Динамика придонных плотностных течений на наклонном дне

Динамика придонных
плотностных течений на
наклонном дне
Жмур В.В.
Институт океанологии им. П.П. Ширшова РАН
Московский физико-технический институт
Zhmur@ocean.ru
Zhmur@mipt.ru
Типы потоков:
Подводные скольжения (Submarine slides).
Крупномасштабные движения материи, где
взаимодействие частиц друг с другом
доминирует, и жидкость в рассматриваемом
объеме движущейся материи играет
незначительную роль. Скольжения возникают,
как правило, в результате землетрясений и
других тектонических процессов.

G
Потоки осадочных пород (Debris flows).
Потоки разнозернистой, плохо перемешанной взвеси,
где важны взаимодействия частиц взвеси. Реология
является функцией внутреннего гидростатического
давления и внутреннего трения. Потоки осадочных
пород могут образовываться из-за тектонических
процессов (скольжения или землетрясения).
Грязевые потоки (Fluid muds).
Сильно концентрированные (ρmass > 0,01 г/см3) донные
пограничные слои, на которые часто оказывают сильное
влияние приливы и волны. Они бывают ламинарные и
турбулентные (Re < 104). Грязевые потоки образуются в
результате взмучивания донных отложений волнами с учетом
гравитационного осаждения частиц. Одновременно грязевые
потоки движутся вниз по склону дна. В отличие от
турбулентных взвесенесущих потоков, для поддержания
грязевых потоков необходимо наличие внешнего источника
турбулентности (волны или другие потоки).
Взвесенесущий турбулентный поток
(Turbidity current).
Разбавленные (< 0,01 г/см3), полностью турбулентные (Re > 104)
потоки взвеси. Взвесенесущие турбулентные потоки могут иметь
донный слой (его часто называют ковром волочения), который
имеет высокие концентрации взвеси. Над этим слоем
доминирует верхний турбулентный, движимый силой тяжести,
поток.
Причины возникновения взвесенесущих
гравитационных потоков
1. Возникновение взвесенесущих потоков в результате подводных
обвалов.
2. Образование взвесенесущих потоков вследствие волн и
приливов.
3. Образование взвесенесущих потоков в результате наносов рек.
4. Возникновение взвесенесущих потоков в верховьях подводных
каньонов.
Математическая модель взвесенесущих потоков.
В погранслойном приближении равновесие сил давления P, силы турбулентного трения и скатывающей
силы приводит к соотношению:

d u
1

A 2 
p  g  0
dz
 0  
2
A - коэффициент турбулентного трения, полагаемый постоянным по глубине внутри объема более плотной
жидкости; p - давление; g - ускорение свободного падения, u  (u, v ) - компоненты скорости вдоль дна по
осям X и Y соответственно, ρ0 - плотность фоновой жидкости,  0   - локальная плотность внутри потока.
Уравнение в проекции на оси X и Y запишется в виде двух соотношений
 d 2u 

1
p  g   0
A 2   
 dz
 0  
x
 2
A d v   1 p  g  0

 dz 2  0  
y

Выражения проекций для силы избыточного давления и скатывающей силы можно записать в виде:
h




1
x
 p  g   g
 
h
  0  
x


1

x

 1 p  g  g h
 0  
y
y



g

g
где h(x,y,t) – локальная толщина потока;
0
– редуцированное ускорение силы тяжести;  - угол
''
'
наклона дна к горизонту (угол  мал, и tg() заменен на ). Это уравнение получено в приближении h xx  h    h x
, которое справедливо при условии и верно везде, кроме, возможно, узкой области вблизи носика
взвесенесущего потока (Жмур, Якубенко, 2001; Жмур, Ткаченко, Якубенко, 1998).
h


 d 2u
x  0
A 2  g
h
 dz
1 

x

2
d
 A v  g h  0
 dz 2
y
Проинтегрировав первое уравнение дважды по z, получим распределение скорости по высоте внутри объема
плотных вод
2
d u
A 2 B0
dz

Bz 2
g   hx
 u  Sz  C , где B 
2
A 1  hx
Здесь S и C - константы интегрирования, зависящие от x,y и t как от параметров. Из условия прилипания
на дне u z  z 0  0
следует, что C = 0 и неизвестной осталась одна константа интегрирования S. При
движении типа турбулентных бор трение внутри движущегося слоя заметно больше, чем трение о
вышележащую воду, поэтому разумно положить отсутствие трения о вышележащую воду uz h   0
Используя граничные условия на дне и на верхней границе потока
u z  z 0  0;
u
z
0
zh
находим константу S, распределение скорости по глубине и полный поток. Делая аналогично для
второго уравнения получаем распределение скорости в взмутненном объеме:

z
g   h x 
 u  A  1   h '  h  2   z

x 


g
 v    h y   h  z   z

A
2

Запишем уравнение эволюции массы взвесенесущего потока с учетом вовлечения, как донных
осадков, так и фоновой жидкости:
h( x,y,t )
h( x,y,t )







(h)  u(x,y,z,t )dz  v(x,y,z,t )dz Fzb0we (h'x )2 (h'y )2 1
x 0
t
 y 0

где we - скорость вовлечения окружающей жидкости в поток перепендикулярно границе раздела, а Fzb перпендикулярный дну поток взвешенного вещесва:
  0

, если  0 
 M
Fzb  
0
  ws  cb
0,
если   0 
Здесь 0 - придонное напряжение трения, при котором начинается эрозия донного материала,  - текущее
придонное напряжение трения,
c b    0
придонная концентрация размытого вещества,  - текущий перепад плотности между
пятном и фоновой жидкостью, 0 - его начальное знаечение, ws - скорость оседания размытых осадков,
M - размерный коэффициент, зависящий, так же как и ws, от физико-химических свойств донного
материала.
Кинематическое условие на границе раздела потока и фоновой жидкости
F( x , y ,z , t )  0
u
u
гр
n
жидк
n
 tF
;
 F

u F

;
F
Вовлечение происходит нормально к границе раздела, получаем:
u nгр  u жидк
 we ; we  0
n
Переписав уравнение границы раздела через h (z = h(x,y,t)) и дифференцируя его, получим:
Ft  xFx  yFy  zFz  h t  u гр h'x  v гр h'y  w гр
Таким образом, кинематическое условие принимает вид:
h t  u гр h 'x  v гр h 'y  w гр  w e ( h 'x ) 2  ( h 'y ) 2  1
Для того, чтобы записать полученное условие в интегральном виде, продифференцируем интегралы с
переменным верхним пределом:

x
h ( x ,y ,t )


u
x
y
t
dz
(
,
,
)
0
y
h ( x ,y ,t )
'
'



v
x
y
t
dz
h
x
y
t
u
h
(
,
,
)
(
,
,
)
|
x
(
,
,
)

z
h
x
y
t
y ( x , y , t )  v |z  h ( x ,y ,t ) 

0
h ( x ,y ,t )

0
Учет соотношения
 u( x , y , z , t ) v( x , y , z , t ) 

dz


x
y


xu  yv  z w  0
дает нам возможность записать предыдущий интеграл в следующем виде:

x
h ( x , y ,t )

udz

0
y
h ( x , y ,t )
гр
'
гр
'
гр
vdz

u
h

v
h

w
x
y

0
Окончательно кинематическое условие на поверхности потока с учетом вовлечения внутрь потока
окружающей жидкости запишется в таком виде:
h


t x
h ( x ,y,t )

0 udz   y
h ( x ,y,t )
'
2
'
2
vdz

w
(
h
)

(
h
)
1
e
x
y

0
Объединяя кинематическое условие на поверхности потока с уравнением эволюции массы в
потоке , мы получим систему, описывающую динамику изменения ρ и h:
h ( x , y ,t )
 h  h ( x ,y ,t )

' 2
' 2
udz
vdz
w
(
h
)
(
h





e
x
y ) 1


y 0
 t x 0

h ( x , y ,t )
h ( x , y ,t )







 (h )
  udz     vdz  Fzb  0 w e ( h'x )2  ( h'y )2  1

 t
x 
 y  0

0

Далее делаем замену переменных
     0
и модифицируем систему уравнений
h ( x ,y ,t )
h ( x ,y ,t )
 






(   h ) 

  udz  
  vdz  Fzb
x 
 t
 y 

0
0

h ( x ,y ,t )
h ( x ,y ,t )


'
2
'
2
h 



1
udz
vdz
w
(
h
)
(
h
)
e
x
y

 t x 
y 0
0

Подставляем в эту систему распределения скоростей вдоль оси z, выведенные ранее и, интегрируя по z от
0 до h, получим систему, описывающую динамику изучаемого нами образования:
 
   g ' 3
  g   hx

3
 Fzb
(
h
)
h
h
h












y




x  3A 1  h x
 t

 y  3A

h    g    hx  h 3     g h '  h 3   w (h ' ) 2  (h ' ) 2  1
e
x
y

 3A y

 t x  3A 1  h x

y



Относительно коэффициента турбулентного трения A мы не сделали пока никаких предположений, несмотря
на то, что основные трудности понимания процессов связанны именно с этой величиной. В среднем по
объему потока порождение и диссипация турбулентности уравновешивают друг друга. Для оценки связи
между турбулентной энергией b и сдвигом скорости выпишем наиболее простое соотношение, учитывающее
факт баланса порождения и диссипации турбулентной энергии в среднем по столбу жидкости, взятой из l-b –
модели турбулентности Колмогорова (Колмогоров, 1942):
3 2
2
b
l b  z u    4
l
где l - масштаб турбулентности;  = 0.5 - безразмерная константа. Левая часть описывает порождение
турбулентности сдвигом скорости среднего движения, правая – диссипацию турбулентной энергии, ...
означает осреднение по локальной толщине потока. Здесь для простоты не учтены потери турбулентной
энергии на преодоление сил плавучести вблизи границы раздела вод. Мы пользуемся соотношением для
оценки b. В теории турбулентности Колмогорова коэффициент турбулентной вязкости A определяется как A  l b
и, если взять в качестве масштаба турбулентности l долю от локальной высоты потока: l  h
; где 0.010.1 (Баренблатт, 1978), то получим соотношение для A и b :
A
b

4 3
1
4
g  h
32
   h x
 4 
 1  h x
   hx
 g h  
3
 1  hx
4
2
  h 
   
  y 
2
2

  hy 2

Одновременно получаются оценки для средней по сечению скорости потока:
2
u 
Где
æ 

v4 27
æ
   hx. 
2
4






gh 
 hy

1 hx 
Окончательно, динамика взвесенесущего потока описывается системой:
g 3/ 2
 4 3
R x ] 
[
0
x 3
R   4 3

[
t x 3
g 3/ 2
R  y ]  Fzb
0
h   4 3 g
 4 3 g
 [
h Rx ]  [
h Ry ]  we (h'x )2  (h'y )2  1
t x 3 0
x 3 0
где
2
 v 
 u 


 A 


 x 
 y 
   h'x 


' 
 1  h x 
x 
2
4
2
 hg

0
 
2
2

  h 'y

 
h 'y
y 
   h'x 
'



h
y
' 


1
h
x 

   h 'x

'


h
1
x

4
  h

 1  h

'
x
'
x
2

  h 'y


 
2
2

  0


,
если
M



0 
Fzb  
0
  ws  cb
0,
если  0 
R    h
При построении модели использовались следующие предположения.
1.Угол наклона дна мал.
2.Сильная турбулезированность и малые вертикальные размеры потока, по сравнению с горизонтальными,
приводит к тому, что можно считать, что перемешивание по вертикали происходит мгновенно.
3.При выводе этих уравнений, не учитывалась влияние силы Кориолиса на динамику движения. В качестве
оценки этой силы можно принять fu и приравнять к скатывающей силе g' 
g' 
получится следующее ограничение:
u  u кр 
f
4. Для замыкания уравнений использовалась модель турбулентности Колмогорова. Считалось, что за
генерацию турбулентности отвечает вертикальный сдвиг по скорости u
z
Внутри потока в среднем генерация турбулентности уравновешивается диссипацией. Коэффициент
турбулентного трения A  l b
, где b - энергия турбулентных пульсаций. В качестве характерного масштаба турбулентности l
взято соотношение l    h , где
0.01    0.1 - некоторый подгоночный параметр.
5. Скорость вовлечения задана уравнением (Thomas, Simpson, 1983):
где U - скорость потока, L - характерные линейные размеры потока
 U3 

we  2,5  
' 

L
g


Результаты численного эксперимента.
Выпишем основные параметры, определяющие динамику рассматриваемых нами потоков.
(что справедливо везде, кроме носика потока):
A
b

4

g h
0
3
1
4

 g h
0
3

 g  h
u 4
0
 24

Как видно из приведенных уравнений, основными параметрами являются угол наклона дна α и
 h
Рассмотрим четыре варианта движения потока
1.Движение без вовлечения донных осадков и фоновой
жидкости. Такой поток ускоряется вниз по склону под
действием силы тяжести. Поток растекается вниз по склону и
утончается, т.к. его масса сохраняется. Чем меньше высота
потока h, тем меньше турбулентная энергия и большее значение
играют вязкие силы. Поток затухает со временем из-за действия
сил вязкости.
2.Движение с вовлечением донных осадков.
Учет вовлечения донных осадков приводит к увеличению
избыточной плотности 
и, вследствие этого, к увеличению скатывающей силы. Однако
вовлечение донных пород слабо влияет на высоту потока, и
параметр h
убывает из-за быстрого убывания h. Это приводит к
уменьшению турбулентной энергии и затуханию потока
вследствие действия сил вязкости.
3.Движение с вовлечением фоновой жидкости.
Учет вовлечения фоновой жидкости приводит к тому, что
увеличивается только высота потока, а избыточная масса
остается прежней. При этом скорость движения потока вниз по
склону сохраняется, также остается прежней коэффициент
турбулентной вязкости и интенсивность турбулентных
пульсаций.
4.Движение с вовлечением фоновой жидкости и донных
осадков.
Движение таких потоков может развиваться по трем разным сценариям, в
зависимости от угла наклона дна. В первом случае поток в начальный момент
разгоняется, но скатывающей силы оказывается недостаточно для
интенсивного взмучивания и вовлечения окружающей жидкости, и поток
затухает со временем. Такие потоки называются затухающими. Во втором
случае скатывающей силы достаточно для интенсивного взмучивания донных
осадков, так что высота, скорость и плотность потока растут со временем.
Такие потоки называются катастрофическими. Однако возможен и другой
сценарий развития затухающего потока, когда основные характеристики
(скорость, высота, плотность) вначале возрастают до некоторого значения, а
затем уменьшаются. Назовем такие потоки развивающимися.
Профили высоты катастрофического потока в разные моменты времени
Профили высоты затухающего потока в разные моменты времени.
Зависимость максимальной высоты потока от времени для различных углов
наклона : 1-30, 2-3,50, 3-40, 4-4,50 5-50, 6-5,50, 7-60.
U,
cм/c
Т, ч
Зависимость максимальной скорости потока от времени для
различных углов наклона : 1-30, 2-3,50, 3-40, 4-4,50 5-50, 6-5,50, 7-60.
Зависимости максимальных скоростей (рис 6) и высот (рис 7) плотностного
потока от времени, для разных углов уклона α:1-20, 2-2,50, 3-30, 4-3,50, 5-40, 64,50, 7-50. Начальные размеры потока составляют: по осям: Х – 1км, Y – 10
км, Z – 6м,  - 0,01г/см3.
Зависимости максимальных скоростей (рис8) и высот (рис9) плотностного потока от
времени, для разных углов уклона α: 1-3,50, 2-40, 3-4,50, 4-50, 5-5,50, 6-60. Начальные
размеры потока составляют: по осям: Х – 10 км, Y – 1 км, Z – 6м,  - 0,01г/см3.
=0.02

=0.08
=0.1
=0.2
=0.3
Зависимость максимальной скорости U потока от угла уклона для различных 
Зависимость максимальной толщины потока от угла уклона для различных 
Зависимость максимальной скорости U взвесенесущего
гравитационного потока от угла уклона при
различных Ue
Зависимость максимальной высоты взвесенесущего
гравитационного потока от угла уклона при
различных Ue

Зависимость разности плотностей  от угла уклона
при разных значениях скорости вовлечения
фоновой жидкости Ue
Зависимость разности плотностей  потока и фоновой
жидкости от при разных значениях скорости вовлечения
донных отложений (параметр М)
Зависимость максимальной скорости U взвесенесущего
гравитационного потока от

при различных М
Зависимость максимальной толщины взвесенесущего

гравитационного потока от
при различных М
Выводы на основе исследования численной модели
1.В работе предложены простые критерии, позволяющие прогнозировать динамику
развития взвесенесущих турбулентных потоков.
2.Было показано, что критический угол наклона дна для наиболее распространенных
потоков составляет примерно 3 градуса.
3.Предложена простая формула для оценки скорости движения потока.
4.В результате проведенных вычислений были установлены диапазоны значений
основных параметров, которые соответствуют большинству наблюдаемых в
природе плотностных потоков.
Исследование чувствительности модели к внешним параметрам задачи показало
следующее.
Оказалось, что увеличение угла уклона дна может качественно перестроить поведение
взвесенесущего турбулентного потока и превратить его в катастрофически
интенсивное течение.
Скорость вовлечения фоновой жидкости в турбулентный поток может заметно повлиять на
его объем, но практически не влияет на скорость движения образования вниз по склону.
Интенсификация вовлечения осадочных пород в турбулентный поток приводит к заметным
его ускорениям вниз по склону и, при отсутствии захвата фоновой жидкости в
движение, укорачивает время жизни самого потока. Если же присутствуют оба эффекта,
как вовлечение донных пород, так и захват фоновой жидкости, то возможно
превращение плотностного потока в катастрофически сильное течение.
Вариация коэффициента замыкания  в модели турбулентности Колмогорова в разумных
диапазонах не сильно влияет на большинство физических характеристик потока.
ВОЗМОЖНЫ ЛИ КАТАСТРОФИЧЕСКИЕ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ВЗВЕСЕНЕСУЩИЕ
ПОТОКИ В ПОДВОДНЫХ КАНЬОНАХ ЧЕРНОГО МОРЯ?
Основные геоморфологические характеристики подводных каньонов Черного моря.
τ,
X,
см
Y,
см
H,
см
Dср,
мм
Состав
грунта на
поверхн..
1,1
5*104
2*105
400
0,02
Илы и
алевриты
5*10-5
1,1
3*104
1*105
400
0,02
Илы и
алевриты
5*10-6
5*10-5
1,1
3*104
5*104
400
0,02
Илы и
алевриты
0,01
3*10-6
5*10-5
1,2
3*104
7*104
400
0,1
алевриты
5,5
0,01
3*10-6
5*10-5
1,2
4*104
5*104
400
0,1
алевриты
№8 (акула)/
р. Бзыбь
10
0,01
1*10-6
5*10-5
1,4
3*104
4*104
200
0,2
Песок и
алевриты
Ингурский/
р. Ингури
5,8
0,01
5*10-6
5*10-5
1,1
5*104
3*105
500
0,02
Илы и
алевриты
Потийский
р.Риони
2
0,01
5*10-6
5*10-5
1,1
1*105
4*104
400
0,02
Илы и
алевриты
Сухумский/
р.Гумиста
34
0,01
5*10-6
5*10-5
1,1
1*104
3*104
300
0.02
Илы и
алевриты
Дунайский/
р. Дунай
12
0,01
5*10-6
5*10-5
1,1
5*105
4*105
400
0,02
Илы и
алевриты
Батумский/
р. Чорох
5
0,01
5*10-6
5*10-5
1,1
4*104
6*104
400
0.02
Илы и
алевриты
Наименование
каньона/
Приустьевая
зона реки
α,
гра
д.
Dρ0,
г/см3
Д.оползневая/
р.Кодори
8
0,01
5*10-6
5*10-5
Впадающий в
Д.оползневую/
р. Кодори
9,5
0,01
5*10-6
Варче/
р. Кодори
10
0,01
№5/
р.Бзыбь
8
№6/
р.Бзыбь
М1
г
см 2 с
М2
г
см 2 с
дин
см 2
Результаты численного прогнозирования.
Наименование
Каньона/
Приустьевая
зона реки
α,
град
Д.оползневая/
р.Кодори
Umax , см/с
Hmax,см
Тип потока
При М=М1
При М=М2
При М=М1
При М=М2
При М=М1
При М=М2
8
21
658
*
1400
Затухающий
Катастроф.
Впадающий в
Д.оползневую/
р. Кодори
9,5
16
715
*
1400
Затухающий
Катастроф
Варче/
р. Кодори
10
21
715
*
1380
Затухающий
Катастроф.
№5/
р.Бзыбь
8
11
644
*
1340
Затухающий
Катастроф
№6/
р.Бзыбь
5,5
8
515
*
1260
Затухающий
Катастроф
№8 (акула)/
р. Бзыбь
10
14
715
*
1340
Затухающий
Катастроф
Ингурский/
Р. Ингури
5,8
18
572
*
1380
Затухающий
Катастроф
Потийский/
р.Риони
2
7
286
*
1040
Затухающий
Катастроф
Сухумский/
р.Гумиста
34
230
1250
130
1800
Катастроф
Катастроф
Дунайский/
р. Дунай
12
125
758
66
1280
Катастроф.
Катастроф.
Батумский/
р. Чорох
5
12
500
*
1240
Затухающий
Катастроф
* - Максимальная высота потока наблюдалась в начальный момент времени. Затем она постепенно уменьшалась до 0 по мере движения потока.