Электромагнитные волны. 1. Дифференциальное уравнение

Электромагнитные волны.
1.
2.
3.
4.
Дифференциальное уравнение электромагнитной волны.
Основные свойства электромагнитных волн.
Энергия электромагнитных волн. Вектор Умова-Пойнинга.
Излучение диполя.
1. Дифференциальное уравнение электромагнитной волны.
Электромагнитными волнами называются возмущения электромагнитного поля, распространяющиеся в пространстве.
Электромагнитное возмущение распространяется в пространстве за
счет непрерывного взаимопревращения или взаимодействия переменных
магнитного и электрических полей.
Утверждение о существовании электромагнитных волн является следствием уравнений Максвелла.
Представим
 уравнения Максвелла
 в виде:




H
E
rotE    0
;
rotH   0
,
divE  0 ,
divH  0 .
t
t
Тогда, для однородной и изотропной среды, не обладающей
сегнето

электрическими или ферромагнитными свойствами, (то есть D   0 E ,


B   0 H и   const ) волновое уравнение электромагнитной волны имеет вид:


2E
2
 E   0  0 2  0
t 

2H
2
 H   0  0 2  0 .
t
 Решением этих волновых уравнений являются функции:
E  E m cos(t  kx  1 )
 
H  H m cos(t  kx   2 ) ,
где  - частота волны,

k - волновое число k  ,
V
1 ,  2 - начальные фазы колебаний в точке с координатой x  0 .


E m , H m - амплитудные значения E , H .
2. Основные свойства электромагнитных волн. Монохроматическая волна.
Теория Максвелла не только предсказала возможность существования
электромагнитных волн, но и позволила установить все их основные свойства:
1
любая электромагнитная волна, независимо от ее конкретной формы
(то есть гармоническая волна или электромагнитное возмущение произвольной формы) характеризуется свойствами:
1. Скорость распространения в непроводящей нейтральной неферромагнитной среде V  c  - фазовая скорость, где c  1  0  0 - скорость
(света) электромагнитной волны в вакууме, то есть
1
V
.
 0  0
  
2. Векторы E , H , V (скорость волны) взаимно перпендикулярны и образуют правовинтовую систему.

Следовательно,
вектор
совпадает по направлению с векторным проV

изведением EH .
 


3. Электромагнитные волны – поперечные волны, E и H лежат в
плоскостях перпендикулярных направлению распространения волны.
2


4. В электромагнитной волне E и H колеблются в одинаковых фазах,
причем между мгновенными значениями E и H в любой точке существует
связь
 0 E   0 H .
Значения E и H одновременно достигают максимума, одновременно
обращаются в нуль.
Синусоидальная электромагнитная волна называется монохроматической волной, если в каждой точке электромагнитного поля волны проекции
векторов E и H на оси координат инерциальной системы отсчета совершают гармонические колебания одинаковой частоты v , называемой частотой
волны.
Для плоской монохроматической волны уравнение движения имеет
вид:
E y  A1 sin(t  kx) ;
H y    0 (  0 ) E z ,
где
  2v - циклическая частота волны,
K   V - волновое число,
A1,2 - амплитуда E y и E z ,
 - разность фаз колебаний E y и E z .
E z  A2 sin(t  kx   ) ;
H z   0 (  0 ) E y .
При произвольном  - плоская волна эллиптически поляризована, то


есть концы E и H изменяясь описывают эллипсы, лежащие в плоскости
перпендикулярно распространению волны.

1. A1  A2
   (2m  1)  , эллипсы превращаются в окружно2
2
2
2
2
сти:
E y  E z  A1 ;
H y  H z2   0 A12  0
в этом случае волна называется циркулярно поляризованной.
2.   m , эллипсы превращаются в прямые (т=0,1,2…)
E y A1  E z A2  0 ;
H y A2  H z A1  0 ,
такая волна называется линейно поляризованной.
3. Энергия электромагнитных волн.
Объемная плотность энергии электромагнитного поля w равна сумме
объемных плотностей энергии электрического we и магнитного w м полей.
  
1
1
ED BH
2
2
w   0 E   0 H 

.
2
2
2
2
 ,  - диэлектрическая и магнитная проницаемость среды.
3
Так как
 0 E   0 H , то объемная плотность электромагнитной
волны имеет вид:
w   0 E 2   0 H 2   0  0 EH  EH V ,
где V - скорость электромагнитной волны.
Пусть для плоской линейно поляризованной монохроматической волны
напряженность изменяется по закону:
E  A sin(t  kx) , то тогда w   0 A 2 sin 2 (t  kx) , значение w периодически колеблется с частотой   от 0 до wmax   0 A 2
 
1
2
 wdt   0 A .
 0
2

Вектор П плотности потока энергии электромагнитной волны называется вектором

 Умова-Пойнинга.
П  wV .
так как w  EH V , то получим:



П  [ EH ] , где V  скорость переноса энергии или фазовая скорость
волны.
Так в случае плоской монохроматической эллиптически поляризованной волны (бегущей) имеем
w   0 [ A12 sin 2 (t  kx)  A22 sin 2 (t  kx   )] .

П   0  0 [ A12 sin 2 (t  kx)  A22 sin 2 (t  kx   )] .

Для линейно поляризованной волны П   0  0 A12 sin 2 (t  kx) .
Скалярная величина I равная модулю среднего значения вектора
Пойнтинга, называется интенсивностью волны.

I   П   w  V .
 w 
Для линейно поляризованной монохроматической бегущей волны ин
2
тенсивность прямо пропорциональна Aколебаний
вектора E поля волны:
I
1  0 2
A .
2  0
4.Излучения диполя.
Электрическим диполем называется система из двух одинаковых по
модулю и разноименных точечных зарядов  q и  q , находящихся на некотором расстоянии l друг от друга.
Говоря о поле диполя, предполагают сам диполь точечным, то есть расстояние r от диполя до точек поля значительно больше l . Поле диполя обладает
осевой симметрией.
Процесс возбуждения электромагнитных волн какой-либо системой в
окружающем пространстве называется излучением волн, а сама система – из4
лучающей системой. Поле электромагнитных волн называется полем излучения. Электрический диполь является простейшей излучающей системой, называемой осциллятором, или элементарным вибратором.
Рассмотрим линейный гармонический осциллятор – электрический диполь, электрический
момент которого изменяется по закону


Pe  P0 sin t
Po - амплитуда.


По определению Pe  ql ,
q - абсолютное значение зарядов диполя;

где l - плечо диполя.
Мгновенная мощность излучения диполя
 2
 0 d 2 Pe
N
.
6c dt 2
Для линейного гармонического осциллятора.


d 2 Pe
2
2



P
e   P0 sin t ,
2
dt
 0 4 P02 sin 2 t
следовательно,
N
.
6c
Излучение диполя неодинаково в различных направлениях. Интенсивность излучения диполя I ~ sin 2  r 2 , где r - характеризует волновую
зону системы излучения r   .
 - угол между осью диполя и направлением излучения.
Зависимость I (  ) при фиксированном значении r называют полярной
диаграммой направленности излучения диполя.
I  max , если
   2 (диполь излучает в плоскости проходящей через середину перпендикулярную оси)
I  0,
если
  0 ;  (диполь не излучает вдоль оси).
Теория излучения диполя используется для моделирования и расчета
полей излучения реальных систем, например, в теории излучения атомов.
5
Полярная диаграмма направленности излучения диполя.
6