Отображения абелевых групп без кручения конечного ранга

Отображения абелевых групп без кручения конечного ранга близкие к
эндоморфизмам
Чистяков Д.С.
(Математика и механика, Томск, 1–4 октября 2013)
1. Постановка задачи
Пусть R – ассоциативное кольцо с единицей, V, W – унитарные левые R-модули.
Отображение f:V→W, для всех r R, vin V удовлетворяющее условию f(rv)=rf(v),
называется однородным. Множество всех таких отображений обозначим MR(V,W). При
этом множество MR(V,V), обозначаемое в дальнейшем MR(V), является почтикольцом
относительно операций сложения и композиции отображений. Включение ER(V)⊆MR(V)
выполняется всегда. Если справедливо обратное включение, то R-модуль V называется
эндоморфным. Если MR(V) – кольцо, то модуль V называется полуэндоморфным.
Абелеву группу
G будем называть эндоморфной (полуэндоморфной), если она
является эндоморфным (полуэндоморфным) модулем над своим кольцом эндоморфизмов
E(G). Если группа G эндоморфна, то ME(G)(G)=Z(E(G)), где Z(E(G)) – центр кольца E(G).
Модуль V называется модулем с однозначным сложением (UA-модулем), если для
любого модуля W каждая биекция из MR(V,W) является модульным изоморфизмом. Это
эквивалентно следующему: на множестве V невозможно задать новое сложение, не
изменяя при этом действия кольца R на V. Данной и подобной тематике посвящены,
например, работы [38] – [44]. Книги [45] [33] [29] служат признанным руководством по
теории колец, модулей и абелевых групп, понятия и факты, используемые в настоящей
статье, им соответствуют. В статье изучаются абелевы группы без кручения конечного
ранга, являющиеся эндоморфными модулями, UA-модулями над своим кольцом
эндоморфизмов.
При работе с абелевыми группами без кручения конечного ранга используются понятия
квазиравенства и квазиэндоморфизма. Для удобства читателя приведем соответствующие
определения. Пусть A и B – абелевы группы без кручения. Будем говорить, что A
квазисодержится в B, если nA⊆B для некоторого натурального числа n. Если A
квазисодержится в B и B квазисодержится в A (то есть, если nA⊆B, mB ⊆ A для некоторых
n,m N), то говорят, что A квазиравна B (A≐B). Квазиравенство G ≐⊕iI Gi называется
квазиразложением (квазипрямым разложением) группы G, при этом подгруппы Gi
называются квазислагаемыми группы G. Если группа G не обладает нетривиальными
квазиразложениями, то ее называют сильно неразложимой. Кольцо Q⊗E(G) называется
кольцом
квазиэндоморфизмов
группы
G
и
обозначается
E(G).
Заметим,
что
E(G)={αEndQ(Q⊗G) | (∃ nN) (n α E(G))}. Абелева группа без кручения G называется
квази-E-локально циклической, если для любых a,bG существует cG, такой что
a,bE(G)c. Абелева группа G называется жесткой, если E(G)≅Q. Псевдоцоколем группы
без кручения G (обозначение Soc G) называется сервантная подгруппа, порожденная
всеми ее минимальными сервантными вполне характеристическими подгруппами (pfiподгруппами). Абелева группа без кручения называется неприводимой, если она не
обладает собственными pfi-подгруппами.
Абелева группа без кручения G называется вполне транзитивной, если для любых
ненулевых элементов a,b G таких, что χ(a)≤ χ (b) (χ(g) – характеристика элемента gG в
группе G), существует эндоморфизм α E(G) со свойством αa = b.
К вполне транзитивным группам относятся алгебраически компактные, однородные
сепарабельные, квазисервантно инъективные, сильно однородные абелевы группы. При
изучении колец эндоморфизмов групп из этого класса важную роль играют сильно
однородные кольца (см., например, [33, теорема 41.2.]).
Напомним, что кольцо R называется сильно однородным, если всякий его элемент есть
целое кратное некоторого обратимого в R элемента.
Сильно однородное кольцо является кольцом главных идеалов ([33, предложение
19.9.]).
Подмодуль V' левого R-модуля V называется чистым (по П. Кону), если для любого
правого
R-модуля
W
естественный
гомоморфизм
W⊗RV'→W⊗RV
является
мономорфизмом. Модуль называется чисто простым, если он не содержит в себе
собственных чистых подмодулей, и чисто полупростым, если он изоморфен прямой сумме
чисто простых модулей. Подмножество A некоторого R-модуля называется сильно Rзамкнутым, если для любых rR, aA справедливо, что ra A. Непустое подмножество A
левого R-модуля V называется сильно R-сервантным, если 0≠rvA влечет v  A для всех r
 R, v  V. Модуль называется дистрибутивным, если решетка его подмодулей
дистрибутивна,
при
этом
под
эндодистрибутивностью
модуля
понимается
его
дистрибутивность как модуля над своим кольцом эндоморфизмов.
Для абелевой группы без кручения G примем такие обозначения: r(G) – ранг группы G,
Π(G)={p P | pG≠ G}, где P – множество простых чисел, M0(G)={f: G→G | f(0)=0}.
Заметим, что M0(G) – почтикольцо. Кроме того, Jp (Qp*) – группа (кольцо) целых pадических чисел.
2. Максимальные подкольца почтикольца M0(G)
Задача описания максимальных подколец почтикольца M0(G) поставлена в работе [41].
Там, например, доказано, что кольцо эндоморфизмов квази-E-локально циклической
группы G является максимальным подкольцом почтикольца M0(G) ([41], теорема 1.).
Заметим, что для групп без кручения конечного ранга G свойство квази-E-локально
цикличности равносильно цикличности E(G)-модуля Q⊗ G ([41], лемма 1.).
Теорема. Если G – эндодистрибутивная абелева группа, то E(G) – максимальное
подкольцо почтикольца M0(G).
Следствие 1. Если G – периодическая абелева группа, то E(G) – максимальное
подкольцо почтикольца M0(G).
Действительно, известно (см., например, [46]), что всякий периодический модуль над
дедекиндовым кольцом эндодистрибутивен. Используя дедекиндовость кольца целых
чисел и тот факт, что абелевы группы суть Z-модули, получаем требуемое утверждение.
Предположение 1. Если G – квази-E-локально циклическая абелева группа, то
ME(G)(G,H)=Hom E(G)(G,H) для любого E(G)-модуля без кручения H.
Предложение 2. Если G – вполне транзитивная абелева группа без кручения, то
ME(G)(G) – кольцо.
3. Эндоморфные вполне транзитивные абелевы группы без кручения конечного
ранга
Класс вполне транзитивных абелевых групп без кручения конечного ранга хорошо
изучен (см. [33, гл. 7.]). Некоторые важные свойства групп этого класса будут
использованы при доказательстве основного результата данной работы, которым является
следующая
Теорема 2. Пусть G – вполне транзитивная абелева группа без кручения конечного
ранга. Следующие условия эквивалентны:
1. Группа G эндодистрибутивна;
2. ME(G)(G,H)=HomE(G)(G,H) для любого E(G)-модуля H без кручения;
3. Группа G однородно разложима;
4. Группа G разлагается в прямую сумму неприводимых вполне транзитивных
слагаемых;
5. G – квази-E-локально циклическая группа;
6. Q⊗ G – циклический E(G)-модуль.
Следствие 2. Для вполне транзитивной абелевой группы G без кручения конечного
ранга, следующие условия эквивалентны:
1. Группа G не является модулем с однозначным сложением над своим кольцом
эндоморфизмов;
2. Группа G полуэндоморфна, но не эндоморфна;
3. Группа G имеет неразложимое неоднородное вполне транзитивное прямое
слагаемое.
Следствие 3. Если G --- эндоморфная вполне транзитивная абелева группа без
кручения конечного ранга, то ее кольцо эндоморфизмов E(G) является максимальным
подкольцом почтикольца M0(G).
4. Некоторые следствия для абелевых групп без кручения конечного ранга
Результаты предыдущих пунктов, а также работ [41], [42], [46], [47] позволяют указать
равносильные эндоморфности свойства для некоторых классов абелевых групп без
кручения.
Теорема 3. Для абелевой группы без кручения G ранга 2 следующие условия
эквивалентны:
1. G – квази-E-локально циклическая группа;
2. E(G) – максимальное подкольцо почтикольца M0(G);
3. dimQE(G≥2;
4. Группа G не является жесткой;
5. Группа G эндоморфна;
6. G – чисто простой или чисто полупростой модуль над кольцом E(G).
Теорема 4. Для сильно неразложимой абелевой группы без кручения G конечного ранга
такой, что G=Soc G следующие условия эквивалентны:
1. G – квази-E-локально циклическая группа;
2. r(E+(G))=dimQ(E(G))=dimQ(Q⊗G)=r(G);
3. dimE(G)Q⊗G)=1;
4. G – неприводимая группа;
5. G – эндоморфная группа.
Сильно однородные кольца возникают при изучении, так называемых, групп Мерли.
Это абелевы группы без кручения конечного ранга из класса E, где
E – класс всех
редуцированных абелевых групп G, таких что rp(G)=dimZp(G/pG) ≤ 1 для всех простых p.
По [33, предложение 44.1.] заключаем, что любая группа из
E изоморфна какой-то
сервантной подгруппе группы PJp.
Теорема 5. Для редуцированной абелевой группы без кручения конечного ранга G E
следующие условия эквивалентны:
1. Группа G эндоморфна,
2. Группа G однородно разложима,
3. Группа G эндодистрибутивна.
2.4. Гомоморфизмы и эндоморфизмы факторно делимых групп
Факторно делимые группы ранга 1 достаточно хорошо описаны в работе
О.И. Давыдовой [3]. В частности, в этой работе было доказано, что для факторно делимой
группы A ранга 1 имеет место изоморфизм A  End A, а значит, A является E-группой.
Если A и B – группы без кручения ранга 1, то, в зависимости от соотношения их типов,
возможны следующие случаи:
1) type(A)type(B)  Hom(A,B)A;
2) type(A)type(B)  Hom(A,B)0;
3) type(A) не сравним с type(B)  Hom(A,B)0;
Ситуация с группой гомоморфизмов факторно делимых групп ранга 1 выглядит
несколько сложнее.
Теорема 1 [3]. Пусть A – факторно делимая группа ранга 1 с базисным элементом x, B
– произвольная факторно делимая группа и yB. Если cocharA(x)cocharB(y), то
существует единственный такой гомоморфизм f: AB, что f(x)=y.
Используя этот результат, перебором случаев получаем следующее описание групп
гомоморфизмов факторно делимых групп ранга 1.
Теорема 2. Пусть R и R – факторно делимые группы ранга 1, =(mp) и =(kp),
тогда:
1) Если неравенство [] [] не имеет места, то группа Hom(R,R) периодическая,
все p-примарные компоненты которой являются циклическими группами. Если для
некоторого простого числа p выполняется kp=0 или kp=, то p-примарная компонента
группы Hom(R,R) равна 0. Если для некоторого простого числа p выполняется 0<kp<,
то p-примарная компонента группы Hom(R,R) имеет порядок p{min(mp,kp)}.
2) Если выполняется [] [],то Hom(R,R)  R. В частности, если , то
Hom(R,R)  R.
Для дальнейшего изучения гомоморфизмов факторно делимых групп (случай рангов
>1) будем использовать Z-адическую и псевдорациональную оболочки.
Пусть =(mp) – произвольная характеристика (т.е. последовательность целых
неотрицательных чисел и символов , занумерованная простыми индексами). Рассмотрим
кольцо Z=∏pPKp, где Kp=Zpmp – кольцо классов вычетов по модулю pmp при mp< и
Kp=Jp – кольцо целых p-адических чисел при mp=. Если =() – характеристика
рациональной группы, то Z=Z – Z-адическое пополение кольца целых чисел. Оно
раскладывается в прямое произведение по всем простым p колец целых p-адических
чисел. Кольцо Z часто называют кольцом полиадических чисел. Пусть 1 – единица кольца
Z, тогда рассмотрим кольцо R=1,pJp Z. Кольцо R называется кольцом
псевдорациональных чисел.
Пусть G – произвольная факторно делимая группа, divG – ее делимая часть и : GG
– естественный гомоморфизм из группы G в ее Z-адическое пополнение G. Группа G
является Z-модулем, а значит, и модулем над кольцом псевдорациональных чисел R.
Определение 1.
R-модуль
divG(G)R будем называть
псевдорациональной
оболочкой факторно делимой группы G и обозначать R(G).
Предложение 3 [8]. Свободная подгруппа F факторно делимой группы G, такая что
r(F)=r(G) является фундаментальной (базисной) подгруппой группы G тогда и только
тогда, когда FR=R(G).
Из данного предложения, в частности, следует, что псевдорациональная оболочка
факторно делимой группы обязательно является конечно порожденным R-модулем.
Пусть G – произвольная факторно делимая группа и  - произвольный эндоморфизм
группы G, тогда  можно продолжить (причем единственным образом) до эндоморфизма
R-модуля R(G). Учитывая это и предложение 3, получаем
Теорема 4. Действие эндоморфизма факторно делимой группы определяется его
действием на любой ее фундаментальной системе, т.е. если X – фундаментальная
система факторно делимой группы G и , End G, то
=  (X)=(X).
Следствие 5. Конечная топология кольца эндоморфизмов факторно делимой группы
дискретна.
Особенно важную роль при работе с факторно делимыми группами играет модуль
псевдорациональных
отношений.
Пусть
X={x1,x2,…,xn}
–
произвольная
система
элементов факторно делимой группы G, рассмотрим множество
GX={(r1,r2,…,rn)Rn | r1x1+r2x2+…+rnxndivG}.
Если X – фундаментальная система группы G, то GX называется модулем
псевдорациональных отношений факторно делимой группы G.
Нами полностью решен вопрос о существовании гомоморфизма, переводящего
фундаментальную систему группы в произвольную систему элементов другой факторно
делимой группы.
Теорема 6. Пусть G и H – произвольные факторно делимые группы, X={x1,x2,…,xn} –
фундаментальная система элементов группы G, Y={y1,y2,…,yn} - система произвольных
элементов группы H. Тогда гомоморфизм f: GH, такой что f(xi)=yi (1in) существует
тогда и только тогда, когда GXHY.
Данный результат является обобщением теоремы 1.