Использование графической интерпретации квадратного

Использование
графической
интерпретации
квадратного
трехчлена при решении задач с параметром
Наиля ТИМЕРБАЕВА,
доцент кафедры теории и технологий преподавания математики и
информатики института математики и механики им. Н.Лобачевского
КФУ, кандидат педагогических наук
Анализируя типичные затруднения при выполнении заданий ЕГЭ по
математике за прошлый год, специалисты ФИПИ отмечают, что к решению
задач типа С5 (с параметрами) приступило лишь от 4 до 14% выпускников и
только от 0,4 до 1,5% из них полностью справилось с решением, получив по
4 балла. На основе проведенного анализа делается вывод, что подготовить
даже очень сильных обучающихся к выполнению заданий типа С5 в
условиях базовой школы довольно сложно, для этого необходима серьезная
кружковая, факультативная и т.п. работа [1].
Действительно,
не
существует
единого
универсального
метода
решения задач с параметром, невозможно заранее «натаскать» учащихся на
применение какого-то определенного способа или алгоритма. При решении
таких задач приходится применять весь имеющийся арсенал методов:
графический, аналитический, учитывать при этом специфические свойства
уравнений или систем уравнений, исследовать взаимное расположение
отрезков, прямых, окружностей и т.п. Мы хотим рассмотреть возможность
использования графической интерпретации квадратного трехчлена при
решении некоторых задач с параметром, что на наш взгляд, может
существенно облегчить понимание учащимися такого типа задач, привлечь
внимание к этим задачам, а, возможно, и привить вкус к их решению.
Расположение корней квадратного трехчлена f ( x)  ax2  bx  c, a  0
относительно точки k оси абсцисс
I случай. Оба корня трехчлена меньше некоторого числа k
( x1  k , x2  k ).
Изобразим ситуацию графически и выведем соответствующие условия.
Замечаем, что в зависимости от знака
старшего коэффициента а ветви параболы могут
быть направлены вверх или вниз, парабола
k х
может касаться оси абсцисс или пересекать ее в
зависимости
от
числа
корней.
Проверим
значение функции в контрольной точке k. При
положительном старшем коэффициенте a > 0, функция также принимает
положительное значение f(k) > 0 и, соответствующее произведение
положительно af (k )  0 , при отрицательном старшем коэффициенте a < 0,
функция принимает отрицательное значение f(k) < 0, а соответствующее
произведение остается положительным af (k )  0 . Первое условие оценки
получено. Далее замечаем, что абсцисса вершины параболы x0 четко
зафиксирована
относительно
контрольной
точки
k
оси
абсцисс,
соответственно, получаем второе условие: x0  k . Поскольку квадратный
трехчлен может иметь один или два корня, выписываем третье условие
af (k )  0,

оценки D  0 . Итак, можно записать все условия оценки вместе:  x0  k ,
 D  0.

II случай. Оба корня трехчлена больше некоторого числа k
( x1  k , x2  k )
Единственным отличием от предыдущего
случая является условие на абсциссу вершины
параболы, и, соответственно, оценка будет
k
х
выглядеть так:
af (k )  0,

 x0  k ,
 D  0.

III случай. Число k находится между корнями трехчлена ( x1  k  x2 )
Замечаем, что произведение старшего
коэффициента
на
значение
функции
в
контрольной точке в данном случае будет
х
k
отрицательным af (k )  0 . Соответственно, если
ветви параболы направлены вверх, а функция
принимает в некоторой точке отрицательное
значение, то парабола обязательно пересекает ось абсцисс в двух точках, и
квадратный трехчлен имеет два корня. Аналогично в случае, когда ветви
параболы направлены вниз, квадратный трехчлен также имеет два корня.
Значит, условие на дискриминант является необязательным. Также можно
заметить,
что
абсцисса
вершины
параболы
x0
не
зафиксирована
относительно контрольной точки k оси абсцисс, и, значит, условие на нее
наложить невозможно. Поэтому в данном случае требуется лишь, чтобы
af (k )  0 .
Также следует рассмотреть случаи расположения корней трехчлена
относительно двух точек на оси абсцисс.
Расположение корней квадратного трехчлена относительно
интервала (M;N)
I случай. Оба корня расположены в интервале (M;N) ( M  x1  x2  N )
Проведя рассуждения, аналогичные
приведенным
выше
(соответствующие
произведения старшего коэффициента на
значения функций в контрольных точках
х
M
N
положительны, абсцисса вершины параболы
строго зафиксирована относительно
контрольных точек, квадратный трехчлен имеет один или два корня) можно
выписать следующие условия оценки:
af ( M )  0,
af ( N )  0,


 M  x0  N ,
 D  0.
II случай. На интервале корней нет, т.к. один из них меньше числа M, а
второй
–
больше
числа
( x1  M  N  x2 )
N
Соответствующие
произведения
старшего
коэффициента
на
значения
функций в контрольных точках
х
M
N
отрицательны,
поэтому
соответствующая
парабола
обязательно пересекает ось Ох,
абсцисса
вершины параболы не зафиксирована четко
относительно
контрольных точек. Условия оценки накладываются лишь на произведения:
af ( M )  0,

af ( N )  0.
III случай. На интервале больший корень трехчлена ( x1  M  x2  N )
Замечаем,
что
соответствующие
произведения старшего коэффициента на
M
N
х
значения функций в контрольных точках
отличаются
по
знаку,
поэтому
соответствующие параболы обязательно
пересекут ось Ох, вершины парабол не зафиксированы относительно
контрольных точек. Значит, имеем следующие
af ( M )  0,
условия оценки: 
af ( N )  0.
IV случай. На интервале меньший корень трехчлена ( M  x1  N  x2 )
Здесь рассуждаем, как и в предыдущем
af ( M )  0,
случае. Условия оценки: 
af ( N )  0.
х
M
N
Следует
отметить,
что
не
стоит
добиваться
заучивания
или
запоминания условий оценки. Необходимо, чтобы учащиеся каждый раз при
решении соответствующей задачи, самостоятельно проводили всю цепочку
рассуждений и сами выписывали требуемые условия.
Проиллюстрируем
графической
на
интерпретации
примерах
возможность
квадратного
трехчлена.
использования
Нами
будут
рассмотрены задачи типа С5 из учебно-методических пособий под редакцией
Ф.Лысенко по подготовке к ЕГЭ по математике 2013–2014 гг.
В первых примерах предлагаемый способ решения, на наш взгляд,
является оптимальным.
Пример 1. Определить значения параметра а, при которых число а
лежит между корнями уравнения a 2 x 2  (7a  6a 2 )  x  6a  8  0 [3, вариант
24].
Решение.
По смыслу задачи a  0 . Теперь старший коэффициент a 2 всегда
положителен, ветви параболы направлены вверх.
Введем обозначение f ( x)  a 2 x 2  (7a  6a 2 )  x  6a  8 и изобразим
ситуацию графически:
Накладываем условие на произведение
х
а
старшего коэффициента и значение функции
в контрольной точке а: a 2  f (a)  0
a 2  (a 4  6a3  7a 2  6a  8)  0 .
a 2  (a  1)(a  1)(a  2)(a  4)  0
Окончательно имеем a  ( 1;0)  (0;1)  (2; 4) .
Ответ: a  ( 1;0)  (0;1)  (2; 4) .
Пример 2. Найти все значения параметра а, при каждом их которых
ровно один из корней уравнения x 2  (3a  1)  x  2a  3  0 принадлежит
промежутку [–1;4) [3, вариант 16].
Решение. Здесь старший коэффициент равен 1, ветви параболы
направлены вверх.
I случай. На промежутке меньший корень уравнения.
Условия
накладываем
только
на
значение функции в контрольных точках:
х
-1
 f (1)  0, 5  a  0,
15

 a  (;  ).

14
 f (4)  0,
14a  15  0,
4
II случай. На промежутке больший корень уравнения.
Аналогично первому случаю имеем:
х
-1
4
 f (1)  0, 5  a  0,

 a  (5; ).

 f (4)  0,
14a  15  0,
III случай. Один из корней уравнения равен –1, а другой не
принадлежит рассматриваемому промежутку. Здесь возможны ситуации а) –1
– больший корень уравнения и б) –1 – меньший корень.
а)
б)
а)
х
-1
4
В этой
ситуации
вершина четко
зафиксирована относительно –1, функция в
левой точке принимает нулевое значение, а в
правой – положительное:
 3a  1


 1, 

x


1,
а  1,
 0
2



 a  5,
 a  5.
 f (1)  0,  a  5,
 f (4)  0,
14a  15  0,

15


a   ,

14

б) в этой ситуации вершина четко не зафиксирована относительно
контрольных точек, функция в левой точке принимает нулевое значение, а в
правой – отрицательное:
a  5,
 f (1)  0, 


15  a .
f
(4)

0,
a


,


14
IV случай. Когда уравнение имеет единственный корень, и он
принадлежит рассматриваемому промежутку. Вершина четко зафиксирована:
9a 2  14a  11  0,
 D  0,




3a  1

1

x

4,

1



4,
0



2
х
-1
a
4

7  2 37
7  2 37
; a2 
,
a1 


9
9
3  a  1,

7  2 37
.
9
Ответ: a  (; 

15
 7  2 37 

)
  [5; ).
14
9




Пример 3. Найти все значения параметра а, при каждом их которых
уравнение (a  1)  x 2  (2a  3)  x  a  0 имеет два различных корня и только
меньший из корней принадлежит промежутку (–2;3] [3, вар. 15].
Решение.
Из условия задачи следует, что a  1. Старший коэффициент может
принимать и положительные, и отрицательные значения.
I случай.
Достаточно
наложить
соответствующие
х
3
-2
коэффициента
условия
произведения
и
значения
на
старшего
функций
в
контрольных точках:
(a  1) f (2)  0, (a  1)( a  10)  0,

 a  (0;1).

(
a

1)
f
(3)

0,
16
a
(
a

1)

0,


II случай. Меньший корень совпадает с числом 3.
Здесь абсцисса вершины параболы расположена правее числа 3, и
функция в принимает нулевое значение при нем:
х
-2
16a(a  1)  0,
 f (3)  0, 
a1  0; a2  1,




 2a  3

x

3,
a

(0;1),


3,

 0

 a 1
3
 a .
Ответ: a  (0;1).
Следующие две задачи авторы предлагают решать графически, но, на
наш взгляд, предлагаемый нами способ несколько проще, он позволяет
рассмотреть все возможные случаи, и, записав соответствующие условия
оценки, получить искомый результат.
Пример 4. Найти все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение х x  a  a  2  0 имеет единственное решение [2, вариант 13].
Решение. Раскроем знак модуля и вычислим необходимые значения:
Уравнение
 x 2  ax  a  2  0 или
x 2  ax  a  2  0 (1)при
x  a
x 2  ax  a  2  0 (2)
при x  a
Дискриминант
Абсцисса
вершины
параболы
Значение
функции
контрольной
точке
D  a 2  4a  8  0 при
любых значениях а
в
Возможны
D  a 2  4a  8 
 (a  2  12)(a  2  12)
x0  0,5a
x0  0,5a
f (a)  a  2
f ( a )  a  2
следующие
случаи:
I.
исходное
уравнение
имеет
единственное решение при x  a , а при x  a не имеет; и II. наоборот – не
имеет решения при x  a , а при x  a имеет единственное решение.
Рассмотрим каждый случай в отдельности.
I случай. Уравнение (1) имеет единственное решение при x  a , если
соответствующий квадратный трехчлен расположен следующим образом:
а
)
Запишем необходимые условия:
б
-а
а)
х
 a
 x0  a,
    a,
 2
 a  2.

f
(

a
)

0,


a  2  0,
б) f (a)  0  a  2  0  a  2.
Объединяя полученные значения, имеем a   2;  .
Уравнение (2) не имеет решений при x  a , если
а) D  0  a  (2  12;2  12)
а
б
или
б)
б
-а
х
a  2  12; a  2 
 D  0,
 a

 x0  a,    a,
 f (a)  0

 2
a  2  0

12,
 a  2;2  12  .

Объединяя полученные в ситуациях а) и б) значения, имеем
a(2;2  12).
Найдем
пересечение
полученных
для
этого
случая
значений:

a  2;  ,
 

 a  (2;2  12).

a  (2;2  12),

II случай. Уравнение (1) не имеет решения при x  a , если
 a
 x0  a,
    a,
 2

 f (a)  0, a  2  0,

-а
х
a
  0,
 2
 a  .
a  2,
Значит, уравнение (1) при x  a всегда имеет решения, что не
удовлетворяет требуемому, поэтому уравнение (2) рассматривать не имеет
смысла.
Решением задачи будет множество значений, полученных в первом
случае.
Ответ: a  (2;2  12) .
Пример 5. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
9 x  a  31 x  a
2
2
31 x  1
2
 2 имеет ровно два корня [3, вариант 21].
Решение. Сделаем замену 3 x  t , t  0. А так как  x2  0, то 3 x  1
2
2
t 2  3a  t  a
или t  1. Уравнение принимает вид
 2, при этом t  1/ 3.
3 t 1
Преобразуем исходное уравнение к виду t 2  3(a  2)  t  a  2  0 (1),
где t  (0;1/ 3)  (1/ 3;1].
Исходное уравнение имеет ровно два корня, если уравнение (1) имеет
единственное решение. Но при t = 1 уравнение 3 x  1 имеет один корень
2
х=0, что не удовлетворяет условию.
Соответственно, задачу можно сформулировать так :
при каких значениях параметра уравнение t 2  3(a  2)  t  a  2  0 (1)
имеет единственное решение на множестве t  (0;1/ 3)  (1/ 3;1) ?
Вычислим все необходимые значения:
• дискриминант уравнения D  (a  2)  (9a  14);
• абсциссу вершины соответствующей параболы t0  1,5  (a  2);
•
значения
функции
во
всех
контрольных
точках
f (0)  a  2; f (1)  2a  3; f (1/ 3)  1/ 9. Причем заметим, что значение в
последней точке положительное.
I случай. Уравнение имеет единственный корень, и он находится в
первом промежутке:
х
0
1/3
 D  0,
a  2, a  14 / 9
 f (0)  0,
a  2,



 a .

f
(1/
3)

0,
1/
9

0,


0  t0  1/ 3
2  a  16 / 9
II случай. Уравнение имеет единственный корень, и он находится во
втором промежутке:
 D  0,
a  2, a  14 / 9
 f (1/ 3)  0, 1/ 9  0,
14



a .

9
 f (1)  0,
a  1,5
1/ 3  t0  1
16 / 9  a  4 / 3
х
1
1/3
III случай. Уравнение имеет два корня:
а) больший корень находится в
первом промежутке f (0)  0  a  2;
б)
а)
х
0
1/3
1
б) меньший корень находится во
втором промежутке f (1)  0  a  1,5.
 14 
Ответ: a  (;  2)     (1,5; ).
 9
Литература.
1.
Интернет-ресурс:
ФИПИ//
Методические
рекомендации
по
некоторым аспектам совершенствования преподавания математики (на
основе анализа типичных затруднений выпускников при выполнении заданий
ЕГЭ) / И.В.Ященко, А.В.Семенов, И.Р.Высоцкий. – М.: ФИПИ, 2013 //
http://www.fipi.ru/binaries/1562/MATnew.
2. Математика. Подготовка к ЕГЭ – 2013: уч.-метод. Пособие / Под
редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион, 2012. –
416 с.
3. Математика. Подготовка к ЕГЭ – 2014: уч.-метод. Пособие / Под
редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион, 2013. –
400 с.
4. Тимербаева Н.В. Уравнения и неравенства с параметрами. Часть 1.
Учебно-методическое пособие. – Казань: ТГГПУ, 2011. – 93 с.