Решения задач по физике открытой межвузовской олимпиады

Решения задач по физике
открытой межвузовской олимпиады школьников СФО
«Будущее Сибири»
II (заключительный) этап, 2011–2012 учебный год
Каждая правильно решенная задача оценивается в 10 баллов.
Физика 9 класс
1. Машина ехала из деревни A в город Б с непостоянной скоростью: половину всего
времени — со скоростью v, ещё треть — со скоростью 2v, и остаток времени — со
скоростью 3v. Чему равна средняя скорость машины?
Решение.
Пусть полное время в пути равно t. Тогда полный пройденный путь равен:
t
t
t t
5
s
v
2v
t
3v
vt .
2
3
2 3
3
По определению средняя скорость v s / t .
Подставив сюда полученное выражение для s, найдём
5
ответ: v
v.
3
(5 б.)
(3 б.)
(2 б.)
2. Из пунктов A и B, расположенных вдоль реки на некотором расстоянии,
одновременно начали двигаться навстречу друг к другу катер и моторная лодка.
Известно, что катер проходит путь из А в В за время t1, а лодка проходит путь из В в А
за время t2. Через какое время после начала движения они встретятся? Катер и лодка
движутся равномерно.
Решение.
Пусть s — расстояние между пунктами A и B, а v1 и v2 — скорости катера и моторной
лодки относительно берега.
По условию,
s
s
, v2
.
(1)
v1
t1
t2
Время до встречи t определяется относительной скоростью (v1+v2):
s
.
t
v1 v2
(8 б.)
Подставив сюда выражение (1), получим
ответ: t
t1t2
.
t1 t2
(2 б.)
3. В жидкости плотностью 0, налитой в цилиндрический
стакан сечением S, плавает поплавок с привязанным к
нему невесомой нитью грузиком массы m. Нить
перерезают, и грузик падает на дно. При этом уровень
жидкости в стакане уменьшается на h. Найти плотность
материала грузика.
h
g
ρ0
Решение.
Пусть V1 и V2 — объёмы вытесненной воды в первом и во втором случаях, mп — масса
поплавка.
В первом случае система поплавок + грузик плавает, поэтому согласно закону
Архимеда,
mп m
.
(1)
(3 б.)
V1
0
Во втором случае объём V2 складывается из объёма грузика m/ρ, где ρ — его
плотность, и объёма, вытесненного поплавком, который, согласно закону Архимеда,
равен mп/ρ0:
m mп
.
(2)
(3 б.)
V2
0
По условию задачи,
V1 V2
Вычтя (2) из (1), получим V1 V2
m
m
hS .
(3)
(2 б.)
, и подставив сюда (3), найдём
0
ответ:
0
hS 0
1
m
.
(2 б.)
4. Грузик, привязанный к невесомой нерастяжимой нити, вращается в вертикальной
плоскости вокруг точки О по окружности
R
радиуса R. Если нить перерезать в момент, когда
грузик
g
O
находится в верхней или нижней точке
окружности, он упадёт на землю в точке А или
В,
h
соответственно (см. рис.). Найти расстояние АВ,
если
известно, что точки А и В равноудалены от
точки
A
B
O, которая находится на высоте h над
поверхностью земли.
Решение.
Пусть расстояние |AB| равно L. Обозначим скорость грузика в верхней точке v1, а
время его падения из этой точки на землю t1. При падении грузика его движение по
горизонтали — равномерное со скоростью v1, а по вертикали — равноускоренное с
ускорением g и нулевой начальной скоростью.
Поэтому
v1t1
gt 2
2
L
,
2
(1 б.)
(2 б.)
h R.
Отсюда получим:
L2
g
.
v
4 2(h R)
Для падения грузика из нижней точки аналогично получим
2
1
(1)
L2
g
,
(2)
(3 б.)
v
4 2(h R)
где скорость v2 грузика в нижней точке связана со скоростью v1 законом сохранения
энергии:
2
2
mv22 mv12
,
2
2
где m — масса грузика. Подставляя сюда (1) и (2), получим
mg 2 R
L2
2R
16
Выразив отсюда L, получим
1
1
h R
h R
(2 б.)
L2
2R
.
2
16 h R 2
ответ: L 4 h2
R2 .
(2 б.)
5. Верёвка длины l и массы m, однородная по длине, лежит на горизонтальном столе.
Правый конец её пропущен через отверстие в столе и прикреплён снизу к крышке
стола. На верёвку под столом подвесили маленький лёгкий блок с прикреплённым к
нему грузом массы M (см. рис.). Верёвку вытянули влево до упора и отпустили, после
чего она стала соскальзывать в отверстие. Найти скорость левого конца верёвки в
момент, когда он переместился на расстояние x. Трения нет. Толщиной крышки стола
пренебречь. Ускорение свободного падения g.
Решение.
Пусть h — расстояние от блока до крышки стола. Пренебрегая размерами блока и
толщиной крышки стола, получим h=x/2.
h 1 x
Скорость грузика u
, т.е.
t 2 t
v
u
.
(2 б.)
2
Запишем закон сохранения энергии. В конечном состоянии суммарная кинетическая
энергия верёвки и груза K равна изменению их суммарной потенциальной энергии
(1)
K
U.
Mu 2
Кинетическая энергия грузика равна
. Часть верёвки, от левого её края до блока,
2
l h
имеет массу m
и движется со скоростью v, поэтому её кинетическая энергия
l
l h v2
имеет массу m
. Оставшаяся часть верёвки неподвижна, и её кинетическая
l
2
энергия равна нулю. Таким образом, суммарная кинетическая энергия K равна
Mu 2
(l h) v 2
K
m
.
(2)
2
l
2
Груз опустился на высоту h, поэтому изменение его потенциальной энергии равна
x
Mgh. Часть верёвки длиной x, имеющая массу m , переместилась под стол. При этом
l
центр масс этой части верёвки опустился на высоту h/2. Поэтому её потенциальная
x h
энергия изменилась на величину m g . Потенциальная энергия оставшейся части
l 2
верёвки не изменилась. Таким образом, суммарное изменение потенциальной энергии
всей системы равно
x h
(3)
U Mgh m g .
l 2
Подставив (2) и (3) в (1), получим
l h v2
u2
x h
M
m
Mgh m g .
(6 б.)
2
l
2
l 2
v
x
Подставив сюда u
иh
, получим
2
2
v2 M
x
M
x
m 1
gx
m
.
2 4
2l
2
4l
Откуда получим
ответ: v
M
m
x
2l
.
(2 б.)
M
x
m 1
4
2l
Примечание. При записи закона сохранения энергии школьником возможны ошибки
в величинах, входящих в него масс и расстояний. За каждую такую ошибку из 6
баллов вычитается по одному баллу.
gx