Практикум по теме 4 "Дискретные случайные величины"

Практикум по теме 4 "Дискретные случайные
величины"
Методические указания по выполнению практикума
Целью практикума является более глубокое усвоение материала контента
темы 4, а также развитие следующих навыков:
• построение ряда распределения дискретной случайной величины;
• нахождение функции распределения дискретной случайной величины
по известному ряду распределения;
• вычисление числовых характеристик дискретных случайных величин;
• применение для решения задач знания основных законов распределения дискретных случайных величин.
Перед решением заданий практикума рекомендуется внимательно изучить материал контента темы 4 и провести самостоятельный анализ всех
разобранных примеров.
Решение типовых задач
ТЗ 4.1. Монету подбрасывают 5 раз. Найдите ряд распределения дискретной случайной величины ξ — числа появлений герба. Вычислите математическое ожидание и дисперсию ξ.
Решение: Дискретная случайная величина ξ имеет биномиальное рас1
пределения: n = 5, p = . Тогда, применив формулу Бернулли, имеем:
2
µ ¶0 µ ¶5
1
1
1
·
=
P5 (ξ = 0) = C50 p0 · q 5−0 = 1 ·
.
2
2
32
µ ¶1 µ ¶4
1
5
1
·
=
.
P5 (ξ = 1) = C51 p1 · q 5−1 = 5 ·
2
2
32
µ ¶2 µ ¶3
1
1
10
P5 (ξ = 2) = C52 p2 · q 5−2 = C52 ·
.
·
=
2
2
32
µ ¶3 µ ¶2
1
1
10
.
P5 (ξ = 3) = C53 p3 · q 5−3 = C53 ·
·
=
2
2
32
µ ¶4 µ ¶1
1
1
5
P5 (ξ = 4) = C54 p4 · q 5−4 = C54 ·
.
·
=
2
2
32
µ ¶5 µ ¶0
1
1
1
P5 (ξ = 5) = C55 p5 · q 5−5 = C55 ·
.
·
=
2
2
32
1
Полученные данные представим в виде таблицы распределения:
xi
0
1
pi
1 5
32 32
2
3
10 10
32 32
4
5
5 1
32 32
Для вычисления числовых характеристик воспользуемся формулами табл.
4.4.1 (см. контент темы 4).
1
= 2, 5.
2
1 1
Dξ = n · p · q = 5 · · = 1, 25.
2 2
ТЗ 4.2. Из орудия производится выстрел по цели до первого попадания.
Вероятность попадания в цель 0, 6. Найдите ряд распределения случайной
величины ξ — числа выстрелов. Вычислите математическое ожидание и
дисперсию ξ.
Решение: Случайная величина ξ имеет геометрическое распределение
вероятностей:
Mξ = n · p = 5 ·
P (ξ = 1) =
P (ξ = 2) =
p
= 0, 6;
p · q = 0, 6 · 0, 4 = 0, 24;
...
P (ξ = m) = p · q m = 0, 6 · 0, 4m−1 .
Составим ряд распределения случайной величины ξ.
xi 0
1 ...
m
...
m−1
pi 0, 6 0, 4 . . . 0, 6 · 0, 4
...
Для вычисления числовых характеристик воспользуемся формулами табл.
4.4.1 (см. контент темы 4).
Mξ =
1
1
10 5
=
=
= .
p 0, 6
6
3
q
0, 4
40 10
=
=
= .
2
p
0, 36 36
9
ТЗ 4.3. Дан ряд распределения случайной величины ξ:
Dξ =
xi 0
1
2
3
pi 0, 1 0, 4 0, 3 0, 2
2
Найдите функцию распределения случайной величины ξ и постройте ее
график.
Решение: Воспользуемся формулой (4.2.2) контенты темы 4.

0,
x ≤ 0;




 0, 1, 0 < x ≤ 1;
X
0, 5, 1 < x ≤ 2;
F (x) =
pi =


xi <x

0, 8, 2 < x ≤ 3;


1,
x > 3.
График будет иметь следующий вид:
y = F (x)
6
1q
0, 8 q
¾
¾
0, 5 q
¾
q
0, 1 q¾
q
q
q
q
0
1
q
q
2
3
q
x
4
-
Рис 4.1.
ТЗ 4.4. Дан график функции распределения случайной величины ξ
(Рис. 4.2).
6y = F (x)
¾
1q
q
0, 5 ¾
q
¾ 0, 2 q
q
−1
q
0
q
1
-
x
Рис 4.2.
Найдите ряд распределения ξ.
Решение: Случайная величина ξ является дискретной и может принимать значения x, в которых функция распределения имеет разрыв (разрыв
1-го рода). Величина "скачка" в точка разрыва равна вероятности соответствующего значения. Тогда ξ принимает значения:
x1 = −1;
x2 = 0;
x3 = 1
с вероятностями
p1 = 0, 2; p2 = 0, 5 − 0, 2 = 0, 3; p3 = 1 − 0, 5 = 0, 5, соответственно.
3
Составим ряд распределения:
xi −1 0
1
pi 0, 2 0, 3 0, 5
ТЗ 4.5. Дан ряд распределения случайной величины ξ:
xi −1 0
1
2
pi 0, 1 0, 2 0, 1 0, 6
Вычислите M (5ξ − 1), D(5ξ − 1).
Решение: По свойству математического ожидания M (5ξ − 1) = 5M ξ −
1. Найдем математическое ожидание ξ по определению (формула (4.4.1)
контента темы 4).
Mξ =
n
X
xi pi = −1 · 0, 1 + 0 · 0, 2 + 1 · 0, 1 + 2 · 0, 6 = 1, 2.
i=1
Тогда M (5ξ − 1) = 5 · 1, 2 − 1 = 5.
По свойству дисперсии D(5ξ − 1) = 25 · Dξ. Найдем дисперсию ξ по
формуле (4.4.4) контента темы 4.
Dξ =
n
X
x2i pi − (M ξ)2 = 1 · 0, 1 + 0 · 0, 2 + 1 · 0, 1 + 4 · 0, 6 − (1, 2)2 =
i=1
= 2, 6 − 1, 44 = 1, 16.
Тогда D(5ξ − 1) = 25 · 1, 16 = 29.
Задания практикума
4.1. Вероятность работы каждого из четырех банкоматов без поломок в
течение определенного времени равна 0,9. Составить закон распределения случайной величины ξ — числа банкоматов, работающих без
поломок. Постройте график функции распределения вероятностей.
Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины ξ.
4.2. Вероятность того, что покупатель совершит покупку в магазине, 0,4.
Составьте ряд распределения случайной величины ξ — числа покупателей, совершивших покупку, если магазин посетило 3 покупателя.
Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины ξ.
4
4.3. В группе, состоящей из 10 спортсменов, 6 мастеров спорта. Отбирают
(по схеме без возвращения) 3-х спортсменов. Составить закон распределения случайной величины ξ — числа мастеров спорта из отобранных спортсменов. Найдите математическое ожидание случайной
величины ξ.
4.4. В группе, состоящей из 21 студента, 10 девушек. Составить закон распределения случайной величины ξ — числа девушек из случайно отобранных трех студентов.
4.5. В партии из 10 изделий 6 изделий высокого качества. Случайно отбираются 3 изделия. Составить закон распределения случайной величины ξ — числа изделий высокого качества среди отобранных.
4.6. Покупатель посещает магазины один за другим для приобретения
нужного товара. Вероятность того, что товар имеется в определенном
магазине, составляет 0,4. Составьте закон распределения случайной
величины ξ — числа магазинов, которые посетит покупатель из четырех возможных. Постройте график функции распределения. Найдите
наиболее вероятное число магазинов, которые посетит покупатель.
4.7. Игрок поочередно покупает билеты двух разных лотерей до первого
выигрыша. Вероятность выигрыша по одному билету первой лотереи
составляет 0,2, а второй 0,3. Игрок вначале покупает билет первой лотереи. Составьте ряд распределения и найдите математическое ожидание случайной величины ξ — числа купленных билетов, если он
имеет возможность купить: а) только 5 билетов; б) неограниченное
число билетов.
4.8. На конноспортивных соревнованиях необходимо преодолеть четыре
препятствия, которые преодолеваются с вероятностями, равными соответственно 0,9; 0,8; 0,7; 0,6. При первой неудаче спортсмен в дальнейших состязаниях не участвует. Составьте ряд распределения случайной величины ξ — числа взятых препятствий. Найдите математическое ожидание случайной величины ξ.
4.9. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,9, вторым —
0,8 и третьим — 0,7. Составьте закон распределения случайной величины ξ — числа попаданий в цель, если каждый стрелок производит
по одному выстрелу. Определите математическое ожидание случайной величины ξ.
5
4.10. Вероятность успешной сдачи экзамена первым студентом составляет
0,7, а вторым — 0,8. Составьте закон распределения случайной величины ξ — числа студентов, сдавших экзамен. Найдите математическое
ожидание случайной величины ξ.
В заданиях 4.11 — 4.22 дискретная случайная величина ξ задана рядом
распределения. Постройте многоугольник распределения. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины ξ.
4.11.
xi 1
3
5
7
9
pi 0, 1 0, 2 0, 4 0, 2 0, 1
4.12.
xi 0
2
4
6
8
pi 0, 2 0, 25 0, 3 0, 15 0, 1
4.13.
xi 3
7
9
11 12
pi 0, 1 0, 3 0, 3 0, 2 0, 1
4.14.
xi −3 −1 0
1
3
pi 0, 2 0, 4 0, 3 0, 05 0, 05
4.15.
4.16.
4.17.
4.18.
4.19.
4.20.
4.21.
xi −9 −7 −5
pi 0, 05 0, 15 0, 2
xi −8 −6
pi 0, 15 0, 2
−3
0, 4
−1
0, 2
−4 −2
0
0, 25 0, 25 0, 15
xi −4 −2
0
2
4
pi 0, 25 0, 30 0, 20 0, 15 0, 10
xi −9 −7
0
9
11
pi 0, 10 0, 15 0, 25 0, 35 0, 15
xi
3
7
10
15
20
pi 0, 40 0, 30 0, 20 0, 08 0, 02
xi −15 −10
0
3
7
pi 0, 05 0, 10 0, 15 0, 25 0, 45
xi
1
6
10
20
30
pi 0, 15 0, 25 0, 25 0, 20 0, 15
6
4.22.
xi −20 −10
0
1
6
pi 0, 12 0, 23 0, 46 0, 14 0, 05
4.23. Математическое ожидание ξ равно 8. Найдите математическое ожидание случайных величин: a) −4ξ − 2; б) 2ξ + 4.
4.24. Дисперсия случайной величины ξ равна 9. Найдите дисперсии следу1
ющих случайных величин: a) ξ + 2; б) −9ξ − 7.
3
4.25. Вероятность изготовления бракованной детали автоматом равна 0,002.
Найдите математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины ξ — числа бракованных деталей, если изготовлено 1000.
4.26. В колоде 36 карт. Наудачу берут 1 карту. Составьте ряд случайной
величины ξ — числа "тузов" среди отобранных карт. Найдите математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной
величины 2ξ − 1.
4.27. Дискретная случайная величина ξ принимает три возможных значения: x1 = 1 с вероятностью p1 = 0, 2; x3 = 5 с вероятностью p3 = 0, 3
и x2 с вероятностью p2 . Найдите x2 и p2 , если M ξ = 3.
4.28. Вероятность сдать экзамен студентом на "отлично" равна 0,3, на "хорошо" — 0,4. Найдите вероятность получения других оценок, если
известно, что M ξ = 3, 9, а ξ — случайная величина, полученной студентом оценки.
4.29. Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,02. Найдите
M ξ и σ числа выигравших билетов, если их было приобретено 100.
4.30. По одному тиражу лотереи куплено 100 билетов. Среднее квадратическое отклонение числа выигранных билетов равно трем. Найдите
вероятность выигрыша по одному билету лотереи.
7