Физическая кинетика и стохастические процессы

1
Лекции и семинары по курсу “Физическая кинетика и
стохастические процессы”
Планы семинарских занятий, на которых разбираются
задачи, разработаны группой под руководством
С.С. Вергелеса,
в которую входят также
И.В. Колоколов, С.А. Белан, Ю.А. Аникин, В.М.
Парфеньев, Л.А. Сподынейко и А.К. Гребенко.
Глава 1.
Программа курса: семинарские занятия
2
Глава 1
ПРОГРАММА КУРСА: СЕМИНАРСКИЕ
ЗАНЯТИЯ
Темы семинаров по курсу “Физическая кинетика и стохастические процессы”
1.1 Случайное блуждание частицы: прыжковая диффузия
Одномерное движение: дискретное блуждание на прямой. Асимптотическое поведение на больших временах, связь с уравнением диффузии. Обобщение на случай произвольной размерности
пространства.
1.2 Уравнение диффузии: возможные типы граничных условий
Одномерное уравнение диффузии. Диффузия в ограниченной области. Возможные граничные
условия для уравнения диффузии и их физическая интерпретация. Отражающие граничные
условия. Поглощающие граничные условия. Граничное условие, задающее постоянную пристеночную концентрацию.
1.3 Элементы статистики; задача о случайно расположенных на прямой поглощающих
центрах
Сумма большого количества независимых одинаково распределённых случайных величин. Задача о диффузии на прямой со случайно расположенными поглощающими центрами: принцип
формирования статистики; определение статистики в терминах оптимальных флуктуаций, перемежаемость статистики.
1.4 Уравнения Ланжевена и Фоккера-Планка
Уравнение Ланжевена. Cовместное распределение гауссовых случайных величин. Уравнение
Фоккера-Планка. Соответствие между уравнениями Ланжевена и Фоккера-Планка. Гидродинамический предел в уравнении Фоккера-Планка.
1.5 Закон Аррениуса
Схема построения решения для функции распределения. Обобщение решения на различные
случаи: двумерный случай; случай, когда потенциал в точке перевала имеет особенность типа
−|𝑥|.
1.6 Теория линейного отклика. Флуктуационно-диссипационная теорема
Линейная восприимчивость. Аналитические свойства линейной восприимчивости в частотном
представлении. Флуктуационно-диссипационная теорема.
1.7 Проводимость классического газа с трением
Проводимость для модели среды с трением. Классический эффект Холла.
1.8 Шумы, возникающие за счет активационных переходов
Модель туннельной системы с двумя локальными минимумами.
1.9 Стохастический резонанс
3
1.10 Фазовая синхронизация
Модель Курамото. Параметр порядка как мера эффективности синхронизации. Уравнение ФоккераПланка для функции распределения осцилляторов по фазе. Вычисление пороговой константы
взаимодействия.
1.11 Перенос и перемешивание в случайных потоках
Понятие о хаотическом потоке, примеры таких течений. Перенос примеси потоком. Эйлеров и
лагранжев способы описания. Диффузия примеси. Размешивание примеси хаотическим потоком.
1.12 Магнитные жидкости. Эффект магнитного динамо
Вывод уравнения течения магнитной жидкости. Кинематический режим эволюции магнитного
поля. Эффект магнитного динами в стационарном и хаотическом потоке жидкости.
Глава 1.
4
Программа курса: семинарские занятия
§1.1. Случайное блуждание частицы: прыжковая диффузия
Одномерное движение: равновероятное блуждание на прямой. Асимптотическое поведение на
больших временах, связь с уравнением диффузии. Обобщение на случай произвольной размерности пространства. Уравнение управления вероят-
ностями или ”master equation”. Его свойства, сохранение полной вероятности. Переход от блуждания на
прямой к блужданию на кольце. Дискретное преобразование Фурье и решение ”master equation”. Обратное преобразование Фурье, переход от суммирования к интегрированию по первой зоне Бриллюэна. Асимптотическое поведение на больших временах, взятие интеграла
методом перевала. Обобщение решения задачи на слу-
чай произвольной размерности пространства. Функция Грина уравнения диффузии.
∙ Задача 1: Прыжковая диффузия. Рассмотрим
движение частицы на прямой, когда она может находиться только в узлах, которые будем нумеровать целым 𝑛. Частица с вероятностью 𝜆 в единицу времени
прыгает на правый соседний узел, а с вероятностью 𝜇 –
на левый соседний. Найти поведение функции распределения 𝑝(𝑛) на временах 𝑡 ≫ 1/(𝜆 + 𝜇), если в начальный
момент времени частица находилась в узле 𝑛 = 0. Указание: возможно рассмотреть технически более простой,
но также показательный частный случай 𝜇 = 𝜆.
§1.2. Уравнение диффузии: возможные типы граничных условий
Одномер-
функции Грина. Блуждание частиц внутри поглоща-
ное уравнение диффузии на бесконечной прямой. Функ-
ющего шара. Сведение трехмерной задачи к одномер-
ция Грина для уравнения диффузии. Асимптотический
ной. Асимптотическое поведение в пределе больших
по времени вид функции распределения. Обобщение на
времен, роль различных гармоник. Блуждание части-
многомерный случай.
цы внутри поглощающей полусферы.
Одномерное
Литература:
уравнение
диффузии.
[1, §82], § 5.1
Диффузия в ограниченной области. Возможные граничные условия для уравнения диффузии и их физическая интерпретация. Отражающие граничные условия. Блуждание частиц на по-
лупрямой. Построение функции Грина методом изображений. Блуждание частиц на отрезке с отражающими краями. Разделение переменных в уравнении диффузии и построение функции Грина.
∙ Задача 1: Частица совершает броуновское движение в правой полуплоскости (коэффициент диффузии D), причем прямая 𝑥 = 0 для неё непроницаема.
Найти вероятность обнаружить частицу в слое малой
толщины вблизи этой прямой на достаточно больших
временах 𝑡, если при 𝑡 = 0 частица находилась в точке
(𝑅; 0).
∙ Задача 2: Частица совершает броуновское движение на отрезке [0, 𝐿] с отражающими краями. Изначально частица была расположена в точке 𝑥 = 𝑎,
принадлежащей отрезку. Вычислите функцию распределения 𝑃 (𝑥, 𝑡) в произвольный момент времени. Каково асимптотическое поведение на больших временах?
Поглощающие граничные условия. Блуждание
частиц на полупрямой, построение функции Грина методом изображений с поглощающим концом, концепция отрицательной массы. Блуждание частицы на
отрезке с поглощающими краями, построение точной
∙ Задача 3: Частица совершает броуновское движение на отрезке [0, 𝐿] с поглощающими краями. Изначально частица была расположена в точке 𝑥 = 𝑎, принадлежащей отрезку. Вычислите функцию распределения 𝑃 (𝑥, 𝑡) в произвольный момент времени.
∙ Задача 4: В шаре радиуса 𝑅 в очень вязкой
жидкости находятся 𝑁 броуновских частиц. Стенки шара являются для частиц поглощающими (частица, попав на них обратно в объём не возвращается). Найти асимптотический закон зависимости числа броуновских частиц от времени и распределение их плотности
на больших времена, если коэффициент диффузии этих
частиц 𝐷. Решите аналогичную задачу для случая поглощающей полусферы.
∙ Задача 5: Броуновская частица в начальный момент времени находилась на расстоянии 𝑙 от поверхности абсолютно поглощающей сферы, радиус которой 𝑎.
Определите вероятность того, что частица не поглотилась сферой в пределе больших времен.
Сравнить результаты с результатами для одномерной задачи: когда броуновская частица в начальный момент времени находилась на расстоянии 𝑙 от поглощающей стенки.
Граничное
условие,
задающее
постоянную
пристеночную концентрацию.
∙ Задача 6: Решите одномерное уравнение диффузии
𝜅𝜕𝑥2 𝑛 = 𝜕𝑡 𝑛
(1.1)
5
в области 𝑥 ≥ 0 с начальным условием
𝑛(𝑥, 0) = 0,
концентрация частиц 𝑛(0, 𝑡) = 𝑛0 .
(1.2)
𝑥>0
если в начале координат поддерживается постоянная
Указание. Эту задачу можно решить методом поиска автомодельного решения.
§1.3. Элементы статистики; задача о случайно расположенных на прямой
поглощающих центрах
Совместное распределение гауссовых случай-
1, 𝑁
ных величин. Производящая функция для совместно-
го распределения гауссовых случайных величин. Матрица корреляций. Теорема Вика.
∙ Задача 1: Пусть имеется 𝐾 действительных переменных 𝑥𝑖 , функция распределения которых имеет Гауссов вид
𝜌(𝑥1 , 𝑥2 , ..., 𝑥𝐾 ) =
1
exp(−𝑥𝑖 𝐴𝑖𝑗 𝑥𝑗 ),
𝑁
имеющих одинаковую функцию распределения 𝑝(𝑥).
Для простоты положим, что ⟨𝑥⟩ = 0. При 𝑁 ≫ 1 функция распределения 𝒫(𝑋) для 𝑋 может быть записана в
универсальном виде:
𝒫(𝑋) ≈ 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 · exp {−𝑁 𝑆 (𝑋/𝑁 )} .
(1.3)
где 𝐴^ - симметричная положительно
´ определённая матрица. Покажите, что из условия 𝜌𝑑𝐾 𝑥 = 1 следует
следующее выражение для нормировочной константы
(2𝜋)𝐾/2
𝑁= √
det 𝐴
𝑋 = 𝑥1 + 𝑥2 + · · · + 𝑥𝑁 ,
(1.4)
1
2
. При каких
𝜋 (1 + 𝑥2 )2
ограничениях на 𝑋/𝑁 работает гауссова аппроксимация:
(𝑋/𝑁 )2
𝑆 (𝑋/𝑁 ) ≈
?
2⟨𝑥2 ⟩
Вычислить 𝑆 (𝑋/𝑁 ) для 𝑝(𝑥) =
Вычислите парную корреляционную функцию
(1.5)
⟨𝑥𝑖 𝑥𝑗 ⟩
а затем корреляционные функции произвольного порядка
⟨𝑥𝑖 𝑥𝑗 ...𝑥𝑛 𝑥𝑚 ⟩
(1.6)
Сумма
большого
количества
независимых
одинаково распределённых случайных величин.
Центральная предельная теорема. Расширение центральной предельной теоремы: функция Крамерса.
∙ Задача 2: Рассмотрим случайную величину 𝑋 ,
являющуюся суммой случайных переменных 𝑥𝑗 , 𝑗 =
Задача
о
диффузии
на
прямой
со
случай-
но расположенными поглощающими центрами:
принцип
формирования
статистики;
определе-
ние статистики в терминах оптимальных флуктуаций, перемежаемость статистики.
∙ Задача 3: На прямой случайно раскиданы ловушки. Вероятность найти ловушку на отрезке [𝑥, 𝑥+𝑑𝑥]
есть 𝑝 · 𝑑𝑥. Изначально на прямой были равномерно распределены броуновские частицы с плотностью 𝑛0 . Найти ⟨𝑛(𝑡)⟩ при 𝑡 ≫ 1, где вреднее подразумевается в смысле среднего значения по всей прямой.
§1.4. Уравнения Ланжевена и Фоккера-Планка.
Уравнение Ланжевена. Cовместное распреде-
где
ление гауссовых случайных величин. Уравнение
⟨𝜉𝑖 ⟩ = 0,
Фоккера-Планка.
Литература:
§3.1
∙ Задача 1: Рассмотрим броуновскую частицу, динамика которой подчиняется стохастическому уравнению
𝑑⃗𝑣
⃗
= −𝛾⃗𝑣 + 𝜉,
𝑑𝑡
𝑑⃗𝑟
= ⃗𝑣 ,
𝑑𝑡
(1.7)
⟨𝜉𝑖 (𝑡1 )𝜉𝑗 (𝑡2 )⟩ = 2𝛾 2 𝐷𝛿𝑖𝑗 𝛿(𝑡1 − 𝑡2 )
(1.8)
Предполагая ⃗𝑟(0) = 0 и ⃗𝑣 (0) = 0, вычислите следующие
статистические моменты
⟨𝑣𝑖 (𝑡)⟩,
⟨𝑣𝑖 (𝑡)𝑣𝑗 (𝑡)⟩,
⟨𝑟𝑖 (𝑡)⟩,
⟨𝑟𝑖 (𝑡)𝑟𝑗 (𝑡), ⟩
⟨𝜉𝑖 (𝑡)𝑟𝑗 (𝑡)⟩,
⟨𝜉𝑖 (𝑡)𝑣𝑗 (𝑡)⟩,
⟨𝑟𝑖 (𝑡)𝑣𝑗 (𝑡)⟩
(1.9)
Глава 1.
6
Программа курса: семинарские занятия
Найдите асимптотическое поведение полученных величин при
𝑎) 𝑡 ≪ 𝛾 −1
𝑏) 𝑡 ≫ 𝛾 −1 .
∙ Задача 2: Динамика переменной 𝑥 описывается
уравнением
𝑥˙ = 𝑥𝜉
(1.10)
с начальным условием 𝑥(0) = 𝑥0 > 0. Для случайной
величины 𝜉 справедливо
⟨𝜉(𝑡1 )𝜉(𝑡2 )⟩ = 2𝐷𝛿(𝑡1 − 𝑡2 )
Найдите среднее
⟨𝑥(𝑡)2 ⟩
(1.11)
(1.12)
∙ Задача 3: Динамика переменной 𝑥 описывается
уравнением
𝑥˙ = 𝑥 + 𝑥𝜉
(1.13)
с начальным условием 𝑥(0) = 0. Для случайной величины 𝜉 справедливо
(︂
)︂
|𝑡1 − 𝑡2 |
2𝐷
exp −
(1.23)
⟨𝜉(𝑡1 )𝜉(𝑡2 )⟩ =
𝜏
𝜏
Найдите средние
⟨𝑥(𝑡)2 ⟩,
Соответствие между уравнениями Ланжевена
и Фоккера-Планка
∙ Задача 7: Функция
Решите уравнение
Найдите среднее
⟨𝑥(𝑡)2 ⟩
(1.14)
(1.15)
Грина броуновской частицы.
𝜕𝑡 𝜌 = −𝑣𝜕𝑧 𝜌 + 𝛾𝜕𝑣 (𝑣𝜌) + 𝛾
𝑘𝑇 2
𝜕 𝜌,
𝑚 𝑣
(1.25)
с начальным условием
(1.26)
𝜌(𝑥, 𝑣, 0) = 𝛿(𝑥)𝛿(𝑣)
с начальным условием 𝑥(0) = 𝑥0 > 0. Для случайной
величины 𝜉 справедливо
⟨𝜉(𝑡1 )𝜉(𝑡2 )⟩ = 2𝐷𝛿(𝑡1 − 𝑡2 )
(1.24)
⟨𝑥(𝑡)3 ⟩
Гидродинамический
предел
в
уравнении
Фоккера-Планка.
Литература:
§3.2
∙ Задача 8:
Функция Грина броуновской частицы
Решите одномерное уравнение диффузии при наличии силы тяжести
в поле тяжести.
∙ Задача 4: Динамика переменной 𝑥 описывается
уравнением
𝑥˙ = 𝜉
(1.16)
Найдите среднее
⟨sin[𝑥(𝑡)] 𝜉(𝑡)⟩
(1.17)
(1.18)
∙ Задача 5: Динамика переменной 𝑥 описывается
уравнением
𝑥˙ = 𝑥𝜉
(1.19)
с начальным условием 𝑥(0) = 𝑥0 > 0. Для случайной
величины 𝜉 справедливо
⟨𝜉(𝑡1 )𝜉(𝑡2 )⟩ = 2𝐷𝛿(𝑡1 − 𝑡2 )
(1.20)
𝑛(𝑧, 0) = 𝛿(𝑧 − 𝑧0 ).
∙ Задача 9:
(1.28)
Функция Грина броуновской части-
Решите одномерное
уравнение диффузии при наличии параболического потенциала
𝜅𝜕𝑥2 𝑛 + 𝛼𝜕𝑥 [𝑥𝑛] = 𝜕𝑡 𝑛
(1.29)
цы в параболическом потенциале.
с начальным условием
𝑛(𝑧, 0) = 𝛿(𝑧)
(1.30)
С помощью найденного решения определите ⟨𝑥(𝑡)2 ⟩.
∙ Задача 10: В пределе большой вязкости концентрация броуновских частиц описывается уравнением
Найдите функцию плотности вероятности
𝜌(𝑥, 𝑡) = ⟨𝛿(𝑥 − 𝑥(𝑡))⟩𝜉
(1.27)
с начальным условием
где для случайной величины 𝜉 справедливо
⟨𝜉(𝑡1 )𝜉(𝑡2 )⟩ = 2𝐷𝛿(𝑡1 − 𝑡2 )
𝜅𝜕𝑥2 𝑛 − 𝑔𝛾 −1 𝜕𝑥 𝑛 = 𝜕𝑡 𝑛
(1.21)
∙ Задача 6: Динамика переменной 𝑥 описывается
уравнением
𝑥˙ = 𝜉
(1.22)
𝜕𝑡 𝑛 = 𝜅Δ𝑛 − div(𝑓⃗𝑛)
(1.31)
где 𝑓⃗ - внешняя сила, 𝑓⃗ = grad 𝑈 , где 𝑈 – потенциал силы. Найдите стационарное распределение концентрации
частиц в случае кулоновской силы.
7
§1.5. Закон Аррениуса
Схема
построения
решения
для
функции
распределения. Область постоянного потока. Об-
ласть применимости распределения Больцмана. Условие сшивки решений в двух областях.
Обобщение
решения
на
различные
случаи:
двумерный случай; случай, когда потенциал в
точке перевала имеет особенность типа
−|𝑥|.
∙ Задача 1: Рассмотрим двумерное броуновское
движение в потенциале 𝑈 (𝑟) = 𝑉 ((𝑟/𝑎)2 − (𝑟/𝑎)4 ), при-
чём высота барьера велика по сравнению с температурой, 𝑉 ≫ 𝑇 . Найдите скорость ухода частиц из локального минимума, в том числе предэкспоненциальный
множитель.
∙ Задача 2: Рассмотрим одномерное броуновское
движение в потенциале 𝑈 (𝑟) = 𝑉 (1 − |𝑟/𝑎 − 1|)(𝑟/𝑎),
причём высота барьера велика по сравнению с температурой, 𝑉 ≫ 𝑇 . Найдите скорость ухода частиц из локального минимума, в том числе предэкспоненциальный
множитель.
§1.6. Теория линейного отклика. Флуктуационно-диссипационная
теорема.
Линейная
восприимчивость.
Аналитические
свойства линейной восприимчивости в частотном
представлении. Скорость выделения тепла при дей-
ствии внешней силы в условиях линейного отклика системы.
Флуктуационно-диссипационная
теорема.
Формулировка теоремы. Доказательство для высоких
температур (классический предел) используя уравне-
Выражение для среднего квадрата флуктуирующей величины.
ние Фоккера-Планка.
∙ Задача 1: Используя ФДТ доказать соотношение Эйнштейна для одномерной диффузии 𝐷 = 𝜇𝑇 , где
𝐷 – коэффициент диффузии, 𝜇 – подвижность, а 𝑇 –
температура.
∙ Задача 2: Пусть дан 𝑅-𝐿-𝐶 -контур, находящийся при температуре 𝑇 . Найдите величину среднеквадратичных флуктуаций в контуре, а также амплитуду
среднеквадратичных флуктуаций на на резонансной частоте.
∙ Задача 3: Найти среднеквадратичные флуктуации ⟨|𝑑𝜔 |2 ⟩ дипольного момента в частотном представлении 𝑑𝜔 маленького стеклянного шара радиуса 𝑎 полагая, что на интересующих частотах комплексный показатель преломления стекла равен n + 𝑖k и не зависит от
частоты, а длина волны 𝜆 ≫ 𝑎.
§1.7. Проводимость классического газа с трением
Проводимость системы часто является одной из важнейших её характеристик с точки зрения технических
приложений. Кроме того, исследование проводимости
материала даёт информацию о его внутренней структуре, которую, однако, для адекватного анализа следует
рассматривать через призму теоретического представления о внутренних свойствах среды. На данном семинаре предлагается рассмотреть один из простейших методов описания проводимости среды в рамках уравнения Фоккера-Планка.
с начальным условием
𝜌(𝑥, 𝑣, 0) = 𝛿(𝑥)𝛿(𝑣)
∙ Задача 2: Движение броуновской частицы во
внешних скрещенных магнитном и электрическом полях, описывается соответствующими уравнениями Ланжевена:
𝑑⃗𝑟
𝑑𝑡
=
𝑝⃗
,
𝑚
𝑑⃗
𝑝
⃗
⃗ + 𝑒 [⃗
⃗ + 𝜉,
= −𝛾⃗
𝑝 + 𝑒𝐸
𝑝, 𝐵]
𝑑𝑡
𝑚
⟨𝜉𝑖 (𝑡1 )𝜉𝑗 (𝑡2 )⟩ = 2𝐷𝛿𝑖𝑗 𝛿(𝑡1 − 𝑡2 )
∙ Задача 1:
Функция Грина броуновской частицы
в поле тяжести.
Решите уравнение
𝜕𝑡 𝜌 = −𝑣𝜕𝑥 𝜌 + 𝛾𝜕𝑣 (𝑣𝜌) + 𝑔𝜕𝑣 𝜌 + 𝛾
𝑘𝑇 2
𝜕 𝜌,
𝑚 𝑣
(1.32)
(1.33)
Здесь 𝑚 - масса частицы, 𝑒 - ее заряд, ⃗𝑟 и 𝑝⃗ - ее положе⃗ и𝐵
⃗ являние и импульс. Предполагается, что поля 𝐸
ются пространственно-однородными и взаимно перпендикулярными. Температура среды 𝑇 и 𝐷 = 𝛾𝑚𝑇 .
Глава 1.
8
Программа курса: семинарские занятия
а) Найти точное выражение для стационарной функции распределения 𝜌(⃗𝑟, 𝑝⃗) при произвольном значении
напряженностей полей. Найти среднее значение тока.
Найти приращение средней кинетической энергии частицы по сравнению со случаем отсутствия полей.
б) Предполагая, что значения полей малы, получить
предыдущие результаты методом теории возмущений.
Сравнить с точным результатом, осуществив, таким образом его проверку.
∙ Задача 3: Движение броуновской частицы во
внешних скрещенных магнитном и электрическом полях, описывается соответствующими уравнениями Ланжевена:
𝑝⃗
𝑑⃗
𝑝
𝑑⃗𝑟
⃗
⃗ + 𝑒 [⃗
⃗ + 𝜉,
=
,
= −𝛾⃗
𝑝 + 𝑒𝐸
𝑝, 𝐵]
𝑑𝑡
𝑚
𝑑𝑡
𝑚
⟨𝜉𝑖 (𝑡1 )𝜉𝑗 (𝑡2 )⟩ = 2𝐷𝛿𝑖𝑗 𝛿(𝑡1 − 𝑡2 )
(1.34)
Здесь 𝑚 - масса частицы, 𝑒 - ее заряд, ⃗𝑟 и 𝑝⃗ - ее положе⃗ и𝐵
⃗ являние и импульс. Предполагается, что поля 𝐸
ются пространственно-однородными и взаимно перпендикулярными. Температура среды 𝑇 и 𝐷 = 𝛾𝑚𝑇 .
При начальных условиях ⃗𝑟(0) = 0 и 𝑝⃗(0) = 0 найдите 𝑝⃗(𝑡) для произольной реализации случайной силы, а
затем вычислите среднее
⟨𝑝(𝑡)2 ⟩
(1.35)
Задача 7. Заряженные частицы, распределённые в
пространстве со средней плотностью 𝑛, находятся в однородном по пространству и периодическом по времени
электрическом поле, E(r, 𝑡) = E0 cos(𝜔𝑡). Найти проводимость такой системы как функцию частоты поля.
§1.8. Шумы, возникающие за счет активационных переходов
Шум типа 1/𝑓 (его также называют “фликкерный
шум”) наблюдается во множестве систем, в том числе в
электронных системах, что важно с точки зрения работы электронных микросхем. Происхождение этого шума
может быть качественно объяснено с помощью простых
моделей в рамках уравнения диффузии.
Модель туннельной системы с двумя локальными минимумами. Формулировка модели. Физиче-
ское обоснование модели.
Литература:
§5.3,[2],[3].
∙ Задача 1: Пусть система (некоторая координата
𝑥) испытывает флуктуации, спектр которых имеет поведение 1/𝑓 . Найти одновременные среднеквадратичные
флуктуации этой величины двумя способами: из вида
спектра флуктуаций и непосредственно путём усреднения по беспорядку независимых вкладов в среднеквад-
§1.9.
ратичную флуктуацийю; сравнить ответы.
∙ Задача 2: Пусть система (некоторая координата 𝑥(𝑡)) испытывает флуктуации, спектр которых имеет
поведение 1/𝑓 . Какова одновременная функция распределения величины 𝒫(𝑥)?
∙ Задача 3: В Пункте 5.3 при получении шума типа
1/𝑓 была рассмотрена модель, в которой рассматривается ансамбль двух-ямных потенциалось со случайной
глубиной обеих ям. Возможно рассматривать другую
модификацию такой модели, в которой положение дна
ям фиксировано, тогда как случайной величиной является высота барьера между ямами. Показать, что такая
модель даёт тот же закон 1/𝑓 для спектра шума, тогда
как температурная зависимость оказывается модельно
зависимой.
Стохастический резонанс
Явление стохастического резонанса служит примером того, что шум в системе может играть конструктивную роль. Шум оптимальной интенсивности в условиях стохастического резонанса улучшает интенсивность
сигнала на выходе бистабильной системы. Данный эффект широко используется при создании ряда техниче-
ских устройств, а также, как выяснилось, играет важную роль в процессах восприятия и обработки информационных сигналов живыми организмами на фоне внешних и внутренних шумов.
На семинаре предполагается разобрать явление стохастического резонанса, Литература: §5.4,[4],[5]
9
§1.10. Фазовая синхронизация
Модель Курамото. Параметр порядка как мера
эффективности
синхронизации.
Фоккера-Планка
для
осцилляторов
фазе.
по
функции
Уравнение
распределения
Вычисление
пороговой
константы взаимодействия.
О явлении синхронизации говорят, когда в системе
взаимодействующих осцилляторов возникают согласованные колебания, несмотря на то что каждый в отдельности взятый осциллятор обладает уникальной собственной частотой и подвержен случайному шуму. Такой эффект представляет собой коллективное поведение и обусловлен наличием взаимодействия между осцилляторами. Коллективную синхронизацию можно наблюдать на большом числе примеров биологических систем: клетки типа pacemaker в сердечной ткани; синхронизованная активность нейронов, ответственная за формирование ритмов головного мозга; синхронизация метаболизма дрожжевых клеток; синхронизация вспышек
больших скоплений светлячков; согласованное стрекотание сверчков. К примерам из области физики относятся синхронизцию фаз взаимодействующих джозефсоновских переходов и лазеров. Переход ансамбля осцилляторов от несогласованного состояния, когда каждый осциллятор колеблется с собственной частотой, к
синхронизованному представляет собой аналог фазового перехода. Контролируется этот переход силой взаимодействия между осцилляторами, которая после превышения некторого порогового значения способна привести к коллективному поведению системы, несмотря на
разброс собственных частот составляющих ее элементов
и наличие шума. Литература: §5.5.
∙ Задача 1: Определите критическую константу
взаимодействия 𝐾𝑐 в системе без шума (𝐷 = 0) в случае лоренцева распределения собственных частот
𝑔(Ω) =
𝛾
𝜋(𝛾 2 + Ω2 )
(1.36)
§1.11. Перенос и перемешивание в случайных потоках
Понятие
о
Навье-Стокса.
хаотическом
потоке.
Уравнение
Примеры хаотических течений.
⟨𝑓 (x, 𝑡)𝑓 (x′ , 𝑡′ )⟩ = 𝜒(x − x′ )𝛿(𝑡 − 𝑡′ ),
𝑣𝛼 (x, 𝑡) = 𝜎𝛼𝛽 (𝑡)𝑥𝛽 ,
Перенос примеси потоком. Эйлеров и лагранжев способы описания. Диффузия примеси. Размешивание примеси хаотическим потоком. Лите-
ратура:
§6.1
∙ Задача 1: Пассивный скаляр размешивается
крупномасштабным полем скорости; при этом имеются
и накачка, и объемное поглощение:
𝜕𝑡 𝜃 + (v∇)𝜃 − 𝛾𝜃 = 𝑓 (x, 𝑡)
⟨𝜎𝛼𝛽 (𝑡)𝜎𝜇𝜈 (𝑡′ )⟩ =
= 𝒢 [(𝑑 + 1)𝛿𝛼𝜇 𝛿𝛽𝜈 − 𝛿𝛼𝛽 𝛿𝜇𝜈 − 𝛿𝛼𝜈 𝛿𝛽𝜇 ] 𝛿(𝑡 − 𝑡′ ),
где 𝑑 – размерность пространства и функция 𝜒(𝑟) имеет характерный масштаб 𝐿, 𝒢 – константа размерности c−1 , определяющая силу шума. Определить одновременную корреляционную функцию пассивного скаляра 𝐹 (𝑟) = ⟨𝜃(r) 𝜃(0)⟩ на расстояниях 𝑟 ≪ 𝐿.
§1.12. Магнитные жидкости. Эффект магнитного динамо
Вывод уравнения течения магнитной жидкости.
Кинематический режим эволюции магнитно-
Найти зависимость от времени среднего 𝑥2 (𝑡), если
𝑥(0) = (1, 0) и случайная матрица 𝜎𝛼𝛽 (𝑡), 𝛼𝛽 = 1, 2, обладает гауссовой статистикой с коррелятором:
го поля. Эффект магнитного динами в стацио-
⟨𝜎𝛼𝛽 (𝑡)𝜎𝜇𝜈 (𝑡0 )⟩ = 𝐷𝛿𝛼𝜇 𝛿𝛽𝜈 𝛿(𝑡 − 𝑡0 ).
нарном и хаотическом потоке жидкости.
∙ Задача 1: Двумерный вектор x эволюционирует
со временем по закону
𝑥˙ 𝛼 = 𝜎𝛼𝛽 (𝑡)𝑥𝛽
(1.37)
Использовать, там где это необходимо, физическую
(симметричную) регуляризацию 𝛿 -функции.
Глава 2.
10
Задачи для самостоятельного решения
Глава 2
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО
РЕШЕНИЯ
∙ Задача 2:
Рассмотрим случайную величину 𝑋 , являющуюся суммой случайных переменных
𝑥𝑗 , 𝑗 = 1, 𝑁
𝑋 = 𝑥1 + 𝑥 2 + · · · + 𝑥 𝑁 ,
имеющих одинаковую функцию распределения 𝑝(𝑥). Для простоты положим, что ⟨𝑥⟩ = 0. При 𝑁 ≫ 1
функция распределения 𝒫(𝑋) для 𝑋 может быть записана в универсальном виде:
𝒫(𝑋) ≈ 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 · exp {−𝑁 𝑆 (𝑋/𝑁 )} .
Вычислить 𝑆 (𝑋/𝑁 ) для
𝑝(𝑥) =
2
1
.
𝜋 (1 + 𝑥2 )2
При каких ограничениях на 𝑋/𝑁 работает гауссова аппроксимация:
(𝑋/𝑁 )2
𝑆 (𝑋/𝑁 ) ≈
?
2⟨𝑥2 ⟩
∙ Задача 3: Частица совершает прыжки по узлам одномерной цепочки, причём с каждого узла
она может прыгать только на соседние с ним: с вероятностью в единицу времени 𝜆 вправо и с
вероятностью в единицу времени 𝜇 влево. Найти функцию распределения 𝒫(𝑛) частицы по узлам
на больших временах 𝑡. При 𝑡 = 0 частица находилась в узле с номером 𝑛 = 0.
∙ Задача 4: Частица совершает броуновское движение в правой полуплоскости (коэффициент
диффузии D), причем прямая 𝑥 = 0 для неё непроницаема. Найти вероятность обнаружить частицу
в слое малой толщины вблизи этой прямой на достаточно больших временах 𝑡, если при 𝑡 = 0 частица
находилась в точке (𝑅; 0).
∙ Задача 5: Броуновская частица совершает случайное движение в трёхмерном пространстве.
В начальный момент времени она находилась на расстоянии 𝑙 от поверхности поглощающей сферы,
радиус которой 𝑎. Найти вероятность того, что частица никогда не будет поглощена этой сферой.
Как зависит вероятностью того, что частица будет поглощена сферой на больших временах? Коэффициент диффузии частицы равен 𝐷.
Сравнить результаты с результатами для одномерной задачи: когда броуновская частица в начальный момент времени находилась на расстоянии 𝑙 от поглощающей стенки.
∙ Задача 6: В шаре радиуса 𝑅 в очень вязкой жидкости находятся 𝑁 броуновских частиц.
Стенки шара являются для частиц поглощающими (частица, попавшая на стенку, обратно в объем
не возвращается). Найти асимптотический закон зависимости числа броуновских частиц от времени
и распределение их плотности на больших временах, если коэффициент диффузии этих частиц равен
𝐷.
∙ Задача 7: Броуновские частицы единичной массы в режиме сильного затухания 𝛾 находятся
в окрестности точки 𝑥 = 0 в потенциале
[︂ (︁ )︁
(︁ 𝑥 )︁3 ]︂
𝑥 2
𝑈 (𝑥) = 𝑈0 3
−2
.
𝑎
𝑎
11
При конечной температуре 𝑇 ≪ 𝑈0 имеется конечный поток частиц направо, так что количество
частиц, остающихся за барьером, экспоненциально убывает: 𝑛 ∝ exp(−Γ𝑡). Если частицы имеют положительный заряд 𝑞 , то константа Γ (и вместе с ней ток) будет расти с увеличением электрического
поля 𝐸 , приложенного в положительном направлении оси 𝑥. Найти зависимость Γ(𝐸) декремента Γ
от поля 𝐸 .
∙ Задача 8: Заряженные частицы, распределённые в пространстве со средней плотностью 𝑛,
находятся в однородном по пространству и периодическом по времени электрическом поле, E(r, 𝑡) =
E0 cos(𝜔𝑡). Найти проводимость такой системы как функцию частоты поля.
∙ Задача 9: На частицу действуют случайная сила, а также сила трения. В начальный момент
времени частица находилась в определенной точке и имела равную нулю скорость. Найти распределение частицы по импульсу и координате в произвольный момент времени, воспользовавшись Гауссовым видом этого распределения и вычисляя средние значения квадратов координаты, импульса и
произведения координаты и импульса.
Рассмотрите отдельно движение частицы в пределах малого и большого трения. Найдите условия,
при которых можно считать, что частица движется в условия малого/большого трения.
∙ Задача 10: Дан классический 𝐿 − 𝑅 − 𝐶 контур, находящийся при температуре 𝑇 . Применив флуктуационно-диссипационную теорему, найдите величину среднеквадратичных флуктуаций
тока в контуре. Определите также амплитуду среднеквадратичных флуктуаций колебаний тока на
резонансной частоте.
∙ Задача 11: Замкнутая 𝐿 − 𝑅 − 𝐶 цепочка находится в равновесии при 𝑇 = 0. Найти средний
заряд ⟨𝑞 2 ⟩ на конденсаторе.
∙ Задача 12: Рассмотрите уравнение Ланжевена для движения броуновской массивной частицы
во внешних скрещенных электрическом и магнитном полях:
𝜕𝑡 r =
p
,
𝑚
𝜕𝑡 p = 𝑒E +
𝑒
Γ
[p, B] −
p + 𝜉𝑝 ,
𝑚
𝑚𝑇
⟨𝜉𝑝𝑖 (𝑡1 )𝜉𝑝𝑗 (𝑡2 )⟩ = 2𝛿 𝑖𝑗 𝛿(𝑡1 − 𝑡2 )Γ,
𝑖, 𝑗 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}.
Предполагается, что E ⊥ B, 𝑚 – масса частицы, 𝑒 - её заряд, r – радиус-вектор положения частицы,
p – её импульс.
Найдите стационарную функцию распределения 𝒫0 (p) при нулевых значениях обоих полей, считая, что плотность частиц в координатном пространстве равна 𝑛.
Найдите точное выражение для функции распределения при произвольном абсолютном значении
электрического и магнитного полей. Найдите среднее значение тока и увеличение средней кинетической энергии в этом случае.
Предполагая, что абсолютные значения полей 𝐸 и 𝐵 малы, найдите приближённые выражения
для компонент электрического тока, используя теорию возмущений. Сравните с точным результатом.
∙ Задача 13: Рассмотрите уравнение случайного движения с постоянной компонентой силы
𝜕𝑡 𝜙 = 𝜉 + 𝑓 (𝜙),
⟨𝜉(𝑡1 )𝜉(𝑡2 )⟩ = 2𝐷𝛿(𝑡1 − 𝑡2 ),
на кольце 𝜙 ∈ [0, 2𝜋]. Это означает, что постоянная часть внешней силы периодична, 𝑓 (𝜙) =
𝑓 (𝜙 + 2𝜋). Предположим сначала, что 𝑓 постоянна, то есть не зависит от 𝜙. Найдите в этом случае
стационарную функцию распределения 𝒫0 (𝜙). Чему равен поток частиц 𝑊 по кольцу в этом случае?
Пусть теперь постоянная составляющая внешней силы
1
𝑓 (𝜙) = − cos(𝜙) − .
2
Глава 2.
12
Программа курса: семинарские занятия
Нарисуйте для такой силы её ‘потенциал’
ˆ𝜙
d𝜙′ 𝑓 (𝜙′ )
𝑈 (𝜙) =
0
на отрезке [0, 6𝜋]. Найдите стационарную функцию распределения 𝒫0 (𝜙) для данной 𝑓 (𝜙) (задачу
можно решить формально точно, но оставив в выражении интегралы, не берущиеся точно). Исследуйте два предела: 𝐷 ≫ 1 и 𝐷 ≪ 1, в этих пределах можно взять интегралы приближённо. Найдите
в этих двух пределах, чему равен поток частиц по кольцу 𝑊 .
13
I.
МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Часть I
Глава 3
УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА-ПЛАНКА И ДИФФУЗИИ
§3.1. Уравнение Фоккера-Планка
Одномерное движение броуновской частицы описывается уравнением Ланжевена
𝑓
+ 𝜉,
𝑥˙ = 𝑣,
(3.1)
𝑚
где 𝛾 - постоянная затухания скорости частицы; 𝑚 - масса частицы; 𝜉 - случайная сила, соответствующая столкновениям частицы с молекулами среды (тепловой шум);
𝑓 - остальные внешние силы (например сила тяжести).
Функция распределения броуновской частицы по координате и скорости определяется как
⟨︀
⟩︀
𝜌(𝑥, 𝑣, 𝑡) = 𝛿(𝑥 − 𝑥
˜(𝑡)) 𝛿(𝑣 − 𝑣˜(𝑡))
(3.2)
𝑣˙ = −𝛾𝑣 +
где 𝑥
˜(𝑡) и 𝑣˜(𝑡) являются решениями уравнения Ланжевена для некоторой конкретной реализации случайной
силы 𝜉 , а угловые скобки обозначают усреднение по всем
реализациям 𝜉 . Для самой случайной силы мы предполагаем
⟨𝜉(𝑡)⟩ = 0,
(3.3)
что соответствует отсутствию у термостата выделенных
направлений. Кроме того, нам необходимо знать парный
коррелятор ⟨𝜉(𝑡1 )𝜉(𝑡2 )⟩. Мы будем считать, что термостат находится в состоянии равновесия, а значит свойства теплового шума однородны по времени. Тогда указанный коррелятор зависит только от разности времен.
В реальной системе коррелятор будет очень мал, если
моменты времени 𝑡1 и 𝑡2 достаточно удалены друг от
друга. При этом можно ввести некоторое время 𝜏 - время корреляции, такое, что на временах больше 𝜏 , написанное выше среднее равно нулю. На временах меньших
времени корреляции это не так, и среднее значение произведения случайных сил есть некоторая функция от
𝑡2 − 𝑡1 . Однако, если интересоваться статистикой системы на временах много больших чем время корреляции
силы, последнее можно считать бесконечно малым, и
принять:
⟨𝜉(𝑡1 )𝜉(𝑡2 )⟩ = 2𝐷𝛿(𝑡2 − 𝑡1 )
(3.4)
где 𝐷 - мера интенсивности флуктуаций случаной силы,
которая, как мы увидим ниже, определяется температурой термостата.
Приступим к выводу уравнения, описывающего эволюцию функции распределения. Продифференцируем
выражение (5.47) по времени:
𝜕𝑡 𝜌(𝑥, 𝑣, 𝑡)
=
−⟨𝑥
˜˙ (𝑡)𝛿 ′ (𝑥 − 𝑥
˜(𝑡))𝛿(𝑣 − 𝑣˜(𝑡))⟩ −
(3.5)
− ⟨𝑣˜˙ (𝑡)𝛿(𝑥 − 𝑥
˜(𝑡))𝛿 ′ (𝑣 − 𝑣˜(𝑡))⟩
Используя
функции
интегральное
+∞
ˆ
𝛿(𝑥 − 𝑥
˜(𝑡)) =
представление
дельта-
𝑑𝜇 𝑖𝜇(𝑥−˜𝑥(𝑡))
𝑒
,
2𝜋
(3.6)
−∞
получим с учетом уравнений движения
+∞
ˆ
𝜕𝑡 𝛿(𝑥 − 𝑥
˜(𝑡))
= −
𝑑𝜇 ˙
𝑖𝜇𝑥
˜(𝑡)𝑒𝑖𝜇(𝑥−˜𝑥(𝑡)) =
2𝜋
(3.7)
−∞
+∞
ˆ
= 𝑣
𝑑𝜇
𝜕𝑥 𝑒𝑖𝜇(𝑥−˜𝑥(𝑡)) = −𝑣𝜕𝑥 𝛿(𝑥 − 𝑥
˜(𝑡)).
2𝜋
−∞
Аналогично
𝜕𝑡 𝛿(𝑣 − 𝑣˜(𝑡)) = −𝜕𝑣 (𝑣˜˙ (𝑡)𝛿(𝑣 − 𝑣˜(𝑡)))
(3.8)
Тогда, усредняя по шуму, имеем
𝜕𝑡 𝜌(𝑥, 𝑣, 𝑡)
=
= −𝑣𝜕𝑥 𝜌 + 𝜕𝑣 (𝑣˜˙ (𝑡)𝛿(𝑥 − 𝑥
˜(𝑡))𝛿(𝑣 − 𝑣˜(𝑡))) =
(︂
)︂
𝑓
𝜌 −
= −𝑣𝜕𝑥 𝜌 + 𝜕𝑣 𝛾𝑣 +
𝑚
⟨︀
⟩︀
− 𝜕𝑣 𝜉(𝑡)𝛿(𝑥 − 𝑥
˜(𝑡))𝛿(𝑣 − 𝑣˜(𝑡)) .
Поскольку случайная сила предполагается короткокоррелированной, то вклад в последнее среднее дадут
только времена мало отличающиеся от 𝑡. Решения уравнений Ланжевена можно записать в виде
𝑥
˜(𝑡) = 𝑥
˜(𝑡 − Δ𝑡) + 𝑣˜(𝑡 − Δ𝑡)Δ𝑡 + 𝑂(Δ𝑡2 ),
(3.9)
Глава 3.
14
Уравнения Фоккера-Планка и диффузии
𝑓
𝑣˜(𝑡) = 𝑣˜(𝑡−Δ𝑡)−𝛾˜
𝑣 (𝑡−Δ𝑡)Δ𝑡+ Δ𝑡+
𝑚
ˆ𝑡
𝜉(𝜏 )𝑑𝜏 +𝑂(Δ𝑡2 ).
𝑡−Δ𝑡
(3.10)
Подставим эти выражения в оставшееся неусредненным слагаемое и выполним разложение по степеням Δ𝑡,
удерживая только члены, которые остаются ненулевыми в пределе Δ𝑡 → 0
⟨𝜉(𝑡)𝛿(𝑥 − 𝑥
˜(𝑡))𝛿(𝑣 − 𝑣˜(𝑡))⟩ =
= ⟨𝜉(𝑡) 𝛿(𝑥 − 𝑥
˜(𝑡 − Δ𝑡) − Δ˜
𝑥) 𝛿(𝑣 − 𝑣˜(𝑡 − Δ𝑡) − Δ˜
𝑣 )⟩ =
Приведенные выше вычисления могут быть проделаны
и в случае трехмерного движения, что приведет к очевидному результату
𝜕𝑡 𝜌 = −𝑣𝑖 𝜕𝑟𝑖 𝜌 + 𝛾𝜕𝑣𝑖 (𝑣𝑖 𝜌) +
3.1.1
Как мы знаем, термодинамически равновесная функция
распределения является распределением Гиббса,
[︂
]︂
𝑚⃗𝑣 2
𝑈 (⃗𝑟)
𝜌0 (⃗𝑟, ⃗𝑣 ) ∼ exp −
−
2𝑘𝑇
𝑘𝑇
− ⟨𝜉(𝑡)Δ˜
𝑣 𝜕𝑣 𝛿(𝑥 − 𝑥
˜(𝑡 − Δ𝑡))𝛿(𝑣 − 𝑣˜(𝑡 − Δ𝑡))⟩ =
𝜉(𝜏 )𝑑𝜏 𝜕𝑣 𝛿(𝑥 − 𝑥
˜(𝑡 − Δ𝑡))𝛿(𝑣 − 𝑣˜(𝑡 − Δ𝑡))⟩
= −⟨𝜉(𝑡)
𝑡−Δ𝑡
(3.13)
ФДТ в классическом пределе
= ⟨𝜉(𝑡)𝛿(𝑥 − 𝑥
˜(𝑡 − Δ𝑡))𝛿(𝑣 − 𝑣˜(𝑡 − Δ𝑡))⟩ −
ˆ𝑡
𝑓𝑖
𝜕𝑣 𝜌 + 𝐷𝜕𝑣2𝑖 𝜌,
𝑚 𝑖
(3.14)
где 𝑇 - температура среды; 𝑘 - постоянная Больцмана;
𝑈 (⃗𝑟) - потенциал, соответствующей силе 𝑓⃗. Подставляя
эту функцию в уравнение Фоккера-Планка, находим
Заметим, что слагаемое
𝐷 = 𝛾𝑘𝑇 /𝑚
(3.15)
⟨𝜉(𝑡)𝛿(𝑥 − 𝑥
˜(𝑡 − Δ𝑡))𝛿(𝑣 − 𝑣˜(𝑡 − Δ𝑡))⟩
занулилось, поскольку координата и скорость частицы в
момент времени 𝑡−Δ𝑡 и случайная сила в более поздний
момент 𝑡 не коррелируют, а значит могут быть усреднены независимо. По той же причине возможно записать
ˆ𝑡
−⟨𝜉(𝑡)
𝜉(𝜏 )𝑑𝜏 𝜕𝑣 𝛿(𝑥 − 𝑥
˜(𝑡 − Δ𝑡))𝛿(𝑣 − 𝑣˜(𝑡 − Δ𝑡))⟩ =
𝑡−Δ𝑡
ˆ𝑡
= −⟨𝜉(𝑡)
Данное соотношение является частным случаем
флуктуационно-диссипационной теоремы, см. § ??: в
нашем случае ФДТ устанавливает связь между силой
шума 𝐷 и скоростью релаксации 𝛾 .
Покажем это, исходя из общей формулировки ФДТ.
Сначала нужно заметить, что вклад в гамильтониан,
содержащий силу 𝑓 , равен 𝒱^ = −^
𝑥𝑓 . Поэтому линейная
восприимчивость 𝛼 должна связывать между собой 𝑥𝜔
и 𝑓𝜔 : из уравнения (3.1) и из связи Фурье-компонент
𝑥𝜔 = −𝑖𝜔𝑣𝜔 получаем, что
𝜉(𝜏 )𝑑𝜏 ⟩ ×
𝛼𝜔 =
𝑡−Δ𝑡
1
.
−𝑖𝜔(𝛾 − 𝑖𝜔)
×⟨𝜕𝑣 𝛿(𝑥 − 𝑥
˜(𝑡 − Δ𝑡))𝛿(𝑣 − 𝑣˜(𝑡 − Δ𝑡))⟩ =
В результате получаем, что в классическом случае
= −𝐷𝜕𝑣 𝜌(𝑥, 𝑣, 𝑡), при Δ𝑡 → 0
где мы использовали
(𝑥2 )𝜔 =
ˆ𝑡
⟨𝜉(𝑡)
𝑡−Δ𝑡
ˆ0
𝜉(𝜏 )𝑑𝜏 ⟩ = 2𝐷
𝛿(𝜏 )𝑑𝜏 = 𝐷,
(3.11)
2𝑇 𝛼′′
,
𝜔
(𝑣 2 )𝜔 = 𝜔 2 (𝑥2 )𝜔 =
2𝑇 𝛾
.
𝑚(𝛾 2 + 𝜔 2 )
Поэтому среднеквадратичная флуктуация скорости
−∞
опираясь на физическое представление о дельтафункции, как функции с резким максимумом и очень
узкой шириной.
Таким образом, мы получаем уравнение ФоккераПланка
𝑓
(3.12)
𝜕𝑡 𝜌 = −𝑣𝜕𝑥 𝜌 + 𝛾𝜕𝑣 (𝑣𝜌) + 𝜕𝑣 𝜌 + 𝐷𝜕𝑣2 𝜌,
𝑚
ˆ∞
𝑇
⟨𝑣 ⟩ = 2 (d𝜔)(𝑣 2 )𝜔 = .
𝑚
2
0
С другой стороны, из стационарного решения уравнения Фоккера-Планка следует, что ⟨𝑣 2 ⟩ = 𝐷/𝛾 . Таким
образом, приходим к (3.15).
§3.2. Броуновская частица в сильно вязкой среде
Как было показано в предыдущем разделе, функция
распределения вероятности броуновской частицы по ко-
15
I.
ординате и скорости удовлетворяет уравнению
𝜕𝑡 𝜌 = −𝑣𝑖 𝜕𝑟𝑖 𝜌 + 𝛾𝜕𝑣𝑖 (𝑣𝑖 𝜌) −
𝑓𝑖
𝑘𝑇 2
𝜕𝑣𝑖 𝜌 + 𝛾
𝜕 𝜌,
𝑚
𝑚 𝑣𝑖
(3.16)
Во многих ситуациях основной интерес представляет
собой пространственное распределение частиц, то есть
концентрация
ˆ
𝑛(⃗𝑟, 𝑡) = 𝜌(⃗𝑟, ⃗𝑣 , 𝑡)𝑑3 𝑣
(3.17)
При этом встаёт вопрос о переходе от уравнения
Фоккера-Планка к уравнению на эволюцию концентрации. Проинтегрировав (3.16) по скорости, получаем
где здесь и далее мы используем обозначение ⟨𝐴⟩ =
´ +∞
𝐴𝜌𝑑3 𝑣 . Среднее ⟨𝑣𝑖 ⟩ представляет собой компонен−∞
ту потока частиц в заданной точке пространства. Для
этой величины из кинетического уравнения получаем
⟨𝑣𝑖 ⟩ ≈ −𝛾 −1 𝜕𝑟𝑗 ⟨𝑣𝑖 𝑣𝑗 ⟩
𝑘𝑇
𝛿𝑖𝑗 𝑛,
𝑚
Следовательно поток может быть выражен как
⟨𝑣𝑖 𝑣𝑗 ⟩ ≈
(3.19)
𝜕𝑡 ⟨𝑣𝑖 ⟩ = −𝜕𝑟𝑗 ⟨𝑣𝑖 𝑣𝑗 ⟩ − 𝛾⟨𝑣𝑖 ⟩,
Далее нам необходимо знать момент ⟨𝑣𝑖 𝑣𝑗 ⟩, который
удовлетворяет уравнению
𝜕𝑡 ⟨𝑣𝑖 𝑣𝑗 ⟩ = −𝜕𝑟𝑘 ⟨𝑣𝑖 𝑣𝑗 𝑣𝑘 ⟩ − 2𝛾⟨𝑣𝑖 𝑣𝑗 ⟩ + 2𝛾
в пределе сильного трения, когда происходит разделение временных масштабов изменения функции распределения в координатном и импульсном пространствах.
Характерное время установления равновесия по скоростям порядка 𝛾 −1 . Тогда при 𝛾 → ∞ процесс эволюции
функции распределения частицы можно разбить на два
этапа. За время ∼ 𝛾 −1 произвольное начальное распределение релаксирует к локально-равновесному распределению по скоростям для каждой точки ⃗𝑟. Дальнейшая эволюция функции распределения происходит за
счёт более медленного процесса диффузии координаты
частицы.
Решения уравнений (3.19) и (3.20) на временах 𝑡 ≫
𝛾 −1 имеют вид
(3.18)
𝜕𝑡 𝑛 = −𝜕𝑟𝑖 ⟨𝑣𝑖 ⟩,
𝑘𝑇
𝑛,
𝑚
⟨𝑣𝑖 ⟩ ≈ −
𝑘𝑇
𝜕𝑟 𝑛,
𝛾𝑚 𝑗
(3.21)
(3.22)
(3.23)
что после подстановки в (3.18) приводит к уравнению
Смолуховского
(3.20)
Уравнение на ⟨𝑣𝑖 𝑣𝑗 𝑣𝑘 ⟩ будет содержать уже момент четвертой степени по скорости т.д. Таким образом, мы сталкиваемся с хорошо известной из кинетической теории
газов и теории турбулентности проблемой замыкания:
уравнение эволюции момента порядка 𝑚 включает в себя момент порядка 𝑚 + 1. Любая конечная подсистема получаемой с помощью этого подхода полной бесконечной системы уравнений для всевозможных моментов не замкнута. Часто в целях получения конкретных результатов используются приближённые методы,
призванные обеспечить замкнутость уравнений. Такие
упрощенные схемы основаны на введении дополнительных связей между статистическими величинами и привлекают некие физические соображения или эмпирические данные. Здесь мы продемонстрируем, что замкнутое уравнение на концентрацию может быть получено
МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
𝜕𝑡 𝑛 = 𝜅Δ𝑛 −
1
div[𝑓⃗𝑛].
𝑚𝛾
(3.24)
где 𝜅 = 𝑘𝑇 /𝛾𝑚 - коэффициент диффузии в координатном пространстве.
Описанная процедура естественным образом обобщается на случай зависящих от координат температуры
𝑇 (⃗𝑟) и коэффициента трения 𝛾(⃗𝑟)
𝜕𝑡 𝑛 = 𝜕𝑟𝑖
1
1
𝑓⃗
𝜕𝑟𝑖 [𝑇 (⃗𝑟)𝑛] −
div[
𝑛].
𝛾(⃗𝑟)
𝑚
𝛾(⃗𝑟)
(3.25)
При этом, однако, следует помнить, что локальноравновесное приближение, в рамках которого получено последнее уравнение, работает только в тех областях
пространства, где масштаб, на котором существенно меняется температура и коэффициент трения, много больше характерной длины пробега броуновской частицы.
Глава 4.
16
Математические аспекты теории статистики
Глава 4
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ТЕОРИИ
СТАТИСТИКИ
§4.1. Одномерная случайная величина
Рассмотрим одномерную случайную величину 𝜉 ,
функция распределения плотности вероятности которой равна
𝒫(𝜉).
4.1.1.1
Для простоты мы будем предполагать, что функция
𝒫(𝜉) определена на всей числовой оси. Мы полагаем,
что 𝒫(𝜉) нормирована на единицу,
ˆ
𝒫(𝜉) d𝜉 = 1.
4.1.0.1
Среднее от величины
Пусть нам дана некоторая величина 𝑓 (𝜉), зависящая от
случайной величины 𝜉 . Средним ⟨𝑓 ⟩ от этой величины
мы называем интеграл
ˆ
⟨𝑓 ⟩ =
𝒫(𝜉) 𝑓 (𝜉) d𝜉.
4.1.1
где верхний индекс (𝑛) означает 𝑛-кратное дифференцирование.
Характеристическая функция
Характеристической функцией 𝒬(𝑢) называют среднее
ˆ
𝒬(𝑢) = ⟨exp{𝑖𝑢𝜉}⟩ =
d𝜉 𝒫(𝜉) exp{𝑖𝑢𝜉}
(4.1)
Таким образом, характеристическая функция есть
Фурье-образ функции распределения плотности вероятности.
Знание функции 𝒬(𝑢) позволяет вычислять средние
значения от степеней случайной величины 𝜉 :
⃒
⟨𝜉 𝑛 ⟩ = (−𝑖)𝑛 𝑄(𝑛) (𝑢)⃒𝑢=0 ,
(4.2)
Неприводимые средние
Вместо функции 𝒬(𝑢) нам будет удобнее пользоваться
функцией 𝑞(𝑖𝑢), которую мы определяем через равенство
𝒬(𝑢) = exp{𝑞(𝑖𝑢)}.
(4.1𝑎)
Отметим, что в силу нормировки полной вероятности
на единицу 𝑞(0) = 0.
Неприводимое среднее ⟨⟨𝜉 𝑛 ⟩⟩ от случайной величины 𝜉 s целой степени 𝑛 показывает, какой вклад в
простое среднее ⟨𝜉 𝑛 ⟩ вносит именно наличие степени
𝑛 в усредняемом выражении 𝜉 𝑛 . Например,
(︁
)︁
⟨⟨𝜉 4 ⟩⟩ = ⟨𝜉 4 ⟩ − 3⟨𝜉 2 ⟩2 + 3⟨𝜉 3 ⟩⟨𝜉⟩ + ⟨𝜉⟩4 + 6⟨𝜉 2 ⟩⟨𝜉⟩2
Коэффициенты в этом выражении определяются комбинаторными соображениями.
Общее определение неприводимого среднего можно
выписать, используя введённый аппарат характеристических функций:
⃒
⟨⟨𝜉 𝑛 ⟩⟩ = 𝑞 (𝑛) (𝑢)⃒𝑢=0 .
(4.3)
где верхний индекс (𝑛) означает 𝑛-кратное дифференцирование.
Неприводимое среднее ⟨⟨𝜉 𝑛 ⟩⟩ называется . . .
§4.2. Сумма независимых одинаково распределённых случайных величин
Рассмотрим случайную величину Ξ, являющуюся суммой 𝑁 независимых одинаково распределённых
случайных величин 𝜉𝑖 ,
Ξ
=
𝑁
∑︁
𝜉𝑖 ,
𝑖 = 1, . . . , 𝑁 .
(4.4)
𝑖=1
Мы предполагаем, что статистические свойства величин
𝜉𝑖 по отдельности нам известны: функция распределения каждой из них равна
𝒫(𝜉𝑖 ).
Требуется найти функцию распределения
𝒫𝑁 (Ξ).
случайной величины Ξ.
17
4.2.0.2
I.
Среднее и квадратичная флуктуация
Легко выписать среднее Ξ̄ и квадратичную флуктуацию ⟨⟨Ξ⟩⟩, пользуясь статистической независимостью
случайных величин 𝜉𝑖 :
¯
Ξ̄ = 𝑁 𝜉,
4.2.1
Получить функцию распределения плотности вероятности 𝒫𝑁 из функции распределения 𝒫 легче всего,
использовав построение характеристических функций:
ˆ
⟨︀
⟩︀
𝒬𝑁 (𝑢) =
exp{𝑖 𝑢 Ξ} =
dΞ 𝒫𝑁 (Ξ) 𝑒𝑖 𝑢 Ξ .
С другой стороны, используя статистическую независимость случайных величин 𝜉𝑖 , получаем
⟨︀
⟩︀𝑁
𝑁
𝒬𝑁 (𝑢) =
exp{𝑖 𝑢 𝜉1 }
= [𝒬(𝑢)] .
где по определению
ˆ
𝒬(𝑢) ≡ exp{𝑞(𝑖𝑢)}
=
d𝜉 𝒫(𝜉) 𝑒𝑖 𝑢 𝜉
Применяя обратное преобразование Фурье, получаем окончательный результат
ˆ
d𝑢 −𝑖 𝑢 Ξ
𝑁
𝑒
[𝒬(𝑢)] =
(4.5)
𝒫𝑁 (Ξ) =
2𝜋
ˆ
=
4.2.2
Рассмотрим выражение, стоящее в квадратной скобке в (4.6) под экспонентой. Максимум этого выражения
по 𝑢 (он же стационарная точка) определяется уравнением
𝑞 ′ (𝑖𝑢* ) =
⟨⟨Ξ2 ⟩⟩ = 𝑁 ⟨⟨𝜉 2 ⟩⟩.
Характеристическая функция
{︀
}︀
d𝑢
exp − 𝑖 𝑢 Ξ + 𝑁 𝑞(𝑖𝑢) .
2𝜋
Описание флуктуаций для суммы
многих случайных величин
МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Ξ
𝑁
(4.8)
Если 𝑁 достаточно велико, то при исследовании типичных флуктуаций мы можем пренебречь всеми высшими производными в функции 𝑞(𝑢), положив прибли¯ + ⟨⟨𝜉 2 ⟩⟩𝑢2 /2. Действительно, отклонежённо 𝑞(𝑢) ≈ 𝜉𝑢
ние случайной величины Ξ/𝑁 в предположении (4.7)
стремится к нулю с ростом 𝑁 . С учётом выражений
(4.3) приходим к выводу, что положение точки перевала
(4.8) идаётся оценкой
1
𝑢* . √ √︀
𝑁 ⟨⟨𝜉 2 ⟩⟩
Размер области интегрирования по 𝑢, в которой набирается интеграл (4.6), также определяется второй производной 𝑞 ′′ . Исходя из этого, получаем такую же оценку дла размера области интегрирования 𝛿𝑢, как и для
положения 𝑢* точки перевала. Таким образом, с ростом 𝑁 становится дейстивтельно возможным пренебречь высшими производными в функции 𝑞(𝑢).
В результате получаем, что выражение для функции
распределения плотности вероятности
{︃
(︀
)︀2 }︃
Ξ/𝑁 − 𝜉¯
1
𝒫𝑁 (Ξ) ≈ √︀
exp −𝑁
. (4.9)
2 ⟨⟨𝜉 2 ⟩⟩
2𝜋𝑁 ⟨⟨𝜉 2 ⟩⟩
Возможность пренебрежения высшими производными в
𝑆˜ по 𝑢 в процессе интегрирования предполагает условие
Рассмотрим предел, когда число 𝑁 суммируемых независимых случайных величин велико,
𝑁 ≫
⟨⟨𝜉 3 ⟩⟩2 ⟨⟨𝜉 4 ⟩⟩
,
.
⟨⟨𝜉 2 ⟩⟩3 ⟨⟨𝜉 2 ⟩⟩2
(4.10)
𝑁 ≫ 1.
При достаточно больших значениях 𝑁 оказывается
возможным произвести интегрирование в (4.5) методом
интервала. Для произведения интегрирования методом
перевала вынесем множитель 𝑁 в подэкспоненциальном выражении (4.5):
{︂
[︂
]︂}︂
ˆ
d𝑢
Ξ
𝒫𝑁 (Ξ) =
exp −𝑁 𝑖 𝑢
− 𝑞(𝑖𝑢)
(4.6)
2𝜋
𝑁
4.2.2.1
Область наиболее вероятных флуктуаций
Сначала исследуем флуктуации, при которых отклонение Ξ от своего среднего остаётся в рамках нескольких
стандартных отклонений,
√︀
⟨⟨𝜉 2 ⟩⟩
Ξ
¯
√
−𝜉 .
(4.7)
𝑁
𝑁
4.2.2.2
Редкие флуктуации
В Пункте 4.2.2.1 мы ограничились рассмотрением самых типичных флуктуаций, которые определяются
неравенством (4.7), что привело нас к распределению
Гаусса (4.9).
Применимость интегрирования методом перевала в
(4.6) при возрастании 𝑁 не ограничивается областью
(4.7). Однако выйдя за эту область, мы уже получим
в общем случае не гауссову статистику (4.9), а зависимость вида
{︃
(︂
)︂}︃
1
Ξ
𝒫𝑁 (Ξ) ≈ √︀
exp − 𝑁 𝑆
− 𝜉¯ , (4.11)
𝑁
2𝜋 𝑁 |𝑞 ′′ (𝑖𝑢* )|
где функция
¯
𝑆(𝜉 − 𝜉)
=
𝑖𝑢* 𝜉 − 𝑞(𝑖𝑢* ),
(4.12)
Глава 4.
и перевальное значение 𝑢* определяется уравнением
(4.8). В работе [6] было предложено называть функцию
𝑆 функцией Крамера (Cramér), в других источниках
функцию 𝑆 также называют энтропийной функцией.
Функция Крамера 𝑆 слабо отклоняется от квадратичной зависимости, полученной в (4.9), пока
⃒
⃒
2 2
2 3/2
⃒
⃒Ξ
⃒ − 𝜉¯⃒ ≪ ⟨⟨𝜉 ⟩⟩ , ⟨⟨𝜉 ⟩⟩ .
⃒
⃒𝑁
3
⟨⟨𝜉 ⟩⟩ ⟨⟨𝜉 4 ⟩⟩1/2
Здесь второй вариант ограничения написан на тот случай, если по каким-либо причинам неприводимое среднее ⟨⟨𝜉 3 ⟩⟩ исключительно мало.
Возможность интегрирования методом перевала
определяется условием
⃒ (3) * ⃒2 ⃒ (4) * ⃒
⃒𝑞 (𝑖𝑢 )⃒ ⃒𝑞 (𝑖𝑢 )⃒
𝑁 ≫
(4.13)
3 ,
2 .
|𝑞 ′′ (𝑖𝑢* )|
|𝑞 ′′ (𝑖𝑢* )|
которое является обобщением условия (4.10) на случай,
когда положение стационарной точки 𝑢* сильно отклоняется от нуля. Таким образом, при росте 𝑁 область
применимости формулы (4.11) расширяется в единицах
переменной Ξ/𝑁 , поскольк положение стационарной
точки зависит только от Ξ/𝑁 .
4.2.3
18
Математические аспекты теории статистики
Используя эти функции распределения, можно записать
функцию распределения для полной суммы
ˆ
𝒫𝑁 (Ξ)
ˆ
∼
=
dΞ1 𝒫𝑁 1 (Ξ1 ) 𝒫𝑁 2 (Ξ − Ξ1 ) ∼
{︂
[︂
(︂
Взятие этого интеграла методом перевала приводит к
условию на стационарную точку
Ξ*
Ξ
Ξ*1
= 2 = .
𝑁1
𝑁2
𝑁
при этом получается ответ, совпадающий с уже непосредственно полученной функцией распределения для
Ξ. Мы использовали то, что функция 𝑆 является выпуклой. При этом ширина области интегрирования по
Ξ1 , в которой насыщается, может быть оценена как
[︂(︂
Мы предполагаем оба слагаемых в правой части попрежнему большими, 𝑁1,2 ≫ 1. Пусть для определённости 𝑁2 > 𝑁1 .
Величины 𝜉𝑖 в сумме (4.4) можно рассматривать как
случайный процесс, роль времени в котором играет индекс 𝑖. Тогда 𝑁 есть полное время, большое по сравнению с 1 – временем корреляции случайного процесса, а
(4.14) есть разбиение полного времени на некоторых два
промежутка, по-прежнему содержащих в себе большое
количество времён корреляции случайного процесса 𝜉𝑖 .
Мы рассматриваем случайные процессы, приводящие к
результату Ξ, что формально задано уравнением (4.4).
Распределение случайных величин Ξ1 и Ξ2 также
описывается функцией Крамера,
[︂
(︂
)︂]︂
Ξ1,2
𝒫𝑁 1,2 (Ξ1,2 ) ∼ exp −𝑁 𝑆
− 𝜉¯
𝑁1,2
)︂
Ξ1
¯
−𝜉 +
𝑁1
(︂
)︂]︂}︂
𝑁2
Ξ − Ξ1 ¯
+
𝑆
−𝜉
𝑁
𝑁2
𝑁1
dΞ exp −𝑁
𝑆
𝑁
Оптимальные флуктуации
Пусть полное количество 𝑁 складываемых случайных
величин в сумме (4.4) складывается из двух подсумм,
так что
𝑁 = 𝑁1 + 𝑁2 .
(4.14)
(4.15)
𝛿Ξ1
∼
1
1
+
𝑁1
𝑁2
)︂
𝑆
′′
]︂− 12
(4.16)
где 𝑆 ′′ – вторая производная функции Крамера в точке
перевала. Итак, мы видим, что относительныее
флук√
туации величины Ξ1 подавлены как 1/ 𝑁1 .
Обобщим полученный результат. Если мы разобьём
всё ‘время’ 𝑁 на некоторые промежутки времени 𝑁𝑘 ,
то в каждом промежутке среднее значение величины
Ξ𝑘 /𝑁𝑘 будет близко к среднему значению Ξ/𝑁√, а мера
отклонения будет определяться фактором 1/ 𝑁𝑘 . По
этой причине имеет смысл говорить об оптимальной
флуктуации, приводящей к итоговому результату Ξ:
случайный процесс 𝜉𝑖 слабо флуктуирует вблизи значения Ξ/𝑁 . Эта ‘слабость’ не означает, что вероятность
отдельно выбранной величине 𝜉𝑖 отклониться от этого
среднего на величину, порядка дисперсии ⟨⟨𝜉 2 ⟩⟩ её самой,
мала. Но вероятность подобного явления в массовом порядке, когда так сильно флуктуируют сразу много величин из всего набора {𝜉𝑖 }, уже существенно меньше
единицы.
§4.3. Примеры для сумм независимых одинаково распределённых
случайных величин
4.3.1
Случайные
блуждания:
двумер-
ный случай
Задача.
Рассмотрим случайные блуждания в двумерном
пространстве. Каждый шаг блуждания совершается на
расстояние ℎ (для упрощения записи будем считать
ℎ = 1). Направление каждого шага случайно и ста-
19
I.
тистически не зависимо от направления других шагов.
Всего производится 𝑁 шагов, за которое точка смещается на вектор ℓ.
Требуется найти функцию плотности распределения
вероятности 𝒫(ℓ) абсолютного значения вектора ℓ.
Модуль ℓ не является суммой случайных величин,
но более сложной функцией. Суммой случайных величин является сам вектор ℓ. Поэтому удобно найти сперва функцию распределения вектора ℓ, а после извлечь
из неё требующуюся нам функцию распределения 𝒫(ℓ)
его модуля.
Ввиду аксиальной симметрии функции распределения вектора ℓ достаточно найти функцию распределения плотности вероятности 𝒫𝑥 (ℓ𝑥 ) скалярной величины
– проекции ℓ𝑥 вектора ℓ на ось 𝑂𝑥. Ввиду полярной
симметрии функции распределения вектора ℓ функция распределения 𝒫(ℓ) однозначно связана с 𝒫𝑥 (ℓ𝑥 )
следующим способом:
ˆ∞ (︁√︁
)︁
dℓ𝑦
1
𝒫
ℓ2𝑥 + ℓ2𝑦 √︁
𝒫𝑥 (ℓ𝑥 ) =
𝜋
ℓ2𝑥 + ℓ2𝑦
0
4.3.1.1
Получение функции распределения
𝒫𝑥
Производящая функция для проекции случайнонаправленного единичного вектора на ось 𝑂𝑥 равна
𝒬(𝑢) = ⟨exp{𝑖𝑢 cos 𝜙}⟩ = J0 (𝑢)
(4.17)
где 𝜙 – угол между единичным вектором и осью 𝑂𝑥.
Таким образом, согласно определению (4.1a)
𝑞(𝑣) = ln I0 (𝑣)
Энтропийная функция 𝑆 вычисляется согласно равенствам
I1 (𝑣* )
𝑆(𝜉) = 𝑣* 𝜉 − ln I0 (𝑣 * ),
= 𝜉.
I0 (𝑣 * )
Функция распределения плотности вероятности с точностью до предэкспоненциального множителя
{︀
}︀
𝒫𝑥 (𝑁 𝜉) ∝ exp − 𝑁 𝑆(𝜉) ,
|𝜉| < 1.
4.3.2
МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Характеристическая функция (4.1) для выбранного нами распределения равна
1
𝒬(𝑢) =
.
ch(𝑢)
Соответственно, функция Крамера (4.12) равна
1
tg (𝑢* ) = 𝜉 (4.19)
𝑆(𝜉) = 𝜉 arctg(𝜉) − ln(1 + 𝜉 2 )
2
Критерий (4.13) показывает, что приближение (4.11)
формально работает для любых больших Ξ при 𝑁 ≫ 1.
Проверим, действительно ли это так.
Рассмотрим случай предельно больших |Ξ| ≫ 𝑁 .
Предполагая для определённости, что Ξ > 0, получаем
непосредственными вычислениями, используя асимптотический вид функции распределения (4.21) при большом положительном аргументе, что
(︃ 𝑁
)︃
)︂ ˆ ∞ ∏︁
(︂
𝑛
∑︁
𝜋Ξ
d𝜉𝑖 𝛿
𝜉𝑖 − Ξ =
𝒫𝑁 (Ξ) ≈ exp −
2
0
𝑖=1
𝑖=1
(︂
)︂
𝜋Ξ
Ξ𝑁 −1
exp −
,
𝑁!
2
=
(4.20)
см. Пункт 4.3.2.1, где проведено вычисление интеграла. Выражение же (4.11) даёт тот же ответ, в котором 𝑁 ! √
заменено согласно приближению Стирлинга на
𝑁 𝑁 𝑒−𝑁 2𝜋𝑁 .
4.3.2.1
Приложение: вычисление интеграла
Интеграл (4.20) может быть вычислен следующим способом:
]︃
[︃
ˆ∞
ˆ∞ ∏︁
𝑛
𝑁
∑︁
d𝜉𝑖 (d𝜆) exp (𝑖𝜆 − 𝛼)
𝜉𝑖 − 𝑖𝜆Ξ =
0 𝑖=1
−∞
ˆ∞
=
(d𝜆)
𝑖=1
𝑖𝑁 exp[−𝑖𝜆Ξ]
Ξ𝑁 −1
=
(𝜆 + 𝑖𝛼)𝑁
𝑁!
−∞
В процессе вычисления мы ввели параметр 𝛼 > 0, устремив его к нулю в окончательном ответе.
Сумма случайных величин, функция распределения которых имеет
Пусть плотность функции распределения случайной величины имеет вид
=
1/2
,
ch(𝜋𝜉/2)
Сумма случайных величин, функция распределения которых имеет
экспоненциальные хвосты
𝒫(𝜉)
4.3.3
(4.18)
Ширина тела функции распределения порядка единицы. Особенность функции распределения состоит в том,
что для сильных флуктуаций, при |𝜉| ≫ 1, асимптотический вид функции распределения – экспоненциальное
убывание, 𝒫 ∝ exp(−𝜋|𝜉|/2).
Исследуем свойства функции распределения 𝒫𝑁 суммы из 𝑁 таких величин, предполагая их независимыми.
растянуто-экспоненциальные
хво-
сты
Пусть теперь плотность функции распределения случайной величины имеет вид
1
√︀
𝒫(𝜉) =
,
(4.21)
8 Catalan·ch( |𝜉|)
где Catalan – некоторая константа. Ширина тела
функции распределения порядка единицы. Особенность
функции распределения состоит в том, что для сильных флуктуаций, при |𝜉| ≫ 1, асимптотический вид
функции распределения – растянуто-экспоненциальное
√︀
(stretched exponent) убывание, 𝒫 ∝ exp(− |𝜉|).
Глава 4.
20
Математические аспекты теории статистики
§4.4. Моменты совместно распределённых гауссовых случайных величин
§4.5. Флуктуации случайной величины: автокорреляционная функция
Пусть 𝑥 – измеряемая величина некоторой физической системы, 𝑥
^ – квантовомеханический оператор, соответствующий этой величине. Эта система имеет большое число степеней свободы и/или взаимодействует с
резервуаром, поэтому поведение во времени величины
𝑥(𝑡) носит случайный характер: есть вреднее по времени значение ⟨𝑥⟩𝑡 , которое для упрощения записи дальнейших формул мы считаем нулевым, и на фоне этого
среднего величина 𝑥(𝑡) претерпевает случайные флуктуации.
Хотя флуктуации 𝑥(𝑡) носят случайный характер, их
статистика однородна по времени, если состояние исследуемой системы статистически не меняется во времени.
Поэтому характер флуктуаций 𝑥(𝑡) можно описать с помощью корреляционных функций. Простейшей корреляционной функцией является парная корреляционная
функция
𝐹 (𝜏 )
=
⟨𝑥(𝑡)𝑥(𝑡 + 𝜏 )⟩,
(4.22)
называемая также автокорреляционной функцией. В
(4.22) угловые скобки обозначают усреднение. Это
усреднение можно понимать как по времени 𝑡, так и по
статистическому ансамблю рассматриваемых систем.
Удобно иметь дело с Фурье-компонентами величин. Экспериментально измеренный случайный процесс
представим в виде
ˆ
𝑥(𝑡) =
(d𝜔) 𝑥𝜔 𝑒−𝑖𝜔𝑡 ,
(4.23)
также как и корреляционная функция,
ˆ
ˆ
−𝑖𝜔𝜏
𝐹 (𝜏 ) =
(d𝜔) 𝐹𝜔 𝑒
,
𝐹𝜔 =
d𝜏 𝐹 (𝜏 ) 𝑒𝑖𝜔𝜏 .
(4.24)
Связь между 𝑥𝜔 и 𝐹𝜔 можно получить, исходя из
определения 𝐹 (𝜏 ):
ˆ
𝐹𝜔 =
(d𝜔)(d𝜔 ′ ) ⟨𝑥𝜔 𝑥𝜔′ ⟩ exp[−𝑖𝑡(𝜔 + 𝜔 ′ )],
(4.25)
где ⟨𝑥𝜔 𝑥𝜔′ ⟩ – среднее значение, которое в данном случае
проще всего понимать в смысле усреднения по статистическому ансамблю. Для того, чтобы корреляционная
функция зависела только от разности времен 𝜏 , надо,
чтобы зависимость от абсолютного значения времени 𝑡
отсутствовалв. Это достигается, если среднее от Фурьекомпонент случайного процесса достигается только ри
совпадении абсолютного значения частот:
⟨𝑥𝜔 𝑥𝜔′ ⟩ = 2𝜋𝛿(𝜔 + 𝜔 ′ ) (𝑥2 )𝜔 ,
(𝑥2 )𝜔 ≡ 𝐹𝜔 .
(4.26)
4.5.0.1
Получение
корреляционных
функций
путём усреднения по времени
Предположим, что случайный процесс 𝑥(𝑡) измерялся в течении некоторого (относительно продолжительного) промежутка времени 𝑇 . Выпишем здесь математические соотношения, позволяющие оперировать с
Фурье-компонентами случайного процесса 𝑥(𝑡) и автокорреляционной функции 𝐹 (𝜏 ). Мы будем считать,
что измерение проводилось во временном интервале
[−𝑇 /2, 𝑇 /2], а процесс 𝑥(𝑡) является периодичным с периодом 𝑇 . Поскольку в окончательных ответах будет
предполагаться предельный переход 𝑇 → ∞, то принятая периодичность не должна влиять на эти окончательные ответы.
Фурье-разложение процесса 𝑥(𝑡) имеет вид
x𝜔𝑛
1
=√
𝑇
𝑇 /2
ˆ
d𝑡 exp[𝑖𝜔𝑛 𝑡] 𝑥(𝑡),
𝜔𝑛 =
2𝜋𝑛
, (4.27)
𝑇
−𝑇 /2
1 ∑︁
exp[−𝑖𝜔𝑛 𝑡] 𝑥𝜔𝑛 ,
𝑥(𝑡) = √
𝑇 𝑛∈Z
√
где 𝑛 – целое число, 𝑛 ∈ Z. Множитель 1/ 𝑇 в правой
части оставляет Фурье-компоненту 𝑥𝜔𝑛 конечной при
𝑇 → ∞. В непрерывном пределе обратное преобразование Фурье выглядело бы как
√ ˆ
1
x𝜔 = √ 𝑥𝜔 .
𝑥(𝑡) = 𝑇 (d𝜔) 𝑒−𝑖𝜔𝑡 x𝜔 ,
𝑇
сравни с (4.23), то есть Фурье-образы x𝜔 и 𝑥𝜔 не равны
друг другу, а связаны между собой коэффициентом пропорциональности, зависящим от времени наблюдения:
удобство использования 𝑥𝜔 состоит в том, что при его
вычислении формально не надо знать время наблюдения, тогда как удобство использования x𝜔 состоит в его
конечности при увеличении времени наблюдения, при
𝑇 → ∞. Корреляционная функция
𝐹 (𝜏 )
=
1
𝑇
𝑇 /2
ˆ
𝑥(𝑡) 𝑥(𝑡 + 𝜏 ) d𝑡.
(4.28)
−𝑇 /2
Поскольку при 𝜏 → ∞ автокорреляционная функция
стремится к нулю, то при её Фурье-преобразовании частоту 𝜔 можно по-прежнему считать непрерывной величиной, оставляя поэтому определение преобразования
21
I.
Фурье для 𝐹 (𝜏 ) в виде (4.24) Тем не менее, для проведения вычислений, сейчас мы будем считать 𝜔 дискретной. Итак,
∑︁
sin[(𝜔 − 𝜔𝑛 )𝑇 /2] sin[(𝜔𝑘 + 𝜔𝑛 )𝑇 /2]
𝐹𝜔 =
x𝜔𝑛 x𝜔𝑘
,
(𝜔 − 𝜔𝑛 )𝑇 /2
(𝜔𝑘 + 𝜔𝑛 )𝑇 /2
𝑛,𝑘∈Z
4.5.0.2
Представление
величин
в
квантовом
случае
Фурье-компонента от оператора случайной величины и
его матричного элемента в представлении Гейзенберга в
базисе функций Гамильтониана даётся выражениями:
причём выражение типа sin(𝜔 ′ 𝑇 )/(𝜔 ′ 𝑇 ) при 𝜔 ′ = 0 надо
считать равным 1. При 𝑇 → ∞ из суммы выпадают все
слагаемые, кроме одного, которое определяется условием 𝜔𝑛 = 𝜔 , 𝜔𝑘 = −𝜔 . Поэтому
𝐹𝜔
МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
ˆ
𝑥
^𝜔
=
(𝑥𝜔 )𝑛𝑚
=
d𝑡 𝑥
^(𝑡) exp[𝑖𝜔𝑡],
(4.30)
2𝜋𝛿(𝜔𝑛𝑚 − 𝜔) 𝑥𝑛𝑚 .
= |x𝜔 |2 .
В этой формуле частоту 𝜔 можно уже считать непрерывным параметром: хотя величина |x𝜔𝑛 |2 как функция 𝑛 флуктуирует (вообще говоря, сильно) около своего среднего значения, но если произвести усреднение
этой величины по промежутку 𝛿𝑛 ≫ 1, то при 𝑇 → ∞
таким образом полученное среднее ⟨|𝑥𝜔 |2 ⟩ следует считать медленно меняющейся (на масштабах & 𝛿𝑛 и много меньших характерного изменения частот, на которой
меняется корреляционная функция 𝐹𝜔 ) функцией 𝜔 . Таким образом, окончательно получаем, что
1
⟨|𝑥𝜔 |2 ⟩.
(4.29)
(𝑥2 )𝜔 ≡ 𝐹𝜔 = ⟨|x𝜔 |2 ⟩ =
𝑇
Усреднение в этой формуле (реально происходящее по
𝑛) можно понимать и как усреднение по статистическому ансамблю: по сути, усреднив по 𝛿𝑛, мы провели
усреднение по 𝛿𝑛 почти независимым промежуткам времени длительностью 𝑇 /𝛿𝑛.
Если мы опустим в (4.28) усреднение по времени 𝑡
(при этом назовём такую функцию 𝐹 (𝜏, 𝑡)), то получим,
что
∑︁
𝐹𝜔 (𝑡) =
x𝜔𝑛 x𝜔 exp[−𝑖(𝜔𝑛 + 𝜔)𝑡].
𝑛∈Z
Сравнивая это выражение с выражениями (4.25,4.26)
ещё раз приходим к естественному выводу: усреднение
по времени в этом выражении соответствует усреднению по статистическому ансамблю в выражении (4.26).
Матричный элемент квадрата обобщённой координаты
1
(^
𝑥𝜔 𝑥
^𝜔 ′ + 𝑥
^𝜔 ′ 𝑥
^𝜔 )𝑛𝑛 =
(4.31)
2
[︁
]︁
1 ∑︁
(𝑥𝜔 )𝑛𝑚 (𝑥𝜔′ )𝑚𝑛 + (𝑥𝜔′ )𝑛𝑚 (𝑥𝜔 )𝑚𝑛 =
=
2 𝑚
= 2𝜋 2
∑︁
[︁
]︁
|𝑥𝑛𝑚 |2 𝛿(𝜔𝑛𝑚 − 𝜔) + 𝛿(𝜔𝑛𝑚 + 𝜔) 𝛿(𝜔 + 𝜔 ′ )
𝑚
Здесь мы обобщили запись (4.26) на квантовый случай,
симметризовав выражение ⟨𝑥𝜔 𝑥𝜔′ ⟩ и затем использовали выражение (4.30). Поэтому величина (𝑥2 )𝜔 в случае,
если система находится в состоянии |𝑛⟩, равна
(𝑥2 )𝜔 = 𝜋
∑︁
[︁
]︁
|𝑥𝑛𝑚 |2 𝛿(𝜔𝑛𝑚 − 𝜔) + 𝛿(𝜔𝑛𝑚 + 𝜔) . (4.32)
𝑚
Если статистика системы описывается распределением Гиббса 𝜌𝑛 = exp[(𝐹 − 𝐸𝑛 )/𝑇 ], то выражение (4.32)
надо усреднить по этому распределению, в результате
чего получим
2
(𝑥 )𝜔
)︂]︂ ∑︁
[︂
(︂
~𝜔
𝜌𝑛 |𝑥𝑛𝑚 |2 𝛿(𝜔𝑚𝑛 − 𝜔)
= 𝜋 1 + exp −
𝑇
𝑛,𝑚
(4.33)
Глава 4.
Математические аспекты теории статистики
22
23
II.
ЗАДАЧИ
ЗАДАЧИ
Часть II
Глава 5
ЗАДАЧИ НА ДИФФУЗИЮ
§5.1. Общие методы решения задач на диффузию
В предыдущем разделе было показано, что в пределе сильной вязкости пространственное распределение
частиц в случае отсутствия внешних полей описывается
уравнением
𝜕𝑡 𝑛 = 𝜅Δ𝑛
(5.1)
Подставляем теперь решение в выражение (5.2). Получаем:
ˆ ˆ
′
2
1
𝑛(𝑥′ , 0)𝑒−𝑖𝑘𝑥 𝑒−𝑘 𝜅𝑡 𝑒𝑖𝑘𝑥 𝑑𝑥′ 𝑑𝑘 (5.6)
𝑛(𝑥, 𝑡) =
2𝜋
В этой главе мы исследуем некоторые свойства решений
этого уравнения. Прежде всего покажем, что со временем происходит “разгалживание” функции распределения. Действительно, пусть в некоторой точке последняя имеет максимум. Тогда в этой точке вторая производная отрицательна, и согласно уравнению диффузии
функция убывает со временем. Аналогично рассматривается и поведение вблизи минимумов. Далее, отметим,
что уравнение диффузии инвариантно по отношению к
изменению знака координаты, но не инвариантно по отношению к изменению знака времени. Это означает, что
процесс диффузии необратим.
Рассмотрим теперь решение одномерного уравнения
диффузии для безграничного пространства. Пусть в начальный момент времени имело место некоторое распределение 𝑛(𝑥, 𝑡 = 0). Необходимо найти функцию распределения во все последующие моменты времени. Для решения это задачи разложим функцию распределения в
интеграл Фурье:
ˆ
1
𝑛(𝑘, 𝑡)𝑒𝑖𝑘𝑥 𝑑𝑘
(5.2)
𝑛(𝑥, 𝑡) =
2𝜋
Интегрирование по 𝑘 можно выполнить явно выделяя в
экспоненте полный квадрат. В итоге получаем:
[︂
]︂
ˆ
1
−(𝑥 − 𝑥′ )2
′
𝑛(𝑥, 𝑡) = √
𝑛(𝑥 , 0) exp
𝑑𝑥′ (5.7)
4𝜅𝑡
2 𝜋𝜅𝑡
Точно таким же образом можно рассмотреть и многомерный случай. Так, например, для трехмера получаем:
[︂
]︂
ˆ
−(⃗𝑟 − ⃗𝑟′ )2 3 ′
1
′
𝑛(⃗
𝑟
,
0)
exp
𝑑 𝑟 (5.8)
𝑛(⃗𝑟, 𝑡) =
4𝜅𝑡
8(𝜋𝜅𝑡)3/2
Рассмотрим подробнее формулу (5.7). Пусть в начальный момент времени частица находилась в начале коорлинат, то есть ее функция распределения была: 𝑛(𝑥, 0) =
𝛿(𝑥). Тогда тривиальное интегрирование дает:
[︂ 2 ]︂
1
−𝑥
𝑛(𝑥, 𝑡) = √
exp
(5.9)
4𝜅𝑡
2 𝜋𝜅𝑡
Отсюда видим, что средний квадрат расстояния, которое прошла частица, имеет следующее значение:
⟨𝑥2 (𝑡)⟩ = 2𝜅𝑡
Тогда уравнение на Фурье-образ будет следующим:
𝜕𝑡 𝑛(𝑘, 𝑡) = −𝜅𝑘 2 𝑛(𝑘, 𝑡)
(5.3)
Его решение имеет вид:
𝑛(𝑘, 𝑡) = 𝑛(𝑘, 0)𝑒−𝜅𝑘
2
𝑡
(5.4)
Отсюда снова видно "разглаживание"функции распределения: Фурье-гармоники затухают со временем тем
быстрее, чем больше их волновой вектор. Теперь необходимо выразить начальные значения Фурье-гармоник
через значения самой функции. Пишем:
ˆ
𝑛(𝑘, 0) = 𝑛(𝑥, 0)𝑒−𝑖𝑘𝑥 𝑑𝑥
(5.5)
5.1.1
Диффузия
в
ограниченной
(5.10)
обла-
сти
Рассмотрим теперь свойства решений уравнения диффузии в ограниченной области. Ищем частные решения, зависящие от времени экспоненциально: 𝑛𝑠 (𝑥, 𝑡) =
𝑛𝑠 (𝑥)𝑒−𝜆𝑠 𝑡 , где 𝜆𝑠 - есть характерные декременты затухания. Подстановка в уравнение диффузии дает:
Δ𝑛𝑠 (⃗𝑟) +
𝜆𝑠
𝑛(⃗𝑟) = 0
𝜅
(5.11)
Для конкретной геометрии, существует некоторый набор экспонент 𝛾𝑛 , имеющий дискретный спектр, такой,
Глава 5.
24
Задачи на диффузию
что решения уравенения (5.11) удовлетворяют необходимым граничным условиям (например, поглощающие
или отражающие границы). Все эти экспоненты положителны, а соответствующие собственные функции
- ортогональны. Тогда решение уравнения диффузии
представляется в следующем виде:
∑︁
𝑛(⃗𝑟, 𝑡) =
𝑎𝑠 𝑛𝑠 (⃗𝑟)𝑒−𝜆𝑠 𝑡
(5.12)
Коэффициенты 𝑎𝑠 можно найти по начальной функции распределения, пользуясь ортогональностью решений 𝑛𝑠 .
§5.2. Поглощающая сфера
Мотивация задачи [7].
§5.3. Шумы, возникающие за счет активационных переходов.
Довольно часто случается, что в кристалле некая
степень свободы имеет два значения, не слишком отличающихся по энергии. Такое (почти) вырождение имеет, как правило, симметрийное происхождение. Примером могут быть ядерные спины, молекулы с плоскостями симметрии и т.д. Флуктуации, порождаемые активационными переходами между такими положениями,
производят шумы (например, за счет связанных флуктуаций дипольного момента), с вполне измеримой спектральной плотностью.
------------------------------------------
В результате для оценки вероятности активационного
перехода в единицу времени можно использовать закон Аррениуса; если 𝜆1 - вероятность в единицу времени перехода из левой ямы в правую, и 𝜆2 - обратно,
𝜆1 = 𝐶1 exp(−𝑈0 /𝑇 ), 𝜆2 = 𝐶2 exp(−𝑈1 /𝑇 ), 𝐶1,2 - константы размерности частоты, то для вероятностей 𝑝1 (𝑡)
и 𝑝2 (𝑡) найти частицу соответственно в окрестностях точек 𝑥1 = −𝑎 и 𝑥2 = 𝑏 имеется уравнение эволюции
𝑝˙1 = −𝜆1 𝑝1 + 𝜆2 𝑝2 ,
(5.13)
𝑝1 + 𝑝2 = 1,
определяющее 𝑝1 (𝑡) и 𝑝2 (𝑡) в зависимости от распределения в прошлом 𝑝1 (𝑡0 ) и 𝑝2 (𝑡0 ). Найти решение эволюционной задачи для уравнения (5.13) не составляет
труда:
𝑝1 (𝑡)
=
𝑝2 (𝑡)
=
)︀
𝜆2 (︀
1 − 𝑒−Λ𝑡 ,
Λ
)︀
𝜆1 (︀
𝑒−Λ𝑡 𝑝2 (𝑡0 ) +
1 − 𝑒−Λ𝑡 ,
Λ
(5.14)
𝑒−Λ𝑡 𝑝1 (𝑡0 ) +
Λ = 𝜆1 + 𝜆2 .
Если от начала эволюции прошло достаточно времени
Λ(𝑡−𝑡0 ) ≫ 1, то распределение вероятностей становится
стационарным:
Рис. 5.1 Потенциал с двумя несимметричными минимумами, разделенными барьерами высоты 𝑈0 (слева направо) и 𝑈1 (справа налево).
------------------------------------------
В качестве модели изучается частица в потенциале с двумя минимумами с глубинами 𝑈0 и 𝑈1 в точках с координатами 𝑥1 = −𝑎 и 𝑥2 = 𝑏 (см. Рис. 5.1).
Частица предполагается классической, то есть, температура 𝑇 не слишком мала, однако здесь мы рассматриваем случай, когда величины энергетических барьеров 𝑈0 и 𝑈1 существенно превышают температуру 𝑇 .
(0)
𝑝1 (𝑡) → 𝑝1 =
𝜆2
,
Λ
(0)
𝑝2 (𝑡) → 𝑝2 =
𝜆1
.
Λ
(5.15)
При этом координата частицы и связанные с ней параметры физических процессов (токи, нагревы и т.д.)
постоянно флуктуируют. Именно, для если пренебречь
броуновским движением вблизи локальных минимумов,
то среднее значение координаты равно
𝑏𝜆1 − 𝑎𝜆2
,
(5.16)
Λ
и есть отличие мгновенного значения от среднего:
(0)
(0)
𝑥
¯ = −𝑎𝑝1 + 𝑏𝑝1 =
⟨(𝛿𝑥)2 ⟩ = ⟨𝑥2 ⟩− 𝑥
¯2 =
𝜆1 𝜆2
(𝑎+𝑏)2 ,
Λ2
𝛿𝑥 = 𝑥− 𝑥
¯. (5.17)
25
II.
Однако существенно более полная информация о шуме
содержится в разновременной корреляционной функции:
𝐹 (𝑡) = ⟨𝛿𝑥(0)𝛿𝑥(𝑡)⟩,
(5.18)
см. также Пункт 4.5. Мы рассматриваем стационарную
ситуацию, когда условный начальный момент време”
ни“ был в далеком прошлом: 𝑡0 → −∞. В этом случае
вероятности обнаружить в данный момент значения па(0)
раметров 𝑥1,2 равны 𝑝1,2 соответственно. Однако для
определения коррелятора (5.18) нам понадобятся функции времени, играющие роль пропагаторов, или функций Грина. Именно, если при 𝑡 = 0 частица находилась
в точке 𝑥 = −𝑎, то вероятность 𝑝𝑎 (𝑡) найти ее в момент
𝑡 в той же точке дается выражением 𝑝1 (𝑡) из (5.14) с
подстановкой 𝑝1 (𝑡0 = 0) = 1; аналогично определяется
функция 𝑝𝑏 (𝑡), равная 𝑝2 (𝑡) из (5.14) при 𝑝2 (𝑡0 = 0) = 1;
их можно представить в следующем виде:
(0)
(0)
𝑝𝑎 (𝑡) = 𝑝1 + 𝑝2 𝑒−Λ𝑡 ,
(0)
(0)
𝑝𝑏 (𝑡) = 𝑝2 + 𝑝1 𝑒−Λ𝑡 . (5.19)
Вычисление коррелятора (5.18) теперь не представляет
труда: вероятность найти частицу при 𝑡 = 0 слева в точ(0)
ке 𝑥 = −𝑎 равна 𝑝1 , вероятность ей там остаться есть
𝑝𝑎 (𝑡) и вероятность уйти направо равна 1 − 𝑝𝑎 (𝑡); совершенно аналогичное рассуждение относится к точке
𝑥 = 𝑏. В результате:
𝐹 (𝑡)
(5.20)
= ⟨𝛿𝑥(0)𝛿𝑥(𝑡)⟩ =
(0)
2
= 𝑝1 𝑝𝑎 (𝑡) (−𝑎 − 𝑥
¯)
+
+
+
=
+
(0)
𝑝1 (1 − 𝑝𝑎 (𝑡)) (−𝑎 − 𝑥
¯) (𝑏 − 𝑥
¯) +
(0)
2
𝑝2 𝑝𝑏 (𝑡) (𝑏 − 𝑥
¯) +
(0)
𝑝2 (1 − 𝑝𝑏 (𝑡)) (−𝑎 − 𝑥
¯) (𝑏 − 𝑥
¯) =
(𝑎 + 𝑏)2
𝜆1 𝜆2 −Λ𝑡
𝑒
.
Λ2
Эти равенства, основанные на понятии вероятности перехода, справедливы для 𝑡 > 0. Однако необходимо заметить, что для нашего стационарного случайного процесса имеет место трансляционная инвариантность по
времени, которая для вещественной переменной 𝑥(𝑡) эквивалентна временной четности коррелятора:
𝐹 (𝑡)
=
⟨𝛿𝑥(0)𝛿𝑥(𝑡)⟩ = ⟨𝛿𝑥(𝑇 )𝛿𝑥(𝑡 + 𝑇 )⟩ =
=
⟨𝛿𝑥(−𝑡)𝛿𝑥(0)⟩ = 𝐹 (−𝑡).
(5.21)
Выше мы выбрали 𝑇 = −𝑡. Таким образом, для всех
значений 𝑡, положительных или отрицательных, можно
записать:
𝜆1 𝜆2
(5.22)
𝐹 (𝑡) = (𝑎 + 𝑏)2 2 𝑒−Λ|𝑡| .
Λ
ЗАДАЧИ
Спектральная плотность шума 𝐹𝜔 – это фурье-образ
коррелятора (5.22):
ˆ∞
𝑑𝑡 𝐹 (𝑡) = (𝑎 + 𝑏)2
𝐹𝜔 =
2𝜆1 𝜆2
1
.
2
Λ Λ + 𝜔2
(5.23)
−∞
5.3.1
Термодинамический
предел
с
большим количеством туннельных
подсистем
Если изучаемые системы распределены в однородном
упорядоченном образце, то спектральная плотность
полного шума получается из (5.23) умножением на число таких систем (или степеней свободы) 𝑁 . Однако,
как правило, в среде присутствует беспорядок, проявляющийся в флуктуациях глубин потенциальных минимумов 𝑈0 , 𝑈1 внутри полосы энергий шириной 𝑊 . Такие флуктуации становятся весьма существенными, если температура достаточно мала: 𝑇 ≪ 𝑊 . В этом случае велики вариации 𝜆1,2 по образцу и измеряемая спектральная плотность полного шума ℱ𝜔 имеет универсальную низкочастотную асимптотику. При сложении
шумов от всех рассматриваемых степеней свободы произойдет усреднение:
𝑁
ℱ𝜔 = 𝑁 ⟨𝐹𝜔 ⟩ = 2
𝑊
ˆ
𝑁𝑇2
𝑑𝑈0 𝑑𝑈1 𝐹𝜔 =
𝑊2
ˆ
𝑑𝜆1 𝑑𝜆2
𝐹𝜔 .
𝜆1 𝜆2
(5.24)
При 𝑇 ≪ 𝑊 нижние пределы интегрирования по 𝑑𝜆1,2
можно положить равными 0; верхние пределы определяются микроскопическими константами и равны некоей величине 𝜆0 . Подставляя в это усреднение выражение
(5.23), получим:
⎡𝜆
⎤
0
ˆ2𝜆0
2 ˆ
2𝑁
𝑇
𝑑Λ
2𝜆
−
Λ
𝑑Λ
0
⎣
⎦.
ℱ𝜔 = (𝑎 + 𝑏)2
+
𝑊2
Λ2 + 𝜔 2
Λ2 + 𝜔 2
Λ
0
𝜆0
(5.25)
В области низких частот 𝜔 ≪ 𝜆0 последнее слагаемое в квадратных скобках несущественно, так что для
спектральной плотности шума получается универсальная частотная зависимость:
ℱ𝜔 ≈ (𝑎 + 𝑏)2
𝜋𝑁 𝑇 2 1
.
𝑊2 𝜔
(5.26)
Такой “ 1/𝜔 -шум” (его также называют “фликкер шум”)
образуется из-за активационных переходов через высокие барьеры и представлял в свое время загадочное явление, наблюдаемое в множестве сред.
§5.4. Стохастический резонанс
Литература: [4], дополнительная [8].
Глава 5.
26
Задачи на диффузию
Рассмотрим одномерное движение частицы в симметричном бистабильном потенциале
𝑥2
𝑥4
+
(5.27)
2
4
В таком силовом поле есть два устойчивых положения
равновесия (𝑥 = ±𝑎) и одно неустойчивое (𝑥 = 0).
Под действием теплового шума частица будет совершать случайные блуждания в окрестности минимумов
потенциала, иногда перепрыгивая из одного метастабильного состояния в другое. В пределе сильного трения
средняя частота выхода из метастабильного состояния
определяется формулой Крамерса
{︂
}︂
Δ𝑈
𝜔Ω
exp −
(5.28)
Γ=
2𝜋
𝑘𝑇
𝑈 (𝑥) = −𝑎2
где Δ𝑈 -высота барьера, 𝑇 - температура шума и предполагается, что 𝑘𝑇 ≪ Δ𝑈 . В нашем случае
{︂
}︂
𝑎4
𝑎2
exp −
.
(5.29)
Γ= √
4𝑘𝑇
2𝜋𝛾
Обозначим через 𝑁𝐿 (𝑡) и 𝑁𝑅 (𝑡) число частиц в левой
и правой яме соответственно. Понятно, что справедливо условие нормировки 𝑁𝐿 + 𝑁𝑅 = 𝑁 , где 𝑁 это полное
количество частиц. Вводя вероятности перехода из одного состояние другое 𝑊𝐿𝑅 и 𝑊𝑅𝐿 , получим следующие
уравнения эволюции
𝑑𝑁𝐿
= −𝑊𝐿𝑅 𝑁𝐿 + 𝑊𝑅𝐿 𝑁𝑅
(5.30)
𝑑𝑡
𝑑𝑁𝑅
= 𝑊𝐿𝑅 𝑁𝐿 − 𝑊𝑅𝐿 𝑁𝑅
(5.31)
𝑑𝑡
В обсуждаемом приближении вероятности переходов
равны частоте Крамерса 𝑊𝐿𝑅 = 𝑊𝑅𝐿 = Γ. Тогда зависимость числа частиц в ямах от времени имеет вид
)︀
𝑁 (︀
𝑁𝐿 (𝑡) = 𝑁𝐿 (0)𝑒−2Γ𝑡 +
1 − 𝑒−2Γ𝑡
(5.32)
2
)︀
𝑁 (︀
𝑁𝑅 (𝑡) = 𝑁𝑅 (0)𝑒−2Γ𝑡 +
1 − 𝑒−2Γ𝑡
(5.33)
2
В пределе больших времен Γ𝑡 ≫ 1 распределение становится симметричным 𝑁𝐿 (∞) = 𝑁𝑅 (∞) = 𝑁/2 независимо от начальных уловий.
------------------------------------------
Рис. 5.2 ...
------------------------------------------
Предположим теперь, что на частицу действует слабая периодическая сила 𝜀 cos 𝜔𝑡, амплитуда которой мала настолько, что исключает преходы через барьер в отсутствии шума. Гармоническое воздействие эквивалентно периодической модуляции глубины потенциальных
ям. В итоге у вероятностей перехода частицы появятся компоненты, периодически зависящие от времени. С
точностью до линейных по амплитуде сигнала членов
можно записать
𝑎𝜀
Γ cos 𝜔𝑡
(5.34)
𝑊𝐿𝑅 ≈ Γ +
𝑘𝑇
𝑎𝜀
𝑊𝑅𝐿 ≈ Γ −
Γ cos 𝜔𝑡
(5.35)
𝑘𝑇
Подставляя данные выражения в уравнения (5.30) и
(5.31), находим
𝑁𝐿 (𝑡)
= 𝑁𝐿 (0)𝑒−2Γ𝑡 +
−
𝑁𝑅 (𝑡)
(5.36)
(︀
)︀
𝑎𝜀Γ𝑁
√
cos(𝜔𝑡 + 𝜑0 ) − 𝑒−2Γ𝑡 cos 𝜑0
𝑘𝑇 𝜔 2 + 4Γ2
= 𝑁𝑅 (0)𝑒−2Γ𝑡 +
−
𝑁
(1 − 𝑒−2Γ𝑡 ) −
2
𝑁
(1 − 𝑒−2Γ𝑡 ) +
2
(5.37)
(︀
)︀
𝑎𝜀Γ𝑁
√
cos(𝜔𝑡 + 𝜑0 ) − 𝑒−2Γ𝑡 cos 𝜑0
𝑘𝑇 𝜔 2 + 4Γ2
где 𝜑0 = − arctan(𝜔/2Γ). В пределе больших времен
Γ𝑡 ≫ 1
(︂
)︂
1
𝑁𝐿 (𝑡) =
− 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜑0 ) 𝑁,
(5.38)
2
)︂
(︂
1
+ 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜑0 ) 𝑁,
(5.39)
𝑁𝑅 (𝑡) =
2
где
𝑎𝜀Γ
√
𝐴=
.
(5.40)
𝑘𝑇 𝜔 2 + 4Γ2
На рисунке изображена зависимость амплитуды A
от температуры шума при 𝑎 = 1, 𝜔 = 2𝜋/105 и 𝜀 = 10−3 .
Как мы видим, эта зависимость имеет вид резонансного пика: отклик системы на периодическое воздействие
максимален в случае, когда среднее время перехода через барьер близко к периоду сигнала. В этом режиме
переходы происходят в среднем в фазе с периодической
силой, то есть происходит синхронизация переключений
в бистабильной системе под действием внешнего сигнала. Таким образом, явление стохастического резонанса
служит примером того, что шум в системе может играть
конструктивную роль. Шум оптимальной интенсивности в условиях стохастического резонанса улучшает интенсивность сигнала на выходе бистабильной системы.
Данный эффект широко используется при создании ряда технических устройств, а также, как выяснилось, играет важную роль в процессах восприятия и обработки информационных сигналов живыми организмами на
фоне внешних и внутренних шумов.
27
II.
ЗАДАЧИ
§5.5. Коллективная синхронизация фазовых осцилляторов.
О явлении синхронизации говорят, когда в системе
взаимодействующих осцилляторов возникают согласованные колебания, несмотря на то что каждый в отдельности взятый осциллятор обладает уникальной собственной частотой и подвержен случайному шуму. Такой эффект представляет собой коллективное поведение и обусловлен наличием взаимодействия между осцилляторами. Коллективную синхронизацию можно наблюдать на большом числе примеров биологических систем: клетки типа pacemaker в сердечной ткани; синхронизованная активность нейронов, ответственная за формирование ритмов головного мозга; синхронизация метаболизма дрожжевых клеток; синхронизация вспышек
больших скоплений светлячков; согласованное стрекотание сверчков. К примерам из области физики относятся синхронизцию фаз взаимодействующих джозефсоновских переходов и лазеров. Переход ансамбля осцилляторов от несогласованного состояния, когда каждый осциллятор колеблется с собственной частотой, к
синхронизованному представляет собой аналог фазового перехода. Контролируется этот переход силой взаимодействия между осцилляторами, которая после превышения некторого порогового значения способна привести к коллективному поведению системы, несмотря на
разброс собственных частот составляющих ее элементов
и наличие шума.
Каждый осциллятор описывается фазой 𝜃𝑖 (𝑡), которая может принимать значения от 0 до 2𝜋 . Осцилляторы обладают собственными частотами Ω𝑖 , определяющими скорости перемещения их фаз по фазовой окружности в отсутствии взаимодействия. Эти частоты в общем случае могут быть функциями времени и фазы.
Вид взаимодействия между осцилляторами определяется свойствами конкретной физической или биологической системы, которая является предметом исследования. Так, например, в моделях нейронных пулов наибольший интерес представляет импульсное взаимодействие. В этом случае каждый осциллятор в момент достижения его фазой значения 2𝜋(= 0) генерирует импульс, передающийся всем соседним элементам пула.
Данный импульс ведет к изменению фаз соседних осцилляторов на определенные величины, определяемые
силами попарных взаимодействий. В зависимости от
знака приращения фазы взаимодействие может быть
как возбуждающим, так и тормозящим. Однако системы с импульсным взаимодействием весьма сложны с
точки зрения аналитического описания и чаще всего исследуются численными методами. Здесь мы рассмотрим
более простую модель, в которой взаимодействие носит
непрерывный и глобальный характер: в любой момент
времени каждый осциллятор взаимодействует со всеми
остальными. Пусть динамика фазы описывается урав-
нением
𝑁
𝐾 ∑︁
sin(𝜃𝑗 − 𝜃𝑖 ) + 𝜉𝑖
𝜃˙𝑖 = Ω𝑖 +
𝑁 𝑗=1
(5.41)
где 𝐾 ≥ 0 это константа взаимодействия, 𝑁 ≫ 1 - количество осцилляторов. Множитель 1/𝑁 введен, чтобы
обеспечить конечность силы взаимодействия в пределе
𝑁 → ∞. Случайные процессы 𝜉𝑖 (𝑡) преставляет собой
белый шум
⟨𝜉𝑖 (𝑡)⟩ = 0,
⟨𝜉𝑖 (𝑡1 )𝜉𝑗 (𝑡2 )⟩ = 2𝐷𝛿𝑖𝑗 𝛿(𝑡1 − 𝑡2 )
(5.42)
Модель, описываемая уравнением (5.41) называется моделью Курамото.
Теперь необходимо обсудить, что же является количественной мерой коллективной синхронизации. Понятно, что если 𝐾 = 0, то фазы осцилляторов независимы
друг от друга и в любой момент времени распределены равномерно на фазовой окружности (в силу разброса собственных частот и наличия шума). Если же константа взаимодействия достаточно велика, то ожидается коллективное поведение, выражающееся в неоднородности распределения на фазовой окружности. В качестве меры синхронизации удобно выбрать комплексное число
𝑁
1 ∑︁ 𝑖𝜃𝑖
𝑒
(5.43)
𝑟𝑒𝑖𝜓 =
𝑁 𝑗=1
которое мы будем называть параметром порядка. Этот
параметр можно себе представить как вектор с началом в центре фазовой окружности. Угол поворота этого
вектора, 𝜓 , есть средняя фаза осцилляторов ансамбля.
Длина вектора, 𝑟, является мерой эффективности фазировки осцилляторов вблизи средней фазы. Если синхронизация в системе отстутствует, то осцилляторы равномерно распределены по фазовой окружности и 𝑟 = 0.
Если ансамбль полностью синхронизован, то есть все осцилляторы движутся как одна точка на фазовой окружности, то 𝑟 = 1. Таким образом параметр (5.43) описывает коллективное поведение ансамбля осцилляторов как
целого.
Равенство
𝑟𝑒𝑖(𝜓−𝜃𝑖 ) =
𝑁
1 ∑︁ 𝑖(𝜃𝑗 −𝜃𝑖 )
𝑒
,
𝑁 𝑗=1
(5.44)
позволяет переписать уравнение динамики отдельного
осциллятора как
𝜃˙𝑖 = Ω𝑖 + 𝐾𝑟 sin(𝜓 − 𝜃𝑖 ) + 𝜉𝑖
(5.45)
Таким образом, мы видим перед собой пример теории
среднего поля, встречающейся в задачах с многочастичным взаимодействием: взаимодействие элемента системы с окружением представляется как действие некоторого эффективного поля. Теперь взаимодействие каждого осциллятора со всеми остальными выражено через
Глава 5.
28
Задачи на диффузию
среднеполевые характеристики 𝑟 и 𝜓 . Фаза осциллятора
"притягивается"к средней фазе 𝜓 , а сила притяжения
пропорциональна степени когерентности ансамбля 𝑟.
Предположим, что функция распределения осцилляторов по собственным частотам 𝑔(Ω) имеет вид симметричного пика около средней частоты Ω0 : 𝑔(Ω0 + 𝜔) =
𝑔(Ω0 − 𝜔). Разумно предположить, что в установившемся режиме коллективная фаза 𝜓 вращается с частотой
Ω0 , а амплитуда 𝑟 не изменяется. Выполним замену переменных 𝜃𝑖 → 𝜃𝑖 + Ω0 𝑡, что соответствует переходу в
систему отсчета, вращающуюся с частотой Ω0 . В ней
средняя фаза неподвижна и можно положить 𝜓 = 0,
выбрав соответсвующим образом начало остчета на фазовой окружности. Тогда уравнение (5.45) приобретает
вид
𝜃˙𝑖 = 𝜔𝑖 − 𝐾𝑟 sin 𝜃𝑖 + 𝜉𝑖
(5.46)
(︂
𝜌(𝜃, 𝜔) = 𝜌(0, 𝜔) exp
где 𝜔𝑖 = Ω𝑖 − Ω0 .
Введем функцию распределения осцилляторов по
фазе и расстройке частоты
𝜌(𝜃, 𝜔, 𝑡) = ⟨𝛿(𝜃 − 𝜃𝜔 (𝑡))⟩𝜉
(5.47)
где 𝜃𝜔 (𝑡) - решение уравнения (5.46) для осциллятора
с собственной частотой 𝜔 при конкретной реализации
случайного процесса 𝜉 . Эволюция данной функции описывается уравнением Фоккера-Планка
𝜕𝑡 𝜌 = −𝜕𝜃 [(𝜔 − 𝐾𝑟 sin 𝜃)𝜌] + 𝐷𝜕𝜃2 𝜌
(5.48)
Стационарное решение этого уравнения, удовлетворяющее периодическому граничному условию 𝜌(𝜃, 𝜔) =
𝜌(𝜃 + 2𝜋, 𝜔), имеет вид
⎛
⎞
´𝜃
−𝜔𝜙−𝐾𝑟 cos 𝜙
(exp(− 2𝜋𝜔
)
−
1)
)𝑑𝜙
exp(
)︂ ⎜
⎟
𝐷
𝐷
−𝐾𝑟 + 𝜔𝜃 + 𝐾𝑟 cos 𝜃 ⎜
⎟
0
⎜1 +
⎟
2𝜋
´
𝐷
⎝
⎠
cos 𝜙
exp( −𝜔𝜙−𝐾𝑟
)
𝐷
(5.49)
0
где 𝜌(0, 𝜔) определяется условием нормировки
ˆ2𝜋
𝜌(𝜃, 𝜔)𝑑𝜃 = 1
(5.50)
определить точку перехода к синхронизованному состоянию необходимо разложить правую часть уравнения
(5.52) при 𝑟 → 0. Функция распределения в пределе малого параметра порядка
0
Функция распределения осцилляторов по фазе получается, если проинтегрировать (5.49) по частоте с весом
𝑔(Ω0 + 𝜔)
+∞
ˆ
𝑛(𝜃) =
𝑔(Ω0 + 𝜔)𝜌(𝜃, 𝜔)𝑑𝜔
(5.51)
𝑟=
−∞
Вспоминая определение (5.43), мы можем выразить параметр порядка через функцию распределения
ˆ2𝜋
𝑟=
0
+∞
ˆ
ˆ2𝜋
𝑖𝜃
𝑛(𝜃)𝑒 𝑑𝜃 =
𝑑𝜔𝑔(Ω0 + 𝜔) 𝑑𝜃𝜌(𝜃, 𝜔)𝑒𝑖𝜃 (5.52)
−∞
1
𝐷𝐾𝑟
𝜔
+
(cos 𝜃 + sin 𝜃)) + 𝑂(𝑟2 )
2
2
2𝜋 2𝜋(𝐷 + 𝜔 )
𝐷
(5.53)
Тогда уравнение (5.52) приобретает вид
𝜌(𝜃, 𝜔) =
0
Последнее уравнение представляет собой условие самосогласования нашей среднеполевой теории и определяет
величину параметра порядка.
Легко видеть, что при любом 𝐾 уравнение самосогласования всегда имеет тривиальное нулевое решение
𝑟 = 0, соответствующее полностью несинхронизованному режиму (когда 𝜌(𝜃, 𝜔) = 1/2𝜋 ). Имеется однако еще
одна ветвь решения, на которой параметр порядка становится отличным от нуля, начиная с некоторого критического значения константы взаимодействия 𝐾𝑐 . Чтобы
1
𝐷𝐾𝑟
2
+∞
ˆ
𝑔(𝜔 + Ω0 )
𝑑𝜔
+ 𝑂(𝑟2 )
𝐷2 + 𝜔2
(5.54)
−∞
(мнимая часть занулилась в силу неизменности функции распределения 𝜌(𝜃, 𝜔) при одновременной смене знаков ее аргументов и предполагаемой симметричности
функции 𝑔(Ω)). Сокращая на 𝑟, получаем следующее
выражение для критической константы взаимодействия
⎡ +∞
⎤−1
ˆ
2 ⎣
𝑑𝜔 ⎦
𝐾𝑐 (𝐷) =
𝑔(𝜔 + Ω0 ) 2
𝐷
𝐷 + 𝜔2
(5.55)
−∞
Если константа взаимодействия 𝐾 превышает это
пороговое значение, то происходит частичная синхронизация ансамбля, проявляющаяся в ненулевом значении
параметра порядка 𝑟.
29
II.
ЗАДАЧИ
Глава 6
ПЕРЕНОС В ХАОТИЧЕСКИ
ФЛУКТУИРУЮЩЕМ ПОТОКЕ ЖИДКОСТИ
§6.1. Перенос и размешивание пассивного скаляра
Уравнение переноса пассивного скаляра, испытующего распад и подпитываемого накачкой, имеет вид
𝜕𝑡 𝜃 + (𝑣∇)𝜃
= −𝛾𝜃 + 𝑓,
(6.1)
где 𝛾 – скорость распада скаляра.
Можно считать накачку случайной по времени и
имеющей некоторую корреляцию в пространстве, так
что
⟨𝑓 (𝑡, 𝑟1 ) 𝑓 (𝑡′ , 𝑟2 )⟩ = 𝛿(𝑡 − 𝑡′ )𝜒(𝑟1 − 𝑟2 ).
(6.2)
Мы предполагаем, что накачка изотропна, так что
функция 𝜒(𝑟) зависит на самом деле только от абсолютного значения вектора 𝑟 и убывает на некотором
масштабе 𝐿.
Исследуем, как будет устроена корреляционная
функция пассивного скаляра на расстояниях, много
меньших корреляционной длины поля скорости жидкости. На таких расстояниях можно считать профиль
поля скорости линейным, так что
⟨︀ 𝑖
⟩︀
(𝑣 (𝑡, 𝑟1 ) − 𝑣 𝑖 (𝑡, 𝑟2 ))(𝑣 𝑗 (𝑡′ , 𝑟1 ) − 𝑣 𝑗 (𝑡′ , 𝑟2 )) = (6.3)
= 𝐷(2𝑟2 𝛿 𝑖𝑗 − 𝑟𝑖 𝑟𝑗 )𝛿(𝑡 − 𝑡′ ),
𝑟 = 𝑟1 − 𝑟2 .
Вид пространственной зависимости корреляционной
функции однозначно фиксируется требованиями i) линейности по координате профиля поля скорости; ii) бездивергентностью поля скорости; iii) изотропностью статистики поля скорости.
Перейдём в систему координат, начало которой движется вместе с некоторым зафиксированным элементом
жидкости. В этой системе координат скорость в окрестности начала координат задаётся матрицей 𝜎 𝑖𝑗 градиента поля скорости,
𝑣𝑖
=
𝜎 𝑖𝑗 𝑟𝑗
(6.4)
Корреляционная функция случайного процесса 𝜎 𝑖𝑗 вытекает из корреляционной функции поля скорости (6.3):
⟨𝜎 𝑖𝑗 (𝑡)𝜎 𝑙𝑘 (𝑡′ )⟩ = 𝐷(4𝛿 𝑖𝑙 𝛿 𝑗𝑘 − 𝛿 𝑖𝑘 𝛿 𝑗𝑙 − 𝛿 𝑖𝑗 𝛿 𝑙𝑘 )𝛿(𝑡 − 𝑡′ ) (6.5)
Уравнение на скаляр в выбранной нами системе отсчёта
имеет вид
𝜕𝑡 𝜃 = [𝜎 𝑖𝑗 𝑟𝑗 ∇𝑖 − 𝛾]𝜃 + 𝑓
(6.6)
Формально, эволюцию 𝜃 можно записать в виде
ˆ𝑡
𝜃(𝑡)
=
^ 𝑡0 )𝜃(𝑡0 ) +
𝒰(𝑡,
d𝑡′ 𝒰(𝑡, 𝑡′ ) 𝑓 (𝑡′ ),
𝑡0
(6.7)
⎤
⎡ 𝑡
ˆ
𝒰(𝑡, 𝑡0 ) = 𝒯 exp ⎣ (𝜎 𝑖𝑗 (𝑡′ ) 𝑟𝑗 ∇𝑖 − 𝛾)d𝑡′ ⎦
𝑡0
где 𝒯 – оператор временного упорядочения, который
расставляет операторы в порядке убывания их временного аргумента.
Уравнение на парную корреляционную функцию
𝜕𝑡 𝐹2 (𝑟) ≡
𝜕𝑡 ⟨𝜃(𝑡, 0) 𝜃(𝑡, 𝑟)⟩ =
(𝐷(2𝑟2 𝜕𝑟2
=
(6.8)
+ 8𝑟𝜕𝑟 ) − 2𝛾)𝐹2 (𝑟) + 𝜒(𝑟)
Точки парной корреляционной функции мы выбираем из соображений удобства: исходно задача была
трансляционно-инвариантной, но мы специально выбрали систему координат, в которой проще проводить вычисления. Мы также учли, что для изотропного случая
парная корреляционная функция зависит только от абсолютного значения 𝑟 . Граничными условиями является
конечность функции 𝐹2 в нуле и стремление к нулю на
бесконечности. Может получения уравнения (6.8) следующий: надо во временную производную от корреляционной функции подставить производные от 𝜃 в начале
координат и в точке 𝑟 , произведя усреднение по накачке
и по флуктуациям скорости. Вклад от накачки получается следующим образом (выписываем только релевантные слагаемые):
ˆ𝑡
𝜃(𝑡, 𝑟)
=
d𝑡′ 𝑓 (𝑡′ , 𝑟),
𝜕𝑡 𝐹2 (𝑟) =
⟨
⟩
ˆ 𝑡
ˆ 𝑡
= 𝑓 (𝑡, 0)
d𝑡′ 𝑓 (𝑡, 𝑟) + 𝑓 (𝑡, 𝑟)
d𝑡′ 𝑓 (𝑡, 0) =
= 𝜒(𝑟),
´0
поскольку мы полагаем, что
d𝑡 𝛿(𝑡) = 1/2. Слагаемое
в (6.8), пропорциональное амплитуде флуктуаций скорости 𝐷, можно получить следующим образом. В представлении (6.7) удержим только решение, зависящее от
начального условия в момент времени 𝑡0 , а в нём только
вклад от скорости. Нас интересует производная по времени: нулевой член разложения 𝒯 -экспоненты поэтому
нам не интересен. Первый член разложения обращается
после усреднения в ноль, а второй член разложения как
раз приводит к ненулевому вкладу.
Глава 6.
Перенос в хаотически флуктуирующем потоке жидкости
Предметный указатель
Эйлера уравнение, 16
Флуктуация
оптимальная, 29
Функция
автокорреляционная, 31
тока, 18
Крамерса-Кронига соотношения, 11
Кудо
формула, 12
Тензор напряжений, 15
Уравнение
непрерывности, 15
stretched exponent, 31
30
31
II.
ЗАДАЧИ
Литература
[1] Л. Д. Ландау and Е. М. Лифшиц. Теоретическая физика, том VIII. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука,
1982.
[2] Ш.М. Коган. Низкочастотный токовый шум со спектром типа 1/f в твёрдых телах. Успехи физических наук,
145:285–328, 1985.
[3] Sh. Kogan. Electronic noise and fluctuations in solid. Cambridge University Press, 1996.
[4] В.С. Анищенко и А.Б. Нейман, Ф. Мосс, and Л. Шиманский-Гайдер. Стохастический резонанс как индуцированный
шумом эффект увеличения степени порядка. Успехи физических наук, 169:7, 1999.
[5] Ю.Л. Климонтович. Что такое стохастическая фильтрация и стохастический резонанс? Успехи физических наук,
169:39, 1999.
[6] B. B. Mandelbrot. Proccedings of the Royal Society of London A, 434:79–88, 1991.
[7] Howard C. Berg and Edward M. Purcell. Physics of chemoreception. Biophysical Journal, 20:193–219, 1977.
[8] С.А. Решетник and В.А. Щеглов. О стохастическом резонансе с точки зрения фильтрующих свойств бистабильной
системы. Квантовая электроника, 33:142, 2003.
Оглавление
Глава 1
2
Программа курса: семинарские занятия
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
1.11.
1.12.
Случайное блуждание частицы: прыжковая диффузия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Уравнение диффузии: возможные типы граничных условий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Элементы статистики; задача о случайно расположенных на прямой поглощающих центрах . . . . . . . . .
Уравнения Ланжевена и Фоккера-Планка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Закон Аррениуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Теория линейного отклика. Флуктуационно-диссипационная теорема. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Проводимость классического газа с трением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Шумы, возникающие за счет активационных переходов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Стохастический резонанс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Фазовая синхронизация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Перенос и перемешивание в случайных потоках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Магнитные жидкости. Эффект магнитного динамо. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 2
Задачи для самостоятельного решения
Часть
4
4
5
5
7
7
7
8
8
9
9
9
10
I
МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Глава 3
Уравнения Фоккера-Планка и диффузии
13
3.1.
Уравнение Фоккера-Планка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.1 ФДТ в классическом пределе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2.
Броуновская частица в сильно вязкой среде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Глава 4
Математические аспекты теории статистики
4.1.
Одномерная случайная величина. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Характеристическая функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.
Сумма независимых одинаково распределённых случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Характеристическая функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Описание флуктуаций для суммы многих случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Оптимальные флуктуации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.
Примеры для сумм независимых одинаково распределённых случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Случайные блуждания: двумерный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Сумма случайных величин, функция распределения которых имеет экспоненциальные хвосты . .
4.3.3 Сумма случайных величин, функция распределения которых имеет растянуто-экспоненциальные
хвосты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.
Моменты совместно распределённых гауссовых случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.
Флуктуации случайной величины: автокорреляционная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
16
16
16
17
17
18
18
18
19
19
20
20
33
ОГЛАВЛЕНИЕ
Часть
II
ЗАДАЧИ
Глава 5
Задачи на диффузию
5.1.
5.1.1
5.2.
5.3.
5.3.1
5.4.
5.5.
Общие методы решения задач на диффузию. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Диффузия в ограниченной области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Поглощающая сфера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Шумы, возникающие за счет активационных переходов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Термодинамический предел с большим количеством туннельных подсистем . . . . . . . . . . . . .
Стохастический резонанс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Коллективная синхронизация фазовых осцилляторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 6
Перенос в хаотически флуктуирующем потоке жидкости
6.1.
23
23
23
24
24
25
25
27
29
Перенос и размешивание пассивного скаляра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Предметный указатель
30