11 1 1 ÌÅÕÀÍÈÊÀ ÓÄÊ 532.5.032 Ì. À. Áðóòÿí Âèõðü Áþðãåðñà â ìèêðîïîëÿðíîé æèäêîñòè (Ïðåäñòàâëåíî èíîñòðàííûì ÷ë. ÍÀÍ ÐÀ À. Ï. Ñåéðàíÿíîì 6/VII 2009) Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìèêðîïîëÿðíàÿ æèäêîñòü, âèõðåâûå òå÷åíèÿ, ñìàçî÷íûé ñëîé, òî÷íûå ðåøåíèÿ 1. Ââåäåíèå.  êëàññè÷åñêîé ãèäðîäèíàìèêå íüþòîíîâñêîé æèäêîñòè õîðîøî èçâåñòíî ðåøåíèå Áþðãåðñà [1], îïèñûâàþùåå ñòàöèîíàðíîå âèõðåâîå òå÷åíèå, â êîòîðîì ýôôåêò âÿçêîé äèôôóçèè êîìïåíñèðóåòñÿ íåëèíåéíûì ýôôåêòîì óñèëåíèÿ çàâèõðåííîñòè ïðè ðàñòÿæåíèè âèõðåâûõ íèòåé. Ëþáîïûòíî, ÷òî òàêîãî ðîäà òå÷åíèÿ èìåþò íå òîëüêî î÷åâèäíîå îòíîøåíèå ê ïðîáëåìå òóðáóëåíòíîñòè èëè àòìîñôåðíûì ÿâëåíèÿì òèïà òîðíàäî, íî è äîâîëüíî íåîæèäàííîå îòíîøåíèå ê òåîðèè ñìàçêè. Ïðè íàáëþäåíèè çà ïîëèìåðíîé ïëåíêîé, íàíåñåííîé íà ïîâåðõíîñòè äî èõ âçàèìíîãî òðåíèÿ, îáíàðóæåíî, ÷òî â ðåçóëüòàòå òðåíèÿ ïîâåðõíîñòåé ñî ñìàçêîé ìåæäó íèìè îáðàçóþòñÿ ìåñòà èçíîñà ñ ðåëüåôîì ïëåíêè, ÿâíî ñîîòâåòñòâóþùèì äåéñòâèþ íà ïëåíêó ñîñðåäîòî÷åííûõ îòðûâàþùèõ óñèëèé. Ïî ìíåíèþ ðÿäà àâòîðîâ (ñì., íàïðèìåð, [2]) ýòîò ìåõàíèçì ñâÿçàí ñ ôîðìèðîâàíèåì íàä ïîâåðõíîñòüþ òðåíèÿ âèõðåîáðàçíîé äèíàìè÷åñêîé ñòðóêòóðû, êîòîðàÿ è âûðûâàåò ÷àñòèöû ïîëèìåðà íåïîñðåäñòâåííî èç ïîâåðõíîñòè òðåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, èçó÷åíèå ïðîñòðàíñòâåííûõ âèõðåâûõ ñòðóêòóð ïðåäñòàâëÿåò íå òîëüêî çíà÷èòåëüíûé íàó÷íûé, íî è ïðàêòè÷åñêèé èíòåðåñ. 2. Îïðåäåëÿþùèå óðàâíåíèÿ ìèêðîïîëÿðíîé æèäêîñòè â çàäà÷å Áþðãåðñà. Îäíèì èç ïîäõîäîâ ê èññëåäîâàíèþ âèõðåâûõ ñòðóêòóð â ðåîëîãè÷åñêè ñëîæíûõ òå÷åíèÿõ ìîæåò ñòàòü èçó÷åíèå íåíüþòîíîâñêèõ æèäêîñòåé, äëÿ îïèñàíèÿ êîòîðûõ òðåáóþòñÿ äîïîëíèòåëüíûå ïåðåìåííûå ãèäðîäèíàìè÷åñêîãî òèïà. Íàèáîëåå èçâåñòíîé ìîäåëüþ òàêîãî ñîðòà, êîòîðàÿ èñïîëüçóåòñÿ â ÷àñòíîñòè è äëÿ èçó÷åíèÿ òå÷åíèé â ñìàçî÷íîì ñëîå, ÿâëÿåòñÿ 3 5 òàê íàçûâàåìàÿ ìèêðîïîëÿðíàÿ æèäêîñòü [3-5]. Ïðè ìàêðîñêîïè÷åñêîì îïèñàíèè ýòîé ñðåäû ó÷èòûâàåòñÿ àñèììåòðè÷íîñòü òåíçîðà íàïðÿæåíèé è íàðÿäó ñ êëàññè÷åñêèìè ãèäðîäèíàìè÷åñêèìè ïåðåìåííûìè ââîäÿòñÿ òðè äîïîëíèòåëüíûå, èíòåðïðåòèðóåìûå êàê êîìïîíåíòû óãëîâîé ñêîðîñòè ìèêðîâðàùåíèÿ ­. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ìèêðîïîëÿðíîé æèäêîñòè, ÷àñòî íàçûâàåìûå óðàâíåíèÿìè àñèììåòðè÷åñêîé ãèäðîìåõàíèêè, â ñòàöèîíàðíîì ñëó÷àå èìåþò âèä (ñì., íàïðèìåð, [5]) ½( v ¢ r) V = ( ¹ + k) ¢ V + k r o t ­ ¡ rp; d iv V = 0 (1 ) ½J[( V ¢ r) ­ ¡ ( ­ ¢ r) V ] = ( ® + ¯) g r a d ( d iv ­) + °¢ ­ ¡ 2 k­ + k r o t V; (2 ) ãäå p – äàâëåíèå, V – ñêîðîñòü, ¹ – êîýôôèöèåíò äèíàìè÷åñêîé âÿçêîñòè, ½ – ïëîòíîñòü ìàññû, ½J – ïëîòíîñòü ìèêðîìîìåíòà èíåðöèè; ®; ¯; ° – êîýôôèöèåíòû âðàùàòåëüíîé âÿçêîñòè, k – êîýôôèöèåíò âèõðåâîé âÿçêîñòè, õàðàêòåðèçóþùèé ìåðó ”ñöåïëåíèÿ” ÷àñòèöû ñî ñâîèì îêðóæåíèåì. Ïðè k = 0 óðàâíåíèÿ (1) è (2) ”ðàñùåïëÿþòñÿ” è (1) ïåðåõîäèò â êëàññè÷åñêîå óðàâíåíèå Íàâüå-Ñòîêñà. Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå (2) ñ òî÷íîñòüþ äî âÿçêèõ ÷ëåíîâ ôîðìàëüíî ñîâïàäàåò ñ óðàâíåíèåì Ãåëüìãîëüöà äëÿ ýâîëþöèè âåêòîðà çàâèõðåííîñòè ! = r o t V â êëàññè÷åñêîé ãèäðîäèíàìèêå. Ýòî åñòåñòâåííî, òàê êàê îáà âåêòîðà ! è ­ ÿâëÿþòñÿ àêñèàëüíûìè. Îäíèì èç òî÷íûõ ðåøåíèé òðåõìåðíûõ óðàâíåíèé Íàâüå-Ñòîêñà, îïèñûâàþùèõ ñòàöèîíàðíîå âèõðåâîå òå÷åíèå ñ òðåìÿ íåíóëåâûìè êîìïîíåíòàìè ñêîðîñòè, ÿâëÿåòñÿ òàê íàçûâàåìûé âèõðü Áþðãåðñà.  öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ( r; µ; z) ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè êîìïîíåíòàìè ñêîðîñòè uB ( r) , vB ( r) è wB ( z) ýòî ðåøåíèå èìååò âèä [1] · µ ¶¸ 1 ¡ B ar2 uB = ¡ ar; vB = 1 ¡ e xp ¡ ; wB = az; (3 ) 2 2 ¼r 4 º ½a2 2 pB = pB ( r; z) = ¡ ( r + 4 z 2) ¡ ½ 8 Z1 Ba (4 ) r µ ¶ ar2 ! = r o t V = ( 0 ; 0 ; !B ) ; !B = e xp ¡ ; ¡ 4 ¼º 4 º ¡ vB2 ( ³) d³; ³ B =2 ¼ Z1 !B ( r) rdr; (5 ) 0 ãäå a – ïîñòîÿííûé ïîëîæèòåëüíûé ïàðàìåòð çàäà÷è, º = ¹=½ – êîýôôèöèåíò êèíåìàòè÷åñêîé âÿçêîñòè, ¡ B – ñóììàðíàÿ çàâèõðåííîñòü. 3 6 Ïåðåéäåì ê ïîèñêó îáîáùåíèÿ ðåøåíèÿ Áþðãåðñà íà ñëó÷àé ìèêðîïîëÿðíîé æèäêîñòè. Âèä (3)-(5), à òàêæå îáùàÿ àêñèàëüíàÿ ïðèðîäà âåêòîðîâ çàâèõðåííîñòè è óãëîâîé ñêîðîñòè ìèêðîâðàùåíèÿ ­ ïîäñêàçûâàþò ïîèñê ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (1) è (2) â ñëåäóþùåì âèäå: 1 u = ¡ ar; v = v( r) ; w = az; p = p( r; z) ; ­ = [0 ; 0 ; ­( r) ]: 2 Èç (6) ñëåäóåò, ÷òî d iv ­ = 0 , à r o t ­ = ( 0 ; ¡d­=dr; 0 ) . Êðîìå òîãî · ¸ a d( ­r2 ) ( V ¢ r) ­ ¡ ( ­ ¢ r) V = ¡ r o t [V £ ­] ¡ V r ¢ ­ + ­r ¢ V = 0 ; 0 ; : 2 r dr Ñ ó÷åòîì (7) èñõîäíûå óðàâíåíèÿ (1) è (2) ïðèíèìàþò âèä µ 2 ¶ @p v 1 2 @p =½ ¡ ar ; = ¡½a2 z; @r r 4 @z ½a d ( rv) + ( ¹ + k) 2 dr µ ° d ½aJ 1 d 2 ( r ­) ¡ 2 r dr r dr d2 v 1 dv v + ¡ dr 2 r dr r µ d­ r dr ¶ ¶ + 2 k­ = =k d­ ; dr k d ( rv) : r dr (6 ) (7 ) (8 ) (9 ) (1 0 ) Êàê è â ñëó÷àå êëàññè÷åñêîãî âèõðÿ Áþðãåðñà, äàâëåíèå íàõîäèòñÿ èç (8) ñ ïîìîùüþ ïðîñòîé êâàäðàòóðû (4). Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (9) è (10), êîòîðûå óäîáíî ïåðåïèñàòü â òåðìèíàõ ! è ­ ( ¹ + k) d! ½a d­ + r! = k ; dr 2 dr µ ½Ja d 2 ° d ( r ­) ¡ 2 r dr r dr d­ r dr ¶ = k( ! ¡ 2 ­) : (1 1 ) (1 2 ) Ïðîâåäåì îáåçðàçìåðèâàíèå óðàâíåíèé (11) è (12).  êà÷åñòâå õàðàêòåðíîãî ðàçìåðà, ïî àíàëîãèè ñî ñëó÷àåì k = 0 , âûáåðåì ”âÿçêóþ äëèíó” p l = ( ¹ + k) =½a. Ââåäåì áåçðàçìåðíóþ íåçàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ x = r=l è áåçðàçìåðíûå ïàðàìåòðû A = J=2 l2 è B = °=( ¹ + k) l2 . Òîãäà îïðåäåëÿþùèå óðàâíåíèÿ (11) è (12) ìèêðîïîëÿðíîé æèäêîñòè â çàäà÷å Áþðãåðñà ïðèìóò îêîí÷àòåëüíûé âèä d! 1 d­ + x! = ¸ ; dx 2 dx d d A ( x2 ­) ¡ B dx dx µ d­ x dx 3 7 ¶ = ¸x( ! ¡ 2 ­) ; (1 3 ) (1 4 ) ãäå ¸ = k=( ¹ + k) .  çàêëþ÷åíèå ðàçäåëà çàìåòèì, ÷òî ñâåäåíèå ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ê ðåøåíèþ ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñòàëî âîçìîæíûì èç-çà òîãî, ÷òî â êëàññè÷åñp êîé çàäà÷å Áþðãåðñà ( k = 0 ) èçíà÷àëüíî óæå èìååòñÿ ðàçìåðíàÿ äëèíà ¹=½a è ïîÿâëåíèå äîïîëíèòåëüíîé ”âíóòðåííåé äëèíû” íå íàðóøàåò âèä ðåøåíèÿ (6). 3. Èíòåãðàëüíûé èíâàðèàíò è ÷èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷è. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà îïðåäåëÿþùèõ óðàâíåíèé (13) è (14). Âûïîëíÿÿ äèôôåðåíöèðîâàíèå â óðàâíåíèè (14) è ñ÷èòàÿ, ÷òî ­( x) è åå ïðîèçâîäíûå îñòàþòñÿ êîíå÷íûìè ïðè x = 0 , íàõîäèì, ÷òî íà îñè âèõðÿ äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå d­ = 0 ïðè x = 0 : dx (1 5 ) Òîãäà èç (13) íåìåäëåííî ïîëó÷àåì, ÷òî d! = 0 ïðè x = 0 : dx (1 6 ) Ïðîèíòåãðèðóåì òåïåðü óðàâíåíèå (14) ïî îáëàñòè òå÷åíèÿ. Ïðè êîíå÷íûõ çíà÷åíèÿõ ­( x) íà îñè è äîñòàòî÷íîé ñêîðîñòè óáûâàíèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè ­( x) = O( 1 =x2+" ; " > 0 ) ïîñëå íåñëîæíûõ âû÷èñëåíèé ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó èíòåãðàëüíîìó èíâàðèàíòó: ¡ ! ¡2 ¡ =0 ; ­ (1 7 ) ãäå ¡ ! = 2 ¼l2 Z1 !( x) xdx; ¡ 0 ­ = 2 ¼l2 Z1 ­( x) xdx: (1 8 ) 0 Òàêèì îáðàçîì, óñòàíîâëåíî, ÷òî ïðè ýâîëþöèè âèõðÿ Áþðãåðñà â ìèêðîïîëÿðíîé æèäêîñòè ñóììàðíàÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü ìèêðîâðàùåíèÿ âñåãäà ðàâíà ïîëîâèíå ñóììàðíîé çàâèõðåííîñòè. Çàòóõàþùèå íà áåñêîíå÷íîñòè ðåøåíèÿ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (13) è (14) íàõîäèëèñü ÷èñëåííî êîíå÷íî-ðàçíîñòíûì ìåòîäîì Êåëëåðà âòîðîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè [6]. Äëÿ ýòîãî (13) è (14), ïîñëå ââåäåíèÿ äîïîëíèòåëüíûõ çàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ, ñíà÷àëà ïðèâîäÿòñÿ ê ñèñòåìå óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà, à çàòåì, ïîñëå êîíå÷íî-ðàçíîñòíîé àïïðîêñèìàöèè, ñâîäÿòñÿ ê ñèñòåìå àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, êîòîðàÿ â ñâîþ î÷åðåäü ðåøàåòñÿ ìåòîäîì áëî÷íîé ïðîãîíêè ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (15) è (16). Ðàñ÷åòû ïðîâîäèëèñü íà ðàâíîìåðíîé ñåòêå ñ ÷èñëîì óçëîâ N = 5 0 1 ïðè çàäàííûõ ïàðàìåòðàõ C = 0 :0 0 0 1 , D = 0 :0 1 è ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ ¸. Ñðàâíåíèå ðåçóëüòàòîâ ðàñ÷åòà ñ òî÷íûì ðåøåíèåì Áþðãåðñà 3 8 (3)-(5) ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè îäèíàêîâîì çíà÷åíèè öèðêóëÿöèè ¡ ! = ¡ B âåëè÷èíà çàâèõðåííîñòè íà îñè â ìèêðîïîëÿðíîé æèäêîñòè áîëüøå, à êðèâàÿ åå ðàñïðåäåëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ áîëåå êðóòîé. Ýòî ãîâîðèò î òîì, ÷òî ó÷åò ìèêðîïîëÿðíûõ ñâîéñòâ ñðåäû óñèëèâàåò òàê íàçûâàåìûé ýôôåêò òîðíàäî.  ðàáîòå [2] íà îñíîâå êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ Áþðãåðñà ñäåëàíà îöåíêà ñèëû ¢ pB , êîòîðàÿ äåéñòâîâàëà áû íà ñôåðè÷åñêóþ ÷àñòèöó ïîëèìåðà ñî ñòîðîíû âèõðåîáðàçíîé ñòðóêòóðû, âîçíèêàþùåé â ñìàçî÷íîì ñëîå ìåæäó òðóùèìèñÿ ïîâåðõíîñòÿìè. Ñðàâíåíèå ñ ñèëîé, íåîáõîäèìîé äëÿ âûðûâàíèÿ ÷àñòèöû ïîëèìåðà, ïîêàçàëî, ÷òî îíè îäíîãî ïîðÿäêà, íî îöåíêà ¢ p íà îñíîâå êëàññè÷åñêîãî ”íüþòîíîâñêîãî” âèõðÿ Áþðãåðñà äàåò çàíèæåííîå çíà÷åíèå. Íà ðèñ.1 ïîêàçàí ðåçóëüòàò ÷èñëåííîãî ðàñ÷åòà çàâèñèìîñòè ¢ p=¢ pB îò ¸. Ðèñ. 1. Çàâèñèìîñòü èçìåíåíèÿ îòíîñèòåëüíîãî ïåðåïàäà äàâëåíèÿ ¢ p=¢ pB îò âåëè÷èíû êîýôôèöèåíòà ”ñöåïëåíèÿ” ¸ ìèêðîïîëÿðíîé æèäêîñòè; ¢ p – ïåðåïàä äàâëåíèÿ â ìèêðîïîëÿðíîé æèäêîñòè, ¢ pB – ïåðåïàä äàâëåíèÿ èç ðåøåíèÿ Áþðãåðñà â íüþòîíîâñêîé æèäêîñòè. Âèäíî, ÷òî óâåëè÷åíèå ¸ ïðèâîäèò ê âîçðàñòàíèþ îòðûâàþùèõ óñèëèé è òåì ñàìûì ïðèáëèæàåò ñäåëàííóþ â [2] îöåíêó ê íóæíîìó çíà÷åíèþ. Çàìåòèì, ÷òî âî âñåõ ïðîâåäåííûõ ðàñ÷åòàõ èíòåãðàëüíûé èíâàðèàíò (17) îêàçûâàëñÿ âûïîëíåííûì ñ òî÷íîñòüþ äî 1 0 ¡5 . 4. Çàêëþ÷åíèå. Ïîëó÷åíî òî÷íîå îáîáùåíèå èçâåñòíîé â êëàññè÷åñêîé ãèäðîäèíàìèêå çàäà÷è Áþðãåðñà íà ñëó÷àé ïðîñòðàíñòâåííîãî ñòàöèîíàðíîãî âèõðåâîãî òå÷åíèÿ ìèêðîïîëÿðíîé æèäêîñòè. Ïîêàçàíî, ÷òî ýòà çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñèñòåìû ëèíåéíûõ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïåðåìåííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Íàéäåíà èíòåãðàëüíàÿ ñâÿçü 3 9 ìåæäó çàâèõðåííîñòüþ è óãëîâîé ñêîðîñòüþ ìèêðîâðàùåíèÿ. Ðåçóëüòàòû ðàáîòû èìåþò ïðèëîæåíèå ê òåîðèè òå÷åíèÿ â ñìàçî÷íîì ñëîå, à òàêæå ê äðóãèì âèõðåâûì òå÷åíèÿì ðåîëîãè÷åñêè ñëîæíûõ æèäêîñòåé. ÔÃÓÏ ”Öåíòðàëüíûé àýðîãèäðîäèíàìè÷åñêèé èíñòèòóò èì. ïðîô. Í. Å. Æóêîâñêîãî” Ì. À. Áðóòÿí Âèõðü Áþðãåðñà â ìèêðîïîëÿðíîé æèäêîñòè Äàíî îáîáùåíèå èçâåñòíîãî â êëàññè÷åñêîé ãèäðîäèíàìèêå ðåøåíèÿ, îïèñûâàþùåãî ïðîñòðàíñòâåííûé âèõðü Áþðãåðñà, íà ñëó÷àé ìèêðîïîëÿðíîé æèäêîñòè. Ïîêàçàíî, ÷òî äàííàÿ çàäà÷à äîïóñêàåò ðåäóêöèþ îïðåäåëÿþùèõ óðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ê ñèñòåìå îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Îïðåäåëåí èíòåãðàëüíûé èíâàðèàíò è äàíî ÷èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷è. Óêàçàíà ïðàêòè÷åñêàÿ âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ â òåîðèè òðåíèÿ ñìàçî÷íîãî ñëîÿ. M. A. Brutyan Burgers Vortex in a Micropolar Fluid Well-known in classical hydrodynamics solution which describes Burgers vortex is generalized to the case of a micropolar fluid. It is shown that governing partial differential equations of this problem may be reduced to the system of the ordinary differential equations. Integral invariant and numerical solution of the problem are provided. It is shown that the obtained results occur to be applicable to the friction theory of lubrication layer. Ø.².´ñáõïÛ³Ý ´Ûáõñ·»ñëÇ ÙññÇÏÁ ÙÇÏñáµ»õ»é³ÛÇÝ Ñ»ÕáõÏáõÙ îñí³Í ¿ ¹³ë³Ï³Ý Ñǹñá¹ÇݳÙÇϳÛÇ Ñ³ÛïÝÇ ÉáõÍÙ³Ý ÁݹѳÝñ³óáõÙÁ, áñÁ Ýϳñ³·ñáõÙ ¿ ´Ûáõñ·»ñëÇ ï³ñ³Í³Ï³Ý ÙññÇÏÁ, »ñµ Ñ»ÕáõÏÁ ÙÇÏñáµ»õ»é³ÛÇÝ ¿: òáõÛó ¿ ïñí³Í, áñ ïíÛ³É ËݹÇñÁ ÃáõÛÉ ¿ ï³ÉÇë áñáßÇã Ù³ëݳÏÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñáí ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ é»¹áõÏóÇ³Ý ëáíáñ³Ï³Ý ¹Çý»ñ»ÝóÇ³É Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·ÇÝ: àñáßí³Í ¿ ÇÝï»·ñ³É ÇÝí³ñdzÝïÁ, »õ µ»ñí³Í ¿ Ãí³ÛÇÝ ÉáõÍáõÙÁ: òáõÛó ¿ ïñí³Í ëï³óí³Í ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ ùëáõù³ÛÇÝ ß»ñïÇ ß÷Ù³Ý ï»ëáõÃÛáõÝáõÙ û·ï³·áñÍ»Éáõ åñ³ÏïÇÏ Ñݳñ³íáñáõÃÛáõÝÁ: 4 0 Ëèòåðàòóðà 1. Burgers J.M. - Advances in Applied Mechanics. Academic Press. 1948. V. 1. P. 171-199. 2. Êðàñíîâ Þ.Ê.  ñá.: Íåëèíåéíûå âîëíû. Ñòðóêòóðû è áèôóðêàöèè. Ì. Íàóêà. 1987. 3. Eringen A.C. - J. Math. Mech. 1966. V. 16. N1. 4. Ïåòðîñÿí Ë.Ã. Íåêîòîðûå âîïðîñû ìåõàíèêè æèäêîñòåé ñ íåñèììåòðè÷íûì òåíçîðîì íàïðÿæåíèé. Èçä-âî. ÅÃÓ. 1986. 5. Áðóòÿí Ì.À., Êðàïèâñêèé Ï.Ë. - Èíæ.-ôèç. æ. 1989. Ò. 57. N2. 6. Keller H.B. - Ann. Rev. Fluid Mech. 1978. V. 10. P. 417-433. 4 1