ОГЛАВЛЕНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 1. Элементы комбинаторики. Вероятность.
Биномиальное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Элементы комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Случайная величина. Вероятность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Вероятность сложных событий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Статистическая система. Микро# и макросостояния.
Биномиальное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Наиболее вероятное и среднее значения.
Дисперсия случайной величины,
подчиняющейся биномиальному закону . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Непрерывная случайная величина. Функция плотности вероятности . . . .
1.7. Предельные формы биномиального распределения.
Распределения Пуассона и Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 2. Статистическое описание термодинамических систем.
Равновесное состояние. Температура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. О термодинамическом статистическом законе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Описание изолированной системы дискретных случайных величин . . . . . .
2.3. Микросостояния изолированной системы молекул идеального газа . . . . . .
2.4. Неизолированные системы.
Условие теплового равновесия. Температура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Вероятность микросостояния термодинамической системы.
Распределение Гиббса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Вероятность макросостояния термодинамической системы . . . . . . . . . . . . .
Приложение 2.1. Примеры применения распределения Гиббса . . . . . . . . . .
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 3. Распределение Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Идеальный газ в термостате. Распределение молекул идеального газа
по кинетической энергии поступательного движения . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Флуктуации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Распределение молекул идеального газа по скоростям . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Основное уравнение молекулярно#кинетической теории
идеальных газов. Уравнение состояния идеального газа . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Броуновское движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
8
8
11
13
15
21
25
30
42
44
44
45
51
54
60
62
62
71
72
72
75
78
87
90
94
471
Глава 4. Распределение Больцмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Глава 5. Первое начало термодинамики. Теплоемкость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1. Термодинамическая система. Равновесные процессы . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Первое начало термодинамики.
Составляющие энергетического баланса:
внутренняя энергия, работа и теплота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Калорические и термические коэффициенты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Теплоемкость и составляющие энергетического баланса
в процессах с идеальным газом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Приложение 5.1. Теплоемкость твердых тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 6. Энтропия. Второе и третье начала термодинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1. Статистическое определение энтропии.
Второе и третье начала термодинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Термодинамическое определение энтропии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Энтропия и теплоемкость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4. Энтропия идеального газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5. Энтропия смешения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6. Энтропия парамагнитной системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Приложение 6.1. Об энтропии и стационарных состояниях
биологических систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118
118
121
126
128
148
154
159
159
163
167
171
182
185
187
191
Глава 7. Элементы технической термодинамики. Циклические процессы . . . . . . . . .
7.1. Типы тепловых механизмов и их эффективность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2. Двигатели внутреннего сгорания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3. Принцип динамического отопления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
195
195
204
210
212
Глава 8. Термодинамические потенциалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2. Термодинамические потенциалы для систем
с постоянным числом частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3. Свободная энергия Гельмгольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4. Потенциал Гиббса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5. Открытые системы. Химический потенциал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6. Термодинамические потенциалы и параметры равновесного состояния.
Соотношения Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.7. Дифференциалы термодинамических функций
в pD, VD, TDпеременных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.8. Закрытые системы, обменивающиеся энергией
с окружающей средой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.9. Самопроизвольные процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.10. Стандарты термодинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.11. Энтальпия образования химического соединения из простых веществ . . .
8.12. Термодинамические потенциалы простейших систем . . . . . . . . . . . . . . . .
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
216
216
234
235
240
241
244
250
Глава 9. Реальные газы. Жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2. Газ ВанDдерDВаальса. Состояние равновесия. Процессы . . . . . . . . . . . . . . .
9.3. Калорические и термические коэффициенты газа ВанDдерDВаальса . . . . .
9.4. Изотермы ВанDдерDВаальса. Критическая точка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Приложение 9.1. Вириальное уравнение состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Приложение 9.2. Жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Приложение 9.3. О воде и ее свойствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
252
252
254
259
261
266
267
271
278
472
217
219
220
221
223
228
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ
Глава 10. Поверхностное натяжение.
Капиллярные явления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1. Фаза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2. Поверхностное натяжение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3. Давление Лапласа. Пузыри и капли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4. Физическая поверхность раздела фаз . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5. Смачивание и несмачивание. Капиллярные явления . . . . . . . . . . . . . . . . .
Приложение 10.1. Поверхностно'активные вещества . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 11. Фазовые переходы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2. Классификация фазовых переходов по П. Эренфесту . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3. Основные особенности фазовых переходов I рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4. Условия равновесия фаз . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5. Уравнение Клапейрона — Клаузиуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.6. Термодинамические характеристики
вдоль кривых фазового равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.7. Изменение энтропии и молярного объема
при фазовых переходах I рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.8. Фазовые переходы II рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Приложение 11.1. Процесс образования водяных паров
на T–S' и H–S'диаграммах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Приложение 11.2. О пленочном режиме кипения воды . . . . . . . . . . . . . . . .
Приложение 11.3. Термодинамика образования
зародышей новой фазы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Приложение 11.4. Конформационные фазовые переходы I рода
в биологических структурах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Приложение 11.5. О самопроизвольных процессах самоорганизации
в живых организмах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 12. Элементы иерархической термодинамики.
Растворы. Осмос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2. Идеальный раствор газов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3. Влажность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4. Жидкие растворы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5. Идеальные растворы. Закон Рауля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6. Осмос. Водные растворы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.7. Коллигативные свойства растворов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.8. Вода — универсальный растворитель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Приложение 12.1. Термодинамический вывод закона Рауля . . . . . . . . . . .
Приложение 12.2. Адсорбция в поверхностном слое раствора . . . . . . . . . .
Приложение 12.3. Полимеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
282
282
282
286
289
292
298
302
304
304
306
307
313
317
321
326
332
334
337
337
340
350
354
358
358
360
363
366
367
371
374
376
378
379
381
383
Глава 13. Энтальпия и эффект Джоуля — Томсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1. Термодинамика ламинарного течения газа по трубе . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2. Детандирование и дросселирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3. Дифференциальный эффект Джоуля — Томсона.
Температура инверсии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4. Интегральный эффект Джоуля — Томсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
386
386
388
Глава 14. Явления переноса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1. Стационарные процессы переноса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2. Кинетические характеристики процессов переноса в газах . . . . . . . . . . . .
14.3. Одномерные стационарные процессы переноса в газах . . . . . . . . . . . . . . . .
14.4. Коэффициент вязкости в жидкостях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
397
398
402
405
408
ОГЛАВЛЕНИЕ
389
393
395
473
14.5. Вакуум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.6. Задачи на стационарные процессы переноса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.7. Одномерные нестационарные процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
409
410
425
430
Глава 15. Элементы химической термодинамики.
Химические реакции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2. Уравнение химического процесса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.3. Тепловой эффект реакции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4. Энтальпия химической реакции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.5. Стандартное изменение энергии Гиббса DG° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.6. Энтальпия растворения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.7. Калориметрические измерения энтальпии. Энтальпия сгорания . . . . . . .
15.8. Энтальпия и потенциал Гиббса как функции температуры и давления . . .
15.9. Химическое равновесие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
433
433
434
436
437
438
442
444
447
451
457
Справочные материалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
Алфавитный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
474
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ
ВВЕДЕНИЕ
Искусство читать — это искусство мыслить с некото
рой помощью другого.
Эмиль ФАГЕ
Мы всегда должны знать больше, чем нужно сейчас.
Ю. Б. ХАРИТОН
В
основе учебного пособия лежит методика решения тради
ционных задач, разработанная для курса общей физики на физическом фа
культете МГУ имени М. В. Ломоносова. Но кроме того, в связи с заказом
государства на выпуск специалистовфизиков широкого профиля, обладаю
щих ассоциативным мышлением и способных быстро адаптироваться в лю
бой области естественнонаучных знаний, в данное пособие включены задачи
технической и химической термодинамики, а также обсуждаются вопросы
термодинамики полимеров и живых систем — в главе «Элементы иерархи
ческой термодинамики».
Молекулярная физика и термодинамика исследуют системы, состоящие
из большого числа частиц, и процессы в них, которые являются результатом
совместного действия всех частиц системы. Поведение каждой молекулы в
отдельности подчиняется законам механики. В системе большого числа час
тиц возникает качественно новый вид движения — тепловое движение. В ре
зультате совокупность огромного числа молекул приобретает качественно
новые свойства и характеризуется новыми параметрами (например, давле
нием и температурой), которых нет у отдельных молекул.
Существует два подхода к описанию ансамблей большого числа частиц:
термодинамический и статистический.
Термодинамика начала развиваться как чисто эмпирическая наука, и
лишь впоследствии ее законы были подтверждены статистической физи
кой. Статистические методы дают возможность определять средние зна
чения физических величин, позволяют более глубоко раскрыть физиче
ский смысл термодинамических законов и термодинамических характе
ристик, таких как температура и энтропия. «В настоящее время, — пишет
И. П. Базаров в учебнике по термодинамике, — нет никаких оснований для
проведения резкой грани между термодинамикой и статистической физи
кой...»
Общая термодинамика — наука о наиболее общих свойствах макроско
пических систем и происходящих в них независимо от микроскопических
ВВЕДЕНИЕ
5
характеристик системы процессах: природы частиц, образующих систему, и
типов взаимодействия между ними. Это наука об энергии, о формах ее пере6
хода от одной системы к другой и преобразовании ее в физических, химиче6
ских, биологических и других процессах.
К специфическим особенностям термодинамического метода можно от6
нести, например, следующие. Во6первых, из6за наличия уравнения состоя6
ния, связывающего параметры состояния (для газа с постоянным числом
частиц такими параметрами являются давление p, объем V и температура T),
возникает возможность описывать каждое явление (процесс) многими спосо6
бами. Например, для газа можно описывать процесс как зависимость давле6
ния от температуры р(Т) или давления от объема р(V) или температуры от
объема T(V) и т. п. Во6вторых, кроме p, V, T функциями состояния для термо6
динамических систем являются: энтропия S, внутренняя энергия U и любые
комбинации этих параметров.
Термодинамика является, пожалуй, единственной наукой, чьи методы
используются во всех естественнонаучных исследованиях. Методы термоди6
намики имеют универсальный характер и используются в физике, химии,
геологии, биологии и других областях естествознания. Поэтому в общей тер6
модинамике выделились отдельные разделы. Приведем в качестве примера
некоторые из них:
§ статистическая термодинамика (дает молекулярно6статистическое обос6
нование общей термодинамике и всем ее разделам, основываясь на мето6
дах теории вероятности и математической статистики);
§ физическая термодинамика;
§ химическая термодинамика (изучение химического равновесия и направ6
ления химических процессов);
§ термодинамика поверхностных явлений;
§ электрохимическая термодинамика;
§ термодинамика необратимых (неравновесных) процессов (теплопереда6
чи, диффузии и т. п., а также процессов самоорганизации пространст6
венных и временных структур в физико6химических явлениях) — уста6
навливает неравенства, указывающие направление необратимых про6
цессов;
§ термодинамика иерархических систем (изучает сложные биологические
системы, открытые для обмена энергией и веществом);
§ вычислительная термодинамика (используется в химической, метал6
лургической, топливной и др. отраслях промышленности). Численные
расчеты на ЭВМ условий равновесия в сложных многокомпонентных
(10–100 компонентов) системах являются теоретическими основами тех6
нологических процессов, например, выбора ракетного топлива, соотно6
шения компонентов, параметров рабочего процесса в ракетных двига6
телях.
Чтобы получить полное представление о термодинамике и ее методах в
курсе общей физики, необходимо рассмотреть основные законы и концеп6
ции, развиваемые в каждом из указанных выше разделов. Использование
законов термодинамики в различных областях человеческой деятельности —
6
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ
физике, технике, химии и биологии — позволяет, вопервых, расширить
кругозор обучающегося, вовторых, понять мир в его целостности и многооб
разии и, втретьих, осмыслить фундаментальную роль физических законов
в явлениях природы.
Авторы выражают искреннюю признательность и благодарность рецен
зентам: профессорам кафедры молекулярной физики физического факуль
тета МГУ: Алексею Иосифовичу Осипову и Александру Викторовичу Ува
рову, профессору кафедры химической физики химического факультета
МГУ Андрею Яковлевичу Борщевскому, профессору кафедры общей физи
ки физического факультета МГУ Владимиру Александровичу Караваеву,
а также сотрудникам кафедры общей физики физического факультета
МГУ: Елене Александровне Никаноровой, Александру Семеновичу Нифа
нову и Николаю Егоровичу Сырьеву за полезные обсуждения и ценные заме
чания.
ВВЕДЕНИЕ
7
ГЛАВА
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ.
ВЕРОЯТНОСТЬ.
БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Можно быть уверенным только в одном, что ни в чем
нельзя быть уверенным. Если это утверждение истинно, то оно тем самым и ложно.
Древний парадокс
1.1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Ч
исло перестановок из n элементов (Pn) — число способов,
которыми можно расположить в ряд n элементов (рис. 1.1).
Число размещений из n элементов по
m( Anm ) — число способов, которыми можно выбрать и расположить в ряд m элементов из данного множества, содержащего n элементов. Такие группы элементов отличаются друг от друга либо самими
элементами, либо порядком следования
элементов внутри группы (рис. 1.1).
Число сочетаний из n элементов по m
(Cnm ) — число способов, которыми можно выбрать m элементов из данного множества, содержащего n элементов. Такие
Рис. 1.1
выборки из m элементов различаются
Перестановки, размещения
и сочетания из трех элементов
только набором элементов, без учета их
(круга, квадрата и треугольника)
взаимного расположения (рис. 1.1).
Задача 1.1. Найти число перестановок Pn из n элементов.
Решение. Без нарушения общности можно считать, что переставляемыми элементами являются числа натурального ряда 1, 2, ... n.
При n = 2 имеются две перестановки (1, 2) и (2, 1), т. е. P2 = 2.
При n = 3 на первом месте может находиться один из трех элементов.
При каждом выборе первого элемента остальные два могут занимать места
во всех возможных порядках, т. е. могут располагаться Р2 = 2 способами.
Следовательно, P3 = 3 × P2 = 3 × 2 = 3!.
Рассуждая аналогично, для n = 4 получаем P4 = 4 × P3 = 4! и т. д.
Можно показать, что
Pn = n!
8
(1.1)
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ
Справедливость (1.1) докажем методом математической индукции. Считая соотношение (1.1) верным для системы, состоящей из (n – 1) элементов:
Pn–1 = (n – 1)!, вычисляем число перестановок для системы из n элементов.
Проводя аналогичные рассуждения, получаем:
Pn = n × Pn–1 = n × (n – 1)! = n!, ч. т. д.
Ответ: Pn = n!
Задача 1.2. Найти число размещений Anm из n элементов по m.
Решение. Возьмем все перестановки из n элементов и «вырежем» в каждой из них первые m элементов, отбросив остальные (n – m) элементов. При
этом получим размещения из n элементов по m, но каждое размещение встречается столько раз, сколько перестановок можно составить из отброшенных
(n – m) элементов, т. е. Pn–m раз. Например, для нахождения A42 заключим
вырезаемые части в круглые скобки, а отбрасываемые — в фигурные:
(1,2)
(1,2)
(2,1)
(2,1)
(1,3)
(1,3)
(3,1)
(3,1)
1
1
1
1
2
2
2
2
(3,4) (1,4)
(4,3) (1,4)
(3,4) (4,1)
(4,3) (4,1)
(2,4) (2,3)
(4,2) (2,3)
(2,4) (3,2)
(4,2) (3,2)
1
1
1
1
2
2
2
2
(3,2) (2,4)
(2,3) (2,4)
(3,2) (4,2)
(2,3) (4,2)
(1,4) (3,4)
(4,1) (3,4)
(1,4) (4,3)
(4,1) (4,3)
1
1
1
1
2
2
2
2
(3,1)
(1,3)
(3,1)
(1,3)
(1,2)
(2,1)
(1,2)
(2,1)
Таким образом, число размещений Anm меньше числа перестановок Pn
в Pn–m раз:
P
n!
Anm 2 n 2
.
(1.2)
Pn 1m (n 1 m)!
n!
.
Ответ: Anm 1
(n 2 m)!
Задача 1.3. Найти число сочетаний Cnm из n элементов по m.
Решение. Если в каждом сочетании выполнить все возможные перестановки, то получим все размещения, т. е.
Anm 1 Cnm 2 Pm .
Поэтому
Cnm 1
Ответ: Cnm 1
Anm
n!
.
1
Pm m !(n 2 m)!
(1.3)
n!
.
m !(n 2 m)!
Замечание. В ходе решения следующих задач обратите внимание на несколько различных интерпретаций числа сочетаний Cnm .
ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. ВЕРОЯТНОСТЬ. БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
9
Задача 1.4. Из n белых шаров m — чисто белые, а остальные (n – m) —
помечены крестиком: OO.....O
232
.....4
2. Сколькими разными способами
1232
4 2
12
m
n 1m
все шары можно расположить в ряд?
Решение. При перестановке шаров (полное число перестановок Pn) встре2
чаются одинаковые расположения шаров, так как в каждом выбранном рас2
положении элементов можно m! раз сделать перестановки чисто белых ша2
ров, причем при каждой такой перестановке можно (n – m)! раз переставлять
шары, помеченные крестиком. Таким образом, число различных располо2
жений шаров равно
Pn
n!
2
2 Cnm 3 Cnn 1m .
Pm 4 Pn 1m m !4 (n 1 m)!
Вывод.
Cnm 1 число различных расположений в ряд
элементов двух типов : m элементов
одного типа и (n 1 m) элементов другого типа.
(1.4)
Вопрос для самопроверки. В ти´ре при попадании в мишень мишень пере2
ворачивается. Сколько различных возможностей имеется, чтобы при n вы2
стрелах m раз попасть в мишени?
Ответ: число возможностей равно Cnm — числу способов, которыми мож2
но расположить в ряд два типа мишеней: m перевернутых и (n – m) непере2
вернутых.
Задача 1.5. Показать (с помощью комбинаторики), что
Cnm 1 биномиальный коэффициент при
a n 1 m bm
в разложении многочлена (a 2 b)n .
(1.5)
Решение. Многочлен (a + b)n можно представить как произведение n со2
множителей:
(a 1 b)n 2 (a 1 b) 3 (a 1 b) 333 (a 1 b) .
12222322224
n сомножителей
Раскрывая скобки, получаем сумму слагаемых. Каждое слагаемое явля2
ется произведением n элементов, взятых по одному (или a, или b) из каждого
сомножителя. Отличаются слагаемые всевозможными комбинациями эле2
ментов a и b, выбираемыми из сомножителей. Если взять m раз второе сла2
гаемое b (первое слагаемое а при этом окажется взятым (n – m) раз), то про2
изведение будет равно an–mbm. Но выбрать m раз второе слагаемое b из n бино2
мов, содержащих только два типа элементов a и b, можно как раз Cnm
способами (1.4), ч. т. д.
Рассмотрим для примера бином (a + b)5. Биномиальный коэффициент при
члене a3b2 равен числу различных расположений в ряд элементов a и b, взя2
n!
5!
1
1 10 :
тых из пяти сомножителей Cnm 1
m !(n 2 m)! 2!3!
10
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ