ЛЕКЦИЯ 13. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. НЕПРЕРЫВНЫЕ И

ЛЕКЦИЯ 13. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. НЕПРЕРЫВНЫЕ И ДИСКРЕТНЫЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.
§1 Дискретная случайная величина (ДСВ).
Случайной называют величину, которая в результате испытания принимает одно и
только одно, значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые
заранее не могут быть учтены.
Случайная величина характеризуется прежде всего множеством принимаемых
значений. Если случайная величина принимает отдельные, изолированные возможные
значения с определенными вероятностями, то она называется дискретной.
Помимо множества принимаемых значений случайная величина характеризуется законом
распределения, ставящим в соответствие принимаемым ею значениям их вероятности.
Если случайная величина дискретна и принимает конечное множество значений, то ее закон
распределения задается таблицей распределения:
xi
x1
x2
…
xk
…
Xn
Pi
P1
P2
…
Pk
…
n
n
где
 Pi  1
.
i 1
Если дискретная случайная величина может принимать бесконечное множество значений, то
ее распределение задается формулой. Например, дискретная случайная величина,
распределенная по закону Пуассона, задается формулой
где a - параметр распределения Пуассона, n=0,1,2… . Заметим, что
Каждому случайному событию A , вероятность которого равна р, может быть поставлена в
соответствие так называемая характеристическая величина, которая принимает значение 1,
если событие A наступает, и значение 0 если событие A не наступает.
Закон распределения характеристической случайной величины имеет вид:
xi
1
0
Pi
p
q
Примером дискретной случайной величины является также биномиальное распределение,
представляющее собой число m наступления события A в n независимых испытаниях.
Таблица распределения:
xi
Pi
0
1
2
3
…
n
…
Распределение называется биномиальным потому, что все вероятности из таблицы
получаются как последовательные члены разложения бинома (q+p)n, а так как p+q=1, то
2
§2. Числовые характеристики ДСВ.
Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется
сумма произведений значений случайной величины на их вероятности. Обозначается
математическое ожидание М(X).
Итак, M(X)   pi xi
( 1)
i
Пример 1. M(Х) характеристической случайной величины равно p
Действительно,
Пример 2.M(Х) биномиального распределения равно np. Доказательство.
так как при m=0 слагаемое под знаком суммы равно нулю. Преобразуем М(Хбин) следующим
образом:
Итак, M(Xбин)=np.
Пример 3. Найдем математическое ожидание случайной величины X, распределенной по
закону Пуассона.
Таким образом,
M(XПуас.)=a
Свойства математического ожидания
Свойство1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
M(C)=C.
Определение 1. Случайные величины называют независимыми, если закон
распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая
величина.
Определение 2. Суммой случайных величин X и Y называет случайную величину X+Y,
возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения X с каждым
возможным значением Y.
Свойство 2. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме
математических ожиданий
М(X+Y)=М(X)+М(Y).
Свойство 3. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно
произведению их математических ожиданий.
Для двух случайных величин свойство выглядит следующим образом:
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
3
Определение. Отклонением называют разность между случайной величиной и ее
математическим ожиданием. Отклонение имеет следующий закон распределения:
x-M(X)
x1-M(X)
x2-M(X)
p
…
Xn-M(X)
…
Математическое ожидание отклонения равно нулю. Действительно,
Определение. Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют
математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического
ожидания:
(2)
Дисперсия характеризует степень рассеивания значений случайной величины относительно
математического ожидания.
Свойства дисперсии.
Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.
Действительно,
D(C)=M[C-M(C)]2 = M(C-C)2 = M(0) =0
Свойство 2. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их
дисперсий
.
Свойство 3. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в
квадрат, то есть
Дисперсией, как характеристикой иногда неудобно пользоваться из-за ее размерности
(квадратные единицы). Поэтому наряду с дисперсией вводят характеристику среднеквадратическое отклонение
 ( Х )  D(X) .
Пример 1.Дисперсия биномиального закона D(X бин )  npq ,
как дисперсия суммы n характеристических величин.
При вычислении дисперсии удобно пользоваться не ее определением, а формулой:
(3)
Вычислим, пользуясь выведенной формулой, дисперсию распределения Пуассона.
;
=
Таким образом, для распределения Пуассона дисперсия равна
Определение. K-ым начальным моментом случайной величины называется
математическое ожидание K-ой степени этой величины:
4
Если случайная величина дискретна, то
Определение. K-ым центральным моментом случайной величины называется
математическое ожидание K-ой степени отклонения случайной величины от ее
математического ожидания:
, где
Если величина дискретна, то
Заметим, что
,
,
Центральные моменты легко выражается через начальные моменты. В частности,
, так как (X)=M(X2)-[M(X)]2
Остальные зависимости можно получить аналогично.
Центральный момент  3 используется для числового измерения асимметрии распределения.
Чтобы иметь дело с безразмерной характеристикой показатель асимметрии a s определяют
следующим образом:

as  3 .
3
В качестве характеристики большего или меньшего подъема графика по сравнению с
нормальной кривой распределения используют эксцесс ek :

ек  4  3 .
4
§3. Функция распределения случайной величины.
Функция распределения является характеристикой случайной величины, дающей
полную информацию о ней.
Функцией распределения F(x) случайной величины X называется определенная на всей
числовой оси (  ;   ) функция, которая при каждом x равна вероятности того, что
случайная величина примет значение, меньшее чем х:
.
(4)
Из определения следует, что
Построим график F(x) дискретной случайной величины X, заданной законом
распределения :
xi
-1
0
1
2
3
pi
0,1
0,2
0,3
0,2
0,2
5
Рис.1
Как видно из рис.1, функция распределения дискретной случайной величины
представляет собой ступенчатую линию с разрывами в точках принимаемых значений,
величина скачка в точке разрыва равна вероятности соответствующего значения. В точках
разрыва функция распределения непрерывна слева; функция неубывающая.
Действительно, т.к.
,
то имеем
или
То есть,
Таким образом, F(x)-неубывающая, так как большему значению аргумента
соответствует большее значение функции.
Заметим , что
(5)
§4. Непрерывная случайная величина (НСВ).
Плотность распределения вероятности НСВ.
Кроме дискретных случайных величин на практике приходятся иметь дело со
случайными величинами, значения которых сплошь заполняет некоторые отрезки или
интервалы.
Определение. Случайная величина X называется непрерывной, если существует такая
неотрицательная функция р(x) , что
Из определения следует, что если p(z) - непрерывна, то F'(x)=p(x) является
производной от функции распределения. Выясним смысл функции р(x), для чего рассмотрим
предел отношения вероятности попадания значения случайной величины в некоторый
интервал ( х , х  х ) к длине этого интервала х , когда х  0 :
6
По аналогии с определением плотности массы в точке целесообразно рассматривать
значение p(x) в точке x как плотность вероятности в этой точке.
Из дифференциального исчисления известно, что
Вероятностный смысл этого равенства таков: вероятность того, что случайная
величина примет значение, принадлежащее интервалу ( х , х  х ) ,приближенно равна
произведению плотности вероятности на длину интервала. Геометрически это означает, что
соответствующая вероятность приближенно равна площади прямоугольника с основанием
х и высотой р(х).
Рис.2
Точное значение данной вероятности мы получим как
, что геометрически
выражает площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у=0, х=x, х  х  х ,
y=p(x).
Итак,
.
Отметим, что
§5. Числовые характеристики НСВ.
Пусть непрерывная случайная величина X задана дифференциальной функцией
распределения p(x). Пусть всевозможные значения X принадлежат отрезку [a,b]. Разобьем
этот отрезок на n отрезков длиной х1 , х 2 ,...,х n и в каждом из них выберем произвольную
точку xi. Составим сумму произведений возможных значений xi на вероятности попадания их
в интервал хi , то есть p(xi) хi :
Переходя к пределу при max хi  0 , получим
Таким образом, математическим ожиданием непрерывной случайной величины X,
возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b] называется определенный интеграл:
7
Если возможные значения Х принадлежат всей числовой оси, то
(6)
Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание
квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, поэтому
(7)
Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины равно корню
квадратному из дисперсии, то есть:
Начальный и центральный K-ые моменты определяются соответственно:
Все свойства математического ожидания и дисперсии, рассмотренные для дискретного
распределения, имеют место и для непрерывного распределения.
Если распределение симметрично относительно начальной ординаты, то есть если p(x) —
четная, то M(X)=0, так как
Если ось симметрии кривой y=p(x) проходит через точку x=m, то M(X)=m.
Эти свойства полностью согласуются с механическим толкованием математического
ожидания как абсциссы центра тяжести. Поэтому математическое ожидание непрерывной
случайной величины можно находить с помощью известных из механики приемов
нахождения центра тяжести фигуры, ограниченной кривой у=р(x) и осью абсцисс, а
дисперсию находят как момент инерции той же фигуры относительно оси,
перпендикулярной к 0X и проходящей через точку, отвечающую математическому
ожиданию.
В качестве примера распределения ограниченной случайной величины рассмотрим
равномерное распределение случайной величины X на отрезке [a,b]. Здесь плотность
вероятности постоянна внутри промежутка [a,b], то есть р(x)=C при
, а при x<a и
x>b, р(х)=0.
Так как все возможные значения случайной величины принадлежат[a,b], то выполняются
равенства
то есть
Итак, для равномерного распределения
8
Часто встречаются случайные величины, не имеющие определенных границ для своих
значений.
Экспоненциальное распределение, для которого
обычно применяется для определения вероятностей безотказной работы (непоявления
внезапных отказов} технических систем. Параметр λ этого распределения в теории
надежности рассматривается как интенсивность отказов и имеет лишь положительные
значения, так как
§6. Интегральная функция распределения НСВ.
По определению имеем
Найдем интегральную функцию F(x) , если известна дифференциальная функция.
Для равномерного распределения
Следовательно, для
Для
Для
Таким образом,
Аналогично можно найти, что для показательного распределения
При описании непрерывного распределения часто используют так называемые квантили.
9
Квантилем, отвечающим заданному уровню вероятности р, называют такое значение x=xp,
при котором интегральная функция распределения принимает значение, равное р, то есть
F(xp)=Р.
Некоторые квантили получили особое название.
Медианой распределения называется квантиль, отвечающий значению р=1/2.
Соответственно нижним и верхним квартилями называют квантили, отвечающие значениям
р= 1/4 и Р= 3/4. Модой непрерывного распределения называют значение x, при котором р(x)
достигает максимума. Если р(х) имеет два максимума, то распределение называют
двумодальным и т.д.
§7. Нормальный закон распределения НСВ.
Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной
величины, которое описывается функцией
Определим математическое ожидание нормально распределенной случайной величины X.
Для вычисления полученного интеграла введем переменную
, отсюда
. Тогда
Первое слагаемое равно нулю, так как подынтегральная функция
интегрирования симметричны относительно точки z=0. Известно, что
нечетна и пределы
, следовательно,
Вычислим дисперсию нормально распределенной случайной величины введя ту же
переменную z:
Вычисляя
по частям, получим
где - среднее квадратическое отклонение.
График дифференциальной функции нормального распределения называется нормальной
кривой ( или кривой Гаусса) и имеет вид
10
Отметим, что данное распределение одномодальное,
, кривая симметрична
относительно прямой x=a, точки х=a- , а+ - точки перегиба. При изменении a кривая
сдвигается по оси 0X. При увеличении кривая становится более пологой, при уменьшении
- более крутой.
При a=0 и
=1 нормальную кривую
называют нормированной.
Вероятность попадания нормальной случайной величины
в заданный интервал.
Для вычисления вероятности попадания нормальной случайной величины Х в интервал
(  ;  ) воспользуемся равенством
(8)
В нашем случае
Следовательно,
Итак,
(9)
Вычисление вероятности заданного отклонения.
Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной
случайной величины X по абсолютной величине меньше заданного положительного числа 
, то есть
Заменим неравенство
или
.
равносильным ему двойным неравенством