Криваль ЛС - Филиппович ОФ

ЛИТЕРАТУРА
1. Расолько, Г. А. Система тестов по математике и информатике на базе пакета MathCad 2000 : в 3 ч. Минск : ИЦ БГУ, 2002. - Ч. 1 : Основы работы в MathCad 2000 / Г, А. Расолько, Ю. А. Кремень. - 56 с.
2. Расолько, Г. А. Система тестов по математике и информатике на базе пакета MathCad 2000 : в 3 ч. Минск : ИЦ БГУ, 2002. - Ч. 2 : Решение задач высшей математики / Г. А. Расолько, Ю. А. Кремень,
Л. Г. Третьякова. - 68 с.
Система тестов по математике и информатике на базе пакета MathCad 2000: в 3 ч. / Г. А. Расолько
[и др.]. - Минск : ИЦ БГУ, 2002. - Ч. 3 : Контрольные и тестовые задания. - 90 с.
Антоневич, А. Б. Функциональный анализ и интегральные уравнения / А. Б. Антоневич, Я. В. Радыно. Минск: БГУ, 2 0 0 3 . - 4 3 0 с.
Антоневич, А. Б. Функциональный анализ и интегральные уравнения : лаб. практикум / А. Б. Антоневич
[и др.]. - Минск : БГУ, 2003. - 180 с.
Лазакович, Н. В. Теория вероятностей / Н. В. Лазакович, С. П. Сташулёнок. - Минск : БГУ, 2003. 259 с.
Жданович, В. Ф. Задания к лабораторным работам по курсу теории вероятностей и математической статистики : в 2 ч. / В. Ф. Жданович [и др.]. - Минск : БГУ, 1998. - Ч. 1. - 36 с.
Жданович, В. Ф. Задания к лабораторным работам по курсу теории вероятностей и математической статистики : в 2 ч. / В. Ф. Жданович [и др.]. - Минск : БГУ, 1998. - Ч. 2. - 48 с.
МЕТОДИКА УСТНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Л. С. Криваль^О. Ф. Филиппович ^
^ Лицей Белорусского национального технического университета
опальный технический
mexHUHi
^Белорусский национальный
университет
Минск, Беларусь
Тестирование с каждым годом приобретает все более массовый характер. Однако,
анализируя результаты ЦТ, необходимо отметить, что большое внимание следует уделять
развитию навыков по рационализации приемов вычислений. Важную роль в процессе
обучения играют вычислительные навыки.
Различные способы устных вычислений способны не только вызвать мгновенный
интерес, но и пробудить эмоции, порождающие желание изучить материал более глубоко.
Регулярно используя в учебном процессе устный счет, мы способствуем выработке у
учащихся умение совершать одновременно несколько операций, развиваем быстроту реакций, воспитываем умение сосредоточиться, формируем навыки ускоренной переработки информации, способствуем развитию различных видов памяти.
В процессе выполнений устных вычислений у учащихся формируется способность
мыслить свернутыми структурами, гибкость мыслительного процесса. Если учащиеся регулярно устно вычисляют, то они приучаются прикидывать в уме последствия всех своих
шагов. Ситуация успеха, которая создается в процессе устных вычислений, формирует у
учащихся веру в себя, учит преодолевать трудности, побуждает активно включаться в
процесс решения учебных задач, увеличивает положительную мотивацию.
211
Решая задачи, нам приходится выполнять арифметические вычисления, а ведь многие вычисления можно выполнить устно. Зная эти способы, учащиеся испытывают радость приобщения к творческому мышлению, интуитивно ощущают красоту и величие
математики, осознают всю нелепость широко распространенного и глубоко ошибочного
представления о математике как о чем-то унылом. Не зря способы этих вычислений передавались из поколения в поколение. Предлагаемая система устных вычислений проста
для учащихся. Еще в детстве для сложения чисел мы все пользовались вычислительной
машиной, устроенной самой природой, - десятью пальцами. Оказывается, этим же «прибором» можно пользоваться и при умножении чисел.
Как «на пальцах» перемножить любые два числа от 6 до 10 включительно? Для этого пронумеруем пальцы рук: мизинец - 6, безымянный - 7, средний - 8, указательный - 9,
большой - 1 0 .
Пример 1. Найти произведение 6 • 9.
Для этого на левой руке загнем палец 6, а на правой - 6, 7, 8, 9. Затем количество загнутых пальцев обеих рук умножаем на 10 и прибавим произведение количества распрямленных пальцев правой руки на количество распрямленных пальцев левой:
6 •9 = 5- 10+1 -4 = 54,
8 - 9 = 7- 10+1 -2 = 72.
Пример 2. Найти произведение 7-8.
Для этого на левой руке загнем пальцы 6, 7, а на правой - 6, 7, 8. Затем количество
загнутых пальцев обеих рук умножим на десять и прибавим произведение количества
распрямленных пальцев правой руки на количество распрямленных пальцев левой:
5- 10 + 2-3=56.
Искомое число - это произведение а • где 6 < а < 10, 6 < й < 10. Ясно, что на левой руке загнуто а ~ 5 пальцев, а на правой 6 - 5 . Таким образом, количество распрямленных пальцев равно а + Ь - 10. На левой руке разогнуто 10 - а пальцев. На правой руке разогнуто 1 0 - 6 пальцев. Их произведение равно (10 - а)(10 - 6). А теперь осталось
найти сумму
(а + 6 - 10) • 10 + (10 - а)(10 - 6) = 10а + 106 - 100 + 100 - 10а - 106 + а6 = а6.
Значит,
а - 6 = (а + 6 - 1 0 ) - 10 + ( 1 0 - а ) ( 1 0 - 6 ) .
(1)
Посмотрев внимательно на тождество (1), легко понять, что вместо числа 10 можно
поставить любое число т , то есть
а6 = (а + 6 - т)т + ( т - а){т - 6).
(2)
Проверим это.
{а + Ь- т)т + (w - а){т -Ь)== amЬт-т^
+ т^-am-Ьт-\-аЬ
= аЬ.
С помощью этого тождества можно быстро найти произведение двух таких чисел, у
которых одно и то же число десяток, сотен,...
Пример 3, Вычислить произведение 16 • 17.
В тождестве (2) возьмем т = 20. Тогда
16- 17 = ( 3 3 - 2 0 ) - 2 0 + 4 - 3 = 272.
Пример 4. Найти произведение 42 - 44.
Возьмем т = 50. Тогда
42 - 44 = (86 - 50) - 50 + 8 - 6 = 1848.
212
Конечно, для т можно брать и другие значения. Например, будет неплохо, если мы
в качестве т возьмем 40. В этом случае мы имеем
42 • 44 - (86 - 4 0 ) • 40 + 2 • 4 = 1848.
Пример 5. Чтобы найти произведение 121 • 103, в тождестве (2) возьмем т = 100.
Тогда
121 • 103= (224 - 100) • 100 4- 21 • 3 = 12463.
Рассмотрим случай умножения двузначного числа на 11.
a6-ll = (10a + Z?)(10 + l) = 100a + 10(a + 6) + 6, значит, аЬЛ1 = а(а-\-Ь)Ь, где а - цифра
сотен, {а + Ь)- цифра десятков, b - цифра единиц.
Пример 6. Найти произведение 71-11.
71-И
— 7 8 1 .
Значит 7 + 1 = 8, цифру 8 запишем между цифрами 7 и 1, получим 781.
Пример 7. Найти произведение 79 • 11.
—^
7+9 = 16
- . \сотня,6десятков
_
79 • 1 1 — — 8 6 9 .
Значит, 7 + 9 = 1 6 , цифру 7 увеличиваем на 1, получим 8 и запишем 6 между 8 и 9.
Покажем правило возведения в квадрат двузначных чисел, оканчивающихся на 5.
Для того чтобы найти (10х + 5) • 2, достаточно цифру десятков умножить на цифру,
следующую за ней, и к полученному произведению приписать 25.
Пример 8. 352 = 3 • 4 • 100 + 25 = 1225. Это правило является следствием равенства
-(IOJC + 5)' =100х(х + 1)+25,
(3)
которое в свою очередь - частный случай тождества (2).
Пример 9. Найти квадрат числа 75.
1 S^Se сотен
752
5625.
Значит, цифру 7 умножаем на следующую за ней цифру 8, получим 56, и к полученному произведению приписываем 25.
Пример 10. Найти квадрат числа 85.
%-9=11сотни
Значит, цифру 8 умножаем на следующую за ней цифру 9, получим 72 и к полученному произведению приписываем 25.
Теперь рассмотрим случай умножения двузначных чисел, сумма единиц которых
равна 10, а десятки равны. Пусть а
+
b =xz=10x + z. Тогда мы имеем
(lOx +:и)(10х + z) = x{lOx
+ z)\0+yz.
Если^; + z = 10, мы получим тождество, подобное тождеству (3):
(10x + ;;)(10x + z)= 100х(х+ l)+;;z.
(4)
На основе этого можно сформулировать следующее правило: чтобы найти произведение двух чисел, цифра десятков которых одна и та же, а сумма единиц равна 10, необходимо цифру десятков умножить на последующую за ним цифру и к полученному
произведению приписать произведение единиц (если оно однозначно, перед ним приписывается 0).
213
Пример 11. Найти произведение 48 • 42.
4-5=20cowe//
4 8 - 4 2 2 0 1 6 .
Значит, цифру 4 умножаем на следующую за ней цифру 5, получим 20 и к полученному произведению приписываем 2 - 8 = 16.
Пример 12. Найти произведение 99-91.
99»91
9 Ю=90сотен
9 1=09 Ыш/ш/
9009.
Значит, цифру 9 умножаем на следующее за ней число 10, получим 90 и к полученному произведению приписываем 09.
Рассмотрим случай умножения трехзначных чисел, у которых цифры сотен и десятков совпадают, а сумма единиц равна 10. Пусть а = xyz = 10ху + z , b = хут = lOxj^ + m ,
где z + m = 10. Тогда
а ^ Ь ^ (lOx>^-hz)(lOjc>' + m) =
= lOxy{lLOxy-i-m-hz)-hmz = 10xj(l0x>; + 10)+wz = 100xj^(xj;-f l)+mz.
Пример 13. Найти произведение 102 - 108.
10\\=110сотен
102.108
11016.
Значит, число 10 умножаем на следующее за ним число 11, получим ПО и к полученному произведению приписываем 2*8 = 16.
Рассмотрим примеры возведения в квадрат чисел 5 и 6-го десятков. Чтобы возвести
в квадрат число пятого десятка (41, 42, ..., 49), надо к числу единиц прибавить число 15, а
затем к полученной сумме приписать квадрат дополнения числа единиц до 10 (если этот
квадрат - однозначное число, перед ним приписывается 0).
Пример 14. Найти квадрат числа 43.
т
43'
]
5+3сотен
1-1=49 единиц
1849.
Значит, к числу 15 прибавить цифру единиц 3 и к полученной сумме приписать 49.
Действительно,
(4^)" - ( 1 0 4 + а)' = 1 0 0 а б + 80а + а ' =100-16 + 80а + ( 1 0 - а ) ' ~100-f20a =
= 1 0 0 ( l 6 - l ) + 1 0 0 a + ( l 0 ~ a ) ' =100(l5 + a ) + ( l 0 - a ) ' .
Еще проще возвести в квадрат число шестого десятка (51, 52,..., 59). Для этого надо
к числу единиц прибавить 25 и к этой сумме приписать квадрат числа единиц.
Пример 15. Найти квадрат числа 54.
25+4 =29 сотен
2916.
Значит, к числу 25 прибавить цифру единиц и к полученной сумме приписать 16.
Действительно,
i ^ J =(l0.5 + a)' =100-25 + 100а + а ' =100'(25 + а) + а ' .
Следующий способ умножения двузначных чисел, оканчивающихся на 5: расположить числа в порядке возрастания, число десятков меньшего умножить на увеличенное на
1 число десятков большего, добавить к этому произведению целую часть половины раз-
214
ности десятков, к полученному числу приписать либо 25, если эта разность четна, либо
75, если она нечетна.
Пример 16. Найти произведение 35-75.
/
35-75 = 3 . 8 . 2 ^ 100+25 = 2625.
2
Пример 17. Найти произведение 25-55.
25-55 = 2 - 6 +
5-2
100+75 = 1375.
Действительно:
\
а Ь^
а5-Ь5 = (\0а + 5){т + 5)=т аЬ + - + - + 5' =
2
а
2
2
Ь^
2
= 100 аЬ + а-а + — + + 5' =100 а{Ь + \)-
Ь-а''
+ 5\
Если b-a = 2t,teN,
то а5 • 65 =100(о(б + і)+/)+25.
Если ^>-а = 2/ + 1,/eiV,TO
а5-65=100 a{b + l)+t+- + 25 =
= 100(а(б + і)+/)+50 + 25 = 100(а(г>
«Для получения квадрата трехзначного числа, которое оканчивается на 25, пишем в
конце 625, затем число сотен умножаем на 5, у полученного числа последнюю цифру пишем впереди числа 625, а первую цифру запоминаем. Потом число сотен данного числа
возводим в квадрат и прибавляем ту цифру, которую только что запомнили, полученный
результат пишем впереди написанных нами чисел».
Например, при возведении 325 в квадрат находим 3 - 5 = 15, пред числом 625 пишем 5 и запоминаем 1, а затем 3^ = 9, прибавим 1, получим 10 и записываем его перед 5.
(325)2 = 10000(32 + 1) + 1000 • 5 + 625=105 625
или
( ^ J ={100а + 25)' = (100а)' + 50 • 100а + 25' = 10000 (а' +1)+ 5 • 1 ООО (а - 2)+ 25'.
Пример 18. Найти квадрат числа 325.
325^
3 + 1 = \ 0десятков тысяч
5{3-2)=
5тысяч
25^ =625 единиц
105625.
Значит, цифру сотен возвести в квадрат и прибавить 1, к полученной сумме приписать 5, а затем 625.
Пример 19. Найти квадрат числа 925.
+ 1 =S2 десятков тысяч
5(9-2)=35 тысяч (3 десятка тысяч и 5 тысяч)
.
25^ =625 единиц
Z^
855625.
925'
Значит, цифру сотен возвести в квадрат и прибавить 1, к полученной сумме прибавить 3, получим
+1 = 82, 82 + 3 = 85, а затем приписать 5 и 625.
Рассмотрим примеры возведения в квадрат двузначных чисел.
215
(abj ^(lOa^bf
=10а(і0а4-2б)+6^
=\Oa(lOa + b^b)+b'
=\Oa(ab^b)+b\
Значит, для возведения двузначного числа в квадрат, нужно к двузначному числу прибавить единицы этого числа и полученную сумму умножить на десятки числа, а к полученному произведению прибавить квадрат единиц числа. Или
а^
+ Ь){а
-b)+b\
Пример 20. Найти квадрат числа 12.
12' =(12 + 2)10 + 2' =144
или
12' = ( l 2 - 2 ) ( l 2 + 2)+2' =144.
Пример 21. Найти квадрат числа 29.
29' =(29 + 9)20 + 9' =841
или
29' = ( 2 9 + 9 Х 2 9 - 9 ) + 9' = 8 4 1 .
Способ использования пальцев левой руки для запоминания значений синуса и косинуса основных углов.
Посмотрим на ладонь левой руки и пронумеруем пальцы так: мизинец - О, безымянный - 1, средний - 2, указательный - 3, большой - 4. При широко расставленных
пальцах они примерно соответствуют «основным» углам первого квадранта: О, 30, 45, 60,
90 ^ (рис. 1). Синусы этих углов будут равны половине квадратного корня из присвоенного пальцу номера, т. е. sin а = ^^/номерпальца , где а = О, 30, 45, 60, 90
У
о
§
Рис. 1
Пример 22. Чему равен sin 45 ° ?
I
I
sin 45° = - д/номер среднего пальца = - л/2 = — .
Пример 23. Чему равен sinO°?
1
sin О = ~ <^номер мизинца = — л/о = 0.
2
2
216
Значение косинуса находится аналогично, только пальцы нужно пронумеровать в
обратном порядке: большой - О, указательный - 1, средний - 2, безымянный - 3, мизинец
- 4. Значит, cos а = ^^/номер пальца .
f
о
Рис. 2
Пример 22. Чему равен cos 30""?
созЗО"" = ~д/номер безымянного пальца =
л/з = ^ .
Пример 23, Чему равен cos О ° ?
cos О"" = — JnoMep мизинца = — лД = 1,
2 ^
2
Значения sin а и cos а снесем в таблицу:
30°
а
sin а
2
cos а
л . ,
2
VI
1
2
2
V3/2
60°
V2/2
V3/2
V2/2
217
90°
45°
л/Г
1
2
2
2
2