Решения Задача 1 вертикальное сечение которой есть парабола

Решения
Задача 1
Пушка стоит на самом верху горы, любое
вертикальное сечение которой есть парабола y ax 2
(см. рисунок). При какой минимальной начальной
скорости снаряда, выпущенного под углом
к
горизонту, он никогда не упадёт на поверхность
горы? Ускорение свободного падения равно g .
Решение
Найдем уравнение траектории снаряда в системе координат, заданной
на рисунке в условии задачи. Пусть t – время, прошедшее с момента
выстрела, а v 0 – начальная скорость. Очевидно, что координаты снаряда в
момент
есть
t
g
x
v0 cos
t,
y
gt 2
2
v0 sin
t,
откуда
x tg . Точка столкновения снаряда с поверхностью
2v0 cos
горы находится из уравнения
g
x 2 x tg
ax 2 .
2
2
2v0 cos
Решение x 0 соответствует месту выстрела, поэтому точка падения снаряда
определяется уравнением
g
a x tg .
2
2v0 cos 2
g
a , то есть
Это уравнение не имеет положительных решений при
2
2v0 cos 2
минимальное значение начальной скорости снаряда, при которой он никогда
1
g
не упадет на поверхность горы, v0 min
. При меньших значениях
cos
2a
v 0 столкновение снаряда с горой неизбежно.
yx
2
2
x2
Задача 2
Небольшая шайба массой m 10 г , начав движение
нижней точки гладкого кольца радиусом R 0,14 м ,
скользит по его внутренней поверхности. На высоте
h 0,18 м она отрывается и свободно падает. Какова сила
реакции, действующая на шайбу со стороны кольца в
начале движения?
из
R

v
h
Решение
Закон сохранения энергии:
mv02 mv2
=
+ mgh
2
2
v02 = v 2 + 2 gh
Второй закон Ньютона для точки отрыва:
mv2
= mgsin α
R
v 2 = Rgsin α
h R
sin α =
R
Второй закон Ньютона для нижней точки:
mv02
= N 0 mg
R
mv02
m
h
N0 =
+ mg = v 2 + 2 gh + mg = 3mg = 0.39 Н
R
R
R
Задача 3
Тепловая машина, рабочим телом, которой
является идеальный одноатомный газ, совершает
работу в цикле 1-2-3-4-1, состоящем из двух изобар,
изохоры и адиабаты (см. рисунок). Найдите КПД
тепловой машины, работающей по такому циклу, если
V1 5 л ,
V2 10 л ,
V4 15 л ,
p1 3,17 105 Па ,
p3
0,51 105 Па
Решение
В рассматриваемом процессе газ отдает количество теплоты Q
на
участке 2-3 и получает количество теплоты Q на участке 1-2 и 3-4. На
участках 1-2 и 3-4. На участке 4-1 над рабочим телом совершается работа без
теплообмена с внешней средой. Обозначим через Ti ( i 1,2,3,4 ) температуры
в состояниях с номерами i . Из первого начала термодинамики, поскольку газ
одноатомный, с учетом уравнения Менделеева - Клапейрона получаем:
3
3
Q
R T2 T3
V 2 p1 p 2
2
2
3
3
Q
R T2 T1
p1 V 2 V1
R T4 T3
p 3 V 4 V3
2
2
5
5
p1 V 2 V1
p 3 V4 V2 .
2
2
Таким образом,
Q
1
Q
1
3V3 p1 p3
5 p1 V2 V1
p 3 V4
V2
0,133 13,3%
Задача 4
Деревянный цилиндр массой 0,25 кг и длиной 0,10 м расположен на
наклонной плоскости. На цилиндр намотано 10 витков тонкой проволоки так,
что плоскость каждого витка проходит через ось цилиндра параллельно
наклонной плоскости. Вся система находится в однородном магнитном поле
с индукцией 0,5 Тл , вектор которой направлен вертикально вверх. Какой
минимальный ток нужно пропустить через рамку, чтобы цилиндр не
скатывался с наклонной плоскости? Трение скольжения между цилиндром и
наклонной плоскостью велико.
Решение.
Запишем кратко условие задачи.
Дано:
m 0.25 кг , l 0.1 м , n 10 , B 0.5 Тл .
Найти:
I -?
Приведем рисунок с указанием действующих сил на цилиндр.
Из рисунка видно, что
только
при
указанном
направлении тока в витках

проводника пара сил Ампера ( FA1 ,

F A 2 ),
действующих на ток,
протекающий вдоль образующих,
будет создавать момент сил,
удерживающий
цилиндр
на
наклонной
плоскости.
Силы
Ампера, действующие на ток,
протекающий
вдоль
торцов
цилиндра,
направлены
перпендикулярно
торцам
и
оказывают
растягивающее
влияние на контур, не создавая вращательного момента. Запишем первое
условие равновесия цилиндра (сумма всех приложенных к цилиндру сил
равна нулю):



 
(1)
FA1 FA2 N m g FTp 0 .

Здесь N - сила реакции опоры. Проецируя уравнение (1) на оси
координат получим систему уравнений:
m g sin
N m g cos
Отсюда следует, что:
FTp
0, проекция на ось ox
0, проекция на ось oy
.
(2)
.
(3)
Запишем второе условие равновесия цилиндра (сумма моментов всех
приложенных к цилиндру сил равна нулю), рассчитывая суммарный момент
относительно оси проходящей через ось цилиндра:
FA1 sin
R FA 2 sin
R FTp R 0 .
(4)
Учтем, что сила Ампера будет равна по модулю:
FA1 FA2 FA n I l B .
(5)
Тогда из (4), с учетом (3) и (5), получим:
2 n I l B sin
m g sin .
(6)
Из выражения (6) рассчитаем силу тока в витках:
FTp
I
m g sin
m g
2 n l B
0.25 9.8
2 10 0.1 0.5
2.45 A .
Задача 5
В ясный солнечный день, стоящий на дне озера водолаз видит в водном
«зеркале» у себя над головой отражение всех участков дна, находящихся от
него на расстоянии s 10 м и более. Какова глубина H озера? Рост водолаза
h 1,7 м .
Решение
Луч, изображенный на рисунке, падает
на поверхность воды под углом α0, равным
предельному углу полного отражения:
sin 0 1 .
Тогда
из
равенства
n
AD AE DE следует
2H h
s Htg 0 H h tg 0
.
n2 1
h s
n 2 1 5,2 м .
Отсюда H
2 2