Ф1. На гладком горизонтальном столе лежит доска массой M1 1 кг , а на ней брусок массы M 2 2 кг . К бруску через невесомый блок подвешена гиря массы m 3 кг . При каких значениях коэффициента трения между бруском и доской будет происходить проскальзывание бруска относительно доски? M2 M1 m Ответ: k 0, 25 . Решение Ф1. Допустим сначала, что проскальзывания бруска относительно доски нет. Тогда все три тела M 1 , M 2 и m двигаются с одинаковым mg . Силу натяжения T нити легко M1 + M 2 + m найти, применив II-ой закон Ньютона к телу массы m откуда æ ö÷ mg ( M 1 + M 2 ) m ÷= T = m( g - a) = mg çç1 . çè M 1 + M 2 + m ÷÷ø M 1 + M 2 + m Применим теперь II закон Ньютона к телу массы M 2 . На это тело действуют (по горизонтали) силы натяжения нити T и сила трения Fтр , направленные в разные стороны. Поэтому M 2 a = T - Fтр или mgM 1 Fтр = T - M 2 ⋅ a = M1 + M 2 + m ускорением, равным a = Условие непроскальзывания бруска относительно доски сводится к тому, что сила трения Fтр должна быть меньше (или равна) своего максимального значения, равного k M 2 g (здесь k — коэффициент трения). Таким образом, при Fтр = mgM 1 £ k M 2 g проскальзывание отсутствует. Отсюда M1 + M 2 + m видно, что проскальзывание бруска относительно доски будет происходить при k =< M1 m 1 3 ⋅ = ⋅ = 0, 25 . M 2 M1 + M 2 + m 2 1 + 2 + 3 Ф2. Шахта глубиной h 224 м пробурена в склоне горы и имеет горизонтальный выход. Температура наружного воздуха равна t0 0C , средняя температура воздуха внутри шахты равна t1 14C . Вертикальный ствол шахты имеет сечение S 3,5 м 2 . Какую силу нужно приложить к заслонке, чтобы закрыть сверху вертикальный ствол? Давление воздуха равно 760 мм рт. ст. Молекулярный вес воздуха принять равным 29 . F=? h Ответ: F 500 Н 50кГ . Решение Ф2. Поскольку горизонтальный ствол шахты сообщается с атмосферой, давление воздуха здесь равно атмосферному давлению r0 = 760 мм рт.cт . В верхней части шахты (под заслонкой) давление воздуха, будет равно: (1) p1 = p0 - r1 gh где r1 — плотность теплового воздуха внутри шахты. Аналогичным образом, давление воздуха над заслонкой будет равно (2) p2 = p0 - r2 gh где r2 — плотность наружного воздуха. При написании соотношений (1) и (2), очевидно, предполагалось, что плотности воздуха r1 и r2 не меняются заметным образом при изменении высоты на величину h . Условие справедливости такого предположения сводится к требованию, чтобы изменения давлений с высотой (т. е. r1 gh и r2 gh ) были малы по сравнению с r0 . В этом случае m p0 m p0 и r2 = , где T1 и T2 — абсолютные температуры воздуха RT1 RT2 вне и внутри шахты, R — универсальная газовая постоянная. Разность mr æ 1 1 ö p æ Tö давлений p1 - p2 есть: p1 - p2 = gh 0 çç - ÷÷÷ = ghm 0 çç1 - 2 ÷÷÷ (4). R çè T2 T1 ÷ø RT2 çè T1 ÷ø RT2 имеет Поскольку T2 = T0 = 273 K (нормальная температура), величина p0 (3) r1 = смысл объема, занимаемого одним молем газа при нормальных условиях. Обозначим эту величину через n 0 = 22, 4 л . Тогда выражение (4) m æç T2 ö÷ перепишется в виде p1 - p2 = gh ç1 - ÷÷ . Сила, действующая на заслонку n 0 çè T1 ÷ø из-за разности давлений, будет равна F = S ( p1 - p2 ) . Эта сила направлена вверх, так как p1 > p2 . Для удержания заслонки в равновесии к ней нужно приложить внешнюю силу, направленную вниз и равную по величине F . Таким образом ö -3 æ çç1 - 273 ÷÷ , , 3 5 ⋅ 9 8 ⋅ 224 ⋅ 29 ⋅ 10 çè 287 ÷ø mæ T ö F = Sgh çç1 - 2 ÷÷÷ = = 500 ньютон 50кГ n 0 çè T1 ÷ø 22, 4 ⋅ 10-3 В справедливости сделанного выше предположения о постоянстве r1 и r2 можно убедиться с помощью числового расчета, который здесь не приводится. Примечание: при решении этой и всех последующих задач на газовые законы объединенный закон газового состояния (называемый в дальнейшем уравнением газового состояния) записывается в виде: pn = m RT , m — m масса газа, m его молекулярный вес, а R — универсальная газовая постоянная. Значение R легко получить из закона Авогадро, согласно которому один моль любого газа при нормальных условиях занимает объем 22, 4 л . Таким образом, если m = m , p = p0 = 1 атм, T=T0 = 273 K , то n = n 0 = 22, 4 л . Отсюда: m p0n 0 1⋅ 22, 4 литр ⋅ атм = r есть плотность . Поскольку = = 0, 082 n T0 273 град ⋅ моль r газа, уравнение газового состояния может быть переписано в виде p = RT m mp . Эта последняя запись и была использована при написании или r = RT R= соотношения (3). Ф3. Четыре одинаковых металлических пластины расположены в воздухе на равных расстояниях d друг от друга. Площадь каждой из пластин равна S . Крайние пластины соединены между собой, средние пластины подсоединены к батарее, ЭДС которой равна . Найти заряды средних пластин. Считать, что расстояние d между соседними пластинами мало по сравнению с их размерами. E C1 C2 C3 Ответ: q cE 3SE . 8d Решение Ф3. Для решения данной задачи проще всего рассмотреть эквивалентную схему (см. рис. Ф3). Поскольку в нашем случае емкости конденсаторов, образованных соседними пластинами, равны С1 = С2 = С3 = С0 полная емкость c будет равна С = С0 + С0 3 3S . = С0 = 2 2 8p d Таким образом, заряды на внутренних пластинах равны заряду конденсатора С , т. е. равны q = СE = 3 SE . 8p d Все формулы здесь записаны в электростатической системе единиц. E E C1 C2 C3 C2 C1 C3 Рис. Ф3 Ф4. Две тонкие линзы расположены на расстоянии d 90 см друг от друга и имеют общую оптическую ось. Фокусное расстояние первой линзы равно f1 30 см , фокусное расстояние второй линзы неизвестно. На расстоянии a 80 см от первой линзы находится точечный источник света. Система из двух линз дает мнимое изображение точки, расположенное в точке двойного фокуса первой линзы. Определить f 2 . Ответ: f 2 105см . Решение Ф4. Ход лучей и примятые обозначения показаны на рис. 67-1-4. По формуле тонкой линзы имеем: b= af1 80 ⋅ 30 = = 48 см . a - f1 80 - 30 Далее имеем: a2 = d - b = 90 - 48 = 42 см b2 = -(d - 2 f1 ) = -(90 - 60) = -30 см (относительно знака b2 см. примечание). Применяем формулу линзы для второй линзы, получим: f2 = a2b2 42 ⋅ 30 == -105 см . 42 - 30 a2 + b2 Примечание: удобно формулы собирающей и рассеивающей линз, а также формулы выпуклого и вогнутого сферических зеркал записывать в единообразной форме: 1 1 1 + = . a b f При этом фокусное расстояние f должно подставляться в формулу со своим знаком (плюс — для собирающей линзы и вогнутого зеркала, минус — для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала). Правило выбора знаков a или b сводится к следующему: действительным положениям предмета и изображения соответствуют положительные значения a и b , мнимым положениям предмета (сходящиеся лучи) или изображения соответствуют отрицательные значения a и b . a b d a2 b2 Рис. Ф4 Ф5. При температуре 0С стеклянный баллон вмещает m0 100 г ртути, а при температуре 20С стеклянный баллон вмещает m1 99,7 г ртути. В обоих случаях температура ртути равна температуре баллона. Найдите по этим данным температурный коэффициент линейного расширения стекла 1 , учитывая, что коэффициент объемного расширения ртути 1,8 104 K 1 . Ответ: 1 105 K Решение Ф5. Пусть плотность ртути при температуре t0 равна 0 , а при температуре t1 равна 1 , тогда масса ртути при этих данных будет равна m0 0V0 , V1 1 m1 1 m1 1V1 , m1 1 t 0 при этом 1 0 , 1 t т.е. V0 m0 0 , , и V 31tV0 . m 1 t m0 V 1 105 K . 3V0 t 3m0 t Ф6. Период колебаний маятника у часов на поверхности земли T0 1с . На сколько эти часы будут отставать за сутки, если их поднять на высоту h 200 м над поверхностью земли. Ответ: nh 2,7 c , n – количество секунд в сутках. Rh Решение Ф6. T0 2 l , T 2 g 1 l , g1 пусть n – количество секунд в сутках. Число колебаний на высоте h N1 T0 T1 n T , т.е. t N1 T1 T0 n 1 0 и T1 T1 g1 R nh , t 2,7 c . g Rh Rh