2 2010 ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ ÓÄÊ 517 Ð. Â. Äàëëàêÿí Î íóëÿõ ôóíêöèé êëàññîâ X¸1 (Ïðåäñòàâëåíî àêàäåìèêîì Â.Ñ. Çàõàðÿíîì 19/I 2010) Êëþ÷åâûå ñëîâà: ïîðÿäîê ôóíêöèè ¸, êëàññû X¸1 , íåðàâåíñòâî Éåíñåíà, ïðîèçâåäåíèÿ Ì. Ì. Äæðáàøÿíà Ïóñòü D – åäèíè÷íûé êðóã íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, H( D) – ìíîæåñòâî âñåõ ãîëîìîðôíûõ â D ôóíêöèé. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ¸ – ìîíîòîííî ðàñòóùàÿ, íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ íà [1 ; +1) . Ñ ôóíêöèåé ¸ ñâÿæåì êëàññ ½ · µ ¶¸ ¾ 1 1 X¸ = f 2 H( D) ; jf( z) j · exp Cf ¢ ¸ ; z2D : 1 ¡ jzj Åñëè f 2 H( D) , òî ñèìâîë Zf , êàê îáû÷íî, áóäåò îçíà÷àòü ìíîæåñòâî íóëåé f â D. Óãëîì Øòîëüöà áóäåì íàçûâàòü óãîë ðàñòâîðà ìåíüøå ¼, c âåðøèíîé íà îêðóæíîñòè, áèññåêòðèñà êîòîðîãî ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð êðóãà. Ì.Ì. Äæðáàøÿíîì â [1] äîêàçàíî, ÷òî åñëè ¸( t) = ln t, f 2 X¸1 , f 6´ 0 è Zf íàõîäèòñÿ â íåêîòîðîì óãëå Øòîëüöà, òî X ( 1 ¡ j»j) < +1: (1 ) »2Zf  [2] óñòàíîâëåíî, ÷òî åñëè Zf íå íàõîäèòñÿ â óãëàõ Øòîëüöà, òî äëÿ ¸( t) , ¸( t) " +1, ( t ! +1) ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ f 2 X¸1 , f 6´ 0 , òàêàÿ, ÷òî ðÿä (1) ðàñõîäèòñÿ. Õåéìàíîì è Êîðåíáëþìîì â [3] äîêàçàíî, ÷òî åñëè J= Z1 µ 1 ¸( t) t3 ¶1=2 1 1 3 dt < +1; òî äëÿ âñåõ f , f 2 X¸1 , f 6´ 0 , íóëè êîòîðîãî íàõîäÿòñÿ â óãëå Øòîëüöà, óñëîâèå (1) âûïîëíÿåòñÿ. Åñëè æå J = +1, òî òàêîå óòâåðæäåíèå ìîæåò è íå èìåòü ìåñòà. Ïîðÿäêîì ôóíêöèè ¸ áóäåì íàçûâàòü ñëåäóþùèé ïðåäåë: x¸0 ( x) ®¸ = lim . Ïðè 1 < ®¸ < +1 ïîëíàÿ õàðàêòåðèñòèêà íóëåé ôóíêöèé x!1 ¸( x) êëàññà X¸1 ïîëó÷åíà Ô. À. Øàìîÿíîì â [4]. Ïðè ®¸ = 1 è J = +1 îäèí âàæíûé ðåçóëüòàò (íî íå ïîëíàÿ õàðàêòåðèñòèêà íóëåé êëàññà X¸1 ) ïîëó÷åí â ðàáîòå [5].  íàñòîÿùåé ðàáîòå òàêæå èññëåäóþòñÿ íóëè ôóíêöèé êëàññîâ X¸1 , êîãäà ®¸ êîíå÷íà. Íî ñíà÷àëà äîêàçûâàåòñÿ òåîðåìà, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì íåðàâåíñòâà Éåíñåíà. Îòìåòèì, ÷òî çäåñü ®¸ ìîæåò áûòü êàê áåñêîíå÷íûì, òàê è ëþáûì ïîëîæèòåëüíûì ÷èñëîì. µ ¶ 1 Òåîðåìà 1. Ïóñòü k( r) = ¸ – íåîòðèöàòåëüíàÿ, ìîíîòîííî 1 ¡r k 0 ( r) ðàñòóùàÿ, äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ íà [0 ; 1 ) è òàêæå ÿâëÿåòñÿ k( r) ìîíîòîííî ðàñòóùåé ôóíêöèåé. Òîãäà, åñëè f 2 Xk1 , f 6´ 0 , òî n( r) · c o n s t ¢k 0 ( r) ; (2 ) ãäå n( t) – ÷èñëî íóëåé ôóíêöèè f â êðóãå jzj · t. Çàìå÷àíèå. Êîãäà ®¸ êîíå÷íî è ïîëîæèòåëüíî, òî (2) ìîæíî íàïèñàòü è â ñëåäóþùåé ôîðìå: k( r) : (3 ) 1 ¡r Ïðè 1 < ®¸ < +1 òàêîé ðåçóëüòàò ïîëó÷åí è â [4]. Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè f 2 X¸1 , f 6´ 0 , òî èç íåðàâåíñòâà Éåíñåíà èìååì n( r) · c o n s t ¢ Zr n( t) dt · c o n s t ¢¸ t 0 µ 1 1 ¡r ¶ ; 0 <r<1 : Îòñþäà ñëåäóåò âåðíîñòü ñëåäóþùåãî íåðàâåíñòâà: Zx+" n( t) dt · c o n s t ¢¸ t x µ 1 1 ¡ ( x + ") ¶ ; 0 <x <x+"<1 : À èç ïîñëåäíåãî ñëåäóåò, ÷òî ¸ n( x) · c o n s t ¢ in f ">0 Íî òàê êàê " > 1 ¡ e¡" , òî ïîëó÷àåì ³ ´ 1 ¸ 1¡(x+") n( x) · c o n s t ¢ in f ; ">0 " 1 1 4 ³ 1 1¡(x+") " ´ : 0 <x<x+"<1 : (4 ) Ïóñòü Ã( x) = ln ¸ µ ¶ 1 , òîãäà (4) ïðèìåò âèä: 1 ¡x eÃ(x+") ; ">0 1 ¡ e¡" n( x) · c o n s t ¢ in f 0 <x <x+"<1 : (5 ) Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî íàïèñàííàÿ â (5) íèæíÿÿ ãðàíü äîñòèãàåòñÿ â òîé òî÷êå "x , ãäå âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî: ¶ µ 1 : (6 ) "x = ln 1 + 0 à ( x + "x ) Èç (5), èñïîëüçóÿ (6), ïîëó÷àåì n( x) · c o n s t ¢ Íî 1 ¡ e¡"x = 1 1 + à 0 ( x + "x ) > eÃ(x+"x ) : 1 ¡ e¡"x 1 à 0 ( x + "x ) (7 ) , ñëåäîâàòåëüíî èç (7) èìååì n( x) · c o n s t ¢Ã 0( x + "x ) ¢ eÃ(x+"x ) : (8 ) Ïîëüçóÿñü (6) è òåîðåìîé î ñðåäíåì, ìîæåì íàïèñàòü · ¸ à 00 ( ») 0 0 à ( x + "x ) = e xp ln à ( x) + "x ¢ 0 = à ( ») µ ¶¸ · 1 Ã00( ») 0 ln 1 + 0 · = e xp ln à ( x) + 0 à ( ») ¸ à ( x + "x ) · Ã00( ») · e xp ln Ã0 ( x) + 0 ; 0 < x < " < x + "x < 1 : à ( ») À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî à 0( x + "x ) · c o n s t ¢Ã0 ( x) : (9 ) Èç òåîðåìû î ñðåäíåì, èñïîëüçóÿ (6), òàêæå èìååì e xp Ã( x + "x ) = ( e xp· Ã( x) ) ¢ e xp ( "xµÃ0 ( ») ) · ¶¸ 1 0 · ( e xp Ã( x) ) ¢ e xp à ( x + "x ) ¢ ln 1 + 0 = à ( x + "x ) µ ¶Ã0 (»+"x ) 1 · c o n s t ¢eÃ(x) : = eÃ(x) ¢ 1 + 0 à ( » + "x ) Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èëè e xp Ã( x + "x ) · c o n s t ¢ e xp Ã( x) : Èç (8), ïîëüçóÿñü (9) è (10), ïîëó÷àåì n( x) · c o n s t ¢Ã 0( x) ¢ eÃ(x) : 1 1 5 (1 0 ) Îòêóäà, èñïîëüçóÿ âèä ôóíêöèè Ã, ïîëó÷àåì µ ¶ µ µ ¶¶0 1 1 n( x) · c o n s t ¢¸ ¢ ln ¸ : 1 ¡x 1 ¡x Çíà÷èò, óòâåðæäåíèå òåîðåìû âåðíî. 1 Òåîðåìà 2. Ïóñòü k( r) = ¸( ) , r 2 [0 ; 1 ) , – íåîòðèöàòåëüíàÿ, ìîíîòîííî 1 ¡r ðàñòóùàÿ, äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ êîíå÷íîãî ïîðÿäêà ®¸ . Òîãäà, åñëè f 2 X¸1 , f 6´ 0 è fzk g ÿâëÿþòñÿ íóëÿìè ýòîé ôóíêöèè, òî äëÿ ëþáîãî s, s > 1 , è äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà m âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùåå óñëîâèå: 1 X k=1 ãäå ln k( jzn j) ¢ m¡1 Q j=0 1 ¡ jzk j ³ ´ ³ 1 ln j 1¡jz ¢ ln kj m ³ 1 1¡jzk j ´´s < +1; (1 1 ) x = ln ( ln j¡1 x) , j ¸ 2 , ln 0 x = 1 , ln 1 x = ln x. È îáðàòíî, åñëè äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà m è äëÿ íåêîòîðîãî ÷èñëà s, s > 1 , âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (11), òî ñóùåñòâóþò f , f 6´ 0 èç êëàññà X¸1 è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fzk0 g, òàêàÿ, ÷òî jzk0 j = jzk j è f( zk0 ) = 0 . Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïåðâîé ÷àñòè òåîðåìû çàìåòèì, ÷òî j 1 X k=1 = k( jzk j) ¢ Z1 0 k( t) ¢ m¡1 Q j=1 m¡1 Q j=1 1 ¡ jzk j ³ ´³ 1 ln j 1¡jzk j ln ln j 1 ¡t ¡ 1 ¢¡ 1¡t ln m ¡ m ³ 1 1¡t 1 1¡jzk j ¢¢s ´´s = (1 2 ) dn( t) : Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì è ïîëüçóÿñü ðåçóëüòàòîì ñëåäñòâèÿ òåîðåìû 1, íåòðóäíî äîêàçàòü ñõîäèìîñòü ïîñëåäíåãî èíòåãðàëà. Îòêóäà è ñëåäóåò, ÷òî ïåðâàÿ ÷àñòü òåîðåìû äàêàçàíà. Òåïåðü äîêàæåì îáðàòíîå. Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà m è äëÿ íåêîòîðîãî s, s > 1 , âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (11). Òîãäà èç (12) ñëåäóåò, k( t) ÷òî ìîæåì âçÿòü n( t) = . Ì.Ì. Äæðáàøÿíîì [1, 6] ââåäåíî ñëåäóþùåå 1 ¡t áåñêîíå÷íîå ïðîèçâåäåíèå: ¯ ¯3 2 ¯ 1 Z¼ ½eiµ ¯ µ ¶ 2 ® Z 1 ( 1 ¡ ½ ) ln ¯1 ¡ zk ¯ Y z 2 ( ®+1 ) 5 ; z 2 D; ¼® ( z; zk ) = 1 ¡ ¢ e xp 4¡ ¡iµ ) ®+2 z ¼ ( 1 ¡ z½e k k=1 0 ¡¼ ïðè÷åì óñòàíîâëåíî, ÷òî îíî ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ âíóòðè êðóãà D, åñëè èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå óñëîâèå: 1 X ( 1 ¡ jzk j) k=1 1 1 6 ®+2 < +1: (1 3 )  ýòèõ ðàáîòàõ îñîáî îòìå÷åíî, ÷òî ïðè öåëûõ ®, ® = p ïðîèçâåäåíèå ¼p ( z; zk ) ïðèíèìàåò âèä " p ¶ µ ¶j+1# 1 µ X 1 Y 1 ¡ jzn j2 1 ¡ jzn j2 1 ¡ ¢ e xp : ¼p ( z; zk ) = 1 ¡ z j + 1 1 ¡ z z nz n j=0 k=1 Êàê è â [4], ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ñëåäóþùèå ïðÿìîóãîëüíèêè: ¾ ½ 1 1 ¼l ¼( l + 1 ) ; ¢ k;l = z; 1 ¡ k < jzj · 1 ¡ k+1 ; k < a r g z · 2 2 2 2 k  êðóãå jzj · 1 ¡ 2 îöåíêó 1 ¡2 k+1 k ·l·2 k ¡1 ; (1 4 ) h = 1 ;2 ;::: äëÿ êîëè÷åñòâà òî÷åê zk áóäåì èìåòü ñëåäóþùóþ µ n 1 ¡ 2 1 k+1 ¶ ·2 k+1 ¢ ¸( 2 k+1 ): (1 5 ) ¢ ¸( 2 k ) : (1 6 ) Òàê êàê ¸ – ôóíêöèÿ êîíå÷íîãî ïîðÿäêà, ¸( 2 k+1 ) = ¸( 2 ¢ 2 k ) · c o n s t ¢2 Ó÷èòûâàÿ ýòîò ôàêò, èç (15) ïîëó÷àåì µ ¶ 1 n 1 ¡ k+1 · c o n s t ¢2 2 k k ¢ ¸( 2 k ) : Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìîæíî âûáðàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fzk0 g òàêóþ, ÷òî jzk0 j = jzk j, à àðãóìåíòû òî÷åê zk0 òàêèå, ÷òî âî âñåõ ïðÿìîóãîëüíèêàõ (14) êîëè÷åñòâî òî÷åê zk0 íå ïðåâûøàåò c o n s t ¢¸( 2 k ) . Òîãäà âûáðàííàÿ íàìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fzk0 g òàêàÿ, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà m è äëÿ íåêîòîðîãî ÷èñëà s, s > 1 , èìååò ìåñòî (12) è êîëè÷åñòâî òî÷åê zk0 â êàæäîì èç ïðÿìîóãîëüíèêîâ ¢ k;l íå ïðåâîñõîäèò c o n s t ¢¸( 2 k ) . Òåïåðü ðàññìîòðèì ïðîèçâåäåíèå Ì.Ì. Äæðáàøÿíà, íóëÿìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ âûáðàííûå íàìè òî÷êè zk0 .  [4] (ñ. 416) äîêàçàíî, ÷òî åñëè 0 < ®¸ < +1 è fzk0 g ½ D ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê, ÷èñëî êîòîðûõ â êàæäîì ïðÿìîóãîëüíèêå íå ïðåâîñõîäèò c o n s t ¢¸( 2 k ) , òî ïðîèçâåäåíèå ¼®( z; zn ) ïðèíàäëåæèò êëàññó X¸1 äëÿ âñåõ ® > ®¸ + 1 . Òàêèì îáðàçîì, âòîðàÿ ÷àñòü òåîðåìû òîæå äîêàçàíà. Ïðÿìûì ñëåäñòâèåì ýòîé òåîðåìû ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå µ ¶ óòâåðæäåíèå. µ ¶ 1 1 Òåîðåìà 3. Ïóñòü K( r) = ¸ è K1 ( r) = ¸1 – äâå 1 ¡r 1 ¡r íåîòðèöàòåëüíûå, ìîíîòîííî ðàñòóùèå, äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè K( r) êîíå÷íîãî ïîðÿäêà íà [0 ; 1 ) . Òîãäà, åñëè lim = +1, òî ñóùåñòâóåò r!1 K1 ( r) 1 1 7 1 1 ôóíêöèÿ f , f 6´ 0 , f 2 XK , òàêàÿ, ÷òî êàæäàÿ ôóíêöèÿ g , g 2 XK , èìåþùàÿ òå 1 æå íóëè, ÷òî è f , òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ. Äîêàçàòåëüñòâî.  êà÷åñòâå ôóíêöèè f áóäåì áðàòü ïîñòðîåííîå íàìè ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 2 ïðîèçâåäåíèå Ì.Ì. Äæðáàøÿíà. Çàìåòèì, ÷òî K( r) ìû áðàëè n( r) = . Íî èç ñëåäñòâèÿ òåîðåìû 1 ñëåäóåò, ÷òî íè îäíà 1 ¡r 1 ôóíêöèÿ g èç êëàññà XK1 , çà èñêëþ÷åíèåì g ´ 0 , íå ìîæåò èìåòü ñòîëüêî íóëåé â êðóãå jzj · r. Òåîðåìà äîêàçàíà. Çàìåòèì, ÷òî êîãäà m = 1 , òåîðåìà 1 ïðèíèìàåò äîâîëüíî ïðîñòîé âèä, óäîáíûé äëÿ ïðèìåíåíèÿ, òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå (11) ïðèìåò âèä 1 X k=1 1 ¡ jzn j < +1; 1 K( jzn j) ¢ ln s 1¡jz j n s>1 : (1 7 ) r 2 ( 0 ;1 ) : (1 8 ) Ïóñòü, êàê è â [5], Zr à ¡ 1 ¢ !1=2 ¸ 1¡t J( r) = dt; 1 ¡t 0 Òîãäà ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: µ ¶ 1 Òåîðåìà 4. Ïóñòü K( r) = ¸ , r 2 [0 ; 1 ) , íåîòðèöàòåëüíàÿ, ìîíîòîííî 1 ¡r ðàñòóùàÿ, äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ êîíå÷íîãî è îòëè÷íîãî îò íóëÿ ïîðÿäêà. Òîãäà ñóùåñòâóåò f , f 2 X¸1 , f 6´ 0 , f( zk ) = 0 , òàêàÿ, ÷òî êàæäàÿ ôóíêöèÿ g , g 2 X¸1 , äëÿ êîòîðîé g( jzk j) = 0 , òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðè 1 < ®¸ < +1 òàêîé ïðèìåð ïðèâåäåí â [4]. Ïóñòü ®¸ = 1 è J = +1. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fzk g òàêàÿ, ÷òî ðÿä (16) ñõîäèòñÿ è 1 X k=1 ( J( jzn j) ) 2 ¢ m¡1 Q j=0 1 ¡ jzk j = +1; ln j ( J( jzn j) ) ¢ ( ln m J( jzn j) ) a>1 : a  êà÷åñòâå f âîçüìåì ïîñòðîåííîå íàìè ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 2 ïðîèçâåäåíèå Ì.Ì. Äæðáàøÿíà. Èç ðåçóëüòàòà [5] ñëåäóåò, ÷òî ëþáàÿ ôóíêöèÿ g, g 2 X¸1 , äëÿ êîòîðîé g( jzk j) = 0 , òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ. Òåïåðü ïóñòü I < +1. Òîãäà ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fzk g òàêàÿ, ÷òî ðÿä (16) ñõîäèòñÿ, à ðÿä (1) ðàñõîäèòñÿ. Êàê è âûøå, â êà÷åñòâå f áóäåì áðàòü ïðîèçâåäåíèå Ì.Ì. Äæðáàøÿíà, ïîñòðîåííîå â òåîðåìå 2. Òîãäà, åñëè g 2 X¸1 , g( jzk j) = 0 , òî g( z) ´ 0 . Òåîðåìà äîêàçàíà. Ãîñóäàðñòâåííûé èíæåíåðíûé óíèâåðñèòåò Àðìåíèè 1 1 8 Ð. Â. Äàëëàêÿí Î íóëÿõ ôóíêöèé êëàññîâ X¸1 Ïîëó÷åíà õàðàêòåðèñòèêà íóëåé ôóíêöèé êëàññà X¸1 , êîãäà ¸ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé êîíå÷íîãî ïîðÿäêà, è êàê ñëåäñòâèå ïðèâåäåíà îäíà òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè äëÿ ýòèõ êëàññîâ. è. ì. ¸³ÉɳùÛ³Ý X¸1 -¹³ëÇ ½ñáÝ»ñÇ Ù³ëÇÝ îñí³Í ¿ X¸1 ¹³ë»ñÇ µÝáõó·ÇñÁ, áñï»Õ ¸-Ý í»ñç³íáñ ϳñ·Ç ýáõÝÏódz ¿, »õ áñå»ë Ñ»ï»õ³Ýù µ»ñí³Í ¿ Ù»Ï Ã»áñ»Ù ³Û¹ ¹³ë»ñáõÙ ÙdzÏáõÃÛ³Ý Ù³ëÇÝ: R. V. Dallakyan About the Zeros of X¸1 Classes The characteristic of the zeros of X¸1 classes is given in the word, where ¸ is a function of bounded order and as a consequence it is given a theorem of the unity for these classes. Ëèòåðàòóðà 1. Äæðáàøÿí Ì.Ì. - Ñîîáù. Èí-òà ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè ÀÍ ÀðìÑÑÐ. 1948. Âûï. 2. Ñ. 3-55. 2. Bagemihl F., Erdos P., Seidel W. - Ann. Sci. Ecole Norm. 1953. Sup. 3. V. 70. P. 135-147. 3. Hayman W.K., Korenblum B. - Michigan Math. J. 1980. V. 27. P. 21-304. 4. Øàìîÿí Ô.À. - Èçâ. ÀÍ ÀðìÑÑÐ. Ìàòåìàòèêà. 1987. Ò. 13. N 5-6. Ñ. 405422. 5. Äàëëàêÿí Ð. Â. - ÄÀÍ ÀðìÑÑÐ. 1988. Ò. 87. N 3. Ñ. 99-103. 6. Äæðáàøÿí Ì.Ì. - ÄÀÍ ÀðìÑÑÐ. 1945. Ò. 3. N 1. Ñ. 3-9. 1 1 9