2. Второй этап реконструкции. Расчет относительных величин

2. Второй этап реконструкции. Расчет относительных величин напряжений
2.1. Анализ на диаграмме Мора распределения компонент вектора напряжений для
плоскости разрыва
Экспериментальный базис метода
Основу алгоритма расчета относительных величин напряжений составляют результаты первого
этапа реконструкции напряжений (данных об ориентации главных осей и коэффициенте вида
тензора напряжений) и закономерности, выявленные в ходе испытаний вплоть до разрушения
при высоких давлениях образцов горных пород как изначально сплошных, так и содержащих
различные дефекты. Исходя из результатов экспериментов [Byerlee, 1967] на диаграммах Мора
можно провести две характерные линии, определяющие предел прочности внутреннего трения
ненарушенных образцов горных пород и минимальное сопротивление сухого трения образцов с
уже существующими в них трещинами (рис. 5). Указанные линии на параметрической области
диаграммы Мора (в осях координат: нормальное и касательное напряжения на плоскости
разрыва) ограничивают сверху и снизу основное облако точек, полученных в экспериментах.
Верхняя ограничивающая линия представляет собой выпуклую линию, к которой тяготеют
точки в экспериментах над изначально сплошными образцами, а нижняя линия определяет
состояние на берегах разрывов, отвечающее минимальным значениям поверхностного
сцепления. В ряде экспериментов было показано, что линия сухого трения приходит в начало
координат [Handin, 1969; Stesky, 1978; Rummel et al., 1978]. Важно отметить, что на диаграмме
имеется протяженный участок с нормальным давлением на площадках разрывов от 3 кбар до 15
кбар, для которого верхняя ограничивающая линия примерно параллельна нижней линии.
Рис. 5. Диаграмма предела прочности
ненарушенных образцов горных пород (верхняя
линия) и минимального сопротивления сухого
трения для образцов с надрезами и
поверхностями пониженной прочности (нижняя
линия). Обобщение экспериментов при высоких
давлениях [Byerlee, 1967].
В работе Ж.Анжелье [Angelier, 1989] впервые было использовано представление о минимальном
сопротивлении сухого трения на уже существующих разломах и предел прочности
ненарушенных участков горных пород для анализа величин напряжений. При этом исходными
данными являлись сколовые трещины, замеренные в обнажениях. Алгоритм расчета,
предложенный в работе [Angelier, 1989], отвечал частному случаю напряженного состояния,
когда одна из осей главных напряжений субвертикальна и прочностные параметры,
определяющие верхнюю границу прочности, принимались в соответствии с результатами
экспериментальных наблюдений над образцами горных пород.
В рамках метода катакластического анализа замеченные особенности диаграммы разрушения
также использованы для создания методики оценки величин напряжений. В отличие от подхода
Ж.Анжелье развиваемый здесь метод ориентирован на сейсмологические данные и с самого
начала предполагалось, что значения параметров, определяющих прочность для природных
массивов горных пород и сопротивление сухого трения существующих разрывов, могут
отличаться от тех значений, что были получены в экспериментах на образцах.
Прочность трещиноватых массивов
Было введено предположение, что для критических состояний, соответствующих процессу
активизации на частично залеченных трещинах, скольжение вдоль берегов сколов реализуется с
сухим трением по закону Кулона при одинаковом значении коэффициента поверхностного
трения ( k s = const ), равным коэффициенту внутреннего трения горных пород ( k s = k f ). При
этом величина поверхностного сцепления τs для вновь активизирующихся трещин может
изменяться от минимального значения, равного нулю, до максимального, равного величине
внутреннего сцепления τ f . Отсюда следует, что все возможные предельные состояния на
берегах вновь образующихся или активизирующихся разрывов можно представить в
следующем виде:
(
)
τ in + k s σ inn + p fl = τ is при 0 ≤ τis ≤ τ f и σ inn < 0 .
(10)
Здесь τ in и σ inn − касательное и нормальное напряжение на плоскости образовавшегося или
активизировавшегося скола (i − порядковый номер трещин).
Используя предельное условие (10), изобразим на диаграмме Мора области, для которых
возможна активизация сколовых трещин при вариации сцепления на ее бортах 0 ≤ τ is ≤ τ f . Как
видно из рис. 6, область допустимых решений – допустимого соотношения величин
касательных и нормальных напряжений на плоскости активизирующихся сколов − зависит не
только от наклона предельных линий, но и от вида напряженного состояния (значений
коэффициента Лоде-Надаи).
τn
=τf
σ
n
k
n
+
τ n .s
C
Σ
C
C
=0
σ
k
nn
+
s
.
τn
B
Σ
τf
C
C
τ
Φ
2α
σnn
Σ
0
Σ
σ1
O
Σ
σ2
σ3
Σ
C
Рис. 6. Диаграмма Мора и линии
предела прочности и минимального
сопротивления сухого трения. Область
допустимого положения площадок
скалывания при вариации сцепления
0 ≤ τis ≤ τ f закрашена розовой заливкой,
область возможных состояний на
произвольных площадках – желтая
заливка. По горизонтали направо
откладываются отрицательные значения
нормального напряжения.
Точки пересечения большого круга Мора с линией минимального сопротивления сухого трения
определяют диапазон максимальных отклонений плоскостей ранее существовавших и
активизирующихся вновь трещин от плоскости внутреннего трения (точка В рис. 6). Центр круга
Мора (точка О на рис. 6) соответствует значению сжимающего нормального напряжения,
действующего на площадках максимальных касательных напряжений
σ O = −( p * + τµ σ / 3) .
(11)
Графический анализ диаграммы Мора для двух напряженных состояний разной величины
шаровой и интенсивности девиаторной компонент показывает, что с увеличением максимальных
касательных напряжений и эффективного давления, а следовательно, в зависимости от
положения большого круга Мора на диаграмме, определяемого значением напряжений σ O ,
происходит сужение угла максимального разброса площадок скалывания (угол ∆α i на рис. 7)
относительно положения площадки, отвечающей углу внутреннего трения (точки Bi ).
τn
Β2
C
C
Β1
C
τf
∆α2
∆α1
Φ
C
Φ
C
σnn
Σ
C
0
Ο1
Ο2
C
C
Рис. 7. Изменение максимального угла отклонения нормалей плоскостей активизирующихся
разрывов от положения нормали для плоскости внутреннего скола.
Чем более высокими будут значения всестороннего сжатия, тем более узким будет диапазон
ориентации активизирующихся плоскостей (ранее существовавших трещин) пониженной
прочности. Ориентация активизирующихся старых трещин будет становиться более близкой к
ориентации вновь образующихся трещин. Наоборот, чем ниже будет уровень всестороннего
сжатия, тем больший диапазон углов, определяющих возможное положение активных
плоскостей пониженной прочности, может реализоваться.
Анализ однородных выборок СКДТ на диаграмме Мора
Для участков земной коры, где напряженное состояние достигло критического уровня,
определяющего возможность разрушения ранее не нарушенных областей, происходит
активизация широкого спектра ориентировок трещин, попадающих в полосу, ограниченную
снизу линией минимального сопротивления сухого трения. Считаем, что в совокупности СКДТ,
характеризующих однородную выборку, на основе которых выполнена реконструкция первого
этапа параметров тензора напряжений, присутствует трещина, вдоль которой имеется нулевое
сцепление, т.е. сопротивление сдвигу минимальное, определяемое только силой поверхностного
трения (точка K на рис. 8).
τn
τ
B
i
τf
1
K
Φ
τ
τ si
2α s
Φ
Φ
τ
σnn
τ
Σ
C
Рис. 8. Нормализованная круговая диаграмма
Мора и вектора редуцированных напряжений
на плоскостях разрывов из однородной
выборки. Линия минимального сопротивления
сухого трения проводится через точку K, для
которой длина перпендикуляра из центра
круга Мора до этой линии является
минимальной.
В этом случае можно записать два дополнительных выражения, связывающих нормальные и
касательные напряжения на плоскости внутреннего скола (точка В на рис. 8) и для плоскости
трещины, отвечающей точке K
(
)
(
)
B
K
τ nB + k s σ nn
+ p fl = τ f и τ nK + k s σ nn
+ p fl = 0 .
(12)
Компоненты вектора напряжения, действующего на поверхности активизирующихся трещин,
можно представить в следующем виде:
~ i ; τ i = τ~τ i ,
σ inn = σ O + τσ
nn
n
n
(13)
~i и σ
~ i − редуцированные напряжения
где ~τnti = σ
nt
nn
( )
( )
~ i = (1 − µ ) A i 2 − (1 + µ ) A i
σ
nn
n1
n3
σ
σ
2
+ µ σ , ~τni = (1 − µ σ )A in1A it1 − (1 + µ σ )A in3A it 3 ,
(14)
i
в которых lnk
и ltki − направляющие косинусы соответственно вектора нормали n i к плоскости
скола и вектора t i , совпадающего с направлением касательных напряжений на этой плоскости, в
системе координат, связанной с главными осями напряжений (k=1,2,3). Здесь и далее верхний
индекс при напряжениях идентифицирует точку на диаграмме Мора. Использование выражений
(13) и (14) позволяет осуществить построение нормализованной диаграммы Мора для событий
из однородной выборки СКДТ на основании результатов первого этапа расчета параметров
тензора напряжений (рис. 8).
Второе выражение в (12) и выражения (13), (14) позволяют определить отношение величины
эффективного всестороннего давления к модулю максимального касательного напряжения
(
)
p* 1 ~ K
~K .
=
τn + k s σ
nn
τ ks
(15)
Относительные величины максимальных касательных напряжений определятся следующим
выражением:
τ/τ f =
1
1
1
α
=
.
arctan
при
s
K
K
~
2
k
cos ec2α s − ~τn − k s σ
s
nn
(16)
При построении алгоритма расчета вводится предположение об определяющей роли полной
величины касательного напряжения τ n = σ nt , действующего при активизации смещения вдоль
трещины скола на ее плоскости, а не касательного напряжения, действовавшего в направлении
вектора реализованного скольжения σ ns . Именно полные касательные напряжения,
действующие на плоскости разрыва, отвечают за преодоление трения (разрушение выступов
шероховатости бортов трещин, препятствующих движению). Отклонение направления
скольжения вдоль плоскости разрыва от направления действия полных касательных напряжений
при дальнейшем смещении его бортов, прежде всего, обусловлено активной разрывной
структурой среды, а также связано с анизотропией в полосе хрупкого разрушения
(существование, помимо мелкой шероховатости, крупной, ориентированной шероховатости −
гофрирование плоскости разрыва) или с кинематическими ограничениями (подсечки другими
разломами).
Отметим также, что однородные выборки СКДТ, созданные на первом этапе расчета, играют
определяющую роль при расчете величин шаровой и девиаторной компонент тензора
напряжений.
2.2. Критерий определения реализованной плоскости в очаге землетрясения
Необходимым условием использования выражений (15) и (16) являются также данные о
значениях коэффициента поверхностного трения массивов горных пород данного масштабного
уровня, а в случае использования данных о механизмах очагов землетрясений необходимо также
идентифицировать реализованную плоскость.
В рамках созданного алгоритма расчета предложен критерий идентификации плоскости в очаге
землетрясения, естественным образом вытекающий из закона Кулона
(~τ
i
n
) (
)
~ i − ~τ i + k σ
~i
+ ksσ
nn
s
s ss > 0 .
(17)
Этот критерий определяет в качестве реализованной плоскости в очаге ту из нодальных
плоскостей ( n i и s i ), для которой достигается большая величина сбрасываемых напряжений.
Данную плоскость можно рассматривать как энергетически более выгодную.
В качестве примера применения критерия (17) рассмотрим выбор плоскости очага для
землетрясения Mb=7.4 (рис. 9), произошедшего вблизи острова Шикотан 04.10.1994 (координаты
147.33ов.д., 43.71ос.ш.). Расчеты, выполненные на основе СМТ решений, полученных с WEB узла
Гарвардского Университета, позволили осуществить мониторинг области в окрестности очага
землетрясения до и после его возникновения. Результаты мониторинга напряжений,
выполненные для макрообъема с центром 147.5ов.д. и 43.5ос.ш., позволили получить параметры
напряженного состояния, определяющие ориентацию главных осей напряжений: простирание
18о, погружение 71о для σ1 , и простирание 132о, погружение 8о для σ 3 , и значение
коэффициента Лоде-Надаи, равное 0.08. Наилучшее приближение СМТ решения для
анализируемого землетрясения определяет положение полюсов двух нодальных плоскостей с
азимутами и углами погружения соответственно для n : 68о, 49о и для s : 320о, 16о (механизм
очага в виде двойного диполя представлен на рис. 9).
Рис. 9. Механизм очага землетрясения
вблизи острова Шикотан с выделенной в
соответствии с критерием (15) плоскостью
очага и направлением подвижки.
Использование критерия (17) позволило выбрать в качестве плоскости в очаге землетрясения
плоскость со следующими параметрами: простирание =68о (Strike), погружение =49о (Plunge),
подвижка=25о (Rake). На рис. 9 это более пологая плоскость с северо-западным простиранием и
типом движения: взброс на восток − северо-восток с левосторонней компонентой сдвига на югозапад. Простирание очаговой плоскости является поперечным к простиранию субдукционного
желоба. Этот результат совпадает с определением очаговой плоскости, полученным в работе
[Арефьев, Делуи, 1998] на основе анализа афтершоковых последовательностей в области вблизи
очага землетрясения. Авторы этой работы полагают, что в данном месте имеется искривление
зоны контакта океанической и континентальной плит, что и спровоцировало такой тип
разрушения.
Другим примером использования критерия (17) является анализ субочагов Спитакского
катастрофического землетрясения с M=6.9 (по Рихтеру), произошедшего 6.12.1988. Механизм
очага отличался от двойного диполя и имел коэффициент вида тензора момента центроида,
равный 0.33. Особо следует отметить, что его параметры были близки к параметрам тензора
напряжений, реконструированного по совокупности механизмов очагов, предшествовавших
данному землетрясению (азимут и угол погружения главного напряжения σ1 − 252о, 6 о, а
минимального σ 3 − 157о, 37 о, а коэффициент вида тензора напряжений µ σ ≈ 0.3 ). Результаты
анализа сейсмограмм и исследования, выполненные в рамках эпицентральной экспедиции,
показали [Арефьев, 2003], что очаг состоял из пяти субочагов с разной ориентацией плоскостей
разрывов. На рис. 10 результаты анализа реализованных плоскостей субочагов в соответствии с
предлагаемым подходом представлены на диаграмме Мора. Все плоскости, выделенные в
качестве реализованных на основании анализа афтершоковых последовательностей [Арефьев,
2002], удовлетворяют критерию (17).
~τ
n
1
5
4
4
2
2
1
5
~
σ
n
Рис. 10. Анализ реализованных плоскостей
в субочагах Спитакского землетрясения на
диаграмме Мора. Кружочками отмечены
точки для плоскостей, прошедших
проверку критерием (15), треугольники –
сопряженная нодальная плоскость . По
горизонтали направо откладываются
отрицательные значения редуцированных
нормальных напряжений.