1954 г. т. IX, УСПЕХИ MATEMATII4ЕСЕИХ вып. 2 (60) HAVE О МЕТОДЕ ЧЕБЫШЕВА Д Л Я ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ М. И. Нечепуренко В этой заметке делается попытка обобщить на нелинейные функцио­ нальные уравнения один из эффективнейших методов решения алгебраи­ ческих и трансцендентных уравнений — метод разложения в быстро сходя­ щийся ряд П. Л . Чебышева [1]. Идея этого метода базируется на возмож­ ности обращения степенного ряда, тесно связанной с существованием обратной функции. , Это разложение может явиться основой для составления приближённых методов решения функциональных уравнений (методы Ньютона, Чебышева). Сходимость первого из них в пространствах Банаха изучил Л . В. Кан­ торович [2]. Аналогично [2] ниже изучается сходимость алгоритма Чебы­ шева и даётся точный порядок сходимости при условиях более жёстких, чем наложенные в [2]. Приводится некоторое сравнение метода Чебышева с методом касательных гипербол [3], [4]. В виде приложения доказанного рассматривается решение обыкновен­ ных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. В этом плане несколько распространяются идеи С. А. Чаплыгина [5]. § 1. Аналог ряда Чебышева для линейных нормированных пространств Пусть X — линейное нормированное пространство и <р преобразует X в пространство Y того же типа. Рассмотрим уравнение 9(х) = 0. (1) Предположим, что уравнение (1) имеет некоторое неособенное решение хк (т. е. существует [ср' (£*)]~1), и известно приближённое решение а таш е, что норма ||ср(а)|| достаточно мала. Наложим на о условия, обеспечивающие существование оператора Ф, обратного ср. Из теоремы о неявных функциях [6] вытекает следующая Т е о р е м а . Если задана функция р = ср (а), такая, что 1) <р(х*) = 0; 2) ср к раз дифференцируема в смысле Фреше (или аналитическая) й ^окрестности точки х*\ И* 164 М. И. НЕЧЕПУРЕНКО 3) в ^-окрестности производные <?'(а) и ср" (а) непрерывны и ограничены ~по~норме; 4) существует Г(х*) = [ср' (ж*)]"1 (вследствие непрерывности ср'(а) огге~ ратор Г (а) определён для всех а ггз ^-окрестности х* и || Г (а) | | < В ) , то существует а = Ф(Р), к раз дифференцируемая (или, соответственно, аналитическая) в некоторой ^^-окрестности нуля. Пусть а таково, что || <? (а) || < т0 и || а — х* || < £. Тогда имеет смысл разложение: оо ж *= Ф (о)=Ф(р-р)=2Ц !1 1 - ф ( 0 (?)Р'= i=0 ^а-ф-(Р)т(а) + Ф ' , ( 32!) ^ ( а ) ! 2 - Ф ' , ' (3!У ( а ) ! 8 + - - Выражая Ф^ ((3) через ср О') (а), получим следующие пять первых членов ряда: я* = а - Г„ср (а) - 1 Г а? " (а) [Г, ? (а)]» - 1 Г»?" (а) Г е? " (а) [Г в? (а)]2 Г (а) ср (а) + i Г,<р'" (а) [ 1 > (а)]» + + 1 Г/f" (а) Г в ? ' " (а) [1>р (а)]» Гаср (а) - + | г в « р ' " (а) 1 > " (а) [Г, ? (а)]* [Г в? (а)]2 - - 4г«?" (а) (г (*) <?* («) [г»? (а)]2)2 - 4 r ^ I V (a> 1Г«? wi 4 +••••; здесь Г а = Г ( а ) . Первые два члена ряда дают известный метод Ньютона приближённого решения уравнений где Гп = Г(я п ). Три первых члена дают быстро сходящийся алгоритм;, впервые получен­ ный (в связи с указанным рядом) П. Л. Чебышевым: *п+1 = Хп - Г п? (*п) - у J п?" (*п) [ [ > ( П Р ­ ЕСЛИ ограничиться первыми /г членами ряда, то, как известно, а„= п-1 * - 2 Цг ф(0 (?) & (*>]' I < т!г S U P и ф(п) (Р) в ( а >г II> х где р = &р и 0 < f r < l . Выражая Ф (п) в правой части неравенства через cp(i) и взяв все ср(' с аргументом у, для которого ср (у) = &ср (a), получаем оценку для 8П. Нахождение области, в которой лежат f> представляет единствен­ ную трудность в применении этой оценки. О МЕТОДЕ ЧЕБЫШЕВА ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 165 Заметим, что так как у является одним из корней уравнения Ф(Т) = ? ( Т ) - Ж * ) = 0, (2) то по теореме, доказанной Л. В. Канторовичем [2], найдём, что ф<*>(т) = Т<«>(т). ф( а ) = т ( а ) - » ? ( а ) = ( 1 - » ) ? ( а ) , и следовательно, llT_e|l<i^]OEfSE!:)1|0<bzj^llei "О ; "О где ||Г(а)||<50, ЦГ(а)ср(а)||<-г)0, \\<?" (х)\\<К. § 2. Метод Чебышева в пространстве типа В Пусть X — полное нормированное типа В. ср преобразует X в простран­ ство Y того же типа. Рассмотрим уравнение (1) Т (х) = 0, где ср дважды дифференцируема в смысле Фреше. Имеет место Т е о р е м а . Если 1) для оператора ср' (гг0) имеется обратный Г0 и при этом | | Г 0 | | < 5 0 ; 2) элемент х0 приближённо удовлетворяет (1): || Г0<р (х0) || <т}0; 3) || ср" (х) || <iv в используемой области, определяемой неравенством (3)1 i)B0yl0K=h0<Y^u 5) 8о = ^о ( 1 + ~у) ( w a основании 4) g0 < -^ J , иго уравнение (1) имеет решение х*9 которое может быть найдено при помощи алгоритма Чебышева. Быстроту сходимости можно оценить нера­ венством \\хп-х*\\<Ц0,ГоГ(Ъ§0)2П-* (l+^)^l0, (2) я о 256 вдеЬ = ж . По теореме, доказанной Л. В. Канторовичем [2], при наложенных на ср условиях решение х* уравнения (1) существует и единственно в области \х-хо\\< 14-1/4 ~2ht -ТГ0 Ч> причем l^-^iK1-^1-^^, (3) Поэтому вопрос о существовании и единственности решения здесь не затра­ гивается. Приводимое далее доказательство не совершенно: ойо даёт очень гру­ бую оценку при сильных условиях, наложенных на ср; но и при этом видно, что метод Чебышева имеет порядок сходимости по крайней мере тот же, что и метод Ньютона, и близок, как показывает практика, к методу 166 М. И. ИЕЧЕИУРЕНКО касательных гипербол [3], [4]: Х п\1 = Х п - [ ! - ~2 Г п ? " (Хп) Г п ? (Хп) ] Г п¥ W • Так, для уравнения xlg10x — 4,7772393 — 0 с .т0 = 6 и решением ж* = 6,089114... метод касательных гипербол даёт ^ = 6,089112..., а метод Чебышева (метод касательных парабол) хх = 6,089113...; для уравнения х3 — 2х — 5 = 0 оба метода дают верных шесть первых десятич­ ных знаков. Вместе с тем следует указать, что в применении к функцио­ нальным уравнениям метод Чебышева более прост, так как нахождение / — -тт Гп<р"(.гп) Гп®(хп) J связано с большими трудностями. Введём в рассмотрение константу ?0, оценивающую сверху норму х II г х о \\ • II *i - *о II = II Го? Ы + 1 Г0?" (*о) [Го? К ) ] 2 II < <7104- Y5OA'T(;-=1O(1+-2?)-EO. Одновременно получаем, что gQ = BQKZ0. Покажем, что при переходе от х0 к х1 сохраняются все условия, нало­ женные на ср в х0. Следуя [2], введём в рассмотрение оператор Н: i\ = W (^)Г1 = U + го (?' (*i) - ?' (^о))]'1 г0 = #г 0 . Так как || Г 0 ( ? ' (хх) — <?' (х0)) \\<B0KtQ = g0 < 1, 1 [| Н || < 1 ; поэтому существует 1\ и то Н существует и Для нахождения т^ необходимо оценить сверху || I^cp (хг) ||: . .Ц1\у(.г 1 )||^||яг 0? (^)|.< ,|Г ;!. ( ^ ) " • Строим функцию F0 (х) = х- Г 0 ? (х) - 1 Г 0? " (*0) [Г 0? (х0)]*. Замечаем, что x1 = F0(x0)J Поэтому F'0(x0) =.•/ — Г0ср' (х0) = 0 и F'0' (х)= — Госр"0Ф II Г0? (хг) || = || F0 (х,) - * , + 1 Г0?" (*„) [Г0? (*0)]21| < Отсюда - Л ^ж? С^а> II < А ьо Далее, |l^-*illOji+y5i^f<^_<||g050=Vo5o-5i. Для g1 имеем: в - Б К1 <-JE^M— __rf_ < 16 ^ 1 О МЕТОДЕ ЧЕБЫШЕВА ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 167 Следовательно, /4<]/l + 2.l_t = j / | _ 1 . Таким образом, для ср в хг соблюдены все условия, аналогичные усло­ виям в xQ. Имеется возможность продолжать определение элементов хп и чисел Вп, 7]л, £п, hn, gn дальше. При этом К = ^iffn-l^n-l = - - . = ^ g n - l £ n - 2 ' ' ' So&0- А так как ТО е < - Я 2 п - 1 г ? 2 п _ (^Уо)2>г Отсюда ^<*"^Ч-+,ГЧ-(0,75Г(>й)>-»6„ II *„ - *П+Р |1< *„ + Wi + • • • + W i < (^оГ-^о "§ (0,75)"+' = = 4 (»g0)2»-i [(0,75)" - (0,75)»+"] So. Этим доказаны существование предела lim ж„ = ж* и неравенство (2). п->оо Отметим, что если sup ||ср'(;)||</ и для всех ^ из (3) (на е=ж,+»(х*-жэ), о^ *< 1 основании доказанного в § 1) || Г( т )|| < Б , |jcp" ( т ) || < if, | | ? ' " ( T ) I I < L » то мож­ но судить о точном порядке сходимости метода Чебышева. Действительно, IIЧ - х* II = II j г (Т) ?" (Т) Г (т) ?" (Т) [Г (Т) ? (*о)12Г (Т) ? (*о) ~ -4 г (т)?"'(т)[1Чт)тК)] 3 11< < £ ( 3 5 ^ + L) [sup || ср' (£) ||]« || х* - х01|» = = ^(3B^-bL)7»||z*-x 0 ||». Отсюда 2 | | x n - ^ | | < [ ^ ( 3 5 ^ + L)/»] \\х*-х0\Г. Если введённые константы удовлетворяют условиям теоремы [2], то j^C-vh^)s\r, 1К-**11 < [%(звк* + ь) где ^о>ИГо?(^о)1|. К = ВК Ъ- 168 М. И. НЕЧЕПУРЕНКО § 3. Алгоритмы Ньютона и Чебышева для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Рассмотрим уравнение <Р(*) = 5 ? - / ( ' , * ) = 0; (П здесь х — неизвестная функция действительного переменного £. Считаем, что Ф, обратный ср, имеет значения в подпространстве непрерывных на некотором интервале (г0, Т) функций, удовлетворяющих условию х(t0) = x0. Пусть на [t0, Т] известно приближённое решение a(t) ^ x(t), такое, что ср(ос) сохраняет на [/0, Т] знак и a(t0) = x0, oL'(t0) = x'0. В этом случае согласно [5] на всём интервале выполняется одно из следующих неравенств: oi(t)>x(t), если ср(а)>0, а (/)<#(/), если ср(а)<0. или Одновременно с уравнением (1) рассмотрим уравнение t ty(x) = x(t) — xQ— { f(t, x)dt = 0. to Простые вычисления показывают, что Г ф(0(а)А*=( Г h(t)—\fa(t,a)h(t)dt (0 для г = 1; ( \ f[V(t, ^)hl(l)dt для г > 1. to t Так как ф'(ос)/г = /г(/) — \ f'a{t, a)h(t)dt = g(t) и, следовательно, /г'(/) — /i(£, oi)h(t) = gf (t), то по формуле решения линейного уравнения t r ( a ) g = 6'o t [c+}g'{t)e <o dt\, to где c=[r(a)g]t^i0. Заметим, что если h = T(a)g = W(z)h]t=to = k(to) = cТаким образом, и g = Y(a)h, t r ( a ) g = e'o то c = h(t0) и g{tQ) = t [ * ( / „ ) + $ * ' ( 0 е '" *J < 2) или, преобразовав, ! /I* ' -I /> (3) О МЕТОДЕ ЧЕБЫШЕВА ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 169* Из (3) убеждаемся, что T(cn)g есть непрерывный оператор. Пользоваться в дальнейшем удобнее выражением (2). Так как ф (а)/==/о — a (ttJ) — х0 = О, то нетрудно показать, что метод Чебышева для приближённого решения диф­ ференциальных уравнений имеет вид: / t *n+i = * n - * ' o ^ e *o <?(xn)dt + to t \ f'x dt t t \ f'x dt *o t _ ] * j'x l dt to Два первых члена в правой части дают метод Ньютона (впервые при­ менённый к дифференциальным уравнениям С. А. Чаплыгиным). Найдём оценки для остаточных членов способом, указанным в § 1, Д л я f имеем ф(^) = &ф(ос) или, развёрнуто, t t f{t,t)dt=-b*(t)-K-*\f{t>a)dt Т(0 —То~ 5 to to или •г'(0 - / С т)-»«'(') + »/(',«) = о, ?(7)-»?(«) = 0. Это—обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. На осно­ вании [5] решение, проходящее через (/0, х0), заключено между а и хг. так как величины <р(а)-»?(а) = ( 1 - » ) ? ( а ) , ср (#) — 8ср (а) = — &ср (а) противоположны по знаку. Если известно, кроме а, ещё а1У между которыми заключено х (будем, записывать х£[а . . . ах]) и для ах выполнено начальное условие, то f за­ ключено тем более между а и ах (и для f также выполнены начальные условия). Подставив -j в (/г+1)-й член разложения и взяв sup среди все­ возможных таких 7, получим удобную оценку погрешности. Пусть / такова, что Т— t0 = a; max j \ — M\ min f^ = mf max \f\'2\=K; max |/тУ|=.йГ;. Tf6[*...ei] max тб[«... «i] t 1f£h...«ll T6L«...«l] Tf6[«...eri] * * * * J /"3' I = Лт, и пусть || &n || и || Дч || — соответственно погрешности мето- дов Ньютона и Чебышева, а так как ЦДн||<||!Г(т)?"(т)111|Г(7)?(а)||2, 1|Дч||<[|-||Г( т ) Т '( т )||»+1||г( т )«р'"(т)1|]||г(т)?(«)|| 3 , 170 М. И. НЕЧЕПУРЕНКО и, как нетрудно проверить, т llr(7)?(*)|l<ea(M-m>5[c?(a)!^' (о r a il (T)?"(7)ii< ^o(M-m)> 11 г (l) ? ' " (Т) !| < a^Ve0 (АГ-™>, Ш!<^еЗа<м-*»>[$|?(а)|л]а . k Ш\<а1™+т е*ш^[1\9{*)\*]я. to Если при помощи введённых констант провести оценку способом, указанным в [2], то получим для метода Ньютона оценку менее точную в четыре раза: т \\Ьн\\к2аКе*а№-т)\ ^ | ? (a)|tf* j 2 . В качестве иллюстрации найденных оценок рассмотрим пример, ра­ зобранный С. А. Чаплыгиным в [5]. Решается уравнение £ + *»-/« = 0. Функции а = -~ и ах = 0 ограничивают решение соответственно сверху и снизу на интервале [t^, Т]:=[0, 1]. Простые вычисления показывают, что т 1 С 1 а—1; М~0\ т——77, К— 2, iV = 6; \ cp(a)cfa = — ; следовательно, 1 II Дн || < W ' W ^ 7 T i ) r < 0,000042; II Дч I! < l(3 " 1 b 2 ^ 6 ) e* ^ W i < 0,0000004. В заключение считаю долгом выразить благодарность аспиранту Ю. П. Кривенкову, замечаниями и советами которого я руководствовался. Поступило в редакцию 15 октября 1953 г. ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА [1] П. Л. Ч е б ы ш е в , Собр. соч. V, АН СССР, М.—Л., 1951, 7—25. [2] Л . В . К а н т о р о в и ч , О методе Ньютона для функциональных уравнений, ДАН СССР 59, № 7 (1948), 1237—1240. [3] Г. С. С а л е х о в, О сходимости процесса касательных гипербол, ДАН СССР 82, № 4 (1952), 525—526. [4] М. А. М е р т в е ц о в а, Аналог процесса касательных гипербол для общих функ­ циональных уравнений, ДАН СССР 88, № 4 (1953), 611—614. [5] С.А. Ч а п л ы г и н , Новый метод приближённого интегрирования дифференциаль­ ных уравнений, Гостехиздат, 1950 [6] Л. А. Л ю с т е р н и к и В. И. С о б о л е в , Элементы функционального анализа, Гостехиздат, 1951, 316—321.