2.5. распределение молекул по координатам

2.5. Распределение молекул по координатам
Рассмотренный выше пример с объёмом идеального газа в отсутствие действия на него
внешних сил предполагает его равномерное распределение по всему предоставленному объёму. Как уже отмечалось, давление, плотность и температура будут одинаковыми с любой
точке объёма. Если молекулы идеального газа поместить в силовое поле, например гравитационное, то давление и плотность будут меняться с координатами. Типичным примером такому состоянию идеального газа может служить земная атмосфера, каждая молекула которой находится под действием силы тяжести. Определим закон изменения давления и плотности земной атмосферы как функцию расстояния от её поверхности.
Мысленно расположим перпендикулярно поверхности земли цилиндрический объём воздуха с площадью поперечного
сечения s, и будем считать далее:
• пренебрегая стратификацией, будем полагать температуру постоянной T = const;
• атмосфера предполагается состоящей из идеального газа, что не далеко от истины, т.е. к земной атмосфере будем
применять уравнение Клапейрона − Менделеева
m
pV = RT ;
(2.58)
μ
• ускорение свободного падения g считается неизменным
с высотой.
Предположим, что на расстоянии от поверхности земли h Рис. 2.9. Воздушный цилиндр
давление будет равно p, на высоте h + Δh давление составит p +
dp. При dh > 0 давление уменьшается, при dh < 0, наоборот, увеличивается. Если атмосфера
неподвижна, то это указывает на состояние механического равновесия, поддерживаемого
эквивалентностью нулю системы действующих сил. Применительно к слою газа толщиной
dh условие механического равновесия следует записать следующим образом
(p + dp )s + ρgsdh − ps = 0 ,
(2.59)
где ρ − плотность атмосферы на высоте h. Если раскрыть скобки последнего уравнения и
привести подобные члены, то оно примет вид
dp = −ρgdh .
(2.60)
Плотность воздуха выразим из уравнения Клапейрона − Менделеева (2.58)
m pμ
ρ= =
.
(2.61)
V RT
Подставим далее значение плотности из уравнения (2.61) в дифференциальное уравнение
(2.60)
pμ
dp = −
gdh ,
RT
или
dp
μg
dh .
(2.62)
=−
p
RT
Интегрирование уравнения (2.62) даёт
⎛ μgh ⎞
(2.63)
p(h ) = p 0 exp⎜ −
⎟,
⎝ RT ⎠
где р0 ≅ 105 Па− нормальное давление на поверхности земли. Уравнение (2.63) называется
барометрической формулой. Как видно из полученного уравнения, давление зависит от молярной массы газа. Лёгкие газы создают меньшее парциальное давление. На рис. 2.10 приве-
77
дена зависимость атмосферного давления
для основных газообразных компонент
земной атмосферы.
Барометрическая формула (2.63) позволяет получить закон изменения с высотой количества молекул в единице объёма, для этого необходимо выразить давление через концентрацию молекул
p = nk BT ,
⎛ μgh ⎞
(2.64)
n (h ) = n 0 exp⎜ −
⎟.
⎝ RT ⎠
Из этого уравнения, в частности, следует, что состав воздуха с высотой должен изменяться, что подтверждается многочисленными наблюдениями. В припоРис. 2.10. Зависимость давления компонент
верхностном слое земли воздух состоят
атмосферы от высоты
из 78,08% азота N2, − 20,95% кислорода
О2, − 0,03% углекислого газа СО2, − 0,94% инертные газы. На высоте h = 104 м соотношение
изменяется
n (O 2 ) n 0 (O 2 )
⎡ μ(O 2 ) − μ(N 2 )gh ⎤
=
exp ⎢−
⎥ ≅ 0,23 ,
n (N 2 ) n 0 (N 2 )
RT
⎣
⎦
т.е. концентрация кислорода уменьшится до 0,23. Следует отметить, что полученные уравнения справедливы для изотермической атмосферы, распределение температуры естественно будет вносить свои коррективы (рис. 211).
2.11. Распределение давления и температуры в атмосфере Земли
78