ЧАСТЬ 4. КВАНТОВАЯ ФИЗИКА

ЧАСТЬ 4. КВАНТОВАЯ ФИЗИКА
В третьей, заключительной части курса, который вам предстоит прослушать,
излагается квантовая физика. Она исследует явления, происходящие в
микромире – т.е. явления на уровне атомов, молекул и частиц, из которых
они состоят. Законы квантовой физики специфичны; они коренным образом
отличаются от законов классической физики, которые вам в основном уже
известны (в качестве примеров можно упомянуть о физическом смысле
траектории, о соотношениях неопределенностей, о корпускулярно-волновой
двойственности свойств света и вещества).
Изложение по традиции начинается с раздела, который называется
«Квантовая оптика»; это соответствует истории развития и становления
квантовой физики. Дело в том, что ее основополагающая идея – т.н.
квантовая гипотеза М. Планка была сформулирована в процессе решения
оптической задачи о распределении электромагнитной энергии в спектре
равновесного теплового излучения абсолютно черного тела. Именно поэтому
раздел квантовой оптики обычно начинается с рассмотрения природы и
свойств теплового излучения. Прежде чем переходить к этому вопросу,
следует кратко сказать о том, чем же принципиально отличаются явления,
входящие в сферу интересов квантовой и волновой оптики, которую вы уже
изучали во второй части курса.
Со школы вы знаете, что свету присуща двойственность свойств, и это
называется корпускулярно-волновым дуализмом света. Это означает, что в
одних явлениях свет обнаруживает волновые свойства, в других –
корпускулярные, т.е. ведет себя подобно потоку частиц (корпускул). С одним
из явлений, в которых проявляются корпускулярные свойства, вы уже
знакомы со школы – это внешний фотоэлектрический эффект. Предмет
изучения квантовой оптики как раз и составляют все оптические явления, в
которых обнаруживаются корпускулярные свойства света.
Итак, переходим к тепловому излучению.
ТЕМА 1. РАВНОВЕСНОЕ ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ АБСОЛЮТНО
ЧЕРНОГО ТЕЛА
Почти все слова, из которых состоит название темы, вам незнакомы.
Вначале разберем понятие «тепловое излучение». Это электромагнитное
излучение, энергия которого черпается из теплового движения атомов и
молекул вещества. Иначе говоря, энергия поступательного, вращательного и
колебательного движения атомов и молекул за счет неупругих столкновений
передается их валентным электронам и преобразуется в энергию
электромагнитного излучения. Из опыта известно, что при обычных
температурах тепловое излучение не воспринимается человеческим глазом.
При повышении температуры тела, например – если раскалить кусок
металла, тепловое излучение становится видимым, т.е. тело начинает
1
светиться. Следует отметить, что некоторые тела обладают способностью
светиться и без повышения температуры, т.е. в результате различных
внешних воздействий. В этом случае возникающее электромагнитное
излучение уже не является тепловым, оно называется люминесценцией. В
зависимости от способа воздействия на вещество различна и природа
люминесценции. Например, окисляющийся на воздухе фосфор (химический
элемент) светится за счет энергии, выделяющейся в реакции окисления;
поэтому свечение в этом случае называется хемилюминесценцией. Свечение,
обусловленное бомбардировкой тела потоком электронов, называется
катодолюминесценцией (первоначально частицы, вылетающие из
раскаленного катода электровакуумной лампы, назывались просто
катодными лучами, поскольку их происхождение было непонятным). В
случае, когда свечение возникает при облучении тела светом, оно
называется фотолюминесценцией, и т.п.
Что же такое «равновесное» тепловое излучение? Состояние тела в
случае, когда его внутренняя энергия, уносимая излучением в единицу
времени, в точности восполняется за счет его поглощения, называется
термодинамическим равновесием тела с его тепловым излучением.
Соответственно равновесным излучением называется тепловое излучение
тела в состоянии термодинамического равновесия.
Опыт показывает, что единственным видом электромагнитного
излучения, которое может находиться в термодинамическим равновесии с
испускающим его телом, является тепловое излучение. Это обусловлено тем,
что его интенсивность зависит от температуры тела. Пусть, например,
равновесие между телом и излучением нарушено, и тело испускает больше
энергии, чем поглощает. Поскольку энергия теплового излучения черпается
из внутренней энергии, температура тела будет при этом понижаться до тех
пор, пока термодинамическое равновесие не восстановится. Если же
термодинамическое равновесие нарушится в другую сторону, т.е.
испускаемая энергия будет меньше поглощаемой, температура тела будет
повышаться, пока не будет достигнуто равновесие.
Итак, мы выяснили, что же представляет собой равновесное тепловое
излучение. Для того чтобы дать определение абсолютно черного тела,
необходимо познакомиться с некоторыми физическим величинами,
характеризующими способность тела испускать и поглощать
электромагнитное излучение.
Тепловое излучение мы будем характеризовать потоком энергии,
измеряемой в ваттах. Поток энергии, испускаемой плоской поверхностью
тела единичной площади по всем направлениям в пределах полусферы,
называется энергетической светимостью тела ( R ). Из определения ясно, что
эта величина зависит от температуры. Опыт показывает, что тепловое
излучение состоит из электромагнитных волн различных частот. Обозначим
dR поток энергии, испускаемой плоской поверхностью тела единичной
2
площади в интервале частот от  до   d . Понятно, что в интервале
малой протяженности величина dR пропорциональна d , т.е.
dR  r d .
Здесь r – коэффициент пропорциональности, который называется
испускательной способностью тела на частоте  . Выше уже говорилось о
том, что энергетическая светимость зависит от температуры. Используя
понятие испускательной способности, энергетическую светимость тела при
определенной температуре можно представить в виде интеграла по частоте:
R   r d .

Пусть на малую часть поверхности тела (на элементарную
поверхность) падает поток электромагнитного излучения d  с частотами в
узком промежутке протяженностью d . Часть потока d  ' поглотится
телом; при этом безразмерная величина
d 
d 
'
a 
называется поглощательной способностью тела на частоте  . Как и
испускательная способность, величина a  зависит от температуры. По
определению поглощательная способность тела не может быть больше
единицы. В случае тела, полностью поглощающего все падающее на него
электромагнитное излучение всех частот, a  1 ; такое тело называется
абсолютно черным. Тело, для которого a  1 , называется серым.
Итак, мы уже знаем, что представляет собой равновесное тепловое
излучение абсолютно черного тела. Поскольку к равновесным состояниям и
процессам применимы законы термодинамики, тепловое излучение также
должно подчиняться некоторым общим закономерностям, имеющим
«термодинамическое происхождение».
1.1. Законы Кирхгофа
Первый закон, характеризующий равновесное тепловое излучение, был
установлен Кирхгофом. Он определяет соответствие между испускательной и
поглощательной способностью любого (не только абсолютно черного) тела.
В том, что такая связь существует, можно убедиться, рассматривая
следующий мысленный эксперимент.
Пусть внутри замкнутой оболочки, поддерживаемой при постоянной
температуре, находятся несколько тел. Полость внутри оболочки
вакумирована, поэтому тела обмениваются энергией только посредством
электромагнитного излучения. Опыт показывает, что спустя какое-то время
3
все тела будут иметь одинаковую температуру, равную температуре
оболочки. Иначе говоря, наступит термодинамическое равновесие. В таком
состоянии тело, обладающее большей испускательной способностью, теряет
в единицу времени с поверхности единичной площади больше энергии, чем
тело с меньшей испускательной способностью. Поскольку температура тел и,
соответственно, их внутренняя энергия в равновесном состоянии не
изменяется, это означает, что тело с большей испускательной способностью
обладает и большей поглощательной способностью. Отсюда вытекает
установленный Кирхгофом закон, согласно которому отношение
испускательной и поглощательной способности тела не зависит от его
химической природы и является для всех тел универсальной функцией
частоты и температуры:
r
 f (, T ) .
a
(1.1)
Эта функция называется функцией Кирхгофа. Поскольку она универсальна,
она применима и к абсолютно черному телу, для которого поглощательная
способность на любой частоте равна единице. В этом случае из равенства
(1.1) следует, что f (, T )  r , т.е. функция Кирхгофа тождественно равна
испускательной способности абсолютно черного тела. Следовательно,
отношение испускательной и поглощательной способности любого тела для
определенной частоты и температуры численно равно испускательной
способности абсолютно черного тела для этих же значений частоты и
температуры.
При теоретических исследованиях теплового излучения
обычно используется функция Кирхгофа с переменными , T . В
экспериментальных исследованиях в качестве переменных удобнее
использовать длину волны и температуру, т.е. функцию   (, T ) . В этом
случае интервалу частот d будет соответствовать определенный интервал
длин волн d . Для того чтобы найти соответствие между этими
интервалами, продифференцируем очевидное равенство и выполним ряд
тождественных преобразований:

C

2C
2C
2
 1 
, 
, 
, d  2C  2 d,  
, d  
d .

2


2C
  
(1.2)
Множитель  1 в правой части последнего равенства указывает на то, что с
увеличением частоты электромагнитного излучения его длина волны
уменьшается. Поскольку нас интересует соотношение между
протяженностью промежутков d и d , в дальнейшем этот множитель мы
учитывать не будем.
Представим долю энергетической светимости тела, приходящуюся на
интервал d , следующим образом: dR  r d . Если промежутки d и d
связаны соотношением (1.2), т.е. они относятся к одному и тому же участку
4
спектра, то величины dR и dR должны совпадать: r d  r d . С учетом
(1.2) имеем:
r d  r
2
2
d  r 
r .
2C
2C
Поскольку функция Кирхгофа тождественно равна испускательной
способность абсолютно черного тела, т.е. f (, T )  r и  ( , T )  r , из
последнего равенства следует, что
f (, T ) 
2
2C
(, T )  (, T )  2 f (, T ) .
2C

Таким образом, для вычисления функции   (, T ) необходимо в
функции f (, T ) сделать замену   2C /  и умножить ее на 2C / 2 .
Опыт показывает, что абсолютно черных тел в природе не существует.
Например, сажа имеет поглощательную способность, близкую к единице,
лишь в ограниченном интервале частот; в далекой инфракрасной области она
заметно меньше единицы. Устройство, весьма близкое по своим свойствам к
абсолютно черному телу, представляет собой замкнутую полость, в стенке
которой имеется узкое отверстие. Электромагнитное излучение, проникнув
внутрь через это отверстие, прежде чем выйти обратно, претерпевает
многочисленные отражения от стенок и поэтому практически полностью
поглощается полостью. Согласно закону Кирхгофа испускательная
способность такого устройства (тела) очень близка к таковой абсолютно
черного тела, т.е. численно равна значению функции Кирхгофа для
определенных значений  и T (здесь T – температура полости).
Итак, если стенки полости поддерживать при неизменной температуре,
то из ее отверстия выходит электромагнитное излучение, близкое по
спектральному составу к излучению абсолютно черного тела. Разлагая это
излучение в спектр и измеряя его интенсивность на различных длинах волн,
можно найти вид функции   (, T ) (рис. 1.1). Различные кривые относятся
(, T )
T3  T2  T1
T3
T2
T1

O
Рис. 1.1
5
к разным температурам, площадь под каждой кривой пропорциональна
энергетической светимости при соответствующей температуре. На рис. 1.1
видно, что при ее повышении энергетическая светимость увеличивается,
причем максимум кривой смешается в коротковолновую сторону, т.е. в
сторону больших частот.
Как уже отмечалось, квантовая гипотеза была сформулирована
Планком в результате попыток найти функцию   (, T ) . Эта проблема
привлекала внимание многих физиков; в ходе ее решения были установлены
еще два закона, относящиеся к равновесному тепловому излучению – закон
Стефана-Больцмана и закон смещения Вина.
1.2. Закон Стефана-Больцмана. Закон Вина
В 1879 г. Стефан, анализируя данные по экспериментальному
исследованию теплового излучения, пришел к выводу о том, что
энергетическая светимость любого тела пропорциональна четвертой степени
абсолютной температуры. Исходя из термодинамических соотношений,
Больцман в 1884 г. показал, что вывод, сделанный Стефаном, справедлив
только по отношению к светимости абсолютно черного тела:

R   f (, T )d  T 4 .
0
Это равенство называется законом Стефана-Больцмана, коэффициент
  5.7  10 8 Вт/м2К4 – постоянной Стефана-Больцмана.
В 1893 г. Вин, воспользовавшись электромагнитной теорией, показал,
что функция Кирхгофа должна иметь вид:
 
f (, T )  3 F   ,
T 
(1.3)
где F ( / T ) – некоторая функция переменной  / T (впоследствии это
равенство стали называть критерием Вина). Как уже отмечалось, для
перехода к функции   (, T ) в (1.3) необходимо сделать замену   2C / 
и умножить правую часть на 2C / 2 :
2C  2C   2C 
1
(, T )  2 
 F
  (, T )  5  (T ) .
     T 

3
(1.4)
Используя функцию
(, T ) 
1
 (T ) ,
5
(1.4)
можно найти зависимость между длиной волны, соответствующей ее
максимуму, и температурой. Для этого нужно продифференцировать
6
равенство (1.3) по переменной  :
d
5
1
T
5
1
  6  (T )  5  ' (T )T  6  ' (T )  6  (T )  6 T   ' (T )  5(T ) .
d







Выражение в скобках можно представить как некоторую функцию
переменной T :
d 1
  (T ) .
d 6
Если длина волны соответствует максимуму функции   (, T ) , то
d 1

 ( m T )  0 .
d 6
Поскольку величины  m и T имеют конечные значения, то их произведение
должно быть равно определенному числу:  mT  b . Последнее равенство
называется законом Вина. Константа в правой части называется постоянной
Вина; ее экспериментально измеренное значение составляет 2,9∙10-3 м∙К.
Задача №5.265 (сб. Иродова).
1.3. Формула Рэлея-Джинса
Еще одна попытка найти функцию Кирхгофа принадлежит английским
физикам Рэлею и Джинсу. В качестве модели абсолютно черного тела они
рассматривали замкнутую полость; равновесное излучение в этой полости
представляет собой совокупность стоячих электромагнитных волн. В
соответствии с теоремой о равнораспределении энергии по степеням свободы
Рэлей и Джинс предположили, что на каждую волну приходится энергия,
равная kT (по kT / 2 на электрическую и магнитную составляющие). В
рамках такого подхода они получили формулу для объемной плотности
энергии равновесного излучения
U (, T ) 
2
kT ,
 2C 3
(1.5)
которая связана с функцией Кирхгофа простым соотношением:
f (, T ) 
C
 U (, T ) .
4
f (, T ) 
2
kT ,
4 2 C 2
(1.5А)
С учетом (1.5) имеем:
либо
7
(, T ) 
2CkT
.
4
(1.6)
Последние два равенства называется формулой Рэлея-Джинса. На рис. 1.2
видно, что эта формула вполне удовлетворительно описывает
экспериментально измеренную кривую лишь в длинноволновой области. При
переходе в область коротких длин волн значения функции (, T ) ,
рассчитанные по формуле (1.6), стремятся к бесконечности. Этот результат
получил название «ультрафиолетовой катастрофы», поскольку
экспериментально измеренные значения функции Кирхгофа при T  0 также
стремятся к нулю.
(, T )

O
Рис. 1.2
1.4. Формула Планка
Вывод равенства (1.6), сделанный в рамках классических
представлений, безупречен. Это означает, что несоответствие формулы
Рэлея-Джинса результатам измерений обусловлено существованием
закономерностей, несовместимых с классической физикой. В 1900 г. М.
Планку удалось найти формулу, в точности соответствующую
экспериментально измеренной функции Кирхгофа для всех длин волн. В
рамках подхода, развитого Планком, абсолютно черное тело представляет
собой совокупность электрических диполей с различными частотами
гармонических колебаний (каждой частоте соответствует отдельный диполь).
При этом Планк сделал без преувеличения революционное предположение:
электромагнитное излучение испускается диполями не непрерывно, но
отдельными порциями – квантами. Энергия кванта зависит от частоты по
формуле   h (здесь  – частота, h – константа, которая впоследствии
стала называться постоянной Планка). Ее численное значение, впервые
измеренное Эйнштейном в экспериментах по внешнему фотоэффекту,
8
составляет 6,62∙10-34 Дж∙с. В теоретических исследованиях обычно
используется формула   , где   h / 2 .
Формула для объемной плотности энергии излучения абсолютно
черного тела, найденная Планком, имеет вид:
3
1
.
U (, T )  2 3   / kT
C e
1
(1.7)
С учетом соотношения (1.5А) имеем:
f (, T ) 
3
1
.
  / kT
2 2
4 C e
1
(1.8)
Равенства (1.7) и (1.8), впоследствии названные формулами Планка, хорошо
согласуются с опытными данными во всем интервале частот.
Следует отметить, что формулы Планка удовлетворяют критерию
Вина, согласно которому функция Кирхгофа должна иметь вид (1.3).
Действительно, равенство (1.8) можно представить следующим образом:
f (, T )  3 

1
  / kT
,
2 2
4 C e
1
что соответствует равенству (1.3). При выполнении условия  / kT  1 , что
характерно для низкочастотной области спектра, имеем:
e  / kT  1 
 3
В этом случае f (, T )  2 2 
4 C

.
kT
2
1
 kT ,
 f (, T ) 

4 2 C 2
1
1
kT
т.е. формула Планка переходит в формулу Рэлея-Джинса. Проинтегрировав
функцию Планка по частоте, найдем энергетическую светимость:

3
d
  / kT
.
2 2
4

C
e

1
0
R
В результате замены / kT  x можно прийти к интегралу
  kT 
R 2 2 
4 C   
4
x 3 dx
0 e x  1 .
Поскольку несобственный интеграла равен  2 / 15  6,5 , R 
 2k 4
2
60C 
3
T 4.
Обозначив
2k 4
 ,
60C 2  3
9
получаем формулу Стефана-Больцмана. Подстановка численных значений
всех констант дает значение  , блестяще согласующееся с найденным из
эксперимента.
10