Аналитическое решение алгебраических уравнений степеней 3

Аналитическое решение
алгебраических уравнений
степеней 3 и 4
Содержание
1 Введение
1
2 Уравнения третьей степени
3
3 Уравнения четвертой степени
7
1
Введение
В данном манускрипте приводятся формулы для аналитического решения алгебраических уравнений степеней 3 и 4. Эти формулы особенно полезны, например, в тех случаях, когда коэффициенты уравнения являются функциями
некоторых параметров, и требуется найти зависимость корней уравнений от
этих параметров. Сами формулы приведены в месте с их выводом, т.е. можно
сказать, что описан метод решения этих уравнений. Это связано в частности
с особенностями обозначений в формулах. Кроме того, на практике при решении уравнений часто удобно повторить вывод этих формул для конкретного
уравнения, производя на каждом шаге упрощение возникающих выражений и
проверки получаемых равенств.
Далее в этом параграфе содержатся базовые сведения об алгебраических
уравнениях в сжатой и упрощенной форме. Они ориентированы на читателей,
незнакомых с этой темой. Всем остальным мы рекомендуем пропустить этот
текст и перейти к Параграфам 2 и 3.
Уравнение вида
cd xd + cd−1 xd−1 + · · · + c1 x + c0 = 0,
(1)
в котором x — неизвестная, а cd , . . . , c0 — заданные вещественные или комплексные коэффициенты, причем cd 6= 0, называется (алгебраическим) уравнением
степени d. Левая часть (1) является многочленом (полиномом) степени d:
P (x) = cd xd + cd−1 xd−1 + · · · + c1 x + c0
1
2
Решения (1), т.е. значения x, обращающие (1) в истинное равенство, называются
корнями (1), а также корнями многочлена P (x). Коэффициент cd называется
старшим коэффициентом, а c0 — свободным членом (1) и P (x).
Поскольку cd 6= 0, обе части (1) можно разделить на cd . В результате получается уравнение
xd + c0d−1 xd−1 + · · · + c01 x + c00 = 0,
(2)
c c0i = ccdi и с единичным старшим коэффициентом. Уравнение (2) имеет в точности те же корни, что и (1), т.е. является эквивалентным. В дальнейшем мы
будем рассматривать только уравнения вида (2).
Тривиальным примером (2) является линейное уравнение x + C = 0 (уравнение первой степени) с единственным решением x = −C. Более интересный
пример — квадратное уравнение
x2 + Cx + D = 0,
(3)
имеющее в общем случае два решения
x1,2
C
=− ±
2
s
C2
− D.
4
(4)
Пример квадратного уравнения особенно показателен по двум причинам:
1. Квадратное уравнение (3) с вещественными коэффициентами C и D может не иметь вещественных корней. Так случается, когда его дискриминант ∆ := C 2 − 4D отрицателен, т.е. формула (4) неопределена в вещественных числах. Но в комлексных числах (3) всегда имеет корни. Такое
же утверждение имеет место и для уравнения (2) произвольной степени:
(2) всегда имеет корни в комплексных числах (Основная теорема алгебры), но даже при вещественных коэффициентах эти корни могут не быть
вещественными. Поэтому при решении уравнений высоких степеней имеет
смысл пользоваться комплексной арифметикой.
2. В зависимости от значений C и D может случиться, что x1 = x2 , то есть
(3) имеет в сущности одно решение. Однако и в этом случае говорят, что
(3) имеет два корня с учетом кратности, или что x1 является корнем
кратности 2. Для уравнений (2) произвольной степени d справедливо следующее: (2) имеет d корней с учетом кратности.
3. Пусть все c0i в (2) — вещественные числа. Тогда если x∗ — корень (2), то
и x∗ (комплексное сопряженное к x∗ ) — тоже корень (2). В случае (3) это
хорошо видно из формулы (4). Таким образом, у уравнения с вещественными коэффициентами невещественных корней всегда четное количество.
Используя этот факт, можно делать выводы о количестве вещественных
корней (которое может быть и нечетным). Например, если C и D в (3)
вещественны, то либо x1 и x2 оба вещественны, либо оба невещественны.
Другой пример: Уравнение третьей степени с вещественными коэффициентами всегда имеет по крайней мере один вещественный корень: Невещественных корней у него либо два, либо нет.
3
Несмотря на то, что подсчитать корни уравнения высокой степени просто, найти их существенно сложнее, чем для квадратного уравнения. Можно
доказать (Теорема Абеля-Руффини), что формулы, выражающие корни произвольного алгебраического уравнения в радикалах от коэффициентов уравнения
существуют только для квадратных уравнений (см. (4)), а также уравнений степеней 3 и 4 (см. Параграфы 2 и 3).
Замечание 1 Если найден один из корней x∗ уравнения (2), то степень этого
уравнения можно понизить, деля многочлен в левой части на x − x∗ . Если все
коэффициенты (2) вещественны, а x∗ — нет, то x∗ — другой корень (2), и
делить можно на (x − x∗ )(x − x∗ ) = x2 − (2 Re x∗ ) · x + |x∗ |2 . Это позволяет
сохранить возможность действовать в вещественных числах.
2
Уравнения третьей степени
Рассмотрим уравнение
x3 + Bx2 + Cx + D = 0.
Производя замену переменной x = y −
(5)
B
, получаем эквивалентное уравнение
3
y 3 + py + q = 0
(6)
относительно y с коэффициентами
p = C − 31 B 2 ,
q=D+
2
B3
27
− 13 BC.
Таким образом, любое уравнение третьей степени приводится к виду (6).
Пусть y∗ — некоторое из решений (6). Будем искать его в виде суммы
y∗ = u + v.
(7)
u3 + v 3 + (u + v)(3uv + p) + q = 0.
(8)
Тогда (6) примет вид
Наложим на u и v дополнительное условие 3uv + p = 0, т.е.
p
uv = − .
3
(9)
Заметим, что для любых значений y∗ и p всегда существуют (в общем случае,
комплексные) u и v, удовлетворяющие (7) и (9). Тогда согласно (8–9) u3 +v 3 +q =
0, поэтому для u и v получаем систему



u3 + v 3 = −q,
p3

 u3 v 3 = − .
27
(10)
4
Из (10) следует, что u3 и v 3 — корни квадратного уравнения
p3
z + qz −
= 0,
27
2
т.е.
(11)
s
s
s
s
q 2 p3
q
∆
q
+
= − + −
,
u3 = − +
2
4
27
2
108
q
q 2 p3
∆
q
3
v =− −
+
= − − −
,
2
4
27
2
108
(12)
где
∆ := −27q 2 − 4p3 = −4C 3 + B 2 C 2 − 4B 3 D + 18BCD − 27D2
называется дискриминантом кубического уравнения. Таким образом, искомое
решение уравнения (6) удовлетворяет равенству
y∗ =
√
3
u3 +
√
3
v3 =
v
u
u
3
t
s
2
3
q
q
p
− +
+
+
2
4
27
v
u
u
3
t
s
q
q 2 p3
− −
+
2
4
27
(13)
(формула Кардано). Для соответствующего корня (5) имеем: x∗ = y∗ − 31 B.
Формулу (13) достаточно использовать для вычисления одного корня y∗ ,
т.е. соответственно одного из корней x∗ уравнения (5). Это позволяет понизить
степень (5) (см. Замечание 1), а затем найти корни получившегося квадратного
уравнения с помощью (4). Однако и сама формула (13) включает в себя все
три корня (6). Кроме того, она может дать и значения y∗ , решениями (6) не
являющиеся.
Чтобы увидеть это, заметим, что даже если все коэффициенты и корни
уравнения (5) вещественны, все формулы и рассуждения выше всё равно подразумевают комплексную арифметику, а промежуточные величины u и v могут
быть невещественными числами (см. Пример 1 ниже). Поэтому во всех приведенных выше рассуждениях необходимо учитывать тот факт, что любое комплексное число имеет три различных кубических корня. (При этом точно один
из трёх кубических корней вещественного числа является вещественным.)
Во-первых, это замечание относится к переходу от (9) ко второму уравнению в (10). Некоторые пары (u, v), удовлетворяющие второму уравнению из
(10), не будут удовлетворять (9) из-за того, что p3 — не единственный кубический
p3
корень 27
.
Во-вторых, (13) предполагает взятие кубических корней из величин u3 и v 3 .
√
Знак радикала 3 . . . в (13) может означать любой из этих кубических корней
этих величин. Используя вместо каждого из этих радикалов в (13) тот или
иной кубический корень в качестве u и v, можно получить каждый из трех
корней уравнения (6), а также некоторые значения y0 , которые корнями (6) не
являются. Последний случай возникает тогда и только тогда, когда u и v не
удовлетворяют (9). Таким образом, оба кубических корня, обозначенных в (13)
радикалами должны быть согласованы в смысле (9).
Как мы видим, на выбор пар (u, v) в (13) следует обращать особое внимание. Рассмотрим подробнее случай вещественных коэффициентов B, C и D.
5
Тогда p и q тоже вещественны. Как известно (см. Параграф 1), в этом случае (5)
имеет по крайней мере один вещественный корень. Другие два корня либо оба
вещественные, либо оба невещественные. Выбрать согласованные u и v, а также
определить количество вещественных корней можно по знаку дискриминанта
∆:
1. Пусть ∆ > 0. В этом случае (5) имеет три различных вещественных корня. Действительно, u3 и v 3 из (12) — невещественные комплексные числа,
причем v 3 = u3 . Для каждого кубического корня u из u3 будем в качестве
кубического корня из v 3 брать v = u. Произведение uv = |u|2 — вещественное число, а значит, эти u и v удовлетворяют (9). В результате из
(13) получаем: x∗ = u + u − B3 = 2 Re u − B3 — вещественный корень (5).
Перебирая все три кубических корня из u3 в качестве u, получаем все
корни (5). См. Пример 1 ниже.
2. Пусть ∆ < 0. В этом случае (5) имеет один вещественный и два невещественных (сопряженных) корня. При этом u3 и v 3 из (12) — вещественные
числа, имеющие вещественные кубические корни u и v. Эти u и v всегда
удовлетворяют (9). Соответственно, все вычисления в (13) могут быть выполнены в вещественных числах, что дает вещественный корень x∗ уравнения (5). Остальные два (невещественных) корня можно найти делением
многочлена из (5) на x − x∗ . Этот случай проиллюстрирован в Примере 2.
3. Если ∆ = 0, все корни уравнения (5) вещественны, причем по крайней
мере два из них равны: Результанта многочлена из (6) и его производной
равна 27q 2 + 4p3 = −∆ = 0. Но все три корня (5) равны тогда и только
тогда, когда p = q = 0, ведь только в этом случае левая часть (6) может
быть кубом линейного двучлена. Этот трехкратный корень равен x∗ =
− 31 B. Во всех остальных случаях (5) имеет один вещественный простой
и один вещественный двукратный корень. При этом (11) имеет кратный
q
корень u3 = v 3 = − 2q с вещественным кубическим корнем u = v = − 3 2q ,
q
удовлетворяющим (9). Соответственно, x∗ = −2 3 2q − B3 — корень (5).
Заметим, что этот x∗ — именно простой корень (5). Чтобы найти кратный
корень, надо либо рассматривать невещественные кубические корни u и
v = u из u3 = v 3 , либо понизить степень (5) делением многочлена на x−x∗ .
Случай такого уравнения проиллюстрирован в Примере 3.
Пример 1 Рассмотрим уравнение
x3 − 11x2 + 36x − 36 = 0.
Производя замену переменной на y = x −
y3 −
13
y
3
−
11
,
3
70
27
(14)
получаем уравнение
= 0,
т.е. p = − 13
, q = − 70
, а дискриминант ∆ = 144 положителен. Согласно (12),
3
27
u3 =
35
27
+
√
2 3
i,
3
v3 =
35
27
−
√
2 3
i
3
6
— невещественные сопряженные комплексные числа. Число u3 имеет следующие кубические корни:
u1 = − 56 +
√
u2 = − 13 −
3
i,
2
√
2 3
i,
3
u3 =
7
6
√
3
i.
6
+
Соответственно, кубические корни v 3 — сопряженные с uk числа
v1 = − 56 −
√
3
i,
2
v2 = − 13 +
√
2 3
i,
3
v3 =
7
6
√
−
3
i.
6
Отсюда получаем y1 = u1 + v1 = − 53 , y2 = u2 + v2 = − 23 , y3 = u3 + v3 =
вычисляем корни (14):
x1 = y1 +
11
3
= 2,
x 2 = y2 +
11
3
= 3,
x 3 = y3 +
11
3
7
3
и
= 6.
Отметим, что, например, пара u = u1 , √
v = v2 тоже удовлетворяет (10), но
11
5
7 3
не (9). Поэтому x∗ = u1 + v2 + 3 = 2 − 6 i — не корень (14).
Пример 2 Рассмотрим уравнение
x3 + x2 − 2 = 0.
Заменой x = y −
1
3
(15)
приводим его к виду
y 3 − 31 y −
52
27
= 0.
Отсюда p = − 13 , q = − 52
, а дискриминант ∆ = −100 отрицателен. Из (12)
27
получаем:
√
√
5 3
26
+ 593,
v 3 = 26
−
u3 = 27
27
9
— вещественные числа. Беря из них вещественные кубические корни и проводя
вычисления по (13) в вещественных числах, получаем:
r
y1 =
3
26
27
+
√
5 3
9
r
+
3
26
27
−
√
5 3
9
= 43 .
Соответственно находим вещественный корень (15):
x1 = y1 −
1
3
= 1.
Деля многочлен в левой части (15) на x − 1, получаем:
x3 + x2 − 2 = (x − 1)(x2 + 2x + 2).
Следовательно, два других корня (15) равны x2,3 = −1 ± i.
Отметим, что (15) можно привести к виду (6) также заменой x = 1/t.
В этом случае мы получим уравнение t3 − 12 t − 12 = 0.
7
Пример 3 Рассмотрим уравнение
x3 − 8x2 + 21x − 18 = 0.
(16)
Производя замену x = y + 83 , получаем
y 3 − 31 y +
2
27
= 0,
2
т.е. p = − 31 , q = 27
, а дискриминант ∆ = 0. Это означает, что (16) имеет
один простой и один двукратный корень, причем все корни вещественны. По
формуле (13) (вычисляя в вещественных числах) находим простой корень (16):
x1 = −2
q
3
q
2
8
3
+
= 2.
Чтобы найти кратный корень, можно разделить многочлен в левой части
q
(16) на x−2. Можно поступить и иначе: вместо вещественного значения 3 2q
1
. Это — сопряженные
рассмотрим невещественные
кубические корни из 2q = 27
√
√
1
6 3
1
6 3
числа u = 6 + 6 i и v = 6 − 6 i. Отсюда
x2,3 = u + v +
8
3
=3
— искомый кратный корень (16).
3
Уравнения четвертой степени
Рассмотрим уравнение
x4 + Ax3 + Bx2 + Cx + D = 0.
(17)
Как и в случае уравнения третьей степени, произведем замену переменной x =
A
y − . В результате (17) принимает вид
4
y 4 + py 2 + qy + r = 0,
(18)
где
p = B − 83 A2 ,
q = C + 81 A3 − 12 AB,
r=D−
3
A4
256
− 14 AC +
1
A2 B.
16
При любом z (18) эквивалентно
(y 2 + z)2 − ((2z − p)y 2 − qy − r + z 2 ) = 0.
(19)
Выберем z так, чтобы вычитаемое, т. е. многочлен Q(y) = (2z −p)y 2 −qy −r +z 2 ,
было полным квадратом. Поскольку Q(y) — квадратный трехчлен, то он будет
полным квадратом тогда и только тогда, когда его дискриминант равен 0:
q2
− (2z − p)(z 2 − r) = 0.
4
(20)
8
Равенство (20) — кубическое уравнение для неизвестной z. Найдем один из его
корней z∗ (например, методом, описанном в Параграфе 2). Подставляя этот
корень в (19), приводим (18) к виду
!2
q
(y 2 + z∗ )2 − (2z∗ − p) y −
= 0.
2(2z∗ − p)
(21)
Левая часть (21) — разность квадратов. Поэтому (21), а значит и (18), разбивается на два независимых квадратных уравнения для y
!
q
q
y 2 + z∗ − 2z∗ − p y −
и
(22)
= 0.
(23)
!
q
q
y 2 + z∗ + 2z∗ − p y −
=0
2(2z∗ − p)
2(2z∗ − p)
Решая (22–23), получаем все корни (18), а из них — все корни (17).
Пусть A, B, C и D — вещественные числа. Тогда (17) может иметь 4 или 2
вещественных корня, либо не иметь их вообще. У промежуточного кубического
уравнения (20) тоже вещественные коэффициенты, а значит, оно имеет по крайней мере один вещественный корень z∗ (см. Параграф 2). Использование этого
z∗ в (22–23) позволяет в некоторых случаях свести вычисления к вещественной
арифметике.
Пример 4 Рассмотрим уравнение
x4 − 3x3 − 2x2 + 2x + 12 = 0.
Заменой x = y +
3
4
(24)
оно приводится к виду
y4 −
43 2
y
8
−
35
y
8
2925
256
+
= 0,
т.е.
q = − 35
,
8
p = − 43
,
8
r=
2925
.
256
Уравнение (20) принимает вид
− 2z 3 −
43 2
z
8
+
2925
z
128
+
135575
2048
= 0.
(25)
55
(25) имеет вещественный корень z∗ = 16
(два других корня невещественны).
Подставляя z∗ в (22–23), получаем квадратные уравнения
y 2 − 72 y +
45
16
= 0 и y 2 + 27 y +
65
16
= 0.
Первое из них имеет корни y1 = 54 и y2 = 49 , второе — корни y3 = − 74 + i и
y4 = − 74 − i. Отсюда по формуле x = y + 34 получаем все корни (24):
x1 = 2,
x2 = 3,
x3,4 = −1 ± i.