THERMAL PROCESSES MODELING BY MEANS OF THE

Энергообеспечение и энерготехнологии
УДК 621.365
В.А. Кожухов
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ РЕЗИСТИВНЫМИ СХЕМАМИ
Электрическое моделирование тепловых процессов обладает стабильностью, надежностью и
достоверностью полученных результатов, сравнительно высокой точностью, быстротой и удобством
измерения, простотой проведения опытов. Автором статьи приведены модели различных тепловых
систем на основе резистивных схем.
Ключевые слова: моделирование, тепловые процессы, резистивные схемы.
V.A. Kozhukhov
THERMAL PROCESSES MODELING BY MEANS OF THE RESISTIVE SCHEMES
Electric modeling of the thermal processes possesses stability, safety and reliability of the received results,
rather high accuracy, speed and convenience of measurement, simplicity of the experiments conducting. Models of
various thermal systems on the basis of the resistive schemes are given by the author of the article.
Key words: modeling, thermal processes, resistive schemes.
Моделирование процессов любой физической природы основано на том, что, несмотря на колоссальное разнообразие различных явлений, качественное различие форм движения материи, имеется единообразие, единство и общность. Тождественность уравнений электрического тока и уравнений распространения тепла позволяет на основе электрических схем исследовать тепловые процессы в реальных объектах. Говоря о
моделях в физике и смежных с ней науках, имеются в виду те сходства, которые Максвелл называл физической аналогией. «Под физической аналогией я разумею то частное сходство между законами каких-нибудь
двух областей науки, благодаря которому одна является иллюстрацией для другой» [1].
Электрическое моделирование тепловых процессов обладает стабильностью, надежностью и достоверностью полученных результатов, сравнительно высокой точностью, быстротой и удобством измерения,
простотой проведения опытов.
Наиболее удобным и достаточно совершенным методом расчета стационарных температурных полей
является метод электротепловой аналогии. Он основан на аналогии математической записи двух разных
физических явлений: теплопроводности и электропроводности. Этой аналогией легко воспользоваться для
воспроизведения теплового процесса электрическим. Электрическим процессом легче управлять, за ним
просто наблюдать и измерять все его параметры. Поэтому удобно именно таким процессом воспроизводить
явление теплопроводности, которое само такими достоинствами не обладает. Основа аналогии между этими
двумя явлениями состоит в следующем.
Передача тепла теплопроводностью подчиняется закону Фурье, согласно которому
q = Δt/RT.
(1)
Передача электричества в электропроводящей среде определяется законом Ома
I = ΔU/RЭ.
(2)
В этих формулах RT и RЭ – тепловое и электрическое сопротивления, a Δt и ΔU – перепады температур и электрических напряжений.
Из полного соответствия математической записи этих двух законов следует, что если взять геометрически подобный сечению стены лист из электропроводящего материала, то закономерности передачи электричества через него и передачи тепла через стену будут полностью аналогичны. При этом будет иметь место следующее соответствие между характеристиками, определяющими эти два процесса (табл., рис. 1).
150
Вестник КрасГАУ. 20 10. №4
Рис. 1. Аналогия между процессами теплопроводности (а) и электропроводности (б)
Электротепловая аналогия
Электропроводность
Размерность
Обозначение
Обозначение
Теплопроводность
t Температура
К(°С)
U
Q Количество тепла
кДж
(ккал)
G
Количество
электричества
Кл
Вт
(ккал/ч)
I
Поток электричества
(сила тока)
Кл/с, или А
К·м2/Вт
(ч·°С·м2/ ккал)
RЭ
Электрическое
сопротивление
ед. потенц./А, или
Ом
Дж/кг·К
С
Электрическая ѐмкость
Фарада (Ф)
Характеристика
q Тепловой поток
RТ
Термическое сопротивление
ср Удельная теплоѐмкость
Характеристика
Размерность
Электрический потенциал В, или ед. потенц.
Между перепадом температур Δt на границах стенки и перепадом электрических потенциалов ΔU на
соответствующих границах электропроводящего листа может быть прoизвольное соотношение, которое определит масштаб температур mt, в К/ед·потенц.:
t
.
U
mt
(3)
Соотношение между тепловыми RТ и электрическими RЭ сопротивлениями также может быть произвольным. Оно определяет масштаб сопротивлений mR в
К / Вт
:
ед. потенц. / А
mR = RТ/RЭ.
151
(4)
Энергообеспечение и энерготехнологии
Из уравнений теплопроводности и электропроводности следует, что при наперед заданных значениях
масштабов сопротивлений и температур масштаб тепловых потоков, Вт/А [(ккал/ч)/А],
mq = q/l,
(5)
mq = mt/mR.
(6)
или
Если в уравнение теплопроводности (1) подставить значения величин, выраженные через соответствующие масштабы в виде Δt = mtΔU; RT = mRRЭ; q = mqI, то можно убедиться в полной его тождественности
уравнению электропроводности (2) именно при такой зависимости между масштабами, как (6). Действительно,
mq I
mt U
;
m R RЭ
I
mt
m R mq
U
;
RЭ
I
U
,
RЭ
если
mt
m R mq
или
1
mq
mt
.
mR
Способ определения масштабов характеристик аналогичных процессов полностью совпадает со способом, применяемым в теории подобия для вывода критериев подобия.
Температурное поле стены с равномерно распределенными параметрами воспроизводится на модели электрическим полем также с равномерно распределенными параметрами. Поэтому, измерив значения
потенциала в отдельных точках модели и построив электрическое поле в форме линий равных потенциалов,
можно принять его за температурное поле в виде изотерм в стене. Для пересчета электрических потенциалов в температуры нужно воспользоваться масштабом mt. Обычно для расчета на модели удобно пользоваться условными единицами потенциала, например, в процентах от произвольно принятого полного перепада.
Измерение или расчет силы тока в любом сечении электрической модели позволяет определить с помощью масштаба mq величину соответствующих потоков тепла.
Задача расчета может состоять в определении сопротивления теплопередаче сложного элемента.
Оно может быть определено измерением на модели соответствующих электрических сопротивлений с последующим их пересчетом с помощью масштаба сопротивлений mR. Подобным образом с помощью электромодели могут быть определены факторы, формы элементов ограждений.
Геометрически подобные электропроводящие среды, на которых воспроизводится температурное поле, в теории методов аналогий называют «геометрическими аналогами». С их помощью наиболее просто
воспроизводить температурные поля любой конфигурации однородных конструкций с граничными условиями первого рода. Разработаны приемы воспроизведения на «геометрических аналогах» полей с неоднородными включениями при сложных граничных условиях. В качестве электропроводящей среды обычно используют электропроводящую бумагу, фольгу, электролит и др. Для сложных случаев расчета подробное изложение метода с использованием геометрических аналогов можно найти в [3].
Плоская протяжѐнная стенка без внутренних источников теплоты
Тепловое сопротивление стенки равно:
Rt = δ/(λS),
(7)
где δ – толщина стенки (м);
λ – теплопроводность материала (Вт/м 0С);
S – площадь стенки.
Закон Ома для тепловой цепи:
Q = Δt/ Rt =(t1 –t2)/ Rt,
152
(8)
Вестник КрасГАУ. 20 10. №4
где Q – тепловой поток (Вт);
t1 – температура на одной поверхности стенки;
t2 – температура на другой поверхности стенки (0С);
Rt – тепловое сопротивление стенки.
t
B
t1
t1
t2
t2
Q
x
x
RЭ
.....
I
Рис. 2. Тепловые схемы стенки
Исходя из электротепловой аналогии на основе уравнения закона Ома, можно составить эквивалентную электрическую схему, в которой тепловой поток Q представлен в виде источника тока или ЭДС. Особенностью тепловых схем замещения является то, что тепловые потоки в отличие от электрических токов не
образуют замкнутых контуров. Поэтому источники теплового потока, называемые также источниками теплоты или потерь, изображаются на тепловых схемах без стрелок, показывающих направление потока, могут
иметь только один выход и не иметь входа. Тепловая схема на рис. 3 учитывает не только сопротивление
теплопроводности, которое вместо Rt обозначено Rλ, чтобы подчеркнуть, что это тепловое сопротивление
теплопроводности, тогда как Rα – тепловое сопротивление теплоотдачи конвекцией и излучением с поверхности стенки в окружающую среду. Таким образом, в стенке без потерь имеет место линейный закон распределения температуры, что соответствует распределению электрического потенциала в линейном резистивном элементе.
t1
RT
t1
RT
t2
Q
t1
Rt
2
R
Q
t2
Q
Рис. 3. Тепловые схемы стенки
Многослойная плоская протяжѐнная стенка без внутренних источников теплоты
Имеется три слоя разных материалов без собственных источников теплоты, через которые передается тепловой поток (рис. 4). Тепловая схема в данном случае состоит из источника Q и трех последовательных сопротивлений:
R1 = δ1 / (λ1 S);
R2 = δ2 / (λ2 S);
R3 = δ3 / (λ3 S).
153
t2
Энергообеспечение и энерготехнологии
Перепад температуры в каждом слое Δt = Q Ri, i = 1,2,…, п. Общий перепад температуры равен сумме
частичных перепадов
Δt = Δ t1 + Δ t2 + Δ t3 = Q(R1 + R2+ R3).
t
B
1
t1
2
1
Q
t2
б)
2
3
t3
4
t4
R1
а)
RT1
RT2
R3
I
в)
x
Q
R2
x
pV
RT3
Рис. 4. Многослойная плоская стенка и ее тепловая схема (а), распределение температуры
в тепловой системе (б), распределение электрического потенциала в моделирующей схеме (в)
На рис. 4,б приведено распределение электрического потенциала в электрической схеме замещения
тепловой структуры из трех слоев.
Цилиндрическая стенка с однородным температурным полем
Практическая задача данного типа встречается при передаче тепловой энергии по цилиндрическим
трубопроводам. Моделью данной задачи является электрическое поле коаксиального кабеля. Электрическое
сопротивление изоляции кабеля выражается:
RE = ln(r2 /r1) /(2πγl),
где
(9)
r2, r1 – геометрические размеры;
γ – проводимость изоляции кабеля;
l – длина кабеля.
t(r) = [(t1ln r2 – t2ln r1) – (t1 – t2) ln r] / ln (r2/ r1).
154
(10)
Вестник КрасГАУ. 20 10. №4
t
t1
t1
-Q
t2
t2
Q
r
x
r1
2r1
2r2
t1
r
r2
RT
x
r1
r
r 2
I
RT
t2
pW
а
б
Рис. 5. Цилиндрическая стенка с неоднородным температурным полем и еѐ тепловая схема
с распределением температуры (а); электрическая схема моделирования и распределение
потенциалов (б)
В силу электротепловой аналогии имеем формулу теплового сопротивления цилиндрической стенки:
RТ = ln(r2 /r1) /(2πλl),
(11)
где λ – теплопроводность материала.
Распределение температуры внутри материала изменяется, таким образом, по логарифмическому закону [3].
Литература
1.
2.
3.
Максвелл Д. К. Избранные сочинения по теории электромагнитного поля. – М.: Физматлит, 1954.
Драганов Б.Х., Есин В.В., Зуев В.П. Применение теплоты в сельском хозяйстве. – Киев: Высшая школа, 1984.
Богословский В.Н. Строительная теплофизика. – М.: Высшая школа, 1882.
155