Огородников А.С. Уравнения математической физики: Учебное пособие. - 2-е изд. - Томск:
ТПУ, 2010. - c. 96
5. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. – М.: Высшая школа, 1994. – 206 с.
6. Масленникова В.Н. Дифференциальные уравнения математической физики. – М.: изд-во
Российского университета Дружбы народов, 1998. – 475 с.
7. Михлин С.Г. Курс математической физики. – М.: Наука, 1968.–576 с.
8. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. – М.: Наука, 1986. – 287
с.
1.4. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Аннотация
Курс
"Теория
вероятностей
и
математическая
статистика"
является
общепрофессиональной дисциплиной для студентов Института кибернетики направления
010400 " Прикладная математика и информатика"; квалификация - бакалавр прикладной
математики и информатики.
В дисциплине излагаются понятия и математические основы теории случайных событий
и случайных величин, вопросы оценивания неизвестных параметров распределений и проверки
статистических гипотез, элементы корреляционного и регрессионного анализа. Основные
положения иллюстрируются рядом примеров и задач из различных областей науки и техники.
Рабочая программа разработана доцентом, к.т.н. Иванченковым В.П., кафедра
прикладной математики Института кибернетики ТПУ,
e-mail: am@am.tpu.ru.
Теория вероятностей
1.4.1. Случайные события.
Предмет теории вероятностей. Значение статистических методов. Статистический
подход к описанию случайных явлений. Основные понятия, пространство элементарных
событий, частота события, достоверные, невозможные и случайные события. Классическое и
статистическое определение вероятности, геометрическая вероятность. Их ограниченность при
описании реальных явлений. Поле событий. Аксиоматическое определение вероятности.
Свойства вероятностей. Условная вероятность. Независимые события. Теоремы сложения и
умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Бейеса. Повторение
испытаний Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Вероятность отклонения
относительной частоты от постоянной вероятности.
1.4. 2. Случайные величины.
Определение случайной величины. Закон распределения дискретной случайной
величины. Интегральная функция распределения и ее свойства. Плотность распределения
вероятностей. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание и
дисперсия, их свойства. Моменты случайных величин. Примеры законов распределения
дискретных и непрерывных случайных величин. Распределение функций случайных
аргументов. Система двух случайных величин. Закон распределения вероятностей дискретной
двумерной величины. Функция и плотность распределения, их свойства. Условные законы
распределения составляющих двумерных величин. Условное математическое ожидание.
Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент и
коэффициент корреляции. Обобщение двумерных случайных величин на n-мерные величины.
1.4.3. Предельные теоремы теории вероятностей.
Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева и ее значение для практики. Теорема
Бернулли. Центральная предельная теорема.
Математическая статистика
1.4.4. Выборочный метод.
Задачи математической статистики. Генеральные и выборочные совокупности. Способы
отбора. Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения.
Полигон и гистограмма.
1.4.5. Статистические оценки параметров распределения.
Выборочные характеристики случайных величин. Оценки. Несмещенные, состоятельные
и эффективные оценки. Оценки математического ожидания и дисперсии. Теория точечных
оценок. Функция правдоподобия. Метод наибольшего правдоподобия, метод моментов. Теория
интервального оценивания. Доверительный интервал и доверительная вероятность. Построение
доверительных интервалов для оценки параметров выборки из нормальной совокупности.
1.4.6. Статистическая проверка гипотез.
Статистическая гипотеза. Ошибки 1-го и 2-го рода. Отыскание критических областей.
Мощность критерия. Проверка гипотез о совпадении параметров распределения. Сравнение
средних и дисперсий нормальных генеральных совокупностей.
Проверка гипотез о виде распределения. Непараметрические критерии согласия. Теорема
Пирсона.
1.4.7. Корреляционный анализ.
Основные положения. Поле корреляции. Корреляционная таблица. Нахождение
параметров выборочного уравнения линейной среднеквадратической регрессии. Выборочный
коэффициент корреляции. Корреляционное отношение. Многомерный корреляционный анализ.
1.4.8. Регрессионный анализ.
Основные положения регрессионного анализа. Построение математической модели.
Уравнения регрессии, их приближения. Оценка значимости коэффициентов регрессии.
Проверка адекватности модели. Примеры применения.
БАНК ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ВОПРОСОВ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Дайте определения классической и статистической вероятности события.
Приведите их основные свойства.
Поясните операцию сложения случайных событий. Приведите и поясните
теоремы сложения вероятностей несовместных и совместных событий.
Дайте определение произведения событий. Докажите теоремы умножения для
независимых и зависимых событий.
Поясните смысл и важность для теории и практики формулы полной
вероятности.
В чем заключаются испытания Бернулли. Приведите и поясните локальную и
интегральную теоремы Лапласа.
Дайте определение закона распределения вероятностей дискретной случайной
величины. Приведите примеры законов распределения.
Дайте определение функции распределения и плотности распределения
вероятностей непрерывной случайной величины. Поясните их основные
свойства.
Поясните вероятностный смысл математического ожидания случайной
величины. Дайте его определения для дискретных и непрерывных случайных
величин.
Приведите определения дисперсии для дискретной и непрерывной случайной
величины. Рассмотрите ее основные свойства.
Поясните важность для теории и практики нормального закона распределения
вероятностей случайных величин. Приведите его основные свойства.
Дайте понятие о системе нескольких случайных величин. Закон распределения
вероятностей дискретной двумерной случайной величины.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
Поясните смысл функции распределения двумерной случайной величины и
приведите ее основные свойства.
В чем заключается вероятностный смысл двумерной плотности вероятности
случайных величин. Рассмотрите ее основные свойства.
Приведите числовые характеристики системы двух случайных величин.
Коррелированность и зависимость величин.
Поясните значения закона больших чисел для практики. Теорема Чебышева.
Сформулируйте задачи математической статистики. Дайте определения
статистического
распределения
выборки,
эмпирической
функции
распределения, полигона и гистограммы.
Сформулируйте основные требования к оценкам параметров распределения.
Оценки генеральной средней и генеральной дисперсии.
Дайте определения интервальной оценки параметров. Рассмотрите в качестве
примера один из возможных случаев определения доверительных интервалов
для оценки математического ожидания нормального распределения.
Поясните смысл методов моментов и наибольшего правдоподобия для
точечной оценки параметров распределения.
Сформулируйте основные задачи проверки статистических гипотез. Ошибки
первого и второго рода. Отыскание областей.
Рассмотрите методику проверки гипотезы о равенстве дисперсий двух
нормальных генеральных совокупностей.
Рассмотрите проверку гипотезы о нормальном распределении генеральной
совокупности по критерию согласия Пирсона.
Поясните функциональную, статистическую и корреляционные зависимости
случайных величин. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой
линии среднеквадратичной регрессии.
Сформулируйте основные положения регрессионного анализа. Уравнения
регрессии. Проверка адекватности модели.
Список рекомендуемой литературы
1.
2.
3.
4.
Основная литература
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа,
2001.
Колемаев В.А., Староверов О.В., Турандаевский В.Б. Теория вероятностей и
математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1991.
Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1988.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике. – М.: Высшая школа, 2001.
Дополнительная литература
1. Коваленко И.Н., Филиппова. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:
Высшая школа, 1982.
2. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Наука, 1979.
3. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных
функций. Под редакцией А.А. Свешникова. – М.: Наука, 1979.
1.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Аннотация
Рабочая программа по дисциплине “Обыкновенные дифференциальные уравнения”
разработана для студентов, обучающихся по направлению 010400, специальности “Прикладная
математика и информатика” очной формы обучения.
В программу по данной дисциплине включены следующие разделы теории
дифференциальных уравнений (ДУ):уравнения 1-го порядка и методы их решения; линейные
ДУ порядка n с переменными и постоянными коэффициентами; краевые задачи; системы
линейных ДУ с постоянной матрицей и методы построения решений таких систем; нелинейные
ДУ консервативных и неконсервативных систем и их анализ методом фазовой плоскости;
устойчивость решений ДУ.
Разработчик Козловских Александр Владимирович, кафедра прикладной математики,
АВТФ, e-mail: am@am.tpu.ru.
1.3.1. Дифференциальные уравнения первого порядка.
Основные понятия ДУ. Элементарные методы интегрирования ДУ 1-го порядка, теорема
единственности и существования решения ДУ, зависимость решения от Н.У.
1.3.2. Дифференциальные уравнения порядка N.
Основные определения. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского.
Общее решение однородного ДУ с постоянными коэффициентами. Связь функций, входящих в
фундаментальную систему решений с характеристическими числами линейного ДУ. Методы
интегрирования не однородных ДУ с постоянными коэффициентами: Лагранжа; Коши;
неопределенных коэффициентов.
1.3.3. Линейные системы порядка N.
Основные понятия и определения. Свойства решений систем ЛДУ. Системы линейных ДУ
с постоянными коэффициентами. Построение фундаментальной матрицы решений для разных
видов собственных чисел. Общее решения системы ДУ. Задача Коши. Отображение решений на
фазовой плоскости. Матричный метод решения систем ЛДУ. Операторная экспонента.
1.3.4. Не линейные системы.
Нелинейные консервативные системы. Потенциальная функция и ее связь с фазовым
портретом системы. Особые фазовые траектории. Лемма Морса. Гамильтоновы системы,
теорема Лиувиля. Неконсервативные системы ДУ. Предельные циклы и автоколебания.
Точечные отображения и их применение при анализе решений ДУ. Модель часов.
1.3.5. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений.
Устойчивость решений ДУ. Основные понятия, критерий Рауса - Гурвица, второй метод
Ляпунова. Первый метод Ляпунова.
1.3.6. Решение уравнений с переменными коэффициентами.
Уравнения с периодическими коэффициентами. Уравнение и функции Бесселя.
1.3.7. Краевые задачи для ОДУ.
Собственные значения и собственные функции краевых задач.
1.3.8. Использование современных математических пакетов для решения ОДУ.
Банк теоретических вопросов
Что называется общим решением дифференциального уравнения первого
порядка?
2. Уравнения, разрешимые относительно производной. Поле направлений?
3. Какое уравнение первого порядка называется однородным? Как оно решается?
4. Какое уравнение первого порядка называется линейным и неоднородным? Как оно
решается (метод Лагранжа)?
5. Какое уравнение первого порядка называется уравнением в полных дифференциалах?
Описать способы его решения.
6. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши?
7. Что такое фундаментальная система решений?
8. Какое условие является необходимым и достаточным для того, что бы данная система
решений была фундаментальной?
9. Как построить общее решение однородного линейного уравнения, если известна
фундаментальная система решений?
10. В чём состоит метод Лагранжа, используемый для нахождения общего решения
неоднородного уравнения?
11. В каких случаях и в каком виде может быть записано частное решение неоднородного
линейного уравнения с постоянными коэффициентами при использовании метода
неопределённых коэффициентов?
12. Как строится фундаментальная система решений в зависимости от вида
характеристических чисел (действительные разные).
13. Как строится фундаментальная система решений в зависимости от вида
характеристических чисел (комплексные сопряжённые).
14. Как строится фундаментальная система решений в зависимости от вида
характеристических чисел (корни кратные).
15. Когда система ДУ называется линейной?
16. Какая система линейных дифференциальных уравнений называется системой с
постоянной матрицей?
17. Метод Эйлера интегрирования однородных линейных систем с постоянными
коэффициентами.
18. Задача Коши для системы линейных однородных уравнений.
19. Матричная экспонента и её разложение в ряд?
20. Матричный метод решения систем ДУ?
21. Связь Жордановой формы матрицы системы с типом собственных чисел?
22. Понятие консервативной системы. Связь потенциальной функции с фазовым портретом
уравнения 2-го порядка ( на примере указанных видов потенциальных функций: W=x^2;
W=x^2-a*x^4).
23. Теорема Лиувиля. (Интегральный инвариант Гамильтоновой системы).
24. Предельные циклы не консервативной системы. Их типы.
25. Приближённый метод исследования предельных циклов. Определение гладкого цикла.
26. Устойчивость решений ДУ. Определение разных типов устойчивых решений ДУ.
27. Краевые задачи. Типы краевых условий.
28. Метод построения функций Грина.
29. Построение решения уравнения с переменными коэффициентами в виде полинома.
30. Обобщённый ряд решения уравнения с переменными коэффициентами.
1.
Список рекомендуемой литературы
Основная литература
1.
1.Н.М. Матвеев. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.М.:2005.
2.
Н.М. Матвеев Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным
уравнениям. "Высшая школа". М.: 2006.
3.
3.ЛЭ.Эльсгольц. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Наука. М.: 2007.
4.
В.И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Наука.М.:2001.
5.
С.М.Самойленко, С.А.Кривошея, Н.А.Перестюк.Дифференциальные уравнения. Примеры
и задачи.1989 г.
6.
А.В. Пантелеев, А.С. Якимова, А.В. Босов. Обыкновенные дифференциальные уравнения
в примерах и задачах. М.: «Высшая школа», 2001 г.
7.
Н.Н. Баутин, Е.А.Леонтович. Методы и приемы качественного исследования
динамических систем на плоскости. Наука. 1990.
8. В.И. Дмитриев. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям.Москва.2007.
9. Дьяконов В.П. Справочник по системе символьной математики DERIVE. М.:1998.
10. Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н. MATLAB 7. Санкт-Петербурк. 2005.
11. Эдвардс и Пенни. Дифференциальные уравнения и краевые задачи. Моделирование и
вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB
Дополнительная литература
1. А.А. Андронов, А.А Витт, С.Э. Хайкин. Теория колебаний. Наука. 1981 г.
2. Л.С. Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Наука.2002 г.
1.2. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Аннотация
Рабочая программа по дисциплине "Численные методы" разработана для студентов,
обучающихся по направлению 010400 «Прикладная математика и информатика» очной формы
обучения.
В программе дается описание численных методов решения типовых математических
задач. Рассматриваются задачи алгебры и математического анализа. Приводятся темы
лабораторных работ и индивидуальных занятий, предусмотренных в данной дисциплине.
Содержится перечень вопросов для итогового контроля.
Разработчик Орлов О.В., кафедра прикладной математики, АВТФ, e-mail: am@am.tpu.ru.
1.2.1. Предмет численных методов. Элементы теории погрешностей. Погрешность
математических операций
Основные понятия численных методов. Источники и классификация погрешностей.
Абсолютная и относительная погрешность числа. Верные цифры числа. Округление числа.
Связь относительной погрешности с количеством верных знаков числа. Погрешность суммы.
Погрешность разности. Погрешность произведения. Погрешность частного. Относительная
погрешность корня. Общая формула вычисления погрешности. Обратная задача теории
погрешностей. Погрешности вычисления на ЭВМ. Представление чисел в ЭВМ
1.2.2. Сжимающие отображения
Метрические пространства и сжимающие отображения. Теорема Банаха и решение уравнений.
1.2.3. Приближенное решение алгебраических уравнений
Отделение корней. Метод дихотомии (половинного деления). Метод золотого сечения Метод
касательных (Ньютона). Модификации метода касательных. Метод итераций. Сходимость
метода итераций. Способ подготовки алгебраических уравнений к методу итераций.
1.2.4. Численные методы линейной алгебры
Классификация численных методов линейной алгебры. Решение систем линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Гаусса. Решение СЛАУ методом Гаусса с выбором
главного элемента. Вычисление определителя методом Гаусса. Нахождение обратной матрицы
методом Гаусса. Решение СЛАУ методом прогонки. Нормы векторов и матриц. Погрешности
решения систем линейных уравнений. Обусловленность матрицы системы. Решение СЛАУ
методом простых итераций (метод Якоби). Решение СЛАУ методом Зейделя.
1.2.5. Приближение функций
Приближение функций. Постановка задачи. Классификация. Интерполяционный полином
Лагранжа. Сплайн – интерполяция. Постановка задачи. Классификация. Кубические сплайны
1.2.6. Численное интегрирование
Постановка задачи. Основные определения. Классификация методов численного
интегрирования. Квадратурные формулы Ньютона – Котеса. Методы прямоугольников и
трапеций. Метод Симпсона. Вычисление интегралов с заданной точностью. Правило Рунге
оценки погрешности численного интегрирования. Квадратурные формулы наивысшей
алгебраической точности
1.2.7. Численное решение систем нелинейных уравнений
Постановка задачи. Метод Ньютона. Метод итераций. Сходимость метода итераций.
Способ подготовки системы алгебраических уравнений к методу итераций
1.2.8. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши. Метод Рунге
– Кутта первого порядка точности (метод Эйлера). Метод Рунге – Кутта второго порядка
точности. Метод Рунге – Кутта четвертого порядка точности. Правило Рунге оценки
погрешности в методах Рунге – Кутта. Решение систем ОДУ первого порядка методом Рунге –
Кутта. Численное решение ОДУ высших порядков. Численное решение систем ОДУ высших
порядков. Многошаговые методы решения задачи Коши. Численное решение “жестких”
дифференциальных уравнений.
1.2.9. Численное дифференцирование
Численное дифференцирование путем конечно разностной аппроксимации производной.
Численное дифференцирование с использованием интерполяционного полинома Лагранжа.
1.2.10. Построение вычислительных алгоритмов
Способы построения вычислительных алгоритмов. Точность численных методов. Устойчивость
вычислительных алгоритмов. Сходимость вычислительных алгоритмов.
БАНК ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ВОПРОСОВ
1. Основные понятия численных методов. Источники и классификация погрешностей.
Абсолютная и относительная погрешность числа.
2. Погрешность суммы. Погрешность разности. Погрешность произведения.
3. Погрешность частного. Относительная погрешность корня.
4. Общая формула вычисления погрешности. Обратная задача теории погрешностей.
5. Сжимающие отражения. Метрические пространства и сжимающие отображения.
6. Сжимающие отражения. Теорема Банаха и решение уравнений.
7. Приближенное решение алгебраических уравнений. Метод дихотомии (половинного
деления).
8. Приближенное решение алгебраических уравнений. Метод золотого сечения
9. Приближенное решение алгебраических уравнений. Метод касательных (Ньютона).
10. Приближенное решение алгебраических уравнений Метод итераций.
11. Численные методы линейной алгебры. Классификация численных методов линейной
алгебры.
12. Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Гаусса.
13. Численные методы линейной алгебры Решение СЛАУ методом прогонки.
14. Численные методы линейной алгебры. Решение СЛАУ методом простых итераций
(метод Якоби).
15. Численные методы линейной алгебры. Решение СЛАУ методом Зейделя.
16. Приближение функций. Интерполяционный полином Лагранжа.
17. Численное интегрирование. Квадратурные формулы Ньютона – Котеса.
18. Численное интегрирование. Методы прямоугольников и трапеций.
19. Численное интегрирование. Метод Симпсона.
20. Численное решение систем линейных уравнений. Метод Ньютона.
21. Численное решение систем линейных уравнений. Метод итераций.
22. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши.
23. Метод Рунге – Кутта первого порядка точности (метод Эйлера). Решение систем ОДУ
первого порядка методом Рунге – Кутта.
24. Численное решение ОДУ высших порядков. Численное решение систем ОДУ высших
порядков.
25. Многошаговые методы решения задачи Коши.
26. Численное решение “жестких” дифференциальных уравнений.
27. Численное дифференцирование путем конечно разностной аппроксимации производной.
28. Численное дифференцирование с использованием интерполяционного полинома
Лагранжа.
Список рекомендуемой литературы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Основная литература
Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. - М.: Наука,1989.
Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Наука,1966.
Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике. - М.: Высшая
школа, 1990.
Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М.: Наука, 1987.
Поршнев С.В.. Численные методы на базе Mathcad : учебное пособие / С. В. Поршнев, И.
В. Беленкова. — СПб. : БХВ-Петербург, 2005. — 464 с. : ил. + CD-ROM.
Поршнев С.В. MATLAB 7: основы работы и программирования : учебное пособие для
вузов / С. В. Поршнев. — М. : Бином, 2006. — 320 с.
Амосов А.А. и др. Вычислительные методы для инженеров. - М.: Высш. школа, 1994.
Половко А. М., Бутусов П. Н. MATLAB для студента. — СПб.: БХВ-Петербург, 2005. —
320 с.
Дополнительная литература
Система инженерных и научных расчетов MATLAB 5.х : В 2 т. Т.1 / В. Г. Потемкин. —
1999. — 366 с.
Система инженерных и научных расчетов MATLAB 5.х : В 2 т. Т.2 / В. Г. Потемкин. —
1999. — 304 с.
Гультяев, А. Визуальное моделирование в среде MATLAB : Учебный курс / А. Гультяев.
— СПб. : Питер, 2000. — 432 с. : ил. — (Учебный курс).
Мэтьюз, Джон. Численные методы; Использование MATLAB : пер. с англ. / Д. Г.
Мэтьюз, К. Д. Финк ; Под ред. Ю. В. Козаченко. — 3-е изд. — М. : Вильямс, 2001. — 720
с.
Hunt Brian R. Matlab R2007 с нуля! Книга + Видеокурс/ Hunt Brian R. — М. : Лучшие
книги, 2008. — 352 с.
Чен К., Джиблин П., Ирвинг А. MATLAB в математических исследованиях : пер. с англ.
— М. : Мир, 2001. — 346 с.
Маликов В.Т., Кветный Р.Н. Вычислительные методы и применение ЭВМ. - Киев: 1989.
Дж.Ортега, У.Пул. Введение в численные методы решения дифференциальных
уравнений. - М.: Наука, 1986.
1.5. ЯЗЫКИ ПРОГРАММИРОВАНИЯ И МЕТОДЫ ТРАНСЛЯЦИИ
Аннотация
Рабочая программа по дисциплине "Языки программирования и методы трансляции"
разработана для студентов, обучающихся по направлению 510200, специальности «Прикладная
математика и информатика» очной формы обучения.
В программе даются основные принципы и методологии разработки современных
программных продуктов; поясняется важность абстракций и излагаются механизмы
абстракции, используемые для повторно используемых компонент при создании программного
кода; даются анализ и принципы построения основных алгоритмов; излагаются понятия, общие
для всех языков программирования, а также компоненты, присущие языкам С++ и C++Builder;
излагаются теоретические основы формального построения языков программирования;
излагаются основные принципы построения компиляторов.
Разработчики :
Рыбалка С.А., кафедра ПМ, АВТФ, am@am.tpu.ru
Шкатова Г.И., кафедра ПМ, АВТФ
1.5.1. Основы разработки приложений с использованием современных технологий
программирования в среде С++Builder
Общая характеристика проекта C++Builder. Структура приложения. Компиляция и
запуск.
Основы визуального проектирования. Понятие компонента. Компоненты для ввода
данных и отображения результатов. Общие свойства компонентов.
Управление проектом. Элементы событийно – ориентированного программирования.
Использование технологий современного программирования в С++Builder.
1.5.2. Механизмы абстракции в С++
Процедуры и функции как механизмы абстракции. Абстракции через спецификацию.
Абстракции через параметризацию. Механизмы параметризации (ссылки и значения).
Параметры типов и параметризованные типы. Параметры «по умолчанию». Использование
спецификации const при передаче параметров. Функции «in-line». Указатели на функцию.
Абстрактный тип данных (АТД). Определение. Концепция объектно-ориентированное
программирования — от физического объекта к программной модели.
Схема процесса создания программ для решения прикладных задач. Особенности
разработки АТД в С++. Указатели «this». Дружественные функции. Конструктор копирования.
Перегрузка операторов. Дружественные классы.
1.5.3. Элементы модульного программирования в С++
Определение модуля. Директивы препроцессора для подключения файлов. Условная
компиляция. Разделение интерфейса и реализации. Структура хэдер – файла. Структура
реализационного файла. Технология подключения модулей в среде C++Builder.
1.5.4. Реализация ввода – вывода при помощи потоков. Построение динамических
структур данных.
Понятие потока. Общая характеристика иерархии классов, отвечающих за ввод – вывод
данных в С++. Спецификации конструкторов классов ifstream, ofstream, fstream.
Понятие динамических структур данных. Деки, стеки, очереди, списки. Хеш-таблицы.
1.5.5. Основные вычислительные алгоритмы
Основные классические алгоритмы сортировки массивов в оперативной памяти:
метод наименьшего элемента, метод плавающего пузырька, метод прямого включения,
Шейкер-сортировка, сортировка Шелла, сортировка с вычисляемыми адресами.
Итеративные и рекурсивные алгоритмы. Понятие эвристических алгоритмов.
Алгоритмы поиска и технология программирования с отходом назад. Быстрая сортировка.
1.5.6. Теоретические основы построения компиляторов
Основные функции трансляторов. Типы трансляторов. Классификация трансляторов.
Концептуальная схема работы компилятора. Понятие прохода.
Формальные языки и грамматики. Основные определения. Способы записи правил
грамматики. Классификация языков и грамматик с использованием иерархии Ноама
Хомского.Цепочки вывода.
Распознаватели. Классификация распознавателей.
Регулярные языки, конечные автоматы. Приведение регулярных грамматик к
автоматному виду. Пример построения конечного автомата.
Синтаксический анализ. КС – языки и магазинные автоматы. Нисходящий
синтаксический анализ. Восходящий синтаксический анализ.
Банк данных теоретических вопросов
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
Механизмы процедурной абстракции.
Что содержится в спецификации процедуры.
Способы передачи параметров в процедурах С++.
Как изменятся параметры у функции на C++, если она станет полем структуры
Из каких соображений выбираются поля класса на C++.
Назначение конструктора класса.
Назначение деструктора класса.
Назначение конструктора копирования.
Что представляет собой поток ввода – вывода.
С какими классами связаны операции ввода – вывода.
Определение списка.
Определение стека.
Определение очереди.
Определение дека.
Основные операции со списками.
Определение узла списка.
Когда и где отводится память под переменную ссылочного типа.
Что означает понятие «переопределить операцию»? Когда это имеет смысл.
Сколько параметров может иметь operator – функция на C++, если она является членом
класса.
Как реализован механизм модульного программирования в С++.
Основные технологии современного программирования.
Понятие проекта.
Определение транслятора. Виды трансляторов
Условная трансляция в С++.
Что такое «лексема»? Лексический анализ.
Какую работу выполняет сканер.
Список рекомендуемой литературы
1.
2.
3.
4.
Основная литература
Рыбалка С.А., Шкатова Г.И. C++Builder. Задачи и решения. Учебное пособие. – Томск:
Изд-во ТПУ, 2010. – 486 с.
С.А.Рыбалка, Г.И.Шкатова. Методические указания «Языки программирования и методы
трансляции» – Томск: изд. ТПУ, 2000 г. – 88 с.
С.А.Рыбалка, Г.И.Шкатова. Методические указания к выполнению лабораторных работ,
2008г. (в электронном виде).
Компаниец Р.И., Маньков Е.В., Филатов Н.Е.. Системное программирование. Основы
построения трансляторов. – СПб.:КОРОНА, 2004. – 256с.
Дополнительная литература
5. Мозговой М.В. Классика программирования: АЛГОРИТМЫ, ЯЗЫКИ, АВТОМАТЫ,
КОМПИЛЯТОРЫ. Практический подход. – СПб.: Наука и техника, 2006. – 320с.
6. Пахомов Б.И. С/С++ и Borland С++Builder для начинающих. –Спб.: БХВ-Петербург, 2006,
-736с.: ил.
7. Гордеев А.В., Молчанов А.Ю. Системное программное обеспечение. –Спб.: Питер, 2003,
-640с.: ил.
8. Боровский А. С++ и Borland С++Builder. Самоучитель. –Спб.: БХВ-Петербург, 2005, 256с.: ил.
9. Серебряков В.А., Галочкин М.П.. Основы конструирования компиляторов. – М.:
Эдиториал УРСС, 2001. –224с.
10. Альфред В. Ахо, Джон Хопкрофт, Джеффри Д. Ульман. Структуры данных и алгоритмы.
– М. Вильяме, 2003. – 382c.