Основы механики сплошных сред

В.В. Смогунов, Б.А. Филиппов
Основы механики сплошных сред
Учебное пособие
Часть 1
1
УДК 531, 532.1, 532.5, 534, 539.3
В учебном пособии (кратком курсе лекций) пособии изложены
основные понятия о движении и состоянии материального континуума.
Даны континуальные уравнения и соотношения, описывающие явления
переноса, сохранения и состояния сплошных сред. Приведена замкнутая
система уравнений гидродинамики. С позиций механики сплошных сред
даны характеристики течений в идеальной жидкости, определены понятия
вязкости, турбулентности, звуковых и ударных волн, сверхзвуковых
течений.
Содержание пособия соответствует федеральному образовательному
стандарту. Федеральный компонент ОПД.Ф.01.02.
Учебное пособие предназначено для студентов естественно-научных
и технических специальностей при изучении основ механики сплошных
сред.
Работа
выполнена
на
кафедре
«Теоретическая
механика
и
технология».
Ил. 4, библиогр. 4 назв.
Составители: В.В. Смогунов, Б.А. Филиппов.
Под редакцией В.В. Смогунова.
Рецензенты: д.т.н., профессор каф. «Теоретич. и строит. механика»
ПГУАС А.Н. Раевский;
д.т.н., профессор ПАИИ А.И. Богомолов.
2
СОДЕРЖАНИЕ
Введение.
5
1. Подходы к изучению движения деформируемых сред. Проблемы
механики сплошных сред.
6
2. Система многих частиц как континуум. Гипотезы механики
сплошных сред.
10
3. Скалярные, векторные и тензорные поля. Представление
движения
материального континуума. Индивидуализация точек
материального континуума. Система отсчета. Сущность точек зрения
Лагранжа и Эйлера на изучение движения сплошных сред.
12
4. Явления переноса. Закон сохранения массы – уравнение
неразрывности. Уравнение баланса.
20
5. Континуальные уравнения сохранения. Закон сохранения
количества движения – уравнение движения.
25
6. Закон сохранения энергии. Первое начало термодинамики.
Уравнение энергии. Энтропия. Второе начало термодинамики.
29
7. Уравнение состояния. Сжимаемость деформируемых сред.
8.
Замкнутая
система
уравнений
гидродинамики.
41
Общие
принципы постановки задачи. Выбор системы отсчета, системы
координат. Выбор модели сплошной среды. Составление исходных
уравнений. Начальные и граничные условия.
45
3
9. Течения в идеальной жидкости.
52
10.Вязкость.
54
11.Турбулентность. Число Рейнольдса.
58
12.Закон подобия. Геометрическое, кинематическое, динамическое
подобие.
60
13.Звуковые волны. Звуковое давление. Колебательная скорость.
62
14.Ударные
волны.
Ударная
адиабата.
Решение
волновых
уравнений. Эффект Доплера.
15.Сверхзвуковые
течения.
70
Конус
сверхзвуковых течений.
Маха.
Особенности
79
4
Введение.
Механика – от греческого корня «Механэ», переводящегося как
«ухищрение».
Большинство реальных состояний различных веществ – твердого,
жидкого, газообразного, сыпучего могут быть описаны в рамках модели
сплошных сред.
Механика сплошных сред – фундамент развития различных наук,
техники и технологии.
На основных законах и моделях механики сплошных сред
базируются большинство теорий, описывающих поведение реальных сред:
теория
упругости,
теория
пластичности,
теория
вязкоупругости,
гидродинамика, газодинамика, динамика гетерогенных структур и др.
Механика сплошных сред является одним из важнейших разделов
Теоретической Физики.
5
1. Подходы к изучению движения деформируемых сред. Проблемы
механики сплошных сред.
Подход к изучению движения деформируемых сред заключается в
переходе от реальных деформируемых сред к их идеализированному
представлению
и
соответствующему
символьному
описанию.
В
дальнейшем под материальным телом, независимо от его агрегатного
состояния, понимается система материальных частиц, которая заключена в
некоторой области пространства D , имеющей объем V и ограниченной
поверхностью S .
Определяют
два
основных
подхода
к
изучению
движения
деформируемых сред: статистический и феноменологический.
Статистический подход (развиваемый в физике) базируется на
методах
статистической
механики. Это
–
вероятностные
методы,
применение средних характеристик по большому ансамблю частиц,
введение
дополнительных
гипотез
о
свойствах
молекул
и
их
взаимодействии с целью упрощения модели. Однако при сложном
строении молекул использование статистических методов затруднено, так
как недостаток информации не позволяет сформулировать гипотезу о
взаимодействии молекул, а получаемые уравнения чрезмерно сложны.
Феноменологический подход (от гр. phainomenon – явление)
базируется на общих, полученных из опыта, закономерностях и гипотезах,
которые принимаются за истинные и используются для построения
последующих уравнений и выводов. В основу феноменологического
подхода положены понятие материального континуума и соответствующая
этому понятию гипотеза сплошности.
6
Используя подходы и методы, развитые в механике сплошных сред,
решаются многие проблемы. Среди них, проблема воздействия жидкости
и газа на движущиеся в них тела. Силы, действующие со стороны
жидкости на тело, определяются движением жидкости, поэтому изучение
движения тел в жидкости непосредственно связано с изучением движения
жидкости.
Фильтрация – движение жидкости сквозь почву и другие пористые
среды. Большое значение фильтрация имеет в нефтяном деле.
Гидростатика – равновесие жидкостей и тел, плавающих внутри и на
поверхности жидкости.
Волновые движения. Распространение волн в твердых телах; волны
на
поверхности
моря;
волны,
вызываемые
движением
корабля;
распространение волн в каналах и реках; приливы; сейсмические
процессы; звуковые колебания; общая проблема шума в различных средах
и т. п.
Неустановившиеся движения газов с химическими превращениями
при взрывах, детонации и горении, например в потоке воздуха, в
цилиндрах поршневых машин или камерах реактивных двигателей и т. д.
Защита твердых тел от сгорания и сильного оплавления при входе с
большими скоростями в плотные слои атмосферы.
Теория турбулентных движений газов и жидкостей, представляющих
собой в действительности очень сложные нерегулярные, случайного
характера движения, пульсирующие около некоторых средних регулярных
процессов, которые в рассматриваемых и ставящихся задачах существенны
с практической точки зрения таких сложных движений.
7
Проблемы описания движения очень сильно сжатых жидкостей и
газов с учетом усложненных физических свойств различных сред в таких
состояниях, особенно при наличии высоких температур.
С другой стороны, очень важны явления, происходящие в сильно
разреженных газах. При изучении различных процессов, связанных с
движением сред при большом вакууме в лабораторных опытах, в
космическом пространстве, в атмосферах планет и звезд, также требуется
применять методы механики сплошной среды.
Проблемы магнитной гидродинамики и исследования движений
ионизованных
сред
–
плазмы
с
учетом
их
взаимодействий
с
электромагнитным полем в настоящее время приобретают первостепенное
познавательное и техническое значение.
Наука о прогнозе погоды – метеорология в значительной степени
представляет собой изучение движения воздушных масс в атмосфере
Земли и является важным разделом механики сплошной среды, тесно
связанным с множеством других разделов физики.
Основные проблемы астрофизики и космогонии изучаются в рамках
механики сплошной среды. Сюда относятся вопросы о внутреннем
строении звезд и строении их фотосфер, о движении туманностей и
космических облаков, вспышках и взрывах переменных звезд, о
колебаниях цефеид и, наконец, основная задача о развитии галактик и о
строении и эволюции Вселенной.
Значительная
часть
механики
сплошной
среды
посвящена
исследованию движений и равновесии «твердых» деформируемых тел.
Теория упругости является основой для постройки всякого рода
сооружений и всевозможных машин. В настоящее время приобретают все
большее значение отделы механики, посвященные изучению усложненных
8
упругих свойств тел и учету неупругих эффектов в твердых телах, таких,
как пластичность, связанная с появлением остаточных деформаций,
ползучесть, связанная с постепенным нарастанием деформаций при
неизменных внешних нагрузках и с жаропрочностью частей машин
(явления ползучести проявляются при долговременной работе различных
конструкций, а при повышенных температурах – и в короткие промежутки
времени).
Интересны проблемы кавитации, характеризующейся образованием
и исчезновением в движущейся жидкости пузырьков и больших каверн,
наполненных газами и парами жидкости.
Важны новые современные теории, в которых исследуются
проблемы взаимодействия мощных лазерных лучей с различными телами –
задачи
нелинейной
оптики,
взаимодействия
движущихся
тел
с
электромагнитными полями. Такие взаимодействия в макроскопических
масштабах существенно связаны с эффектами, описываемыми в рамках
квантовой механики. Аналогичное положение встречается при описании
макроскопических свойств тел, связанных с движением при очень низких
температурах
или
с
учетом
намагниченности
и
электрической
поляризации.
В последнее время ставится очень много исследований в области
биологической механики.
2. Система многих частиц как континуум.
Гипотезы механики сплошной среды.
Материальный континуум (сплошная среда) есть состоящая из
большого числа малых частиц фиктивная субстанция, которая непрерывно,
сплошным образом заполняет область пространства D , отведенную
9
данному телу, независимо от его агрегатного состояния. Следует отметить,
что под частицей, составляющей материальный континуум, понимается
часть тела, малая по отношению к геометрическим размерам тела, но
большая по сравнению с размерами молекул. Таким образом, в рамках
феноменологического подхода имеет место абстрагирование от реального
атомно-молекулярного строения тел и переход к идеализированному
представлению вещества в виде материального континуума. Такая
идеализация реального дискретного вещества позволяет использовать при
исследовании движения деформируемых тел аппарат дифференциального
и интегрального исчисления непрерывных функций.
Механика сплошной среды строится в рамках феноменологического
подхода при ограничениях и упрощениях, определяемых гипотезами
механики сплошных сред.
Первая гипотеза МСС - гипотеза сплошности – связана с понятием
материального континуума.
Вторая гипотеза МСС связана с понятием пространства. Под
пространством понимается бесконечно большая совокупность точек,
однозначно задаваемых с помощью чисел, называемых координатами,
которые определяют положение точки относительно начала координат.
Мерность пространства обусловлена числом координат, которыми
определяется положение точек в пространстве. Например, бесконечно
большая совокупность точек в обычном физическом пространстве
составляет трехмерное пространство, так как положение произвольной
точки в декартовой прямоугольной системе координат задается тремя
координатами x1 , y1, z1 . Совокупность точек на плоскости составляет
двумерное пространство, положение произвольной точки задается двумя
координатами x1 , y1 . Двумерным является и пространство, составляемое
10
совокупностью точек, образующих сферическую поверхность, здесь
положение
точки
может
быть
однозначно
определено
двумя
координатами: углами θ (долгота) и ϕ (широта).
Предполагается, что пространство, в котором рассматривается
движение деформируемых сред, является евклидовым.
Третья гипотеза МСС – гипотеза абсолютного времени. Согласно
этой гипотезе, время течет одинаково вне зависимости от выбора системы
отсчета, в которой рассматривается движение деформируемой среды.
Данная
гипотеза
является
хорошей
идеализацией
при
решении
большинства практических задач, в условиях которых скорости движения
тел не достигают таких значений, чтобы возникала необходимость учета
релятивистских эффектов.
3. Скалярные, векторные и тензорные поля.
Представление движения материального континуума.
Индивидуализация точек материального континуума.
Системы отсчета.
Поскольку
сплошная
среда
(материальный
континуум)
есть
некоторая виртуальная субстанция, непрерывным, сплошным образом
заполняющая часть пространства, описание ее движения связано с
заданием характеризующих движение величин в каждой точке какой-либо
области пространства. Иными словами, при описании движения сплошных
сред приходится иметь дело с полями скалярных и векторных величин.
Поле – скалярное или векторное – это совокупность значений той
или иной величины, заданных в каждой точке рассматриваемой области
пространства. В качестве примера можно назвать скалярное поле давлений
11
или температуры в атмосфере, векторное поле скорости течения воды в
реке и т. д.
Описание поля связано с установлением зависимостей величин от
координат, однозначно определяющих положение точек в пространстве:
p = p ( x, y, z ) , T = T ( x, y , z ) , v = v ( x, y, z ) . Поскольку координаты точки в
пространстве x, y , z задают радиус-вектор r , характеризующий положение
этой точки относительно начала координат, задать скалярное или
векторное поле означает задать скалярную или векторную функцию
векторного аргумента r , то есть поставить в соответствие каждому
радиусу-вектору r значение соответствующей
физической величины:
p = p (r ) , T = T (r ) , v = v (r ) .
Графическое изображение полей удобно проводить с помощью
поверхностей
уровня
и
векторных
линий.
Поверхность
уровня
(изоповерхности) используются для графического изображения скалярных
полей. Это геометрическое место точек в пространстве, соответствующих
одному и тому же значению скалярной величины
p ( x, y , z ) = const ,
T ( x, y , z ) = const и т. д.
Векторные линии используются для графического изображения
векторных полей. Это такие линии в пространстве, касательные к которым
в каждой точке совпадают по направлению с направлением вектора в
данной точке. Векторные линии, используемые для графического
изображения поля вектора скорости v , называются также линиями тока.
Индивидуальный объем – часть среды, состоящая (в процессе
движения) из одного и того же материала, включающая одни и те же
частицы, а с учетом реального молекулярного строения деформируемых
сред – состоящая из одних и тех же молекул. Значение индивидуального
12
объема V может изменяться в процессе движения под действием внешних
сил.
Бесконечно малый
индивидуальный объем (V → 0 ) в
механике
сплошных сред называется индивидуальной частицей (в физике – просто
частицей). Наконец, предельным случаем индивидуального объема является индивидуальная точка - объект, не имеющий размеров, объем которого
V = 0.
С учетом реального строения тел понятие индивидуальной частицы
можно определить как индивидуальный объем, малый по сравнению с
размерами тела, но достаточно большой по сравнению с размерами
молекул среды.
Для количественного описания механического движения сплошной
среды необходимо ввести систему отсчета, представляющую собой
совокупность тела или точки отсчета, связанной с ними системы
координат и указаний о моменте начала отсчета времени. В механике
сплошных сред вводятся два типа системы отсчета: система отсчета
наблюдателя (СОН) и сопутствующая система отсчета (ССО).
Система отсчета наблюдателя (эйлерова) – это система отсчета,
по отношению к которой определяется движение материального
континуума.
Положение точек трехмерного пространства относительно СОН
однозначно определяется тремя значениями координат: x1 , x 2 , x 3 .
Определить
движение
материального
континуума
–
значит
установить параметры движения всех его индивидуальных точек. Но, с
одной стороны, любой индивидуальный объем сплошной среды в силу
гипотезы непрерывности (сплошности) состоит из бесконечно большого
13
числа индивидуальных точек. С другой стороны, индивидуальные точки
континуума на первый взгляд совершенно равноправны и неотличимы
друг от друга. Поэтому, для того чтобы описать движение сплошной среды
и знать движение всех ее индивидуальных точек, необходимо ввести
правило индивидуализации точек континуума, позволяющее различать
индивидуальные точки континуума друг от друга и получать закон
движения для всех этих точек.
Рассмотрим два близких по своей сущности способа индивидуализации.
Индивидуализация точек сплошной среды может производиться
путем задания значений их начальных координат относительно СОН.
При
таком
способе
индивидуализации
точек
материального
континуума определить его движение означает найти зависимости
текущих координат индивидуальных точек x i от их начальных координат
x0i
и
(
времени
x 3 = x 3 x10 , x02 , x03 , t
)
(
t:
или
в
)
(
)
x1 = x1 x10 , x02 , x03 , t ,
x 2 = x 2 x10 , x02 , x03 , t ,
сокращенной
с
записи
использованием
свободного индекса
(
x i = x i x10 , x02 , x03 , t
)
(1)
Зависимости (1) носят название закона движения материального
континуума. Этот закон в принципе действительно определяет движение
сплошной среды, так как дает возможность знать движение каждой из
бесконечно большого числа ее индивидуальных точек, различаемых с
помощью их начальных координат относительно СОН.
Второй возможный способ индивидуализации заключается в задании
координат индивидуальных точек в системе отсчета, связанной с
14
частицами среды, т.е. в ССО. Действительно, так как выбор тела или точки
отсчета достаточно произволен, в качестве последней может быть взята
вполне
конкретная
индивидуальная
точка
континуума.
Являясь
индивидуальной точкой сплошной среды, она движется вместе со средой,
занимая в произвольный момент времени положение 01′ чем и объясняется
название системы отсчета. В начальный момент времени через точку 01
могут
быть
проведены
координатные
оси.
Положение
любой
индивидуальной точки материального континуума относительно начала
координат 01 определяется тремя значениями: ξ1 , ξ 2 , ξ3 .При таком способе
индивидуализации точек среды закон движения принимает вид
(
)
x i = x i ξ1 , ξ 2 , ξ3 , t ,
(2)
который также содержит информацию о движении всех ее индивидуальных точек. При этом, задавая конкретные значения ξ1 , ξ 2 , ξ3
указывают на одну (и только одну!) индивидуальную точку среды, для
которой закон движения позволяет определить ее текущие координаты
относительно СОН в зависимости от времени t .
Специфика ССО не исчерпывается тем, что в качестве точки отсчета
принимается одна из индивидуальных точек материального континуума.
ССО присуще также то, что координатные линии (в частности,
координатные оси, проходящие через точку отсчета) всегда проходят через
одни и те же индивидуальные точки среды. Таким образом, вводимая при
описании движения ССО – подвижная, деформируемая, криволинейная в
общем случае система координат, координатные линии которой всегда
проходят через одни и те же индивидуальные точки сплошной среды.
Введенная указанным образом ССО имеет следующие особенности. В
15
начальный момент времени t = t0 выбор системы координат зависит от
желания исследователя.
Однако в дальнейшем, при движении сплошной среды, сопутствующая система координат выходит из под власти исследователя. По
определению, ее координатные линии, проходя всегда через одни и те же
индивидуальные точки, являются как бы вмороженными в среду, движутся
и деформируются вместе с ней.
Сопутствующая система координат рассматривается в основном для
того, чтобы по деформациям ее координатных линий ввести величины,
количественно характеризующие деформацию материального континуума
– компоненты тензора деформаций и тензор деформаций в целом.
Вторая важная особенность сопутствующей системы координат
состоит в том, что все индивидуальные точки сплошной среды имеют не
изменяющиеся во времени координаты ξ1 , ξ 2 , ξ 3 относительно данной
системы отсчета. Это следует из самого способа определения значений
координат
ξ1 , ξ 2 , ξ3 ,
индивидуализирующих
точки
континуума.
Действительно, три значения ξ1 , ξ 2 , ξ3 координат точек относительно ССО
определяются для фиксированного начального момента времени t = t0 , раз
и навсегда закрепляются за каждой индивидуальной точкой и уже по этой
причине не могут изменяться в зависимости от времени.
Сущность точек зрения Лагранжа и Эйлера на изучение движения
сплошной среды.
Точка зрения Лагранжа на изучение движения сплошной среды
(лагранжев подход) заключается в исследовании изменения величин,
16
описывающих движение и состояние сплошной среды (например, скорости
υ , температуры T ) для каждой из ее индивидуальных точек. В качестве
независимых переменных при математическом описании движения с
позиций Лагранжа используются координаты ξ1 , ξ 2 , ξ3 (или x10 , x02 , x03 ),
индивидуализирующие
точки
сплошной
среды
и
называющиеся
лагранжевыми координатами, и время t . Лагранжевы координаты
ξ1 , ξ 2 , ξ3 и время t носят название лагранжевых переменных. Формально
при использовании лагранжева подхода находят зависимости величин,
описывающих поведение сплошной среды, от лагранжевых переменных
ξ1 , ξ 2 , ξ3 , t , например:
(
)
(
)
(
)
x i = x i ξ1 , ξ 2 , ξ3 , t ; υ = υ ξ1 , ξ 2 , ξ3 , t ; T = T ξ1 , ξ 2 , ξ 3 , t .
Точка зрения Эйлера на изучение движения сплошной среды
(эйлеров подход) заключается в исследовании изменения величин,
описывающих движение и состояние среды для каждой из точек
пространства, в которые с течением времени могут приходить различные
индивидуальные точки. В качестве независимых переменных при
описании движения среды по Эйлеру используются координаты x1 , x 2 , x 3 ,
определяющие положение точек пространства относительно СОН и называющиеся эйлеровыми координатами, и время t . В целом эйлеровы
координаты x1 , x 2 , x 3 и время t называются эйлеровыми переменными.
Эйлеров
подход
описывающих
предполагает
поведение
поиск
зависимостей
деформируемой
среды,
всех
от
переменных x1 , x 2 , x 3 , t , например:
(
)
(
)
υ = υ x1 , x 2 , x 3 , t ; T = T x1 , x 2 , x 3 , t и т.д.
17
величин,
эйлеровых
Итак, различие подходов Лагранжа и Эйлера заключается в том, что
в первом случае следят за каждой индивидуальной точкой (или
индивидуальной частицей) движущейся сплошной среды, а во втором – за
каждой точкой пространства, в котором движется сплошная среда.
Подходы к описанию движения сплошной среды с позиций Эйлера и
Лагранжа с точки зрения механики эквивалентны. Имея описание
движения среды по Лагранжу, можно перейти к описанию по Эйлеру, и
наоборот.
Использование того или другого подхода определяется спецификой
решаемой задачи механики сплошных сред.
4. Явления переноса.
Закон сохранения массы – уравнение неразрывности. Уравнение
баланса.
Сущность закона сохранения массы состоит в том, что при
погружении, движении и деформации материального континуума масса
m
любого
его
индивидуального
объема
(или
масса
dm
любой
индивидуальной частицы) остается неизменной:
∫
m = ρdV = const ,
(3)
V
dm = ρdV = ρ 0 dV0 = const ,
(4)
где ρ 0 , dV0 – начальные плотность и объем индивидуальной частицы; ρ ,
dV – текущие (после деформации) плотность и объем индивидуальной
частицы; V – значение индивидуального объема.
18
Более
удобно
выразить
закон
сохранения
массы
в
дифференциальной форме, установив взаимосвязь между скоростью
изменения плотности индивидуальных частиц и полем скорости движения
индивидуальных
точек.
С
этой
целью
рассматривается
движение
материального континуума относительно системы отсчета наблюдателя
x1 , x 2 , x 3 (рис. 1). Выделяется
Рис. 1
некоторая область пространства D* с неизменным объемом V* ,
ограниченную неподвижной относительно СОН поверхностью S* . При
движении континуума через поверхность S* происходит перенос массы
через
эту
поверхность,
что
вызывает
изменение
массы
среды,
содержащейся в объеме выделенной области пространства. При этом для
любого бесконечно малого интервала времени dt ≠ 0 изменение массы,
содержащейся в объеме V* , равно массе, перенесенной через поверхность
S* в течение этого интервала времени.
Определяется изменение массы континуума в объеме V* за время
dt ≠ 0 . Выделяется бесконечно малую область пространства dV* вокруг
точки
пространства
с
фиксированными
эйлеровыми
координатами
x1 , x 2 , x 3 . При плотности ρ среды в данной точке пространства можно
представить массу, содержащуюся в выделенном бесконечно малом
19
объеме, как ρdV* . Скорость изменения массы в объеме dV* характеризуется локальной производной по времени ∂ ( ρdV* ) / ∂t
xi
= ∂ ( ρdV* ) / ∂t . С
учетом неизменности во времени величины dV* скорость изменения
массы, содержащейся в объеме dV* равна (∂ρ / ∂t )dV* . За время dt ≠ 0
масса в объеме dV* изменяется на (∂ρ / ∂t )dV*dt . В целом за время dt ≠ 0
масса
континуума,
содержащаяся
в
объеме
выделенной
области
пространства изменяется на величину, равную сумме элементарных
изменений или же соответствующему объемному интегралу
⎞
⎛
⎟
⎜ ∂ρ
⎜⎜ ∂t dV* ⎟⎟dt
⎠
⎝ V*
∫
(5)
Значение массы, переносимой через поверхность S* за бесконечно
малый интервал времени dt ≠ 0 находится там.
При движении сплошной среды со скоростью υ через элементарную
площадку dS*
за время dt переносится масса, заключенная в объеме
косого цилиндра с основанием dS* образующей
υdt и площадью
поперечного сечения dS* cos α , равной проекции площадки dS* на
направление, перпендикулярное вектору скорости движения среды.
Переносимая масса
ρ(dS* cos αυdt ) = ρdS* cos αυdt = ρυ n dS* dt ,
где α – угол между площадкой dS* и плоскостью поперечного
сечения цилиндра, равный углу между вектором скорости υ и нормалью
n к рассматриваемой площадке. Тогда масса материального континуума,
переносимая за время dt через всю поверхность S* , определится
поверхностным интегралом
20
⎛
⎞
⎟
⎜
υ
ndS
ρ
⋅
*
⎟⎟dt
⎜⎜
⎝ S*
⎠
∫
или же потоком вектора ρ υ
(6)
через замкнутую поверхность,
ограничивающую выделенный объем V* . Вектор ρ υ называется вектором
потока массы. Он совпадает по направлению с вектором скорости υ , а по
абсолютной величине равен массе, переносимой в единицу времени через
единичную площадку, перпендикулярную вектору скорости. Последнее
вытекает, например, из анализа размерности вектора ρ υ .
Итак, масса, переносимая через неподвижную поверхность S* ,
определяется
потоком
вектора
ρυ
положительном потоке вектора ρυ
через
эту
поверхность:
при
масса среды в выделенном объеме
уменьшается (среда "вытекает" из области), а при отрицательном –
увеличивается (среда "втекает" в область). Следовательно, соотношение,
выражающее закон сохранения массы (уравнение баланса массы), имеет
вид
∂ρ
∫ ∂t dV*dt = − ∫ ρυ ⋅ n dS*dt ,
V*
S*
или
∫
V*
∂ρ
dV* + ρυ ⋅ n dS * = 0 .
∂t
∫
S*
Теорема Остроградского – Гаусса и преобразование потока вектора
ρυ через замкнутую поверхность S* в интеграл от дивергенции этого
вектора по объему V* ограниченному этой поверхностью, делают:
21
⎛ ∂ρ
⎞
⎜ + div(ρ υ )⎟dV* = 0 .
⎝ ∂t
⎠
V
∫
*
В силу произвольности выделенного объема V* приведенный
объемный интеграл равняется нулю в случае тождественного равенства
нулю подынтегрального выражения
∂ρ
+ div(ρυ ) = 0 ,
∂t
(7)
которое через компоненты вектора скорости можно записать в виде
( )
∂ρ
+ ∇ i ρυ 2 = 0 .
∂t
(8)
Уравнения (7) и (8) эквивалентны, являются дифференциальным
выражением
закона
неразрывности.
сохранения
Согласно
массы
этому
и
называются
уравнению,
уравнением
скорость
изменения
плотности в данной точке пространства, характеризуемая локальной
производной плотности по времени, определяется дивергенцией вектора
потока массы, взятой в этой же точке пространства.
Вывод уравнения неразрывности проводился без каких бы то ни
было
ограничений
относительно
физико-механических
свойств
рассматриваемой среды. Это позволяет говорить об универсальности
уравнения неразрывности: любая сплошная среда, какими бы конкретными
физико-механическими свойствами она ни обладала (идеальная, упругая,
вязкая, упругопластическая и т.п.) и в каком бы агрегатном состоянии она
ни находилась (твердое, жидкое, газообразное), должна подчиняться этому
уравнению.
22
5. Континуальные уравнения сохранения.
Закон сохранения количества движения – уравнение движения.
Второй закон Ньютона для материального континуума:
изменение
количества движения любого индивидуального объема материального
континуума равно импульсу внешних сил (объемных и поверхностных),
действующих на этот индивидуальный объем.
Индивидуальный
объём
V,
ограниченный
поверхностью
S
сплошной среды, находится под действием внешних объемных сил F и
внешних поверхностных сил ρ , вследствие чего частицы континуума
движутся с определенной скоростью υ . Выделяется индивидуальная
частица объемом dV и плотностью ρ , движущаяся со скоростью υ . Количество движения этой частицы равно υ ρdV , а полный импульс всего
индивидуального объема определяется интегралом
∫ υρdV ,
взятым по
V
всему индивидуальному объему. Объемная сила, действующая на малую
индивидуальную частицу dV , равна F dV , а полная внешняя объемная
сила, действующая на индивидуальный объем в целом, определяется
соответствующим интегралом
∫ FdV . На любой элементарной площадке
V
dS (бесконечно малом участке поверхности S с ориентацией, задаваемой
единичной нормалью n )
действуют внешние поверхностные силы pn .
Поверхностная сила, действующая на всю площадку dS , равна p n dS , а
полная внешняя поверхностная сила определится взятым по замкнутой
поверхности S интегралом
∫ pn dS . Тогда закон сохранения количества
S
23
движения для индивидуального объема материального континуума
представляется в виде интегродифференциального уравнения
⎞
⎛
⎞ ⎛
d ⎜ υ ρdV ⎟ = ⎜ F dV + p n dS ⎟dt ,
⎟
⎜
⎟ ⎜
S
⎠
⎝V
⎠ ⎝V
∫
∫
∫
или эквивалентного уравнения
d
υ ρdV = F dV + p n dS .
dt
∫
∫
∫
V
V
S
(9)
Для получения дифференциального уравнения, выражающего второй
закон Ньютона для сплошной среды, выражение (9). Преобразуя с учётом
неизменности во времени массы индивидуальных частиц dm = ρdV и
скорость
изменения
полного
импульса
индивидуального
объема
определяется только ускорениями индивидуальных частиц:
d
dυ
υ ρdV =
ρdV
dt
dt
∫
∫
V
V
Вектор внешней поверхностной силы pn в любой точке поверхности
S
с единичной нормалью n однозначно определяет вектор полного
напряжения σ n = p n , действующий в данной точке на соответствующей
площадке. Последний можно представить через тензор напряжений в
сплошной среде в точке на поверхности и единичную нормаль σ n = (σ ) ⋅ n ,
так что полная поверхностная сила равна потоку тензора напряжений через
замкнутую поверхность, ограничивающую выбранный индивидуальный
объем:
∫ pn dS = ∫ (σ) ⋅ n dS .
S
Используя далее теорему Остроградского-
S
Гаусса (9) преобразуем в соотношение
24
⎛ dυ
⎞
⎜⎜ ρ
− F − div(σ )⎟⎟dV = 0 ,
dt
⎠
V⎝
∫
которое в силу произвольности индивидуального объема V может
выполняться лишь при условии равенства нулю подынтегрального
выражения для любой индивидуальной частицы континуума. Это и
приводит
к
дифференциальному
уравнению,
выражающему
закон
сохранения количества движения для сплошной среды:
ρ
dυ
= F + div(σ ).
dt
(10)
Согласно (10), получаемые индивидуальными частицами ускорения
определяются внешними объемными силами F , плотностью ρ для данной
частицы и зависят от пространственного распределения напряжений.
Дифференциальное уравнение (10) описывает один из законов
природы, который является объективным и не зависит от субъективно
выбираемой исследователем той или иной системы координат. В соответствии с этим в полученном выражении закона сохранения импульса
участвуют тензорные объекты, инвариантные относительно выбора
системы координат. Это тензор нулевого ранга – плотность ρ , тензоры
первого ранга – вектор внешних объемных сил F и вектор скорости υ ,
тензор второго ранга – тензор напряжений (σ ) .
Уравнение движения записано без каких-либо предположений и
ограничений на агрегатное состояние и физико-механические свойства
среды, т.е. оно справедливо для описания движения любых сплошных
сред.
25
6. Закон сохранения энергии.
Первое начало термодинамики, уравнение энергии.
Общий случай описания движения материального континуума
учитывает возможный переход механической энергии в тепловую, а также
принимает во внимание обмен тепловой энергией между различными
частицами сплошной среды. Для описания происходящих в сплошных
средах тепловых процессов вводятся специальные физические величины,
характеризующие состояние континуума. К их числу относятся удельная
внутренняя энергия E , вектор теплового потока q , энтропия S .
Удельную внутреннюю энергию E удобно ввести на основе
определения внутренней энергии тела U
при чисто механических
процессах, когда внутренняя энергия равна потенциальной энергии
деформации тела. В этом случае скорость изменения потенциальной
энергии деформации тела определяется полной (для всего тела)
мощностью внутренних поверхностных сил, или полной мощностью
деформации. Внутренняя энергия
⎛
⎞
⎛ σ ij ε& ij
⎞
ij
⎜
⎟
U=
σ ε& ij dV dt = ⎜
ρdV ⎟dt .
⎟
⎜
⎟
⎜
ρ
t ⎝V
t ⎝V
⎠
⎠
∫∫
∫∫
Данный интеграл с учетом неизменности во времени массы
индивидуальных частиц и независимости от времени t переменной
интегрирования во внутреннем интеграле можно представить в виде
26
⎛ σ ij ε& ij ⎞
U= ⎜
dt ⎟ρdV = EρdV = Edm
⎜
⎟
ρ
V⎝t
V
m
⎠
∫∫
∫
∫
В приведенном выражении E определяется взятым по времени
интегралом от удельной (отнесенной к единице массы среды) мощности
деформации и представляет собой удельную работу деформации. При
чисто механических процессах работа деформации "переходит" во
внутреннюю потенциальную энергию деформации, так что E представляет
собой удельную (отнесенную к единице массы среды) потенциальную
энергию деформации – удельную внутреннюю энергию континуума.
Употребляемому в рамках феноменологического подхода понятию
"потенциальная энергия деформации" в реальных деформируемых средах,
имеющих дискретное, молекулярное строение, соответствует понятие
"потенциальная энергия взаимодействия молекул между собой".
В более общем случае, при наличии тепловых явлений и процессов в
сплошной
внутренняя
среде,
под
энергия
потенциальную
удельной
единицы
энергию
внутренней
массы
деформации
энергией
среды,
понимается
включающая
континуума
как
(потенциальную
энергию взаимодействия молекул в единице массы среды), так и тепловую
энергию (в реальных средах – кинетическую энергию хаотического
движения молекул, взятых в единице массы среды).
В общем случае удельная внутренняя энергия различна для
различных индивидуальных частиц континуума, поэтому внутренняя
энергия тела (или индивидуального объема континуума) определяется
соответствующим интегралом, взятым по массе или объему тела:
∫
∫
m
V
U = Edm = EρdV .
27
(11)
При наличии тепловых явлений внутренняя энергия тела в целом
представляет собой сумму потенциальной энергии деформации тела и
тепловой энергии.
Вводится физическая величина, с помощью которой характеризуется
интенсивность обмена тепловой энергией между различными частицами
сплошной среды, – вектор теплового потока q , который характеризует
направление
наиболее
интенсивной
передачи
тепловой
энергии
в
окрестности данной точки сплошной среды и по абсолютной величине равен количеству теплоты, переносимой в единицу времени через единичную
площадку, перпендикулярную этому направлению. Берётся индивидуальная
точка материального континуума, в котором, по предположению,
существуют условия для теплообмена между индивидуальными частицами. Выделяется площадка dS , проходящая через эту точку, фиксируется
малый интервал времени dt ≠ 0 и предполагается, что известно количество
теплоты dQ , переносимой за малый интервал времени через данную
площадку.
При
фиксированных
значениях
dS
и
dt
количество
переносимой теплоты dQ зависит от ориентации площадки и при
некоторой
ее
ориентации
достигает
максимального
для
данной
индивидуальной точки значения. Направление нормали к такой площадке
определяет направление вектора теплового потока в данной точке континуума, модуль которого
q=
dQ
dtdS
(12)
В свою очередь, определенный в точке сплошной среды вектор
теплового потока
q
позволяет оценить количество теплоты
dQ ,
переносимой за малый интервал времени dt через проходящую через
28
данную точку площадку dS
произвольной ориентации, задаваемой
вектором единичной нормали n .
В
соответствии
с
определением
вектора
теплового
потока
dQ = qdS n dt = qds cos αdt , откуда следует выражение для количества
теплоты,
передаваемой
за
малое
время
через
малую
площадку
произвольной ориентации:
dQ = q ⋅ n dSdt
(13)
Известны три вида теплообмена (теплопередачи): излучение,
конвекция, теплопроводность. Теплопроводность реализуется в любых
сплошных средах вне зависимости от их агрегатного состояния и физикомеханических свойств, в то время как теплообмен посредством излучения
и конвекции возможен лишь в прозрачных, газообразных или жидких
средах.
Теплообмен
посредством
теплопроводности
происходит
при
условии существования неравномерного распределения температуры в
объеме сплошной среды. Поэтому должна существовать взаимосвязь
между вектором теплового потока, характеризующим интенсивность
теплообмена между частицами среды, и величиной, характеризующей
неравномерность пространственного распределения температуры в теле. В
качестве последней может выступать вектор градиента температуры
( ) = (∂T / ∂x )(r ) ,
grad T = ∇ i (T ) r 2
i
2
2 i
абсолютное значение которого тем
больше, чем неравномернее распределена температура, т.е. чем больше
значения производных по координатам ∂T / ∂x i . Такая взаимосвязь
действительно существует и выражается законом теплопроводности
Фурье, обобщающим опытные факты. Согласно закону теплопроводности
Фурье, вектор теплового потока в данной индивидуальной точке
29
сплошной среды прямо пропорционален градиенту температуры в этой
же точке:
q = −λgradT
(14)
где λ – коэффициент теплопроводности, или просто теплопроводность данной среды.
Для
получения
интегрального
выражения
первого
начала
термодинамики рассматривается индивидуальный объем V материального
континуума,
ограниченный
поверхностью
S.
Считается,
что
материальный континуум подвержен действию внешних объемных сил F
и внешних поверхностных сил
p . Учитывается теплообмен между
частицами сплошной среды и считается определенным поле вектора
теплового потока q , заданного для каждой индивидуальной точки среды,
включая точки, находящиеся на поверхности. Закон сохранения энергии
утверждает, что изменение полной энергии выделенного индивидуального
объема материального континуума, которая равна сумме кинетической
Ek и внутренней U
энергий, определяется работой внешних сил
(объемных и поверхностных) и количеством теплоты, переданной телу
через
ограничивающую
его
поверхность.
Количество
теплоты,
передаваемой за малый интервал времени dt через малый участок
поверхности dS с ориентацией, задаваемой единичным вектором n
внешней нормали, определяется в соответствии с выражением (13). Полное
же количество теплоты, передаваемой за время
поверхностью
интегралом –
S
сплошной
∫ q ⋅ n dSdt
среде,
определяется
dt
ограниченной
поверхностным
или взятым со знаком минус потоком вектора
S
теплового потока q через указанную замкнутую поверхность. При этом
30
знак минус учитывает то обстоятельство, что положительный поток
вектора q (в каждой точке поверхности вектор q направлен в одну
сторону
с
вектором
внешней
нормали
–
теплота
"уходит"
из
индивидуального объема) соответствует уменьшению полной энергии
индивидуального объема, а отрицательный поток того же вектора
соответствует увеличению полной энергии индивидуального объема.
Работа, совершаемая за время dt внешними объемными силами,
∫ (FdV )⋅ υdt = ∫ F
выражается объемным интегралом
V
2
υi dVdt . За тот же
V
отрезок времени поверхностные силы совершают работу
i
(
)
p
dS
⋅
υ
dt
=
p
∫
∫ υi dSdt
S
S
Закон сохранения (а точнее, изменения) полной энергии для
индивидуального объема континуума теперь может быть выражен
интегродифференциальным соотношением
d (E k + U ) = F i υi dVdt + p i υi dSdt − q ⋅ n dSdt
∫
∫
∫
V
S
S
или эквивалентным уравнением
dE k dU
+
= F i υi dV + p i υi dS − q ⋅ n dS .
dt
dt
∫
∫
∫
V
S
S
(15)
Закон изменения полной энергии (15) может быть сведен к закону
изменения внутренней энергии
.
dU
= σ ij ε ij dV − q ⋅ ndS ,
dt
∫
∫
V
S
31
(16)
согласно которому изменение внутренней энергии тела dU или
индивидуального объема материального континуума равно сумме работы
деформации
∫
.
σij εij dVdt и количества теплоты –
V
∫ q ⋅ n dSdt , переданной
S
материальному континууму через ограничивающую его поверхность.
Уравнение (16) представляет собой интегральное выражение закона изменения внутренней энергии – первого закона, или первого начала,
термодинамики. Интегральное выражение первого начала термодинамики
(16) также называют законом сохранения энергии.
Более удобным является выражение первого начала термодинамики
в виде дифференциального уравнения, справедливого для каждой индивидуальной частицы континуума. Скорость изменения внутренней энергии
тела U = E p dV определяется скоростями изменения удельной внутренней
энергии E индивидуальных частиц среды: dU / dt =
∫ (dE / dt )ρdV ,
где
V
dm = pdV – не изменяющаяся во времени масса индивидуальных частиц. С
помощью указанных преобразований интегральное выражение первого
начала термодинамики (16) приводится к условию равенства нулю
объемного интеграла:
.
⎛ dE
ij
i ⎞⎟
⎜ρ
−
σ
ε
+
∇
q
ij
i ⎟dV = 0.
⎜ dt
⎠
V⎝
∫
Это условие должно выполняться для произвольного индивидуального объема континуума, что приводит к необходимости выполнения
для
каждой
индивидуальной
частицы
уравнения
32
среды
дифференциального
ij
dE σ ε& ij ∇i q 2
=
−
dt
ρ
ρ
(17)
которое является уравнением энергии и выражает в диффе-
ренциальной
форме
первое
начало
термодинамики
для
каждой
индивидуальной частицы сплошной среды.
Таким образом, дифференциальное уравнение энергии устанавливает, что изменение удельной внутренней энергии индивидуальной частицы
материального континуума равно работе деформации, отнесенной к
единице массы среды, и количеству теплоты, переданной единице массы
данной индивидуальной частицы.
Характер процессов, которые происходят при взаимодействии тел,
может быть различным: бывают обратимые и необратимые процессы.
Обратимые
процессы
–
это
процессы,
допускающие
обратное
самопроизвольное протекание с возвратом к исходному состоянию.
Примером обратимого процесса является взаимодействие двух абсолютно
упругих шаров при их соударении. В этом случае процесс деформирования
каждого шара вначале сопровождается увеличением внутренней энергии
U , компонент тензоров напряжений σ ijj и деформаций ε ijj в каждой
индивидуальной
частице
взаимодействующих
тел,
а
затем
самопроизвольно протекает в обратном направлении с уменьшением этих
величин и возвратом в итоге к исходному состоянию.
Необратимые
процессы
–
это
процессы,
не
допускающие
самопроизвольного обратного протекания с возвратом к исходному
состоянию. В механике выделяют две группы необратимых процессов:
процессы, связанные с переходом механической энергии в тепловую, и
33
процессы
теплообмена
между
телами,
нагретыми
до
различной
температуры.
Таким образом, необратимые процессы приводят к необратимым
потерям энергии, а на микроуровне – к увеличению степени беспорядка в
системе.
Для количественного описания необратимых процессов, накопления
необратимых потерь энергии (а на микроуровне – для определения степени
беспорядка в системе) в термодинамике вводится специальная физическая
величина – энтропия S , являющаяся мерой необратимости процессов.
Сформулированные критериям удовлетворяет физическая величина,
изменение которой для тела при его теплообмене с окружающей средой
определяется как
dS =
dQ
T
(18)
где dQ – количество теплоты, получаемой (или отдаваемой) телом;
T - температура, при которой тело получает (или отдает) теплоту.
Приведенное соотношение может быть интерпретировано следующим
образом. Величина dQ полученной (или отданной) телом теплоты
характеризует изменение тепловой составляющей внутренней энергии или
изменение кинетической энергии беспорядочного движения молекул тела.
Абсолютная же температура T , как известно, определяет среднюю
кинетическую энергию E0
одноатомного газа
хаотического движения молекул тела (для
E0 = 1,5kT , где k
- постоянная Больцмана), а
следовательно, с точностью до постоянного множителя, и кинетическую
энергию хаотического движения молекул тела в целом. Поэтому
изменение
энтропии
dS
определяется
34
отношением
изменения
кинетической энергии хаотического движения молекул тела к полной
кинетической
энергии
их
хаотического
движения.
Иначе
говоря,
изменение энтропии определяет как бы изменение "степени беспорядка" в
данном теле.
В более общем случае возможно изменение тепловой составляющей
внутренней энергии тела не только за счет теплопередачи, но и за счет
совершения над телом механической работы, приводящей к выделению
эквивалентного количества теплоты dQ м (например, работы сил трения),
так что изменение энтропии тела выражается более общим соотношением
TdS = dQ + dQ м
(19)
которое является количественным выражением второго начала
термодинамики применительно к равновесным процессам в телах. Для
количественной формулировке второго начала термодинамики применительно к материальному континууму и получению соответствующего
дифференциального уравнения. Введем такую величину, как удельная
энтропия S – энтропия единицы массы континуума. Тогда энтропия
ρdV
индивидуальной частицы массой
определится как
SρdV . В
соответствии с (19) происходящее за малое время dt ≠ 0 изменение энтропии индивидуальной частицы связано с ее температурой T , теплотой dQ ,
переданной данной частице со стороны окружающих частиц, и теплотой
dQ м , выделившейся в данной частице вследствие совершения над ней
работы со стороны окружающих частиц:
Td(SρdV ) = TdSρdV = dQ+ dQм .
Здесь
∫
передаваемая
dQ = − q ⋅ ndS* dt , где
данной
частице
за
время
(20)
dt
теплота
S* – замкнутая поверхность, ограничивающая
S*
35
бесконечно малую индивидуальную частицу объема dV . Нетрудно видеть,
что (20) приводится к виду
∇i qi
dS
T
=−
+χ,
dt
ρ
(21)
где χ = dQ м / (dtρdV ) . Эта величина, имеющая размерность удельной
(отнесенной к единице массы) мощности, называется некомпенсированной
теплотой. Она всегда является неотрицательной величиной
(χ > 0) ,
характеризующей часть удельной мощности деформации
0≤
χ
ij &
σ ε ij / ρ
≤ 1,
которая определяет часть работы деформации (удельной χdt в
каждой частице или же полной
∫ χdt (ρdV ) для всего тела), необратимо
V
переходящей в теплоту. Физическими причинами перехода механической
работы в тепловую энергию является внутреннее трение в среде, связанное
с вязкими, пластическими и некоторыми другими свойствами конкретных
сред. Очевидно, что конкретное выражение для некомпенсированной теплоты зависит от свойств той или иной среды.
7. Уравнение состояния.
Сжимаемость деформируемых сред.
В более общем случае скалярное уравнение, определяющее
физическое
поведение
деформируемой
36
среды,
учитывает
влияние
температуры и имеет вид σ = σ(ε ). Учитывая, что среднее напряжение с
точностью до знака равно давлению, возникающему в данной индивидуальной частице континуума (σ = − p ) , а средняя деформация характеризует
изменение объема индивидуальной частицы и взаимосвязана с текущим и
начальным
ρ = ρ0 /(1 + 3ε)
значениями
плотности
деформируемой
среды
как
(в случае малых деформаций), скалярное уравнение,
определяющее физическое поведение, может быть представлено в виде
p = p(ρ, T )
и
уравнением
называется
(22)
состояния
деформируемой
среды.
Уравнение состояния характеризует фундаментальное свойство реальных
деформируемых
сред
–
их
Сжимаемость
сжимаемость.
–
это
способность деформируемых сред к изменению объема (или плотности)
их индивидуальных частиц вследствие действующего в них давления (или,
напротив, это способность среды сопротивляться изменению плотности
посредством возникновения в частицах давления противодействия).
Информация
о
сжимаемости
реальных
деформируемых
сред
получается из опыта посредством исследования поведения тел в
специально
организуемых
условиях
всестороннего
сжатия
и
последующего обобщения и представления полученной информации в
виде уравнений состояния (22). Так, например, уравнение состояния достаточно разреженных газов получается как обобщение частных газовых
законов (Бойля – Мариотта, Шарля, Гей – Люссака) и представляется в
виде уравнения Клапейрона – Менделеева p = ρRT , где R = R0 / μ - газовая
постоянная,
определяемая
соотношением
универсальной
газовой
постоянной R0 и молярной массы μ данного газа. Это уравнение
37
состояния лежит в основе одной из моделей сплошных сред – модели
идеального совершенного газа.
Статическая сжимаемость твердых тел исследуется в сосудах
высокого давления посредством измерений создаваемых давлений p в
жидкости и объемной деформации θ образца, помещаемого в жидкость.
Основные полученные результаты по сжимаемости твердых тел в
статических
условиях
связаны
с
именем
Бриджмена,
экспериментально получил, что вплоть до давлений
который
p≤3
ГПа ,
сжимаемость твердых тел описывается уравнением
θ = − ap − bp 2 ,
(23)
где a и b – определяемые из опыта константы, соотносящиеся для
большинства твердых тел как
b / a ~ 10 −1 ( ГПа )−1 . С учетом такого
соотношения эмпирических констант a и b из (23) следует, что в
диапазоне давлений p ≤ 1 ГПа статическая сжимаемость твердых тел с
точностью до 10% описывается линейной зависимостью давления от
объемной деформации θ или от средней деформации ε :
p = −(1 / a )θ = − Kθ = −3 Kε ,
где K – модуль объемного сжатия, определяемый по опытным
данным. Последнее уравнение может быть представлено в виде уравнения
Бриджмена
σ = 3 Kε
(24)
и является одним из определяющих уравнений модели идеально
упругой среды.
Динамическая сжимаемость твердых тел исследуется путем
проведения ударно-волновых испытаний с помощью экспериментальных
38
методов физики взрыва и удара. Основным методом здесь является
создание в испытуемом образце плоской ударной волны (УВ) посредством
взрывного и ударного нагружения.
Экспериментально
получаемые
результаты
по
динамической
сжимаемости аппроксимируются, как правило, степенными зависимостями
вида
p = A[(ρ / ρ0 ) n − 1]
(25)
(ударная адиабата в форме Тэта).
Механическое
поведение
деформируемых
сред
связано
со
способностью индивидуальных частиц реагировать на изменение формы
посредством возникновения в них соответствующих напряжений и
характеризуется тензорным определяющим уравнением взаимосвязи
девиаторов
напряжений
и
деформаций.
Как
известно
из
теории
деформаций, каждому девиатору деформаций соответствует скалярная
величина,
интегрально
характеризующая
формоизменение
индивидуальных частиц материального континуума, – интенсивность деформаций
εi =
2
3T2 (Dε ) ,
3
где T2 (Dε ) – второй инвариант девиатора деформаций. Аналогично
каждому девиатору напряжений соответствует величина, обобщенно
характеризующая касательные напряжения в индивидуальной частице, –
интенсивность напряжений
σi =
2
3T2 (Dσ ) ,
2
39
где T2 (Dσ ) – второй инвариант девиатора напряжений. На основании
имеющегося
однозначного
соответствия
между
девиаторами
и
интенсивностями механическое поведение деформируемой среды может
быть охарактеризовано скалярным определяющим уравнением σi = σi (εi ) ,
в более общем случае принимающим вид зависимости интенсивности
напряжений от интенсивности деформаций εi , интенсивности скоростей
деформаций ε& i и температуры T :
σi = σi (εi ,ε& i , T ) .
(26)
8. Замкнутая система уравнений гидродинамики.
Общие принципы постановки задач. Выбор системы отсчета,
системы координат. Выбор модели сплошной среды. Составление
исходных уравнений. Начальные и граничные условия.
Общие принципы постановки задач.
Постановка задачи механики сплошных сред заключается в
составлении такой замкнутой системы уравнений и соотношений, которая
бы описывала движение и состояние деформируемых сред с учетом их
физико-механических свойств, внешних силовых, тепловых и других
факторов, и позволяла бы определить зависимости характеризующих
движение и состояние физических величин от координат и времени:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
u x i , t , v x i , t , ε ij x i , t , σ ij x i , t , ρ x i , t , T x i , t и т.п.
40
Постановка любой задачи МСС включает следующие пять этапов:
- выбор системы отсчета и сиcтемы координат, по отношению к
которым будет описываться движение материального континуума;
- выбор моделей сплошных сред для участвующих в исследуемом
процессе реальных деформируемых сред;
- составление системы исходных уравнений для выбранных моделей
и исследуемого процесса;
- выбор основных неизвестных характеристических функций и
переход к так называемой системе разрешающих уравнений;
- формулировка начальных и граничных условий для решаемой
задачи.
Кратко рассмотрим содержание каждого этапа постановки задачи.
Выбор системы отсчета и системы координат
В
большинстве
случаев
при
постановке
прикладных
задач
выбираются инерциальные системы отсчета, неподвижные относительно
земной поверхности. Как известно, выбор такой системы отсчета
позволяет использовать при математическом описании движения законы
механики Ньютона.
Выбор конкретного вида системы координат x i = x1 , x 2 , x 3
произволен и определяется прежде всего соображениями удобства и
простоты математического описания движения.
Выбор модели сплошной среды
41
Выбор модели сплошной среды для участвующей в исследуемом
процессе
реальной
деформируемой
на
анализе
особенностей
сопротивления деформируемой среды в отношении сопротивления
деформированию, на выделении основных факторов и игнорировании
второстепенных. Этап выбора модели заканчивается определением
конкретного
вида
соответствующих
физических
особенностям
соотношений,
ближе
физико-механического
всего
поведения
реальной деформируемой среды.
Составление системы исходных уравнений
Система исходных уравнений - это замкнутая система уравнений и
соотношений, которая полностью описывает движение и состояние
деформируемых сред с учетом их физико-механических свойств. В самом
общем виде система исходных уравнений имеет следующий вид:
dρ
+ ρ∇ i v i = 0 ,
dt
dvi
= Fi + ∇ i σ ij ,
dt
(28)
dE
= σ ij ε& ij − ∇ i q i ,
dt
(29)
du i
= vi ,
dt
(30)
ρ
ρ
(27)
ε& ij =
(
)
1
∇ i v j + ∇ j vi ,
2
42
(31)
ε& ij =
(
)
1
∇ i u j + ∇ j ui + ∇ i u k ∇ j u k ,
2
(
(32)
)
σ ij = σ ij ε ij , ε& ij , T ,
(33)
Система исходных уравнений в обязательном порядке включает
основные общие для всех сплошных сред дифференциальные уравнения
механики, выражающие фундаментальные законы сохранения массы (27)
импульса (28) энергии (29), а также общие для всех сред кинематические
соотношения (30) и (31) и геометрические соотношения (32). Индивидуальные особенности рассматриваемой деформируемой среды в
отношении
оказания
сопротивления
деформированию
учитываются
физическими соотношениями (33), обязательно включаемыми в систему
исходных уравнений согласно выбранной модели сплошной среды.
Выбор основных неизвестных и переход к системе разрешающих
уравнений
Система
уравнений
и
разрешающих
уравнений
соотношений,
содержащая
-
это
замкнутая
минимальное
система
количество
взаимонезависимых искомых функций и получающаяся исключением
остальных неизвестных функций из уравнений исходной системы.
При рассмотрении системы исходных уравнений (27) – (33)
нетрудно заметить, что она может быть преобразована с исключением
некоторых неизвестных функций.
43
Подобный процесс преобразования системы исходных уравнений
сопровождается уменьшением количества искомых функций и уравнений,
а по существу, соответствует получению из общих уравнений механики их
частного вида и построению замкнутой системы уравнений, описывающей
движение и состояние сплошной среды с определенными физикомеханическими свойствами (идеальной или вязкой жидкости, упругой или
упругопластической среды и т.д.).
В математическом отношении система разрешающих уравнений
представляет собой систему дифференциальных уравнений в частных
производных и конечных функциональных уравнений.
Начальные и граничные условия
Неотъемлемым и важнейшим элементом постановки любой задачи
МСС является формулировка начальных и граничных условий. Их
значение определяется тем, что та или иная система разрешающих
уравнений
описывает
целый
класс
движений
соответствующей
деформируемой среды, и лишь задание отвечающих исследуемому
процессу начальных и граничных условий позволяет выделить из этого
класса представляющий интерес частный случай, соответствующий
решаемой практической задаче.
Начальные условия - это условия, которыми задаются значения
искомых характеристических функций в момент начала рассмотрения
исследуемого процесса. Количество задаваемых начальных условий
определяется количеством основных неизвестных функций, входящих в
систему разрешающих уравнений, а также порядком входящей в эту
систему высшей производной по времени.
44
Более сложным и разнообразным образом при постановке задач
МСС задаются граничные условия. Граничные условия - это условия,
которыми задаются значения искомых функций (или их производных по
координатам и времени) на поверхности
S
области, занимаемой
деформируемой средой. Различают граничные условия нескольких типов:
кинематические, динамические, смешанные и, обычно выделяемые в
отдельную группу, температурные граничные условия.
Кинематические граничные условия соответствуют случаю, когда на
( )
поверхности S тела (или ее части) задаются перемещения u x Si , t или
( )
скорости v x Si , t , где
x Si = x Si (t ) координаты точек поверхности
S,
изменяющиеся в общем случае в зависимости от времени.
Динамические граничные условия (или граничные условия в
напряжениях)
задаются,
когда
на
поверхности
S
действуют
поверхностные силы p . Как следует из теории напряжений, в этом случае
на любой элементарной площадке поверхности с единичной нормалью n
вектор удельной поверхностной силы pn принудительно задает вектор
полного напряжения σ n ≡ pn действующий в сплошной среде в точке на
данном участке поверхности, что приводит к взаимосвязи тензора
напряжений (σ) в этой точке с поверхностной силой и ориентацией n
соответствующего участка поверхности (σ ) ⋅ n = pn или σ ij n j = p ni .
Смешанные граничные условия соответствуют случаю, когда на
поверхности S задаются значения и кинематических, и динамических
величин или устанавливаются взаимосвязи между ними.
Температурные граничные условия подразделяются на несколько
групп. Граничные условия первого рода задают на поверхности S
деформируемой среды определенные значения температуры T . Условия
45
второго рода задают на границе вектор теплового потока q , что с учетом
закона теплопроводности Фурье q = −λgradT , по существу, налагает
ограничения на характер температурного распределения в окрестности
граничной
точки
q i = −λ∇ i T .
Граничные
условия
третьего
рода
устанавливают зависимость между вектором теплового потока д,
направленным к данной среде со стороны окружающей среды, и
температурным перепадом между этими средами и т.д.
В итоге система исходных уравнений, составляемая при постановке
задач механики идеальной жидкости или газа, имеет следующий вид:
dρ
+ ρ∇i υi = 0 ,
dt
ρ
dυi
= Fi + ∇ α σiα = Fi + g jα∇ α σij ,
dt
ρ
dE ij
σ ε& ij − ∇i q i ,
dt
ε& ij =
(
)
1
∇i υ j + ∇ j υi ,
2
σij = − pgij ,
p = p(ρ, E ) или p = p(ρ, T ) ,
q i = −λq ij ∇ jT .
9. Течения в идеальной жидкости.
В результате проведенных преобразований уравнений исходной
46
системы образуются системы разрешающих уравнений для возможных
частных случаев течений идеальной среды.
Так, адиабатическое течение идеальной жидкости или идеального
газа ( ∇ i q i = 0 , или коэффициент теплопроводности λ = 0 ), как правило
реализующееся во взрывных и ударных процессах, описывается системой
уравнений
dρ
+ ρ∇ i υi = 0 ,
dt
ρ
dυ i
= Fi − ∇ i p,
dt
(34)
dE
p dρ
,
= 2
dt ρ dt
p = p(ρ, E ) ,
содержащей пять дифференциальных уравнений, выражающих
основные законы сохранения (одно уравнение неразрывности – закон
сохранения массы, три уравнения Эйлера – закон сохранения количества
движения, одно уравнение энергии – первое начало термодинамики) и
уравнение состояния в калорической форме. Система уравнений (34)
является замкнутой и содержит шесть неизвестных характеристических
функций: три компоненты вектора скорости υ , давление p , плотность ρ и
удельную внутреннюю энергию E .
Система
разрешающих
уравнений
адиабатического
течения
идеальной среды может быть еще более сокращена для более простых
частных случаев модели идеальной среды. Например, для идеальной
баротропной среды с уравнением состояния в виде p = p(ρ, E ) = p(ρ )
уравнение энергии является изолированным от остальных уравнений
47
системы (34) и может не включаться в систему разрешающих уравнений,
которая в этом случае будет содержать пять уравнений:
dρ
+ ρ∇ i υi = 0,
dt
ρ
dυ i
= Fi − ∇ i p,
dt
(35)
p = p(ρ ),
где пять неизвестных – υi , p, ρ . Еще более простой вид система
разрешающих уравнений приобретает для идеальной несжимаемой среды
ρ = ρ0 = const ,
сводясь
к
четырем
дифференциальным
уравнениям
неразрывности и движения:
∇ i υi = 0,
(36)
ρ0
dυi
= F − ∇ i p,
dt
где четыре неизвестных – υi , p .
Аналогичным образом может быть получена система разрешающих
уравнений,
описывающая
течение
идеальной
среды
при
наличии
теплообмена ее частиц между собой посредством теплопроводности.
10. Вязкость.
Вязкость представляет собой свойство жидкости сопротивляться
сдвигу (скольжению) ее слоев. Это свойство проявляется в том, что в
48
жидкости
при
определенных
условиях
возникают
касательные
напряжения. Вязкость есть свойство, противоположное текучести: более
вязкие жидкости (глицерин, смазочные масла и др.) являются менее
текучими, и наоборот.
При течении вязкой жидкости вдоль твердой стенки происходит
торможение потока, обусловленное вязкостью (рис. 2). Скорость υ
уменьшается по мере уменьшения расстояния y от стенки вплоть до υ = 0
при
y = 0,
а
сопровождающееся
между
слоями
происходит
возникновением
касательных
проскальзывание,
напряжений
(на-
пряжений трения).
y
V+dV
V
Рис. 2. Профиль скоростей при течении вязкой жидкости вдоль
стенки.
Согласно гипотезе, высказанной впервые Ньютоном в 1686 г., а
затем экспериментально обоснованной проф. Н. П. Петровым в 1883 г.,
касательное напряжение в жидкости зависит от ее рода и характера
течения и при слоистом течении изменяется прямо пропорционально так
называемому поперечному градиенту скорости. Таким образом
τ = μdυ / dy ,
49
(37)
где (μ – коэффициент пропорциональности, получивший название
динамической
вязкости
жидкости;
dυ
–
приращение
скорости,
соответствующее приращению координаты dy (см. рис. 2).
Поперечный градиент скорости dυ / dy определяет изменение скорости, приходящееся на единицу длины в направлении нормали к стенке и,
следовательно, характеризует интенсивность сдвига жидкости в данной
точке (точнее dυ / dy – это модуль градиента скорости; сам градиент –
вектор).
Из закона трения, выражаемого уравнением (37), следует, что
напряжения трения возможны только в движущейся жидкости, т. е.
вязкость жидкости проявляется лишь при ее течении. В покоящейся
жидкости касательные напряжения считается равными нулю.
При постоянстве касательного напряжения по поверхности S полная
касательная сила (сила трения), действующая по этой поверхности
T = μ(dυ / dy )S
(38)
Наряду с динамической вязкостью μ применяют кинематическую
ν = μ/ρ.
(39)
Вязкость капельных жидкостей зависит от температуры и уменьшается с увеличением последней. Вязкость газов, наоборот, с увеличением
температуры возрастает. Объясняется это различием природы вязкости в
жидкостях и газах. В жидкостях молекулы расположены гораздо ближе
друг к другу, чем в газах, и вязкость вызывается силами молекулярного
сцепления. Эти силы с увеличением температуры уменьшаются, поэтому
вязкость падает. В газах же вязкость обусловлена, главным образом,
беспорядочным
движением
молекул,
50
интенсивность
которого
увеличивается с повышением температуры. Поэтому вязкость газов с
увеличением температуры возрастает.
Влияние температуры на вязкость жидкостей можно оценить
формулой
μ = μ 0e −β(T −T0 ) ,
(40)
где μ и μ 0 – вязкости при температуре T и T0 ; β – коэффициент,
значение которого для масел, например, изменяется в пределах 0,02 − 0,03 .
Вязкость жидкостей зависит также от давления, однако эта
зависимость существенно проявляется лишь при относительно больших
изменениях давления (в несколько десятков Мпа ). С увеличением
давления вязкость большинства жидкостей возрастает, что может быть
оценено формулой
μ = μeα ( p − p0 ) ,
(41)
где μ и μ 0 – вязкости при давлении p и p0 ; α – коэффициент,
значение которого для минеральных масел изменяется в пределах
0,02 − 0,03 (нижний предел соответствует высоким температурам, а
верхний – низким).
11. Турбулентность. Число Рейнольдса.
Турбулентным называется течение, сопровождающееся интенсивным перемешиванием жидкости и пульсациями скоростей и давлений.
Движение отдельных частиц оказывается подобным хаотическому,
51
беспорядочному движению молекул газа. При турбулентном течении
векторы скоростей имеют не только осевые, но и нормальные к оси русла
составляющие, поэтому наряду с основным продольным перемещением
жидкости
вдоль
русла
происходят
поперечные
перемещения
(перемешивание) и вращательное движение отдельных объемов жидкости.
Этим и объясняются пульсации скоростей и давления.
Режим течения данной жидкости в данной трубе изменяется
примерно при определенной средней по сечению скорости течения υкр ,
которую называют критической. Как показывают опыты, значение этой
скорости прямо пропорционально кинематической вязкости ν и обратно
пропорционально диаметру d трубы, т. е.
υкр = kv / d .
Входящий в эту формулу безразмерный коэффициент пропорциональности k одинаков для всех жидкостей и газов, а также для любых
диаметров труб. Это означает, что изменение режима течения происходит
при определенном соотношении между скоростью, диаметром и вязкостью
v:
k = υ кр d / v.
Полученное безразмерное число называется критическим числом
Рейнольдса и обозначается
Re кр = υкр d / v.
Этот результат согласуется с изложенной ниже теорией гидродинамического подобия, и вполне закономерно, что именно число
Рейнольдса является критерием, определяющим режим течения в трубах.
Как показывают опыты, для труб круглого сечения Re кр ≈ 2300 .
52
Таким образом, критерий подобия Рейнольдса позволяет судить о
режиме течения жидкости в трубе. При Re < Re кр течение является
ламинарным, при Re < Re кр – турбулентным. Точнее говоря, вполне
развитое турбулентное течение в трубах устанавливается лишь при
Re ≈ 4000 , а при Re ≈ 2300 ÷ 4000 имеет место переходная, критическая
область.
Смена режима течения при достижении Re кр обусловлена тем, что
одно течение теряет устойчивость, а другое – приобретает. При Re < Re кр
ламинарное
течение
является
вполне
устойчивым:
всякого
рода
искусственная турбулязация потока и его возмущения (сотрясения трубы,
введение в поток колеблющегося тела и пр.) погашаются влиянием
вязкости и ламинарное течение восстанавливается. Турбулентное течение
при этом неустойчиво. При Re > Re кр , наоборот, турбулентное течение
устойчиво, а ламинарное – неустойчиво.
12. Закон подобия.
Геометрическое, кинематическое, динамическое подобие.
Этап изучения зависимости интересующей величины от системы
выбранных определяющих факторов может выполняться двумя путями:
аналитическим и экспериментальным. Первый путь применим лишь для
ограниченного числа задач и при том обычно лишь для упрощенных
моделей явлений.
Другой путь, экспериментальный, в принципе может учесть многие
факторы, но он требует научно обоснованной постановки опытов,
планирования эксперимента, ограничения его объема необходимым
53
минимумом и систематизации результатов опытов. При этом должно быть
обосновано моделирование явлений.
Эти задачи позволяет решать так называемая теория подобия, т. е.
подобия потоков несжимаемой жидкости.
Гидродинамическое подобие складывается из трех составляющих:
геометрического подобия, кинематического и динамического.
Геометрическое подобие как известно из геометрии, представляет
собой
пропорциональность
сходственных
размеров
и
равенство
соответствующих углов. Под геометрическим подобием понимают
подобие тех поверхностей, которые ограничивают потоки, т. е. подобие
русел (или каналов).
Отношение двух сходственных размеров подобных русел назовем
линейным масштабом и обозначим через k L . Эта величина одинакова
(idem) для подобных русел I и II, т. е.
k L = LI / LII = idem .
Кинематическое подобие означает пропорциональность местных
скоростей в сходственных точках и равенство углов, характеризующих
направление этих скоростей:
υ yI
υ
υI
υ
= xI =
= zI = k υ = idem,
υ II υ xII υ yII υ zII
где k υ – масштаб скоростей, одинаковый при кинематическом
подобии.
Так как υ = L / T , k υ = k L / kT (где T –
времени).
54
время, kT –
масштаб
Из кинематического подобия вытекает геометрическое подобие
линий тока. Очевидно, что для кинематического подобия требуется
геометрическое подобие русел.
Динамическое подобие – это пропорциональность сил, действующих
на сходственные объемы в кинематически подобных потоках и равенство
углов, характеризующих направление этих сил.
В потоках жидкостей обычно действуют разные силы: силы давления, вязкости (трения), тяжести и др. Соблюдение их пропорциональности означает полное гидродинамическое подобие. Осуществление
на практике полного гидродинамического подобия оказывается весьма
затруднительным, поэтому обычно имеют дело с частичным (неполным)
подобием, при котором соблюдается пропорциональность лишь основных,
главных сил.
13. Звуковые волны.
Звуковое давление. Колебательная скорость.
Звуковыми
или
акустическими
волнами
называются
волны,
существование которых обусловлено упругими силами, возникающими
при деформировании среды. Бесконечно малыми принято называть
возмущения, для которых с высокой степенью точности справедлив
принцип
суперпозиции.
В
классической
акустике
изучалось
распространение именно таких возмущений. Согласно современной
классификации эти вопросы составляют предмет линейной акустики. В
приближении линейной акустики скорость распространения любого
возмущения не зависит от величины этого возмущения.
55
Звуковая волна сжатия и разрежения характеризуется рядом
изменяющихся во времени и пространстве параметров. Это – амплитуда
избыточного, или звукового давления p ′ = p − p0 , где p — давление в
возмущенной среде, а p0 – среднее или равновесное давление. Другой
величиной, характеризующей звук, является колебательная скорость
частиц жидкости или газа υ . Колебательная скорость в большинстве
рассматриваемых в акустике задач значительно меньше скорости
распространения возмущений. Звуковая волна сопровождается также
отклонением плотности ρ′ = ρ − ρ 0 от ее равновесного значения ρ 0 .
Подставляя выражения p = p0 + p′ , ρ = ρ 0 + ρ′ и υ в уравнения
гидродинамики ~ p′ 2 , p ′ 2 , υ 2 и выше, получим
1
∂υ
∂ρ′
= − ∇p ′ ,
+ ρ 0 divυ = 0,
∂t
ρ0
∂t
p′ =
p
dp
ρ′ = γ 0 ρ′ = c 2ρ′.
dρ
ρ0
(42)
В акустике идеальных газов и жидкостей rotυ = 0 , и поэтому можно
ввести скалярный потенциал скорости
υ = ∇ϕ . Тогда первые два
уравнения (42) запишутся в виде
∂ρ′ / ∂t + ρ 0∇ 2 ϕ = 0,
p′′ = −ρ 0 ∂ϕ / ∂t ,
(43)
откуда, принимая во внимание третье уравнение (42), находится волновое уравнение для потенциала скоростей:
∂ 2 ϕ / ∂t 2 − c 2∇ 2 ϕ = 0,
где
по
(42)
c = γp0 / ρ 0 .
Волновому
уравнению
(44)
вида
удовлетворяют также и другие акустические величины p ′ , υ и ρ′ .
56
(44)
Простейшим видом волнового движения является плоская волна:
возмущение среды в этом случае одномерно, и волновое уравнение
принимает вид
∂ 2 ϕ / ∂t 2 − c 2 ∂ 2 ϕ / ∂x 2 = 0.
(45)
Его решение представляет собой две плоские волны произвольного
вида, распространяющиеся в положительном и отрицательном направлениях:
ϕ = ψ1 ( x − ct ) + ψ 2 ( x + ct ).
(46)
Для энергетической характеристики звукового поля плоской волны
вводят понятие интенсивности звука I
(средняя плотность потока
звуковой энергии), которая дается формулой
I = p0′ 2 / 2ρ 0 c = cρ 0 υ02 / 2,
или, используя эффективные значения p′эфф =
(47)
p′ 2 , υ эфф = υ 2 ,
2
I = p′эфф
/ ρ 0 c = cρ 0 υ 2эфф ,
(48)
где чертой сверху обозначено среднее значение за период T .
Поскольку скорость звука c определяется структурой среды и
взаимодействием между молекулами, измерение c дает существенные
сведения о равновесной структуре газов или жидкостей. Измерения c
представляют собой важный метод определения термодинамических
величин – адиабатической (β ад = (∂ρ / ∂p )s / ρ = 1 / ρc 2 ) и изотермической
(βиз = γβ ад )
сжимаемостей (в последнем случае при дополнительном
измерении теплоемкости при постоянном объеме cV ).
По мере распространения звуковой волны амплитуда ее уменьшается. Для плоской бегущей волны убыль ее амплитуды из-за процессов
57
диссипации характеризуется коэффициентом поглощения α , который
показывает, на каком расстоянии амплитуда волны (например, звуковое
давление p ′ ) убывает в e раз, т. е.
p ′ = p 0′ exp(− αx ).
(49)
Относительная убыль амплитуды на единицу расстояния будет
α = − p ′ −1dp ′ / dx
(50)
(амплитудный пространственный коэффициент поглощения). Величина α может быть определена также как убыль энергии волны,
распространяющейся со скоростью c за единицу времени:
−1
α = E& ⋅ (2cE ) = E& ⋅ (2 I )−1 ,
(51)
где E& – плотность энергии волны, поглощаемой за единицу времени, E = ρυ02 / 2 – полная энергия звуковой волны, усредненная за период
времени T ; двойка в знаменателе (51) появляется из-за квадратичной
зависимости энергии от амплитуды.
Для того чтобы определить, от каких параметров среды и волны
зависит коэффициент поглощения α , следует учесть все диссипативные
процессы, происходящие при распространении звука в среде. При учете
вязкости и теплопроводности в волновое уравнение (44) должен быть
добавлен диссипативный член. Для его нахождения используется
уравнения гидродинамики вязкой теплопроводящей жидкости.
Эти уравнения будут
η
∂υ
1
1 ⎛
1 ⎞
= − ∇p + ∇ 2 υ + ⎜ η′ + η ⎟∇∇υ,
ρ0
ρ0 ⎝
∂t
ρ0
3 ⎠
∂ρ
∂s
+ ρ 0 divυ = 0, ρ 0T0
= ℵ∇T ′,
dt
∂t
58
(52)
⎛ ∂p ⎞
⎛ ∂p ⎞
⎛ ∂p ⎞
p ′ = ⎜⎜ ⎟⎟ ρ′ + ⎜ ⎟ s ′ = c 2 ρ′ + ⎜ ⎟ s ′.
⎝ ∂s ⎠ ρ
⎝ ∂s ⎠ ρ
⎝ ∂ρ ⎠ s
Два последних уравнения можно свести к одному уравнению для p ′ ,
в которое, кроме члена
c 2ρ′ , войдет также член, определяемый
теплопроводностью ℵ . T ′ = (∂T / ∂p )s p ′, где T = T0 + T ′ , и, принимая во
внимание уравнение (43) и то, что υ = ∇ϕ , согласно третьему уравнению
системы (52), для изменения (приращения) энтропии S ′ получается
соотношение
S′ = −
ℵ ⎛ ∂T ⎞
⎜
⎟ divυ .
T ⎜⎝ ∂p ⎟⎠ s
(53)
При подстановке S ′ в четвертое уравнение системы (52) появится
необходимость вычислить коэффициент T −1 (∂p / ∂s )ρ (∂T / ∂p )s .
вычисления
пользуются
некоторыми
ношениями,
справедливыми
для
Для его
термодинамическими
идеального
газа.
Так,
соот-
используя
уравнение состояния для идеального газа pV = RTm / μ , можно вычислить
(∂p / ∂s )ρ = μ −1ρR(∂T / ∂s )ρ = ρRT / CV μ
(∂s / ∂T )ρ = CV T −1 ).
(здесь
использовано
равенство
С другой стороны, как известно из термодинамики,
(∂T / ∂p )s
= T (∂V / ∂T ) p / C p
(∂T / ∂p )s
= TRm / C p pμ . Используя эти соотношения, для p ′ (четвертое
и
так
как
(∂V / ∂T ) p
= Rm / pμ ,
то
уравнение системы (52) с учетом равенства Rm / μ = C p − CV )выражение
(
)
p ′ = c 2 ρ′ − ℵ 1 / CV − 1 / C p divυ .
(54)
Использование соотношений идеальной среды возможно лишь при
малом влиянии вязкости и теплопроводности на распространение звука, т.
59
е. когда поглощение звука на расстоянии, равном длине волны λ , мало и
aλ ≤ 1. В большом числе акустических задач это условие выполняется.
Пользуясь полученным выражением (55) и считая по-прежнему, что
rotυ = 0 , можно показать, что уравнение Навье – Стокса примет вид
ρ 0 ∂υ / ∂t = −c 2 ∇ρ′ + b∇ 2 υ ,
(55)
где
(
)
b = 4 η + η′ + ℵ 1 / CV − 1 / C p .
3
(56)
Из уравнений (52), (55) получается уравнение, которое для потенциала скорости записывается в виде
∂ 2ϕ
∂t 2
− c 2∇ 2 ϕ −
b ∂ 2
∇ ϕ = 0.
ρ 0 ∂t
(57)
Это волновое уравнение описывает распространение волн бесконечно малой амплитуды в среде с диссипацией, но без учета дисперсии;
диссипативный коэффициент b считается здесь не зависящим от частоты.
В случае плоской гармонической волны и решении этого уравнения
в виде ϕ = ϕ 0 exp[i(ωt − kx )] , при подстановке этого значения в (57),
получается для волнового числа k следующее выражение:
k=
ω ⎛⎜
bω ⎞⎟
.
1− i
c ⎜⎝
2ρ 0 c 3 ⎟⎠
Полагая k = k1 − ik 2 и принимая во внимание, что
exp[i(ωt − kx )] = exp(iωt ) exp(− ikx ) ,
exp(− ikx ) = exp(− ik1 x ) exp(− k 2 x ) .
60
(58)
приходим к выводу, что величина k 2 , или мнимая часть волнового
числа k , представляет собой коэффициент поглощения волны. Таким
образом, получаем для волны, бегущей в положительном направлении x ,
⎛ bω 2
p ′ = p 0′ exp⎜ −
⎜ 2ρ c 3
0
⎝
⎞
x ⎟ exp[i(ωt − kx )] ,
⎟
⎠
(59)
т. е. амплитуда звукового давления p ′ для плоской волны убывает с
расстоянием x в соответствии с коэффициентом поглощения
α=
bω 2
2 ρ0c 2
=
ω 2 ⎡4
⎛ 1
1 ⎞⎟⎤
⎢ η + η ′ + ℵ⎜
⎥.
−
⎜ CV C p ⎟⎥
2 ρ 0 c 3 ⎢⎣ 3
⎠⎦
⎝
(60)
Коэффициент поглощения пропорционален квадрату частоты звука и
диссипативным коэффициентам η , η′ и ℵ . Впервые эта формула была
получена Стоксом без учета теплопроводности ℵ , влияние которой затем
учел Кирхгоф. Хотя Стокс и понимал роль и значение объемной вязкости
η′ , тем не менее включение ее в (54) впервые было сделано, по-видимому,
только Рэлеем. Поэтому обычно формулой Стокса – Кирхгофа называют
формулу для α без учета η′ :
α=
ω 2 ⎡4
⎛ 1
1 ⎞⎟⎤
⎢ η + ℵ⎜
⎥.
−
⎜ CV C p ⎟⎥
2 ρ 0 c 3 ⎢⎣ 3
⎠⎦
⎝
(61)
Выражение для α получено на основе волнового уравнения (57). Это
же выражение для α можно получить другим путем. Для этого следует
воспользоваться известными термодинамическими соотношениями – для
приращения температуры T ′ в звуковой волне, распространяющейся в
жидкости
со
скоростью
скорость υ : T ′ = βcυT / C p
(здесь
с
и
имеющей
β = (∂V / ∂T ) p / V
–
колебательную
коэффициент
теплового расширения), и выражением для разности теплоемкостей
61
C p − CV = T 2β cυT / C p .
В
случае
плоской
гармонической
волны
( υ = υ 0 sin (ωt − kx ) ) E& = −T0 s легко находится, и поскольку E = ρυ 02 / 2 , то
с помощью третьего уравнения (52), используя определение коэффициента
поглощения (51), получают формулу (60).
При взгляде на формулу (60) или (61) возникает вопрос: как
получается, что при распространении плоской звуковой волны, когда,
казалось бы, сдвиговые напряжения отсутствуют, проявляется сдвиговая
вязкость? Дело здесь заключается в том, что в плоской акустической волне
нет чистой деформации всестороннего сжатия. Сжатие происходит только
по одной координате, вследствие чего отдельные элементы среды, кроме
сжатия, испытывают еще и сдвиги. В результате и получается, что в
компоненту тензора вязких напряжений σ′xx , которая определяет α в
случае
(
плоской
)
продольной
волны
входит
сдвиговая
вязкость
σ′xx = 4 η + η′ ∂υ / ∂x .
3
14. Ударные волны.
Ударная адиабата. Решение волновых уравнений. Эффект Доплера.
Ударная волна (скачок уплотнения) есть распространяющаяся со
сверхзвуковой
скоростью
тонкая
переходная
область,
в
которой
происходит резкое увеличение плотности, давления и скорости вещества.
Хотя ударная волна представляется в виде бесконечно тонкого разрыва,
однако в действительности вследствие диссипации энергии ударный фронт
в твердых телах имеет некую конечную пространственную структуру,
62
которая в определении ударной волны названа "тонкой переходной областью". Очевидно, что толщина фронта ударной волны должна иметь
порядок длины свободного пробега элементарных частиц: согласно
оценкам толщина фронта ударной волны в твердом теле измеряется
величинами порядка 10-9 м. При решении большинства практических задач
столь малой толщиной ударного фронта можно пренебречь и с большой
точностью заменить фронт ударной волны поверхностью разрыва, при
прохождении через которую параметры среды изменяются скачком
(отсюда название "скачок уплотнения").
Ударная волна характеризуется следующими свойствами:
— скорость распространения ударной волны больше скорости звука
в невозмущенной среде;
— на фронте ударной волны параметры состояния и движения среды
изменяются скачкообразно;
— ударная волна сопровождается перемещением частиц среды в
направлении фронта волны;
—
скорость
распространения
ударной
волны
зависит
от
интенсивности возмущений;
— при образовании ударной волны энтропия среды возрастает.
Наиболее
простой
моделью
твердого
тела,
позволяющей
рассчитывать параметры ударных волн, является гидродинамическое
приближение.
При
этом
состояние
материала
описывается
тремя
скалярными величинами – плотностью, давлением и температурой, а также
вектором скорости. Тогда в объеме, занятом твердым деформируемым
телом, выполняются законы сохранения массы, импульса и энергии,
записанные в гидродинамическом приближении. В подвижной системе
63
координат, связанной с движущимся плоским фронтом ударной волны, эти
законы записываются в форме элементарных соотношений:
p + ρυ2 = p0 + ρ0 υ02 ;
ρυ = ρ 0 υ0 ;
где ρ , υ , p и E – плотность, скорость, давление и удельная
внутренняя энергия среды за фронтом ударной волны, ρ 0 , υ0 , p0 и E0 – те
же параметры среды перед ударным фронтом (в начальном, не
подверженном ударному сжатию, состоянии).
Если обозначить скорость ударной волны через D , удельный объем
через V = 1 / ρ и считать, что среда перед фронтом ударной волны
находится в покое. В результате перехода от системы координат,
связанной с движущимся ударным фронтом, к неподвижной (эйлеровой)
системе координат, относительно которой фронт ударной волны движется
со скоростью D , можно получить соотношения Ренкина – Гюгонио,
которые связывают параметры на обеих сторонах ударного фронта с его
скоростью и являются следствием полученных выше законов сохранения
массы, импульса и энергии:
D 2 = V02
υ=
p − p0
=
ρ0 D
E − E0 =
64
p − p0
;
V0 − V
( p − p0 )(V0 − V );
1
( p + p0 )(V0 − V ).
2
(62)
(63)
(64)
Рис. 3. Адиабата ударного сжатия, или адиабата Гюгонио
(кривая 1), пересекающие ее адиабаты Пуассона (кривые 3)
и линия Рэлея (прямая 2)
Уравнение (64) определяет единственную кривую в плоскости ( p,V )
(рис. 3), которая является геометрическим местом точек всех
( p − V )–
состояний, достижимых с помощью одной ударной волны из заданного начального состояния ( p0 − V0 ) , если известны термодинамические свойства
вещества, т.е. функция E = E ( p,V ) , называемая уравнением состояния. В
этом случае из уравнения (64) следует зависимость конечного давления p1
от конечного объема V1 при ударном сжатии вещества из данного
начального
состояния
( p0 − V0 )
и
называется
ударной
адиабатой
(адиабатой ударного сжатия), в отличие от обычных адиабат неударного
сжатия.
Для заданной скорости ударной волны D уравнение (62) определяет
в плоскости ( p,V ) прямую линию (см. рис. 3) с наклоном (ρ0 D )2 , которая
является геометрическим местом всех допустимых
( p − V ) –состояний,
соответствующих этой скорости ударной волны. Она называется линией
Рэлея, и ее пересечение с ударной адиабатой определяет конечное со-
65
стояние за фронтом ударной волны, соответствующее также закону
сохранения энергии.
В частном случае (в рамках гидродинамического приближения)
можно воспользоваться уравнением состояния совершенного газа
E=
pV
,
k −1
(65)
где k – показатель политропы. Используя приведенное соотношение
для совершенного газа, можно записать ударную адиабату (84) в форме
p (k + 1)V0 − (k − 1)V
=
,
p0 (k + 1)V − (k − 1)V0
(66)
которая выражает закон сохранения энергии на фронте ударной
волны и в таком виде называется адиабатой Гюгонио. Ударная адиабата
(66)
принципиально
отличается
от
обычной
адиабаты
(адиабаты
Пуассона), которая имеет вид
k
p ⎛ V0 ⎞
=⎜ ⎟ .
p0 ⎝ V ⎠
(67)
Из уравнения (66) следует, что плотность газа не увеличивается
беспредельно при
p → ∞ , а стремится к предельному значению
ρ / ρ 0 = V0 / V = (k + 1) / (k − 1) . Это отличает ударное (66) сжатие от
адиабатического (67), так как при обычном адиабатическом сжатии
возрастание плотности с увеличением давления не ограничено. Адиабата
(
)
Пуассона (67), проведенная через точку p y ,V y , проходит между линией
Рэлея и адиабатой Гюгонио (см. рис. 3). Отсюда следует неравенство
c + υ > D > c ( c и c0 – скорости звука в среде за фронтом и перед фронтом
ударной волны), выражающее тот факт, что ударные волны являются
66
сверхзвуковыми относительно среды впереди них и дозвуковыми
относительно вещества за ними.
Отметим, что при ударном сжатии вещества необходимо большее
изменение давления p , чем при адиабатическом сжатии (см., например,
пересечение ординаты V y с адиабатой Пуассона и адиабатой Гюгонио на
рис. 3). Это является следствием необратимости нагревания при ударном
сжатии, что связано с переходом в теплоту кинетической энергии потока,
набегающего на фронт ударной волны.
Из уравнения (64) следует, что изменение внутренней энергии на
фронте ударной волны равно площади, расположенной ниже линии Рэлея,
в то время как изменение кинетической энергии υ 2 / 2 в соответствии с
уравнением (63) равно площади, расположенной ниже линии Рэлея, но
выше абсциссы p0 . Для сильных волн, когда p ≥ p0 , обе составляющие
энергии приблизительно равны.
Ударная адиабата (64) имеет графическое отображение в плоскости
различных пар переменных, входящих в уравнения (62)-(64):
( p,V ) ⇒ u = u 0 + ( p − p0 )(V0 − V ),
D = u0 + V0
( p − p0 ) / (V0 − V );
( p, u ) ⇒ V = V0 − (u − u0 )2 / ( p − p0 ),
D = u 0 + V0 ( p − p0 ) / (u − u 0 );
( p, D ) ⇒ V = V0 [1 − V0 ( p − p0 ) / (D − u0 )2 ],
u = u0 + V0 ( p − p0 ) / (D − u 0 );
(V , u ) ⇒ p = p0 + (u − u0 )2 / (V0 − V ),
67
D = u0 + V0 (u − u0 ) / (V − V0 ) ;
(V , D ) ⇒ p = p0 + (V0 − V )(D − u 0 )2 / V02 ,
u = u 0 + (V0 − V )(D − u 0 ) / V0 ;
(D, u ) ⇒ V = V0 (D − u ) / (D − u0 ),
p = p0 + (D − u0 )(u − u0 ) / V0 .
Решение волнового уравнения с плоскими волнами.
Рассмотрим сначала случай движений газа c плоскими волнами,
когда потенциал ϕ зависит только от одной координаты x и от времени t .
В этом случае волновое уравнение принимает следующую простую форму:
∂ 2ϕ 1 ∂ 2ϕ
.
=
∂x 2 a02 ∂t 2
Легко видеть, что общее решение этого уравнения имеет вид
ϕ( x, t ) = f1 ( x − a0t ) + f 2 ( x + a0 t ) = f1 (ξ ) + f 2 (η) ,
(68)
где f1 (ξ ), f 2 (η) – произвольные дважды дифференцируемые функции
своих аргументов
ξ = x − a0 t и η = x + a0 t .
(69)
Действительно, в результате дифференцирования (69) будем иметь
∂ 2ϕ
∂x
∂ 2ϕ
∂t
2
2
= f1' ' (ξ ) + f 2' ' (η) ,
[
]
= a02 f1' ' (ξ ) + f 2' ' (η) .
Отсюда непосредственно видно, что (69) удовлетворяет уравнению
(68) при произвольных функциях f1 и f 2 . Вид которых при решении
конкретных задач необходимо определять из дополнительных условий.
68
Распространение возмущений от источника, движущегося вдоль
прямой с постоянной дозвуковой скоростью. Эффект Доплера.
Остановимся сначала на изучении поля возмущений от источника,
движущегося в бесконечной массе жидкости вдоль прямой с постоянной
дозвуковой скоростью U 0 < a0 . Пусть в некоторый начальный момент t01
источник находится в точке M 1 , с координатой x01 , все возмущения от
него в этот момент времени также сосредоточены в этой же точке M 1 .
Возьмем некоторый другой момент времени t = t02 > t01 . Источник за
промежуток времени t02 − t01 продвинется на расстояние (t 02 − t 01 )U 0 и попадет в точку M 2 с координатой x02 . Возмущения от источника,
находившегося в момент t 01 в точке M 1 , за время t 02 − t 01 распространятся
до поверхности сферы радиуса r1 = (t 02 − t 01 )a0 c центром в точке M 1 , и
обгонят источник (r1 > M 1 M 2 = x02 − x01 ) .
Отметим
следующие
особенности
рассматриваемой
картины
распространения возмущений от источника, движущегося вдоль прямой с
дозвуковой скоростью. Во-первых, возмущения от источника обгоняют
сам источник, и он движется по уже возмущенной среде; среда перед
источником возмущена. Во-вторых, возмущения, посланные источником
из его предыдущих положений, всегда обгоняют возмущения, посланные
69
из его последующих положений, и если источник двигался бесконечно
долго, то вся среда перед и за источником возмущена.
В-третьих, картина распространения возмущений от подвижного
источника, в противоположность картине распространения возмущений от
неподвижного
источника,
несимметрична;
очевидно,
что
впереди
источника звук имеет большую частоту, чем за ним. Последнее
обстоятельство объясняет так называемый эффект Допплера, который
заключается в том, что наблюдатель I, стоящий впереди приближающегося
подвижного источника звука, слышит звук более высокого тона, чем
наблюдатель
Аналогично
II,
стоящий
подвижный,
позади
удаляющегося
удаляющийся
от
Земли
источника
звука.
источник
света
(например, звезда) дает отклонения в сторону красных спектральных
линий, соответствующих световым волнам большей длины, в то время как
приближающийся к Земле подвижный источник света дает отклонения в
сторону фиолетовой части спектра, соответствующей более коротким световым волнам. По величине отклонения спектральных линий можно
определить величину скорости движения звезды относительно Земли.
15. Сверхзвуковые течения.
Конус Маха. Особенности сверхзвуковых течений.
Изучим теперь картину распространения возмущений от источника,
движущегося вдоль прямой со сверхзвуковой скоростью
U 0 > a0 (рис. 4).
Пусть, как и в первом случае, источник в момент времени t 01 находится в
точке M 1 с координатой x01 . В момент времени t = t02 > t01 источник будет
70
находиться
в
точке
M2
с
координатой
x02 = x01 + U 0 (t 02 − t 01 ) .
Возмущения от источника, расположенного в момент t 01 в точке M 1 , в
момент
Рис. 4. Распространение возмущений от источника, движущегося с
постоянной сверхзвуковой скоростью.
времени t02 достигнут поверхности сферы радиуса r1 = a0 (t 02 − t 01 ) с
центром в точке M1 . В силу того, что U 0 > a0 , путь, пройденный
источником за время t 02 − t 01 , будет больше r1 .
Возмущения, посланные источником в моменты времени t0 ,
большие t 01 и меньшие t02 , в момент t02
достигнут, очевидно,
поверхностей соответствующих сфер радиусов r = (t 02 − t 0 )a 0 , t 01 < t 0 < t 02
с центрами в точках M ( x0 )( x01 < x0 < x02 ) , и все эти возмущения будут
оставаться позади источника.
Таким
образом,
среда
впереди
источника,
движущегося
со
сверхзвуковой скоростью, остается невозмущенной; наблюдатель А,
стоящий впереди движущегося со сверхзвуковой скоростью источника, «не
знает», что к нему приближается источник возмущений; он не может
слышать звуковых сигналов, посылаемых движущимся со сверхзвуковой
скоростью
различие
источником.
между
Таким
образом,
распространением
имеется
возмущений
движущихся со сверхзвуковой и дозвуковой скоростями.
71
фундаментальное
от
источников,
Очевидно, что все возмущения от источника, начавшего двигаться с
постоянной сверхзвуковой скоростью бесконечно давно, в произвольный
момент времени t02 будут заключены внутри кругового конуса, вершина
которого находится в точке M 2 , а боковая поверхность является
огибающей сфер радиусов r = a0 (t 02 − t 0 ) , где t 0 ≤ t 02 . Этот конус,
отделяющий возмущенную область от невозмущенной, называется
конусом Маха. Синус α – половины угла раствора конуса Маха – равен
обратной величине числа Маха M = U 0 / a0 . Действительно,
sin α =
a
r1
1
= 0 =
.
M 1M 2 U 0 M
Этот угол α называется углом Маха. Заметим, что если сверхзвуковое движение источника началось, например, в момент t 01 , то в
момент t02 все возмущения от источника будут расположены внутри
области, ограниченной частью поверхности конуса Маха L и частью
сферы S радиуса r1 = a0 (t 02 − t 01 ) c центром в точке M 1 .
На поверхности L конуса Маха сопрягаются два решения волнового
уравнения, соответствующие состоянию покоя, ϕ = 0 , и состоянию
возмущенного
сопряжения
движения,
решений
с
ϕ = ϕ( x, y , z , t ) .
различными
Подобные
аналитическими
поверхности
свойствами
называются характеристическими поверхностями уравнений с частными
производными. Характеристическая поверхность является в общем случае
поверхностью разрыва возмущений; в рамках рассматриваемой теории эта
поверхность будет поверхностью, на которой разрывы скорости, давления
и других аналогичных параметров потока невелики. В пределе такие
поверхности соответствуют слабым разрывам, на которых искомые
функции непрерывны, но их производные по координатам, вообще,
72
терпят
разрыв.
Очевидно,
что
скорость
распространения
характеристической поверхности (конуса Маха) по неподвижной среде,
нормальная к ее поверхности, точно равна скорости звука.
Распространение сигналов в сверхзвуковых потоках.
Если на течение, изображенное на рис. 4, наложить постоянное поле
скоростей – U 0 , то среда, заполняющая все пространство, будет двигаться
с постоянной сверхзвуковой скоростью U 0 вдоль отрицательной оси x , а
источник возмущений будет покоиться. Возмущения от источника,
расположенного в точке M 2 , в сверхзвуковом потоке будут сказываться
только внутри поверхности конуса Маха с вершиной в точке M 2 ,
расширяющегося вниз по потоку, а перед этим конусом Маха будет иметь
место поступательное невозмущенное движение среды с постоянной
скоростью U 0 . Параметры движения среды в произвольной точке
сверхзвукового
потока
могут
изменяться
только
от
возмущений,
возникающих в точках, лежащих внутри поверхности конуса Маха с
вершиной в рассматриваемой точке и расширяющегося вверх по потоку.
Газодинамическая картина обтекания тела высокоскоростным
потоком.
Течения с большими числами Маха ( M ∞ = V∞ a , a – скорость звука)
в
отличие
от
дозвуковых
течений
сопровождаются
газодинамических и физико-химических эффектов.
73
рядом
Первые приводят к тому, что при обтекании затупленного тела
образуется ударная волна, которая отходит от тела, оставаясь в
окрестности лобовой точки практически эквидистантной.
Распределение давления вдоль поверхности тела при больших M ∞
зависит от конкретного значения числа Маха.
Физико-химические эффекты обусловлены ростом температуры,
ударной волной. При этом происходит переход кинетической энергии
набегающего потока в тепловую, возбуждаются колебательные степени
свободы молекул газа, начинается его диссоциация и даже ионизация.
Целесообразно выделить два характерных предельных варианта:
течение в окрестности точки торможения затупленного тела и обтекание
плоской пластины.
В первом случае интенсивность теплообмена очень велика, скорость
обтекания, давление и трение сильно изменяются вдоль поверхности, при
этом течение в пограничном слое остается ламинарным. Помимо
конвективного теплообмена при больших скоростях полета (свыше 8 км/с)
важную роль играет излучение сжатого слоя газов.
Во втором случае скорость обтекания поверхности постоянна,
изменения вдоль пластины достаточно малы, хотя возможен переход от
ламинарного режима течения к турбулентному, сопровождающийся
изменениями теплового потока и трения. Решения, полученные для
плоской пластины, могут быть приближенно использованы для расчета
нагрева боковых поверхностей крыла или корпуса или корпуса ракеты,
лопаток газовых турбин, стенок камеры сгорания, расширяющейся части
сопла, а также во всех других случаях с малыми ускорениями потока.
74
Список литературы
1.
Седов Л.И. Механика сплошной среды. В 2 т. М.: Наука, 1973.
Т.1. 535 с.
2.
Бабкин А.В., Селиванов В.В. Прикладная механика сплошных
сред. В 3 т. М.: МГТУ, 1998. Т.1. 367 с.
3.
Башта Т.М., Руднев С.С. и др. Гидравлика, гидромашины и
гидроприводы. М.; Машиностроение, 1982. 423 с.
4.
Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Гос.
изд. ф–н лит–ры, 1962, 284 с.
75