Энтропия Бекенштейна-Хокинга и потоки Риччи Куюков Виталий

Энтропия Бекенштейна-Хокинга и потоки Риччи
Куюков Виталий Петрович
Сибирский Федеральный Университет, Россия
Email: vitalik.kayukov@mail.ru
В данной записке дается описание глобальной геометрической структуры
Вселенной на основе потоков Риччи и уравнений Эйнштейна.
Рассмотрим равномерное распределение плотности материи во вселенной. Согласно
общей теории относительности для наблюдателя в такой вселенной должен существовать
горизонт событий с радиусом.
3c 2
R g2 
8G
Согласно гипотезе Хокинга и Бекенштейна площадь горизонта событий определяет
энтропию.
  R g2
F
3c 2

S 2  2  2

,
4l p
lp
8l p G   c 2
3c 4
8l p2 G
Пусть изменяется плотность распределения материи в некоторой локальной области
пространства, тогда энтропия Хокинга-Бекенштейна будет локальна зависимой в таком
виде.

dS   2 2 d
 c
Или дифференциальной форме



  
S
2
c
2
Данное уравнение связывает энтропию Бекентейна-Хокинга с равномерным
распределением плотности материи в локальной области вселенной.
Вместо плотности материи в общей теории относительности рассматривают тензор
энергии-импульса.
T
  T 00 T
S
T 00   с 2

00
,
В обобщенном виде для всех тензоров энергии-импульса будет:
T
S


 Q T
ik
,T
ik

Q - определённая билинейная квадратичная форма на пространстве тензоров и со
значениями в них.
Воспользуемся уравнениями Эйнштейна
1
  T ik  R ik  g ik R
2
 T  R
Отсюда, получается формула для изменения геометрических характеристик (кривизны
пространства-времени)

R
S

 Q R
ik
,T
ik

(1)
В математике существует системы уравнений в виде.
 g ik
  h ik

R
  i k h

ik
 h ik R
ik
  2h
Их называют геометрическими потоками.
В нашем случае, обобщая геометрические потоки в виде тензора энергии-импульса и
параметр эволюции как энтропию Хокинга-Бекенштейна, получаются уравнения

  S , h ik   T ik
 g ik
 T ik
S
R

  i  k T
S

ik
 T ik R
ik
  2T
Так как закон сохранения тензора энергии-импульса в виде дивергенции выполняется.
 k T ik  0
То уравнения геометрических потоков имеет вид:
 g ik
 T ik
S
R

  T ik R
S

ik
  2T
(2)
Собственно, если плотность материи равномерно распределена во вселенной, то
получается результат, который совпадает с ранним выводом (1):
T  const
R

  Q (T
S
ik
,R
ik
)   T ik R
ik
Далее, уравнения потоков (2) можно подставить в уравнения Эйнштейна.
 g ik
 T ik
S
1
R ik 
g ik R   T
2
Отсюда получаются известные потоки Риччи.

 g ik
G 

 R
S
6 c 3 
ik
ik

1
g
2
ik

R 

Данные уравнения позволяют деформировать метрику пространства Римана до
определенного предельного состояния параметра. Данным параметром в пределе является
энтропия Бекенштейна-Хокинга, если материя распределена во вселенной равномерно и
статически неизменна.