Уравнение прямой Пусть даны точки A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ) x x y y2 Середина отрезка: 1 2 ; 1 . 2 2 Это концы средней линии трапеции, треугольника, точка пересечения диагоналей (если они делятся пополам). Длина отрезка: d AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 . Для определения вида фигуры (равносторонний, равнобедренный треугольник, квадрат и т.д.), нахождения элементов фигур, нахождение углов и т.д. 1)Уравнение прямой, проходящей через две точки A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ) Как мы знаем, через две различные точки можно провести одну и только одну прямую. Поэтому две заданные точки однозначно определяют прямую и должны позволить составить уравнение этой прямой. Пусть даны точки A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ) . Рассмотрим векторы AB ( x2 x1 , y2 y1 ) и AM ( x x1 , y y1 ) . Тогда точка М(х, у) лежит на прямой АВ в том и только том случае, когда векторы AB и AM коллинеарны (параллельны), т.е. когда x - x1 y - y1 = x2 - x1 y 2 - y1 Полученное уравнение и является уравнением прямой, проходящей через заданные точки А и В. Пример: A(2;3) B(1; 4) x (2) y 3 x 2 y 3 7( x 2) 3( y 3) 7 x 3 y 5 0 1 (2) 4 3 3 7 2) Уравнение прямой, проходящей через данную точку и имеющей заданный направляющий вектор. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, будем называть направляющим вектором этой прямой. Всякая прямая полностью определяется какой-нибудь своей точкой точкой А и направляющим вектором s . Действительно, через точку А можно провести бесконечно много различных прямых. Из этого множества прямых вектором s выделяется одна прямая, а именно та, для которой этот вектор является направляющим. Выведем уравнение прямой, проходящей через точку A( x1 ; y1 ) и имеющей заданный направляющий вектор c ( p, q) . Пусть М(х, у) – произвольная точка плоскости. Тогда точка М лежит на рассматриваемой прямой в том и только том случае, когда векторы AM ( x x1 , y y1 ) и c ( p, q) коллинеарны, т.е. x x1 y y1 p q Полученное уравнение и является искомым уравнением прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении. Угловой коэффициент прямой Рассмотрим две прямые, изображенные на рисунке. Положительный угол α, который прямая образует с положительным направлением оси Ох (если считать эту ось начальной стороной угла), называется углом наклона данной прямой к оси Ох (или короче, углом наклона прямой). При этом, очевидно, 0 180 . Если прямая параллельна оси Ох или совпадает с ней, то угол наклона этой прямой считается равным нулю. Если угол наклона прямой α является острым углом, то прямую можно называть восходящей прямой. Если же 90 180 , то можно говорить о нисходящей прямой. Вместо угла α наклона прямой к оси Ох значительно удобнее оказывается пользоваться тангенсом этого угла, т.е. величиной tan . Тангенс угла наклона прямой называется угловым коэффициентом прямой и обозначается буквой k. Если 0 90 , то k tan 0 , если 90 180 , то k tan 0 , если 0 , то k tan 0 . Таким образом, восходящая прямая имеет положительный угловой коэффициент, а нисходящая прямая – отрицательный угловой коэффициент. Если прямая задана своими двумя точками A( x1 ; y1 ) B( x2 ; y2 ) , то угловой коэффициент как для восходящей, так и для нисходящей прямой можно найти по формуле y y tan k 2 1 x2 x1 Пример: A(2; 3) B(1; 4) k 4 (3) 7 1 2 1 2 3 3 3) Уравнение прямой, проходящей через данную точку и имеющей заданный угловой коэффициент Отметим, что угловой коэффициент выделяет в точности одну прямую из всего множества прямых, проходящих через точку А. Поэтому точка и угловой коэффициент (или угол наклона) определяют прямую однозначно. Пусть М(х; у) – произвольная точка искомой прямой. Тогда, как мы уже знаем, угловой коэффициент k можно выразить через координаты двух точек прямой: y2 y1 x2 x1 А уравнение прямой, определенной точкой и угловым коэффициентом надо запомнить в виде y y1 k ( x x1 ) . k Пример если A(2; 3), k 1, то y (3) 1( x 2) y 3 x 2 y x 1 4) Прямая, определенная угловым коэффициентом и начальной ординатой (абсцисса – координата х, ордината – координата у) Предположим, что прямая пересекает ось Оу в точке А. Тогда абсцисса точки А равна нулю, т.е. A(0; b) . Число b, т.е. ордината точки пересечения прямой с осью Оу, называется начальной ординатой данной прямой. Если даны угловой коэффициент прямой k и ее начальная ордината b, то значит даны угловой коэффициент k и точка А(0; b) этой прямой. Поэтому мы можем воспользоваться уравнением y y1 k ( x x1 ) . Теперь, учитывая, что x1 0 и y1 b получим y b k ( x 0) , откуда y kx b Вид уравнения прямой Общее уравнение прямой Уравнение Обозначения Ax By C 0 A , B и C - коэффициенты Пример: Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой 5x 3 y 4 0 Пример: Уравнение прямой, проходящей через заданную точку и имеющей заданный угловой коэффициент Пример: если k 3, b 4, то y 3x 4, y kx b y y1 k x x1 k - угловой коэффициент прямой y y1 A k tan 2 , x2 x1 B b - начальная ордината x1 ; y1 - координаты заданной точки k tan - угловой коэффициент прямой если A(2; 3), k 1, то y (3) 1( x 2) y 3 x 2 y x 1 Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки Пример: Уравнение прямой, проходящей через заданную точку и имеющей заданный нормальный вектор x x1 y y1 x2 x1 y2 y1 x1 ; y1 и x2 ; y2 - координаты заданных точек Пример: A(2;3) B(1; 4) x (2) y 3 x 2 y 3 7( x 2) 3( y 3) 7 x 3 y 5 0 1 (2) 4 3 3 7 x x1 y y1 p q x1 ; y1 - координаты заданной точки s p; q - направляющий вектор прямой s x2 x1; y2 y1 Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно ( -но) данной прямой. Дано: т.М ( x1 ; y1 ) и прямая y kx b, k угловой коэффициент y y1 k ( x x1 ) Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно ( -но) данной прямой. Дано: т.М ( x1 ; y1 ) и прямая y kx b, k угловой коэффициент 1 y y1 ( x x1 ) k Пример: Дано т.А(2;-1) и прямая y 4 x 3 1) через точку А -но прямой: y (1) 4( x 2) y 1 4x 8 y 4x 9 2) через точку А -но прямой: 1 y (1) ( x 2) 4 1 1 y 1 x 4 2 1 1 y x 4 2 3) если прямая параллельна оси ОХ, то она выглядит у = 5 или у = 3 если прямая параллельна оси ОY, то она выглядит x = 5 или x = 3 условие параллельности ( ) прямых --- если прямые даны в виде A1 x B1 y C1 0 и A2 x B2 y C2 0 , то условие A B C параллельности: 1 1 1 , A2 B2 C2 --- если в виде y k1 x b1 и y k2 x b2 , то условие параллельности k1 k2 . Условие перпендикулярности ( ), если k1 k2 1 6) Чтобы найти точку пересечения прямых y k1 x b1 и y k2 x b2 нужно решить систему y k2 x b1 уравнений y k2 x b2