закон движения льда при ледоходе

УДК 532.543
Ерхов А.А., к.т.н., доцент
ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ ЛЬДА ПРИ ЛЕДОХОДЕ
Описаны натурные исследования движения льдины и получена математическая формула ледохода.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: ЛЕДОХОД, МОДЕЛЬ ЛЬДИНЫ, ФОРМА
РУСЛА, СКОРОСТЬ, УСКОРЕНИЕ, СИЛА.
Во многих странах мира гидрометрическая сеть сильно развита, поэтому стохастические методы оценки ледохода, как гидрологического фактора, в этих странах весьма плодотворны; территория РФ, гораздо большей
площади и плотность населения меньше – меньше наблюдений – меньше
статистической информации, и методы математической статистики отходят на второй план. По аналогии с жидким и твердым стоком именно генетический анализ в расчете ледохода должен находиться на первом плане.
Только тогда можно установить основные законы и функциональные связи
различных факторов.
Долгое время остается неизвестным, какими факторами определяется ледоход, что им движет; причем рассматриваемые в литературе вопросы
кинематики твердых тел в движущемся потоке разноплановы. И не смотря
на это, определить то конечное число факторов, которые определяют
структурное поле ледохода, и их значения в распределении скоростей не
просто.
Для достижения этой цели (определения характеристик кинематической структуры ледохода) в статье предпринимается попытка определить
факторы движения. То есть разработка метода расчета плановой кинематической структуры ледохода основывается на содержательной модели,
разработать которую нельзя без анализа сил, действующих между отдельной льдиной и потоком, потоком и руслом.
Определившись окончательно с условием движения, как с беззаторным (при возникновении заторов, как подныривания, так торошения, свободное движение льда нарушается и, естественно, возникают дополнительные вопросы, решение которых невозможно без привлечения теорий
удара, фильтрации и др.; вообще, заторный режим не следует называть ледоходом, в его истинном смысле), несколько места следует отвести методологии. Проблемам, связанным с беззаторым движением льда, посвящены
многие работы, и нет необходимости перечислять всех их авторов, тем бо-
1
лее что они не составляют методологической основы; достаточно указать,
что число источников определяется десятками.
Достоверность теоретических абстракций подтверждается натурными измерениями (система организации и проведения инженерных изысканий ледоходов при исследованиях на конкретных объектах вопрос отдельный, и здесь не рассматриваемый) на водотоках двух типов: с пониженными и повышенными скоростями.
1. МЕТОДИКА НАБЛЮДЕНИЙ
Эксперимент проводился для неравномерного установившегося
движения потока в естественном русле. Уровни и расходы в реках меженные низкие, скорости малые.
Эксперимент заключался в пропускании через створы участка реки
двух одинаковых поплавков и двух разных по размеру изготовленных из
газонаполненного пластика моделей – большой и малой; размер моделей:
I-й – 61565566 мм, II-й –25725164 мм. Для придания моделям средней
плотности, равной плотности льда (0,92 г/см3), они были утяжелены грузом. I-я модель имела вес 24 кг, II-я – 3,7 кг, поэтому они выступали из воды на 5 мм (толщины обоих моделей – 66 и 64 мм – приближенно равны).
Размер моделируемых льдин принимался таким, чтобы движение было
беззаторным и, тем не менее, льдины должны занимать некоторую существенную площадь поверхности зеркала, и иметь ощутимую массу. Моделировались наиболее интересные с точки зрения возникновения проблем с
пропуском участки русла: повороты, осередки, торчащие валуны; хотя
наиболее характерными являются всё же повороты.
Для соблюдения условия «чистоты» эксперимента на поверхность
моделей наносился стеарин, коэффициент трения скольжения которого
близок коэффициенту скольжения льда, idest f = 0,02.
Модели и поплавки пускались на плёсе с середины ширины реки.
Наблюдения проводились на двух реках, относимых к категории малых: Мде Новгородской обл. и Пехорке – Московской. Основные отличия
двух рек: у Мды в два-три раза ниже скорости, и на Пехорке имеются сооружения: плотины, мосты.
Обе реки похожи: в межень маловодны, приближенно равные уклоны.
2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ
Трассы моделей и поплавков существенно не отличались: по мере
приближения к повороту они всё больше прижимались к левому вогнутому берегу, что естественно. Однако направление трасс к вогнутому берегу
изменялось задолго до поворота, что говорит о возникновении поперечных течений. Ниже представлена таблица с рисунками. На рисунках слева
показаны границы берегов, справа – графики (для этих участков) относи-
2
тельного ускорения и характеристики формы русла (см. ниже). На первом
рисунке для одного из экспериментов показаны трассы поплавков и моделей, которые сливаются.
3
4
3. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Ледоход теоретически исследован слабо. И об этом говорит, например то, что в учебной литературе по гидравлике движению льда посвящены одна-две неполных страницы, и нет ни одной формулы.
Однозначно, кинематика льдины функционально обусловлена геометрией самого русла. Например, отношением средней глубины к ширине
потока hср/B.
Поскольку при продвижении льдины осуществляется работа (с учетом гипотезы А.Я. Миловича (1912 г.) о нерабочем характере движения на
повороте) через отношение кинетических энергий льда и поверхностных
частиц потока, связанных с ускорениями auл и auпов, необходимо учесть силовой фактор, то есть f(gV).
Для учета на рассматриваемом участке dxn ускорения an+1 с участка,
расположенного ниже по течению, необходимо также учесть особенности
кинематики этого участка: Ln/Rn+1, где R – гидравлический радиус поворота
или русловой неоднородности – функция Ln+1 (L – длина участка).
Естественно, что перечисленные факторы множатся, взаимно обусловливая сложную связь скорости льда со скоростью потока, ширины и
глубины русла, длины прямолинейного участка и радиуса поворота.
5
Установив окончательно факт взаимосвязи скоростей льда и потока с
формой русла, можно сделать следующие выводы. Но прежде следует пояснить, что отмеченный факт трудно истолковывается только потому, что
связь скорости с геометрией русла «косвенная»; явно то, что динамические
характеристики потока и формируемое им русло (и, наоборот) взаимно
обуславливаются, а как выражается скорость через давление известно.
Для составления планов кинематической структуры ледоходов ускорение льдины в струях поверхностных линий токов относительно ускорения этих линий предлагается определять на основании результатов натурных или лабораторных исследований этих токов.
Таким образом, принимать траектории движения льдин равными
траекториям поверхностных линий токов неверно. Хотя в силу незначительной разницы продольных скоростей в приповерхностном слое и незначительной плотности воды и льда разница в траекториях, очевидно, ничтожная. И в этом случае для описания ледохода на первый план должна
выступить теория столкновений, а изучение движения отдельных льдин
утрачивает смысл. Отсюда следует тривиальный вывод: ледоход – это
структура сложно взаимодействующих систем потока и скоплений льда.
Но для того и существует индуктивный метод познания, чтоб из мелочей сложить целостную картину всего (порой сложного) явления.
Уравнение продольного движения идеальной жидкости по Л. Эйлеру
Fx 
1 dp du x

,
 dx dt
(1)
где ux(x, y, z, t) = dx/dt, x = f(a, b, c, t).
Поверхность воды является поверхностью равного давления, то есть
p = const. На поверхности из формулы (1) –


du пов
 f   g  h, B 1 .
dt
(2)
Другое дело, что на поперечную грань льдины воздействует давление силой
.
(3)
где p и W – давление и полная и скорость частицы; p0 и W0 – начальные
давление и полная и скорость частицы в набегающем потоке. Здесь льдина
движется согласно квадрату полной скорости
,
(4)
где u, v, w – общепринятые обозначения составляющих скорости.
По сути, для движения льда имеет значение не глубина, а другая величина – её изменение, то есть потери напора – гидравлический уклон.
6
Отсюда в соответствии с Д. Бернулли для руслового потока жидкости средней скоростью v
,
(5)
а в потоке с тяжелой жидкостью конечной глубины
.
(6)
Потери напора зависят не только от скорости и массы воды, но и от
радиуса поворота русла R. Известна [2] формула
.
(7)
где n – число прямых поворотов,  - угол поворота < 90°. Откуда
,
(8)
Средняя скорость прямо пропорциональна потерям напора и обратно
пропорциональна глубине. Таким образом, из (8)
dWл  dWпов  gh

 f  R, L 

dt
 dt  B
.
(9)
Из представленных в разд. 2 графиков выведем формулу движения
льда.
Ускорение льда относительно ускорения поверхностной скорости
потока зависит от силовой компоненты, выражающейся через относительный вес и размерные характеристики потока. Основной закон движения:
a л  aпов
gh L R  1
B
e
,
(10)
где gh/B – относительный вес столба воды в поперечном сечении;  –
плотность воды в кг/дм3; g – ускорение силы тяжести; h – средняя глубина
в поперечном сечении; B – ширина русла в месте данного сечения; e – основание натуральных логарифмов – мировая константа, указывающая на
однородность пространства и времени, то есть, сохранение количества
движения (энергии и импульса); L – длина прямолинейного участка перед
поворотом; R – радиус поворота (понятие относительной ширины B/h, используемое в некоторых работах, применимо там, где рассматриваются
вопросы динамики русла; понятие относительной глубины h/B должно
применяться к кинематическим характеристикам самого потока через силы
веса).
То есть, пропорциональность ускорения льда весу воды под ним
обусловлена изменением её скорости, определяемой разгоном и торможением.
Кривая связи ускорения льда относительно ускорения поверхностных слоев потока с характеристикой геометрии русла представлена на рисунках разд. 2 (изображены два графика: auл/auпов = f (x1) и  ghср/BeL/(R+1) = f
7
(x2)). Коэффициент корреляции (от –1 до 1) данных обоих графиков, с учетом того, что ускорение начинает изменяться на некотором расстоянии до
русловой неоднородности, составляет около 0,6, что приемлемо для приближенных расчетов. Ну и в целом позволяет представить направление
движения льдин.
4. ВЫВОДЫ
1. Реки, на которых проводились исследования, то есть равнинные
реки средней полосы категории малых рек, по особенностям движения
льдин являлись прочими среди равных.
2. Лед, как тело, покоящееся в движущейся жидкости, в некотором
смысле обладает условиями и статичности, и динамичности.
3. Движение отдельной льдины определяется его плотностью, формой и размерами.
4. Натурные исследования показали, что скорости льда отличаются
от скорости поверхностных линий токов на малую величину:  0,01, и 0,04.
И в среднем получается, что модель льда движется медленнее поплавка: на
5-6 %. Это находится в разногласии с некоторыми результатами ранее проведенных исследований других авторов, но согласуется с законом сохранения количества движения (импульса), согласно которому движение льда
должно вызываться движением потока. Разумеется, скорость ледохода всегда будет больше средней скорости потока hср.
5. Если допустить, что ледоход начинается с нижних по течению
участков водотока, и что движение идет без заторов, то столкновения
вследствие относительно низкого коэффициента сплошности можно исключить вовсе, и не учитывать групповое поведение льдин в явлении, а
рассматривать как совокупность движения отдельных тел.
6. Если плотность льда принять близкой плотности воды, то можно
пренебречь составляющей силы в направлении оси силы тяжести, тогда задача превращается в плановую.
7. Согласно закону сохранения количества движения лёд будет двигаться в потоке прямолинейно лишь до тех пор, пока на него не станет воздействовать сила потока, изменяющая это направление.
Результаты наблюдений показывают, что в потоке действуют силы,
приложенные к недеформируемому твердому телу со стороны жидкости.
8. Скорость льда в поверхностных линиях тока зависит от скорости
потока, его ускорения и геометрических параметров (глубины, ширины,
гидравлического радиуса) русла, поскольку русло формируется под действием сил, возникающих в потоке в движении.
В отличие от динамического показателя ГГИ (1924 г.) для равнинных
рек B m H  K , где m – переменный показатель степени для руслоформирующего расхода (2…10 % обеспеченности), изменяемый в пределах
8
1…0,5, кинеатическим показателем движения льда является h/B; и о
формировании льдом русла обычно говорят в связи с его воздействием на
берега.
Между шириной русла и извилистостью Институтом речного флота
предлагается формула B  2,12R  246 .
9. Скорости меньших по размеру льдин больше скоростей больших
льдин (и в потоке с повышенными скоростями, и в потоке с пониженными). Объясняется это тем, что тело меньшей, чем вода плотности в объеме
жидкости имеет меньшую инерционную массу.
10. Перед поворотом имеется локальное увеличение (довольно резкое) скорости льда по сравнению с увеличением поверхностной скорости
потока. Это происходит потому что, во-первых, значение осредненной
продольной скорости на вертикали с глубиной уменьшается, во-вторых,
сила инерции частиц воды больше, чем льда в объеме жидкости, так как
они имеют большую массу.
Большее локальное падение скорости льда после прохождения «быстрого» участка по сравнению с поплавком обосновывается, во-первых,
изменением профиля скорости и, во-вторых, меньшей инерционной массой
модели в объеме жидкости за вычетом объема над поверхностью воды, как
находящегося вне потока.
Итак, наблюдения показывают: перед поворотом и непосредственно
за ним скорость льда ниже поверхностной скорости потока, на повороте –
больше.
11. С изменением средней скорости потока по длине изменяется и
соотношение uпов и uл. И поскольку uл и uпов имеют значение только как местные величины, следует учитывать разницу в ускорениях продольной и
поперечной скорости, которой и будут определяться траектории.
12. Перед русловой неоднородностью, поворотом или перекатом
(участком с меньшим живым сечением потока) ускорение льда становится
больше ускорения потока, за перекатом или поворотом – наоборот. На
плесе, когда площадь живого сечения существенно не изменяется, скорости льда и поверхностной потока фактически равны. Но это общие закономерности, которыми совершенно нельзя руководствоваться при принятии
окончательных решений.
13. Снижение ускорения льда после прохода «быстрого» участка
обусловлено затуханием колебаний вектора скорости uл, поэтому ледоход
следует рассматривать только как волновое явление. В предположении о
малости упругих колебаний льда и свободной поверхности жидкости эти
колебания должны трактоваться как возмущения, возникающие за счет отклонения от начальных условий, соответствующих установившемуся движению. Но это предмет отдельного исследования.
9
14. Лед, имея меньшую инерционную массу, ускоряется быстрее потока, затем, быстрее замедляет свое движение (поверхностные слои потока
относительно льда движутся с некоторым запозданием), при этом данный
процесс происходит с переменной частотой.
15. Область таких переходов наиболее опасна с точки зрения заторообразования.
16. Например, на повороте льдины, имея скорости больше поверхностных, интенсивно выносятся на вогнутый берег и, налетая на него, создают нагромождения, формирующие заторы.
17. Льдины больших размеров ускоряются медленнее, чем льдины
меньших размеров.
18. Значение uл/uпов в значительной степени определяется профилем
продольной скорости. Вместе с тем, при прямолинейном равномерном
движении разницы в скорости uл и uпов не отмечается.
19. Таким образом, отсюда, можно сделать вывод, что принимать
траектории движения льдин равными траекториям поверхностных линий
токов неверно. Хотя в силу незначительной разницы продольных скоростей в приповерхностном слое и незначительной плотности воды и льда
разница в траекториях, очевидно, ничтожная.
20. И в этом случае для описания ледохода на первый план должна
выступить теория столкновений, а изучение движения отдельных льдин
утрачивает смысл. Отсюда следует тривиальный вывод: ледоход – это
структура сложно взаимодействующих систем потока и скоплений льда.
21. Связь между aл с формой русла надежно прослеживается, и, действительно, ускорение льда зависит от гидродинамического напора.
22. В нижних слоях потока гидродинамический напор ниже, поскольку и скорость ниже.
23. В различного рода расчётах, например деформации русла, нельзя
обойтись без учёта кинематических характеристик. Но без учёта в теории
силового фактора любые содержательные модели окажутся не то чтобы
бесплодными, но излишне эмпиричными. Поэтому крайне интересным и
наиболее важным является получение формулы, в которой скорость оказывается определяемой давлением.
Действительно, масса – это основная физическая величина, скорость
– дополнительная. А, поскольку, большинство расчётных методик основано на учёте скорости, и связь этих двух величин не просто безусловна (в
формуле скоростного напора v2/2 единственно, что раскрывает силу – скорость), аналитическая зависимость скорости от «массы» водного потока
откроет новые пути разработки расчётных методик, в том числе и ледохода.
10
24. Силы, участвующие в движении и связанные с потерями, относятся к реальным физическим силам, но и такие фиктивные силы, как сила
инерции и кариолисова, также должны рассматриваться, поскольку характеризуют перемещение в реальной среде.
25. Разница в силах инерции льда в объеме жидкости и частиц потока, приводящая к (незначительной) разнице скоростей, если она и возникает, приводит к возникновению сил сопротивлений. Данные силы определяются силами трения, вихре- и волнообразование. Таким образом, эти величины – производные поверхностных скоростей потока.
26. Отсюда, потери энергии льда возрастают при возникновении разницы в силах инерции, поэтому на прямолинейных участках потерь практически нет.
27. Выводы, касающиеся продольного движения льда, справедливы и
для поперечного его смещения.
28. Кинематическая структура ледохода в плане должна определяться и рассматриваться по анализу струй поверхностных линий токов.
Список литературы:
1. Милович А.Я. Теория динамического взаимодействия тел и жидкости. 2-е изд. исправл.и доп. М.: Изд.по стоит. и арх., 1955. – С. 310.
2. Милович А.Я. Основы гидромеханики. М.-Л.: Государственное
энергетическое издательство, 1946. – С. 152.
3. Милович А.Я. Теория динамического взаимодействия тел и жидкости. М.-Л.: Гос.энергетич.издат., 1940. – С. 239.
4. Гибсон А. Гидравлика и ее приложения. М.Л.: ОНТИ Энергоиздат,
1934. – 610 с.
5. Ерхов А.А. Кинематическая структура подледных потоков: Дис.
… канд. техн. наук: 05.23.16 / ГП СНЦ «Госэкомелиовод». – М., 1998. –
247 с.
11