МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ ДЛЯ СОВМЕСТНЫХ СОБЫТИЙ И

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2010. № 4(78).
137
УДК 512.547.214, 512.743.7
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ ДЛЯ СОВМЕСТНЫХ
СОБЫТИЙ И УРАВНЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
c 2010
А.А. Бирюков1
Построено уравнение, описывающее марковский процесс в пространстве
совместных событий, с выходом за рамки аксиоматики Колмогорова. Показано, что предложенное уравнение для случая, когда события лишь попарно
совместны, эквивалентно уравнениям квантовой механики.
Ключевые слова: марковские процессы, совместные события, квантовая механика.
1. В настоящее время большой интерес вызывают исследования математической структуры квантовой теории с точки зрения теории вероятностей, например,
работы [1–4], в которых представлены оригинальные результаты и обзоры в этом
направлении.
Для описания случайных процессов широко используются марковские процессы [5, 6]. Для построения уравнений марковских процессов рассмотрим некую
физическую систему, в которой протекает случайный процесс, так что в каждый
момент времени t с определенными вероятностями реализуется набор N случайных событий Ak , k = 1, . . . , N . Рассмотрим процесс, в котором реализация случайных событий осуществляется в дискретные моменты времени tn > tn−1 > ... > t0
( n ∈ N ). Процесс будет марковским, если вероятности случайных событий Ak (tn )
в момент времени tn при условии реализации событий Al (tn−1 ) в момент tn−1 и
событий Al (tn−1 ), Am (tn−2 ), . . . , Ap (t0 ) в моменты времени tn−1 , . . . , t0 совпадают:
P (Ak (tn )|Al (tn−1 )) = P (Ak (tn )|Al (tn−1 )Am (tn−2 )...Ap (t0 ), k, l, m, p = 1, . . . , N
(1)
то есть вероятность появления события Ak (tn ) в момент времени tn определяется
реализацией событий Al (tn−1 ) только в предшествующий момент времени tn−1 .
На основании данного определения запишем уравнение марковского процесса
для произвольно выбранного интервала времени (t1 = t, t0 = 0). Ради удобства
обозначим события: в момент времени t = 0 как Ak , k = 1, . . . , N ; в момент t > 0
как Bj , j = 1, 2, . . . , N . Уравнение имеет вид
P t (Bj ) = P t
N
[
N
[
(Bj ∩ Ak ) = P t
Cjk , j = 1, . . . , N,
k=1
(2)
k=1
где для удобства построения моделей обозначено
Bj ∩ Ak = Cjk , k, j = 1, . . . , N.
1 Бирюков Александр Александрович (mihail.biryukov@ssu.samara.ru), кафедра общей и теоретической физики Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара,
ул. Акад. Павлова, 1.
138
А.А. Бирюков
В модели марковского процесса важным является условие, что события Cjk ,
j, k = 1, 2, . . . , N несовместимы между собой. При этом условии уравнение марковского процесса (2), описывающего переход системы из состояния в момент времени t = 0 в состояние в момент t > 0, принимает вид
t
P (Bj ) =
N
X
t
P (Cjk ) =
k=1
N
X
P t (Bj |Ak )P 0 (Ak ), j = 1, . . . , N,
(3)
k=1
где P 0 (Ak ) — вероятность появления события Ak в момент времени t = 0,
P t (Bj ∩ Ak )
P t (Bj |Ak ) =
P 0 (Ak )
представляет условную вероятность осуществления события Bj в момент времени t при условии реализации события Ak в момент времени t = 0 (вероятность
перехода от события Ak к событию Bj за интервал времени t).
В данной работе предлагаются модель стохастического процесса в пространстве случайных событий, в которой сохраняется условие Маркова и снимается
условие несовместности событий между собой в каждый момент времени.
Построение уравнений цепей Маркова для совместных состояний ранее рассматривалось в работе [7].
2. Для построения уравнений марковских процессов в пространстве совместных случайных событий Ak , k = 1, . . . , N рассмотрим ряд моделей построения
вероятностей объединения совместных событий.
Модель 1. В первой предлагаемой модели вероятность объединения совместных событий Cjk , j, k = 1, . . . , N определяется выражением [6]
P
N
[
N
N
N
X
X
X
P Ck ∩ Cl ∩ Cm + . . . .
P Ck ∩ Cl +
P (Ck ) −
Ck =
(4)
k<m<l
k<l
k=1
k=1
Доказательство формулы (4) проводится в рамках аксиоматики Колмогорова
[5, 6].
Модель 2. Рассмотрим физическую систему, в которой наряду с совместными
случайными событиями Cjk , j, k = 1, 2, . . . , N реализуются симметрично разност−
ные случайные события Cjk
, j, k = 1, 2, . . . , N − 6 N, определяемые условиями
−
Cjk
= Cjk \
−
N
[
Cjk ∩ Cjl , l 6= k ,
j, k = 1, 2, . . . , N − .
(5)
l=1
В рамках аксиоматики Колмогорова доказывается, что вероятность объединения N − событий (5) представлена формулой [6]
P
−
N
[
−
−
Cjk
=
k=1
N
X
−
P (Cjk ) − 2
k=1
N
X
−
P Cjk ∩ Cjl + 4
k<l=1
N
X
P Cjk ∩ Cjl ∩ Cjm − . . . .
k<l<m=1
(6)
Модель 3. Мы предлагаем как альтернативную к модели 2 модель cлучайных событий, в которой наряду с совместными событиями Cjk , j, k = 1, 2, . . . , N
реализуются события C + jk , j, k = 1, 2, ...N + 6 N . Вероятность объединения N +
событий C + jk определяем выражением
P
+
N
[
k=1
+
+
Cjk
=
N
X
k=1
+
P (Cjk ) + 2
N
X
k<l=1
+
P Cjk ∩ Cjl + 4
N
X
P Cjk ∩ Cjl ∩ Cjm + . . . .
k<l<m=1
(7)
Марковские процессы для совместных событий ...
139
Существование событий C + jk и выражение (7) для вероятности их объединения
нельзя объяснить в рамках аксиоматики Колмогорова [5]. Это следует рассматривать как дополнительное, новое положение к существующим аксиомам теории
вероятности, которое выводит теорию данной модели случайных событий за рамки колмогоровской теории вероятностей.
Уравнение (7) можно получить, опираясь на предложенную вне рамок аксиоматики Колмогорова модель структуры событий C + jk , которые определим выражением
+
N
[
+
Cjk ∩ Cjl , l 6= k , j, k = 1, 2, . . . , N +
C jk = Cjk ∪
(8)
l=1
c условиями: события Cjk , Cjk ∩ Cjl , l 6= k, j, k, l = 1, 2, . . . , N + несовместны
и неидентичны. Однако вероятности событий (Cjk ∩ Cjl ), (Cjl ∩ Cjk ) при k 6= l
всегда равны, т. е.
P Cjk ∩ Cjl = P Cjl ∩ Cjk , k, l, j = 1, 2, . . . , N + .
(9)
Используя определение (8) и условия (9), нетрудно доказать формулу (7) для
N + = 2 и методом математической индукции для любого N + .
Ясно, что данное определение событий C + jk несовместимо с аксиоматикой
Колмогорова. Однако мы полагаем, что сформулированные условия для событий
справедливы в физике микромира, что и дает возможность построить стохастические уравнения, совместимые с уравнениями квантовой механики.
Модель 4. Построим модель совместных событий, которая совмещает модели
2 и 3.
Для описания состояния физической системы в каждый момент времени будем рассматривать наряду с совместными событиями Cjk , k = 1, 2, . . . , N события
C − jk , j, k = 1, 2, . . . , N − и C + jk , j, k = 1, 2, . . . , N + . Обозначим символом C̃jk событие, которое может быть или событием C − jk , или событием C + jk .
Вероятность объединения N событий C̃jk представлена формулой, которая является обобщением уравнений (6), (7):
P
N
[
N
N
X
X
gjkl P (Cjk ∩ Cjl )+
P (Cjk ) + 2
C̃jk =
k=1
k=1
+4
N
X
k<l=1
gjklm P (Cjk ∩ Cjl ∩ Cjm ) + . . . ,
(10)
k<l<m=1
где множители gjkl , gjklm и другие принимают одно из значений 0, +1, −1 в зависимости от выбранных событий Cjk , Cjl , Cjm , . . ..
3. На основании определения марковского процесса (1) можно построить уравнение, которое описывает его в рамках выбранной модели совместных событий.
Построим уравнение марковского процесса в пространстве совместных событий, определяемых моделью 4.
Рассмотрим пространство совместных событий Cjk = Bj ∩ Ak , j, k = 1, 2, . . . , N,
в котором реализуются события C̃jk в соответствии c моделью 4.
Марковский процесс в данной модели будем описывать уравнением, которое
определяет вероятность P t (Bj ) появления события Bj в момент времени t > 0
при условии реализации одного из событий C̃jk , k = 1, 2, . . . , N , т. е.
P t (Bj ) = P t
N
[
k=1
C̃jk ,
j = 1, . . . , N.
(11)
140
А.А. Бирюков
Учитывая (10), определение событий Cjk = Bj ∩ Ak , уравнение марковского
процесса (11) в пространстве совместных состояний запишем в виде
P t (Bj ) =
N
X
k=1
N
X
+4
N
X
P t (Bj ∩ Ak ) + 2
gjkl P t (Bj ∩ (Ak ∩ Al ))+
k<l=1
gjklm P t (Bj ∩ (Ak ∩ Al ∩ Am )) + . . . , j = 1, . . . , N.
(12)
k<l<m=1
Уравнение (12) можно представить в более удобной форме
N
X
P t (Bj ) =
P t (Bj |Ak )P 0 (Ak ) + 2
k=1
N
X
+4
N
X
gjkl P t (Bj |Ak Al )P 0 (Ak Al )+
k<l=1
gjklm P t (Bj |Ak Al Am )P 0 (Ak Al Am ) + . . . ,
j = 1, . . . , N,
(13)
k<l<m=1
где P 0 (Ak ), P 0 (Ak Al ), P 0 (Ak Al Am ),. . . – вероятности реализации соответстветствующих событий в начальный момент времени t = 0, задаваемые в соответствии
с описываемой моделью случайного процесса;
P t (Bj |Ak ) =
P t B j ∩ Ak )
P 0 (Ak )
P t B j ∩ Ak ∩ Al
P (Bj |Ak Al ) =
P 0 Ak ∩ Al
t
(14)
..........................................
есть вероятности осуществления события Bj в момент времени t > 0 при условии
реализации соответственно событий Ak , Ak ∩ Al , . . . в момент времени t = 0 (вероятности перехода от событий Ak , Ak ∩ Al , . . . к событию Bj за интервал времени
t, которые должны быть заданы для каждой исследуемой системы).
4. Для уравнений (12), (13), описывающих марковские процессы в пространстве совместных событий, выполняется принцип соответствия: когда события
несовместны, они переходят в уравнения (3) марковских процессов для несовместных событий.
Для случая, когда в системе события лишь попарно совместны, т. е.
P 0 (Ak ) 6= 0,
P 0 (Ak Al ) 6= 0,
P t (Bj |Ak ) 6= 0,
P t (Bj |Ak Al ) 6= 0
(15)
P t (Bj ∩ A1 ∩ . . . ∩ AN ) = 0,
(16)
и в то же время
P t (Bj ∩ (Ak ∩ Al ∩ Am )) = 0,
...,
уравнения (12), (13) упрощаются и соответственно принимают вид
t
P (Bj ) =
N
X
k=1
P t (Bj ) =
N
X
k=1
t
P (Bj ∩ Ak ) + 2
N
X
gjkl P t (Bj ∩ (Ak ∩ Al )), j = 1, . . . , N,
(17)
k<l=1
P t (Bj |Ak )P 0 (Ak ) + 2
N
X
gjkl P t (Bj |Ak Al )P 0 (Ak Al ), j = 1, . . . , N.
k<l=1
(18)
Марковские процессы для совместных событий ...
141
Полученные уравнения (17),(18) эквивалентны уравнениям квантовой механики.
Вторые слагаемые в этих уравнениях описывают интерференционные эффекты.
5. Покажем, что уравнения (17), (18) описывают эволюцию квантовой
системы.
Для примера рассмотрим двухуровневый атом, взаимодействующий с электромагнитным полем [8]. Гамильтониан данной модели имеет вид
Ĥ = Ĥ0 + ĤI ,
(19)
где Ĥ0 – гамильтониан атома, так что
Ĥ0 |n >= εn |n >,
n = 1, 2, < n0 |n >= δn0 n
2
X
|n >< n| = 1,
(20)
n=1
|n > — вектор квантового состояния атома, εn — энергия этого состояния; ĤI —
гамильтониан взаимодействия атома и поля,
ĤI = −ex E0 cos ωt,
ω=
1
(ε2 − ε1 ).
~
(21)
Здесь e, x — электрический заряд и координата электрона атома, E(t) =
= E0 cos νt — поле в точке нахождения атома, оно линейно поляризовано вдоль
оси x, E0 — амплитуда напряженности электрического поля, ν — его частота.
Эволюция атома описывается вектором состояния |Ψ(t) > и уравнением
|Ψ(t) >= Û (t)|Ψ(0) >,
(22)
где
i
U (t) = T̂ exp[−
~
Zt
(Ĥ0 + ĤI )dτ ],
(23)
0
|Ψ(0) >, |Ψ(t) > — векторы состояний соответственно в начальный момент времени
t = 0 и текущий момент t > 0.
Для решения уравнения и описания эволюции атома удобно представить
|Ψ(0) >= C1 (0) |1 > +C2 (0) |2 >,
(24)
|Ψ(t) >= C1 (t) |1 > +C2 (t) |2 >,
(25)
где C1 (0), C1 (t), C2 (0), C2 (t) — амплитуды вероятности нахождения атома в первом |1 >, и втором |2 > квантовых состояниях в соответствующие моменты времени t = 0 и t > 0.
Для того, чтобы найти явную зависимость от времени C1 (t), C2 (t), перейдем
к медленно меняющимся амплитудам вероятности
1
2
c1 (t) = C1 (t)eiω1 t , ω1 = , c2 (t) = C2 (t)eiω2 t , ω2 = .
(26)
~
~
Обозначим через c1 (0), c2 (0) амплитуды вероятности нахождения квантовой
системы соответственно на первом и втором уровнях в начальный момент времени
t=0
c1 (0) = |c1 (0)|exp[iα1 ], c2 (0) = |c2 (0)|exp[iα2 ].
Амплитуды вероятноми c1 (t), c2 (t) в момент времени t > 0 определяется уравнениями
c1 (t) =< 1, t|1, 0 > c1 (0)+ < 1, t|2, 0 > c2 (0),
(27)
142
А.А. Бирюков
c2 (t) =< 2, t|1, 0 > c1 (0)+ < 2, t|2, 0 > c2 (0),
(28)
где < 1, t|1, 0 >, < 1, t|2, 0 >, < 2, t|1, 0 >, < 2, t|2, 0 > — амплитуды вероятности
переходов системы из состояний в момент времени t = 0 в состояния в момент
времени t > 0:
Ω
Ω
π
< 1, t|1, 0 >= cos t, < 1, t|2, 0 >= sin t exp[i(ϕ + )],
(29)
2
2
2
π
Ω
Ω
< 2, t|2, 0 >= cos t,
(30)
< 2, t|1, 0 >= sin t exp[−i(ϕ − )],
2
2
2
|γ21 |E0
∗
где Ω =
— частота Раби, γ21 = γ12
= e < 2|x|1 > — матричный элемент
~
электрического дипольного момента квантовой системы, γ12 = |γ12 | exp(iϕ), ϕ —
фаза дипольного матричного элемента.
Для описания поведения атома со временем в терминах вероятностей квантовых состояний умножим каждое уравнение (27), (28) на уравнение себе сопряженное и полученные выражения приведем к виду
P (1, t) = P (1, t|1, 0)P (1, 0) + P (1, t|2, 0)P (2, 0) + 2g112 P ((1, t)(1, 0)(2, 0)),
(31)
P (2, t) = P (2, t|1, 0)P (1, 0) + P (2, t|2, 0)P (2, 0) + 2g212 P ((2, t)(1, 0)(2, 0)),
(32)
2
2
2
2
где P (1, 0) = |c1 (0)| = |C1 (0)| , P (2, 0) = |c2 (0)| = |C2 (0)| — вероятности нахождения атома соответственно на 1-м и 2-м уровнях в начальный момент времени;
P (1, t) = |c1 (t)|2 = |C1 (t)|2 , P (2, t) = |c2 (t)|2 = |C2 (t)|2 )– вероятности нахождения
атома соответственно на 1-м и 2-м уровнях в момент времени t; P (1, t|1, 0) =
= P (2, t|2, 0) = cos2 Ω2 t, P (1, t|2, 0) = P (2, t|1, 0) = sin2 Ω2 t — вероятности квантовых переходов атома из состояний в момент времени t = 0 в состояния в момент
времени t > 0;
Ω
Ω
P ((1, t)(1, 0)(2, 0)) = | cos t| | sin t||c1 (0)||c2 (0)|| sin(α1 − α2 − ϕ)|
2
2
– вероятность нахождения атома в первом и втором состояниях в момент времени
t = 0 и в первом в момент t > 0;
Ω
Ω
P ((2, t)(1, 0)(2, 0)) = | cos t| | sin t||c1 (0)||c2 (0)|| sin(α1 − α2 − ϕ)|
2
2
– вероятность нахождения атома в первом и втором состояниях в момент времени
t = 0 и во втором в момент t > 0;
g112 =
cos Ω2 t sin Ω2 t
sin(α1 − α2 − ϕ)
,
Ω
Ω
|
| cos 2 t| | sin 2 t| sin(α1 − α2 − ϕ)|
g212 = −g112 .
Уравнение (31) и (32), учимтывая определение условных вероятностей, можно
представить в виде
P (1, t) = P (1, t|1, 0)P (1, 0) + P (1, t|2, 0)P (2, 0) + 2g112 P (1, t|(1, 0)(2, 0))P ((1, 0)(2, 0)),
(33)
P (2, t) = P (2, t|1, 0)P (1, 0) + P (2, t|2, 0)P (2, 0) + 2g212 P ((2, t|(1, 0)(2, 0))P ((1, 0)(2, 0)),
(34)
p
p
где P ((1, 0)(2, 0)) = P (1, 0) P (2, 0)| sin(α1 − α2 )| — вероятность нахождения атома в первом и втором состояниях в начальный момент времени t = 0;
p
p
| sin (α1 − α2 − ϕ)|
P (1, t|(1, 0)(2, 0)) = P ((1, t|1, 0) P ((1, t|2, 0)
,
| sin(α1 − α2 )|
Марковские процессы для совместных событий ...
143
p
| sin (α1 − α2 − ϕ)|
P ((2, t|1, 0) P ((2, t|2, 0)
| sin(α1 − α2 )|
– условные вероятности, то есть вероятности квантового перехода атома из первого и второго состояний в начальный момент времени t = 0 в квантовые состояния
в момент времени t > 0.
Квантовые уравнения (31), (32) и (33), (34), описывающие эволюцию атома под
действием электромагнитного поля, идентичны соответственно уравнениям (17),
(18) марковского процесса для попарно совместных событий (при условии N =
= 2). Для идентификации необходимо учесть, что нахождение атома в первом и
втором квантовых состояниях есть случайные события, которые мы обозначаем
как A1 , A2 в начальный момент времени t = 0 и как B1 , B2 в момент времени
t > 0 (формально: (1, t) = B1 , (2, t) = B2 , (1, 0) = A1 , (2, 0) = A2 ).
6. Мы полагаем, что уравнения (17), (18) марковских процессов для попарно
совместных событий описывают квантовые процессы.
Представляет интерес исследовать возможность приложения предложенных
уравнений (12), (13) для описания стохастических марковских процессов в реалистических моделях с более чем попарно совместными событиями.
P (2, t|(1, 0)(2, 0)) =
p
Литература
[1] Попов Н.Н. Элементы теории квантовых вероятностей. М.: Вычислительный
центр РАН, 1996. 206 с.
[2] Holevo A.S. Statistical structure of quantum theory. Berlin: Springer–Verlag, 2001.
150 p.
[3] Холево А.С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории. М.:
Институт космических исследований, 2003. 410 с.
[4] Хренников А.Ю. Неколмогоровские теории вероятностей и квантовая физика.
М.: Физматлит, 2003. 208 с.
[5] Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М.: Наука, 1974.
120 с.
[6] Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1989. 640 с.
[7] Бирюков А.А. Цепи Маркова для совместных состояний и уравнения квантовой механики // Теоретическая и математическая физика. 1971. Т. 7. Bып 1.
С. 56–60.
[8] Скалли М.О., Зубайри М.С. Квантовая оптика. М.: Физматлит, 2003. 510 с.
Поступила в редакцию 11/III/2010;
в окончательном варианте — 11/III/2010.
144
А.А. Бирюков
MARKOVIAN PROCESSES FOR COMPATIBLE EVENTS
AND EQUATIONS OF QUANTUM MECHANICS
c 2010
A.A. Biryukov2
The equation describing the Markovian process in the space of compatible
events which go beyond the axiomatics of Kolmogorov is built. It is shown that
the equation for the case when events are just pair-compartible are equivalent
to the quantum mechanics equations.
Key words: Markovian process, compatible events, quantum mechanics.
Paper received 11/III/2010.
Paper accepted 11/III/2010.
2 Biryukov Alexandr Alexandrovich (biryukov@ssu.samara.ru), Dept. of General and Theoretical
Physics, Samara State University, Samara, 443011, Russia.