поверхности хилла и их обобщения

ПОВЕРХНОСТИ ХИЛЛА
И ИХ ОБОБЩЕНИЯ
Лукьянов Л.Г.
1
В 1836 г. для уравнений ограниченной круговой задачи трех тел
Якоби получил новый интеграл, называемый теперь интегралом Якоби.
В 1878 г., используя интеграл Якоби, Хилл построил поверхности
нулевой скорости, называемые также поверхностями Хилла.
В 1848 г. для изучения тесных двойных звезд Рош ввел в
рассмотрение поверхности, именуемые сейчас полостями Роша.
Возможны следующие обобщения поверхностей Хилла:
- в ограниченной эллиптической задаче,
- в ограниченной гиперболической задаче,
- в фотогравитационной задаче,
- в задаче двух неподвижных центров,
- в поле трехосного эллипсоида,
- в поле космического вакуума,
- в задаче с переменными массами,
- с учетом реактивных сил,
- в общей задаче трех тел.
2
Ограниченная круговая задача трех тел
Интеграл Якоби:
V2
x2 + y2
1− μ μ
− Ω = h, Ω =
+U, U =
+ ,
2
2
r1
r2
r1 = ( x + μ ) + y + z ,
2
2
2
r2 = ( x + μ − 1) + y + z
2
2
Поверхности Хилла:
2Ω ≥ C = −2h,
⎛1− μ μ ⎞
x + y + 2⎜⎜
+ ⎟⎟ = C
r2 ⎠
⎝ r1
2
2
3
2
Классические поверхности Хилла
m2
μ=
= 0.3
m1 + m2
C = -2h = [ 5, 3.92, 3.56, 3.29, 2.79, 2, 1.4 ]
4
Эллиптическая ограниченная задача
Поверхности минимальной энергии в
координатах Нехвила
⎫
⎧ 2 2
⎛ 1− μ μ ⎞
2
+ ⎟⎟ − [1− μ(1− μ)]⎬(1+ e) = C,
⎨x + y − ez cos v + 2⎜⎜
r2 ⎠
⎝ r1
⎭
⎩
в непульсирующих координатах
⎛1− μ μ ⎞
1
2
2
2
+ ⎟⎟
−
( X + Y − eZ cos v)(1+ e cosv) + 2⎜⎜
2
r2 ⎠ (1+ ecosv)
⎝ r1
1− μ(1− μ)
−
= C.
1+ ecosv
5
Поверхности минимальной энергии
в эллиптической задаче
m2/(m1+m2) = 0.3
e = 0.1
С = 3.2
m2/(m1+m2) = 0.3
e = 0.2
С = 3.2
6
e = 0.5, μ = 0.3, C = 3.2
7
Поверхности минимальной энергии
в гиперболической задаче
m2/(m1+m2) = 0.3
e = 1.1
C=3
m2/(m1+m2) = 0.3
e = 1.1
C = 17.27
8
Фотогравитационная круговая ограниченная
задача трех тел
В этой задаче учитываются гравитационные силы и
силы светового давления со стороны основных тел.
Силовая функция имеет вид:
μ
1− μ
U = q1
+ q2 , − ∞ < (q1 , q2 ) ≤ 1.
r1
r2
Поверхности нулевой скорости представляются в виде:
⎛ 1− μ
μ⎞
x + y + 2⎜⎜ q1
+ q 2 ⎟⎟ = C
r1
r2 ⎠
⎝
2
2
9
Поверхности нулевой скорости в
фотогравитационной задаче трех тел
m2/(m1+m2) = 0.3
q1 = 1
q2 = 0.1
q1 = 0.5
q2 = - 0.5
10
Задача двух неподвижных центров
1− μ μ
U=
+ = C - в задаче Эйлера.
r1
r2
В задаче Еве Гредеакса:
1 + i σ 1 − iσ
U=
,
+
r1
r2
λ=
J + r 2 −1
,
2
μ=
r= x +y +z ,
2
2
U =2
2
λ m σμ
J
J − r2 +1
,
2
= C,
J = (r 2 − 1) 2 + 4 z 2 ,
r1, 2 = x + y + ( z ± i ) .
2
2
2
11
Поверхности нулевой скорости
в задаче Эйлера
μ = 0.3
12
Поверхности нулевой скорости
в задаче Гредеакса
σ =1
для Земли:
σ = −0.035647,
c = 209.729 km
13
Задача двух тел
Центральное тело неподвижно.
Поверхность нулевой скорости:
U=
μ
r
=C
Центральное тело вращается
с постоянной скоростью.
Поверхность нулевой
скорости:
x2 + y2 μ
+ =C
r
2
14
Гравитирующий вращающийся трехосный
эллипсоид
Силовая функция
2
2
2
⎛
⎞
1 ax + by + cz
2 x + y
+ fm⎜⎜ +
+ ... ⎟⎟,
U =n
5
2
r
⎝r
⎠
2
2
r= x +y +z .
2
2
2
Поверхность нулевой скорости:
⎛ 1 ax + by + cz
x +y
+ fm⎜⎜ +
n
5
2
r
⎝r
2
2
2
2
2
2
⎞
⎟⎟ = C.
⎠
15
Поверхности нулевой скорости трехосного,
вращающегося эллипсоида
16
Ограниченная круговая задача трех тел
в поле космического вакуума
m m 1 2 2
2 x + y
U = + + H r , W =U +n
,
r1 r2 2
2
2
2
r1 = ( x + a ) + y + z , r1 = ( x − a ) + y + z ,
2
2
2
2
r= x +y +z ,
2
2
2
2m
2
−H .
3
a
n=
2
2
Поверхности нулевой скорости:
x +y
W =U +n
= C.
2
2
2
2
17
Поверхности нулевой скорости
ограниченной круговой задачи
в поле космического вакуума
18
Ограниченная круговая задача трех тел с
переменными массами, изменяющимися
по закону Мещерского
m=
m0
, − çàêîí Ìåùåðñêîãî ,
at 2 + bt + c
1− μ
μ
x2 + y2
z2
+k ,
Ω=k
+ (k − 1) + k
2
2
r1
r2
r1 = {( x + μ ) + y + z ,
2
2
2
r2 = {( x + μ − 1) + y + z
2
2
Поверхность нулевой скорости:
2Ω = C.
19
2
Поверхности нулевой скорости ограниченной
круговой задачи трех тел с переменными
массами, изменяющимися по закону Мещерского
20
Ограниченная круговая консервативная
задача трех тел с переменными массами
f (m1 + m2 ) r
r&&
r =−
r,
3
r
x2 + y2
1− μ μ
Ω=
+ U − μx, U =
+ ,
2
r1
r2
r1 = x 2 + y 2 + z 2 , r1 = ( x − 1) 2 + y 2 + z 2 .
Поверхность минимальной энергии:
1− μ
μ
2Ω = x + y + 2
+ 2 − 2 μx = C.
r1
r2
2
2
21
Поверхности минимальной энергии в
ограниченной консервативной задаче
трех тел с переменными массами
22
Ограниченная задача трех тел
с учетом реактивных сил
x2 + y2
C
Ω=
+ U + ax + by = , (a = 1, b = 1).
2
2
23
Общая задача трех тел
Неравенство Зундмана
⎛ m1 m2 m2 m3 m3 m1 ⎞
⎟⎟,
U = f ⎜⎜
+
+
r23
r31 ⎠
⎝ r12
m1 m2 r122 + m2 m3 r232 + m3 m1 r312
.
I=
m1 + m2 + m3
2
⎛ dI ⎞
8 I (U + h) − 4c = ⎜ ⎟ ≥ 0,
⎝ dt ⎠
2
Поверхность Зундмана в пространстве
взаимных расстояний:
I (U − C ) = B,
C = − h,
0 ≤ rij ≤ ri +1 j +1 + ri + 2 j + 2 .
2
c
B= ,
2
24
25
Сечения поверхностей Зундмана
26
Поверхности нулевой кинетической энергии
и поверхности Зундмана
T =U +h ≥ 0
B
T =U +h ≥
I
27
Литература
1. Маршал К. Задача трех тел. М.2005.
2. Lukyanov L.G., Shirmin G.I. On exact solution of the restricted photogravitational
three-body problem. В книге: Non-Stationary Dynamical Problems in Astronomy.
Nova Science Publishers, Inc., New York. p 107, 2002.
3. Лукьянов Л.Г. О законе сохранения энергии в ограниченной эллиптической
задаче трех тел. Астрон. журн., т.82, № 12, с.1137, 2005.
4. Лукьянов Л.Г. О поверхностях нулевой кинетической энергии. Труды ГАИШ,
т. 76, с. 42, 2006.
5. Лукьянов Л.Г. О поверхностях нулевой скорости в ограниченной
фотогравитационной задаче трех тел. Астрон. ж. т. 65, в.6, с.1308, 1988.
6. Лукьянов Л.Г. О поверхностях нулевой скорости в ограниченной задаче
трех тел с переменными массами. Астрон. ж. т. 69, в.3, с.640, 1992.
7. Гасанов С.А., Лукьянов Л.Г. О точках либрации в задаче о движении звезды
внутри эллиптической галактики. Астрон. ж., т. 79, № 10, с.944, 2002.
8. Lukyanov L.G., Gasanov S.A. On zero-velocity surfaces inside a homogeneous
rotating and gravitating ellipsoid. Astron. and Astrophys. Transactions, v.22,N.45, p.529, 2003.
9. Лукьянов Л.Г. Об обобщенной задаче двух неподвижных центров.
Космические исследования, т. 44, №2,с.162, 2006.
10. Лукьянов Л.Г., Ширмин Г.И. Поверхности Зундмана и устойчивость по
Хиллу в задаче трех тел. Письма в Астрон.ж., т.33, № 8, с.618, 2007. 28
Спасибо за внимание
29