B15 Укажите значения переменных K, L, M, N, при которых... ∨ (L ∧ K) ∨ ¬N (K → M)

сайт Шпаргалка ЕГЭ
Подготовка к ЕГЭ 2013
24.05.2013
B15 Укаж ите значения переменных K, L, M, N, при которых логическое выраж ение
(K → M) ∨ (L ∧ K) ∨ ¬N
лож но. Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных K, L, M и N (в
указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что K=1, L=1, M=0, N=1.
Пояснение.
Логическое "ИЛИ" лож но тогда и только тогда, когда лож ны оба утверж дения.
(K → M) = 0, (L ∧ K) ∨ ¬N = 0.
Применим преобразование импликац ии для первого выраж ения:
¬K ∨ M = 0 => K = 1, M = 0.
Рассмотрим второе выраж ение:
(L ∧ K) ∨ ¬N = 0 (см. результат первого выраж ения) => L ∨ ¬N = 0 => L = 0, N = 1.
О т в е т : 1001
B15 Сколько различных решений имеет уравнение
(X ∧ Y ∨ Z) → (Z ∨ P) = 0
где X, Y, Z, P – логические переменные? В ответе не нуж но перечислять все различные наборы
значений, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нуж но указать
только количество таких наборов.
Пояснение.
Применим преобразование импликац ии:
(X ∧ Y ∨ Z) → (Z ∨ P) = 0 =>
¬(X ∧ Y ∨ Z) ∨ (Z ∨ P) = 0;
(¬X ∨ ¬Y ∧ ¬Z) ∨ (Z ∨ P) = 0;
Логическое ИЛИ лож но только в одном случае: когда оба выраж ения лож ны.
Следовательно,
(Z ∨ P) = 0 => Z = 0, P = 0.
¬X ∨ ¬Y ∧ ¬Z = 0 => ¬X ∨ ¬Y ∧ 1 = 0 =>
¬X ∨ ¬Y = 0 => X = 1; Y = 1.
Следовательно, сущ ествует только одно решение уравнения.
О т ве т : 1
B15 Сколько различных решений имеет уравнение
((A → B)∧ C) ∨ (D ∧ ¬D)= 1,
где A, B, C, D – логические переменные?
В ответе не нуж но перечислять все различные наборы значений A, B, C, D, при которых
выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нуж но указать количество таких наборов.
Пояснение.
Логическое "ИЛИ" истинно , когда истинно хотя бы одно из утверж дений.
(D ∧ ¬D)= 0 при любых D.
Следовательно,
(A → B)∧ C) = 1 => C = 1; A → B = 1 => ¬ A ∨ B = 1, что дает нам 3 варианта решений при каж дом
D.
(D ∧ ¬ D)= 0 при любых D, что дает нам два варианта решений (при D = 1, D = 0).
Следовательно: всего решений 2*3 = 6.
Итого 6 решений.
О т ве т : 6
http://shpargalkaege.ru
Группа в ВК
http://vk.com/shpargalkaege
сайт Шпаргалка ЕГЭ
Подготовка к ЕГЭ 2013
24.05.2013
B15 Укаж
ите значения логических переменных
Р, Q, S, Т, при которых логическое выраж
ение
(Р ∨ ¬Q) ∨ (Q → (S ∨ Т)) лож но.
Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных Р, Q, S, T (в указанном
порядке).
Пояснение.
Логическое "ИЛИ" лож но тогда и только тогда, когда лож ны оба утверж дения.
(1) (Р ∨ ¬Q) = 0
(2) (Q → (S ∨ Т)) = 0
(1) (Р ∨ ¬Q) = 0 => P = 0, Q = 1.
(2) (Q → (S ∨ Т)) = 0 Применим преобразование импликац ии:
¬Q ∨ S ∨ Т = 0 => S = 0, T = 0.
О т в е т : 0100
B15 Сколько различных решений имеет уравнение
(K ∧ L) ∨ (M ∧ N) = 1
где K, L, M, N – логические переменные? В ответе не нуж но перечислять все различные наборы
значений K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нуж но
указать только количество таких наборов.
Пояснение.
Выраж ение истинно в трех случаях, когда (K ∧ L) и (M ∧ N) равны соответственно 01, 11, 10.
1) "01" K ∧ L = 0; M ∧ N = 1, => M, N равны 1, а K и L любые, кроме как одновременно 1.
Следовательно 3 решения.
2) "11" K ∧ L = 1; M ∧ N = 1. => 1 решение.
3) "10" K ∧ L = 1; M ∧ N = 0. => 3 решения.
О т ве т : 7
B15 Сколько различных решений имеет уравнение
(K ∨ L) ∧ (M ∨ N) = 1
где K, L, M, N – логические переменные? В ответе не нуж но перечислять все различные наборы
значений K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нуж но
указать только количество таких наборов.
Пояснение.
Логическое И истинно только в одном случае: когда все выраж ения истинны.
K ∨ L = 1, M ∨ N = 1.
Каж дое из уравнений дает по 3 решения.
Рассмотрим уравнение А ∧ В = 1 если и А и В принимают истинные значения в трех случаях
каж дое, то в ц елом уравнение имеет 9 решений.
Следовательно ответ 9.
О т ве т : 9
B15 A, B и С — ц елые числа, для которых истинно высказывание
¬ (А = B) ∧ ((A > B)→(B > C)) ∧ ((B > A)→(С > B)).
Чему равно В, если A = 45 и C = 43?
Пояснение.
Обратим внимание, что э то слож ное высказывание состоит из трех простых
1) ¬(А = B); (A > B)→(B > C); (B > A)→(С > B)
2) э ти простые высказывания связаны операц ией ∧ (И, конъюнкц ия), то есть, они долж ны
http://shpargalkaege.ru
Группа в ВК
http://vk.com/shpargalkaege
сайт Шпаргалка ЕГЭ
выполняться
одновременно
3) из ¬(А = B)=1 сразу следует, что А
Подготовка к ЕГЭ 2013
24.05.2013
B
4) предполож им, что A > B, тогда из второго условия получаем 1→(B > C)=1; э то выраж ение
мож ет быть истинно тогда и только тогда, когда B > C = 1
5) поэ тому имеем A > B > C, э тому условию соответствует только число 44
6) на всякий случай проверим и вариант A < B, тогда из второго условия получаем
0 →(B > C)=1;
э то выраж ение истинно при любом B; теперь смотрим третье условие получаем
1→(С > B)=1;
э то выраж ение мож ет быть истинно тогда и только тогда, когда C > B, и тут мы получили
противоречие, потому что нет такого числа B, для которого C > B > A.
О т в е т : 44
B15 Укаж ите значения переменных K, L, M, N, при которых логическое выраж ение
(K → M) ∧ (K → ¬M) ∧ (¬K → (M ∧ ¬L ∧ N))
истинно. Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных K, L, M и N (в
указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что K=1, L=1, M=0, N=1.
Пояснение.
Логическое "И" истинно тогда и только тогда, когда истинны оба утверж дения.
1) (K → M) = 1 Применим преобразование импликац ии: ¬K ∨ M = 1
2) (K → ¬M) = 1 Применим преобразование импликац ии: ¬K ∨ ¬M = 1
Отсюда следует, что K = 0.
3) (¬K → (M ∧ ¬L ∧ N)) = 1 Применим преобразование импликац ии: K ∨ (M ∧ ¬L ∧ N) = 1 из того
что K = 0 получаем:
M ∧ ¬L ∧ N = 1 => M = 1, L = 0, N = 1.
О т в е т : 0011
B15 Сколько различных решений имеет уравнение
(¬K ∨ ¬L ∨ ¬M) ∧ (L ∨ ¬M ∨ ¬N) = 0
где K, L, M, N – логические переменные? В ответе не нуж но перечислять все различные наборы
значений K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нуж но
указать только количество таких наборов.
Пояснение.
Применим отриц ание к обеим частям уравнения:
(K ∧ L ∧ M) ∨ (¬L ∧ M ∧ N) = 1
Логическое ИЛИ истинно в трех случаях.
Вариант 1.
K ∧ L ∧ M = 1, тогда K, L, M = 1, а ¬L ∧ M ∧ N = 0. N любое, то есть 2 решения.
Вариант 2.
¬L ∧ M ∧ N = 1, тогда N, M = 1; L = 0, K любое, то есть 2 решения.
Следовательно, ответ 4.
О т ве т : 4
http://shpargalkaege.ru
Группа в ВК
http://vk.com/shpargalkaege
сайт Шпаргалка ЕГЭ
Подготовка к ЕГЭ 2013
24.05.2013
B15 Сколько
сущ ествует различных наборов
значений логических переменных x1, x2,
x3, x4, x5,
y1, y2, y3, y4, y5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниж е условиям?
(x1 → x2) ∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) ∧ (x4 → x5 ) = 1
(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) ∧ (y4 → y5 ) = 1
x1 → y1 = 1
В ответе не нуж но перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1,
y2, y3, y4, y5, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нуж но
указать количество таких наборов.
Пояснение.
1) Из последнего уравнения следует, что глобально мы имеем три варианта - x1=1, y1=1; x1=0,
y1=1; x1=0, y1=0.
2) Логическое И истинно, только тогда, когда истины все утверж дения, а импликац ия лож на
только в случае, если из истинного следует лож ное.
3) Уравнение (1) описывает ряд переменных {x1, x2, x3, x4, x5}. Так как из переменной с более
низким номером всегда следует переменная с более высоким, если любую переменную из э того
ряда приравнять 1, то все следующ ие долж ны такж е быть равны 1. Для уравнения (2) сущ ествует
то ж е самое правило. Иначе говоря, если записать переменные x (или y) в порядке возрастания
их номеров, справа будут единиц ы, а слева — нули.
4) Рассмотрим вариант x1=1, y1=1. Так как первые числа каж дого ряда равны 1, то все
следующ ие тож е равны 1. Сущ ествует только одна комбинац ия для э того варианта.
5) Рассмотрим вариант x1=0, y1=1. Для y-ряда все переменные равны 1, для x ж е сущ ествует 5
комбинац ий, так как в ряде x мож ет быть от 1 до 5 нолей включительно.
6) Последний
комбинац ий.
вариант
рассмотрим
аналогично
предыдущ ему.
Там
сущ ествует
всего
25
Правильный ответ: 25+5+1=31 комбинац ия.
О т в е т : 31
B15 Каково наибольшее ц елое полож ительное число X, при котором лож но высказывание:
(X•(X + 1)> 55) → (X•X > 50)
Пояснение.
Импликац ия лож на только тогда, когда посылка истинна, а следствие лож но.
(X•(X + 1)> 55); X•X < 50.
Для решения первого неравенства необходимо решить квадратное уравнение:
X2 + X - 55 = 0 его корни примерно равны: 6.9 и -7.9. Воспользовавшись методом интервалов,
выясняем, что нам подходят все ц елые числа, большие 6.9.
Из X•X < 50 следует, что Х < 7,1 (приблизительно).
Х долж ен удовлетворять и тому и тому неравенству, следовательно, ответ 7.
О т ве т : 7
B15 Сколько сущ ествует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5,
x6, x7, x8 которые удовлетворяют всем перечисленным ниж е условиям?
(x1≡x2)—>(x2≡x3) = 1
(x2≡x3)—>(x3≡x4) = 1
...
(x6≡x7)—>(x7≡x8) = 1
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, x5,
x6, x7, x8 при которых выполнена данная система равенств.
В качестве ответа Вам нуж но указать количество таких наборов.
Пояснение.
http://shpargalkaege.ru
Группа в ВК
http://vk.com/shpargalkaege
сайт Шпаргалка ЕГЭ
Применим
преобразование импликац ии:
Подготовка к ЕГЭ 2013
24.05.2013
¬(x1≡x2)∨(x2≡x3) = 1
¬(x2≡x3)∨(x3≡x4) = 1
...
¬(x6≡x7)∨(x7≡x8) = 1
Рассмотрим первое уравнение.
¬(x1≡x2)∨(x2≡x3) = 1
Логическое "ИЛИ" истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из выраж ений. Эквивалентность
истинна тогда, когда обе переменные имеют одно и то ж е значение.
Проверим, в каких случаях уравнение ЛОЖ НО.
Это будет тогда, ко гда x1 ≡ x2, а x3 не равно э тому значению, то есть в двух случаях: (x1,x2,x3)=
(1,1,0) и (x1,x2,x3)=(0,0,1).
Заметим, что логическое уравнение с тремя переменными мож ет иметь не более 23 = 8 решений.
Следовательно, наше уравнение имеет 8 − 2 = 6 решений.
Рассмотрим второе уравнение.
¬(x2≡x3)∨(x3≡x4) = 1
Из шести решений первого уравнения в четырех ¬(x2≡x3) = 0 и в двух ¬(x2≡x3) = 1.
Для тех решений, в которых ¬(x2≡x3) = 0 во втором уравнении не остается свободных
переменных: требуется, чтобы (x3≡x4) = 1, а переменная х3 фиксирована.
Для тех решений, в которых ¬(x2≡x3) = 1 во втором уравнении остается одна свободная
переменная — х4.
В таком случае (x2≡x3)∨(x3≡x4) = 1. (вывод1)
Таким образом, система из двух уравнений имеет [4·1] + [2·2] = 4 + 4 = 8 решений.
Рассмотрим третье уравнение.
¬(x3≡x4)∨(x4≡x5) = 1
Из (вывод 1) следует, что ¬(x3≡x4) = 0. Переменная x4 фиксирована, следовательно, х5 тож е
фиксирована.
Для тех решений, в которых ¬(x3≡x4) = 1 во втором третьем уравнении остается одна свободная
переменная — х5.
Таким образом, система из трех уравнений имеет [4·1·1] + [2·2]·2 = 4 + 8 = 12 решений.
Исходная система состоит из шести уравнений.
Продолж им рассуж дения аналогично, приходим к выводу, что для системы из 4-х уравнений будет
4 + 16 = 20 решений.
Для системы из пяти уравнений 36 решений. Для системы из шести уравнений 68 решения.
Следовательно, ответ 68.
О т в е т : 68
B15 Составьте таблиц у истинности для логической функц ии
X = (А ↔ B) ∨ ¬(A → (B ∨ C))
в которой столбец значений аргумента А представляет собой двоичную запись числа 27, столбец
значений аргумента В — числа 77, столбец значений аргумента С — числа 120. Число в столбц е
записывается сверху вниз от старшего разряда к младшему. Переведите полученную двоичную
запись значений функц ии X в десятичную систему счисления.
Пояснение.
Запишем уравнение, используя более простые обозначения операц ий:
http://shpargalkaege.ru
Группа в ВК
http://vk.com/shpargalkaege
сайт Шпаргалка ЕГЭ
Подготовка к ЕГЭ 2013
24.05.2013
1) э то выраж ение с тремя переменными, поэ тому в таблиц е истинности будет
строчек;
следовательно, двоичная запись чисел, по которым строятся столбц ы таблиц ы А, В и С, долж на
состоять из 8 ц ифр
2) переведем числа 27, 77 и 120 в двоичную систему, сразу дополняя запись до 8 знаков нулями в
начале чисел
3) вряд ли вы смож ете сразу написать значения функц ии Х для каж дой комбинац ии, поэ тому
удобно добавить в таблиц у дополнительные столбц ы для расчета промеж уточных результатов
(см. таблиц у ниж е)
А
В
С
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
X
4) заполняем столбц ы таблиц ы:
значение
значение
А
В
С
X
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
равно 1 только в тех строчках, где А = В
равно 1 в тех строчках, где либо В либо С = 1
значение
равно 0 только в тех строчках, где А = 1 и В + С = 0
значение
— э то инверсия предыдущ его столбц а (0 заменяется на 1, а 1 – на 0)
результат Х (последний столбец ) — э то логическая сумма двух столбц ов, выделенных фиолетовым
фоном
http://shpargalkaege.ru
Группа в ВК
http://vk.com/shpargalkaege
сайт Шпаргалка ЕГЭ
Подготовка к ЕГЭ 2013
24.05.2013
5) чтобы получить ответ, выписываем биты из столбц а Х сверху вниз:
6) переводим э то число в десятичную систему:
О т в е т : 171
B15 A, B и С – ц елые числа, для которых истинно высказывание
¬(А = B) ∧ ((B < A)→(2C > A)) ∧ ((A < B)→(A > 2C))
Чему равно A, если C = 8 и B = 18?.
Пояснение.
Логическое "И" истинно тогда и только тогда, когда истинны оба утверж дения.
1) ¬(А = B) = 1, то есть А ≠ 18 = 1.
2) ((B < A)→(2C > A)) Применим преобразование импликац ии: (18 > A) ∨ (16 > A) = 1
3) (A < B)→(A > 2C) Применим преобразование импликац ии: (A > 18) ∨ (A > 16) = 1
Из 2) и 3) следует, что (18 > A) и (A > 16), так как в противном случае возникает противоречие А
= 17.
О т в е т : 17
B15 Известно, что для чисел X, Y и Z истинно высказывание (Z < X ∨ Z < Y) ∧ ¬(Z+1 < X) ∧ ¬(Z+1 <
Y).
Чему равно Z, если X=25 и Y=48?
Пояснение.
Выполнив подстановку чисел получаем что Z = 47.
Обратим внимание, что э то слож ное высказывание состоит из трех простых
1) (Z < X ∨ Z < Y); ¬(Z+1 < X); ¬(Z+1 < Y)
2) э ти простые высказывания связаны операц ией ∧ (И, конъюнкц ия), то есть, они долж ны
выполняться одновременно
3) из ¬(Z+1 < X) = 1 сразу следует, что Z > 24, а из ¬(Z+1 < Y), что Z > 47
4) из (Z < X ∨ Z < Y) получаем два варианта:
Z < 25 либо Z < 47.
Z < 25 не подходит, в силу пункта 3, следовательно ответ 47.
О т в е т : 47
B15 Сколько различных решений имеет уравнение
(X ∨ Y ∨ Z) → (X ∧ P) = 1
где X, Y, Z, P – логические переменные? В ответе не нуж но перечислять все различные наборы
значений, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нуж но указать
только количество таких наборов.
Пояснение.
Применим преобразование импликац ии:
(X ∨ Y ∨ Z) → (X ∧ P) = 1;
¬(X ∨ Y ∨ Z) ∨ (X ∧ P) = 1;
(¬X ∧ ¬Y ∧ ¬Z) ∨ (X ∧ P) = 1; (1)
Логическое "ИЛИ" лож но , когда лож ны оба утверж дения.
Логическое "И" истинно только тогда, когда истинны оба утверж дения.
Вариант 1.
(¬X ∧ ¬Y ∧ ¬Z) = 1 тогда X = 0, Y = 0, Z = 0.
Тогда из (1) следует, что P мож ет быть как 1, так и 0, то есть 2 набора решений.
http://shpargalkaege.ru
Группа в ВК
http://vk.com/shpargalkaege
Вариантсайт
2. Шпаргалка ЕГЭ
Подготовка к ЕГЭ 2013
24.05.2013
(¬X ∧ ¬Y ∧ ¬Z) = 0, (X ∧ P) = 1.
Тогда P = 1, X = 1.
(0 ∧ ¬Y ∧ ¬Z) = 0 => есть 4 решения.
В итоге 6 решений.
О т ве т : 6
B15 Сколько сущ ествует различных наборов значений логических переменных x1, х2, хЗ, х4, х5,
y1, у2, уЗ, у4, у5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниж е условиям?
(x1 → х2) ∧ (х2 → хЗ) ∧ (хЗ → х4) ∧ (х4 → х5 ) = 1
(y1 → y2) ∧ (у2 → уЗ) ∧ (уЗ → у4) ∧ (у4 → у5 ) = 1
x1 ∨ y1 = 1
В ответе не нуж но перечислять все различные наборы значений переменных x1, х2, хЗ, х4, х5, y1,
у2, уЗ, у4, у5, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нуж но
указать количество таких наборов.
Пояснение.
1) Из последнего уравнения следует, что глобально мы имеем три варианта - x1=1, y1=1; x1=0,
y1=1; x1=1, y1=0.
2) Логическое И истинно, только тогда, когда истины все утверж дения, а импликац ия лож на
только в случае, если из истинного следует лож ное.
3) Уравнение (1) описывает ряд переменных {x1, x2, x3, x4, x5}. Так как из переменной с более
низким номером всегда следует переменная с более высоким, если любую переменную из э того
ряда приравнять 1, то все следующ ие долж ны такж е быть равны 1. Для уравнения (2) сущ ествует
то ж е самое правило. Иначе говоря, если записать переменные x (или y) в порядке возрастания
их номеров, справа будут нули, а слева - единиц ы.
4) Рассмотрим вариант x1=1, y1=1. Так как первые числа каж дого ряда равны 1, то все
следующ ие тож е равны 1. Сущ ествует только одна комбинац ия для э того варианта.
5) Рассмотрим вариант x1=0, y1=1. Для y-ряда все переменные равны 1, для x ж е сущ ествует 5
комбинац ий, так как в ряде x мож ет быть от 1 до 5 нолей включительно.
6) Последний вариант рассмотрим аналогично предыдущ ему. Там сущ ествует всего 5 комбинац ий.
Правильный ответ: 5+5+1=11 комбинац ий.
О т в е т : 11
B15 Сколько сущ ествует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5,
y1, y2, y3, y4, y5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниж е условиям?
(x1 → x2) ∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) ∧ (x4 → x5 ) = 1
(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) ∧ (y4 → y5 ) = 1
x5 → y5 = 1
В ответе не нуж но перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1,
y2, y3, y4, y5, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нуж но
указать количество таких наборов.
Пояснение.
1) Из последнего уравнения следует, что глобально мы имеем три варианта: x5=1, y5=1; x5=0,
y5=0; x5=0, y5=1.
2) Логическое И истинно, только тогда, когда истины все утверж дения, а импликац ия лож на
только в случае, если из истинного следует лож ное.
3) Уравнение (1) описывает ряд переменных {x1, x2, x3, x4, x5}. Так как из переменной с более
низким номером всегда следует переменная с более высоким, если любую переменную из э того
ряда приравнять 1, то все следующ ие долж ны такж е быть равны 1. Для уравнения (2) сущ ествует
то ж е самое правило. Иначе говоря, если записать переменные x в порядке возрастания их
номеров, справа будут нули, а слева — единиц ы, в y — так ж е.
4) Рассмотрим вариант x5=1, y5=1. Тогда остальные переменные могут принимать любые
значения: всего таких комбинац ий 25.
5) Рассмотрим вариант х5=0, у5=0. Тогда все переменные равны 0, следовательно, 1 комбинац ия.
6) Рассмотрим вариант х5=0, у5=1. Тогда все переменные х равны 0, а переменные у могут
http://shpargalkaege.ru
Группа в ВК
http://vk.com/shpargalkaege
сайт Шпаргалка ЕГЭ
Подготовка к ЕГЭ 2013
принимать
любые значения. Всего таких комбинац
ий 5.
24.05.2013
Ответ: 31.
О т в е т : 31
B15 Сколько сущ ествует ц елых значений X, при которых лож но высказывание:
(|X| ≥ 5) ∨ (|X| < 1)
Пояснение.
Логическое ИЛИ лож но только в одном случае: когда оба выраж ения лож ны.
|X| ≥ 5 = 0 и |X| < 1 = 0.
Решение первого неравенства: интервал [-∞;-5] и [5;+∞]
Второго: (-1;1).
Нам нуж но чтобы они оба были лож ны, следовательно считаем количество ц елых значений X на
интервалах [-5;-1] и [1;5].
Таких чисел 10.
Учтем, что числа 5 и −5 обращ ают исходное выраж ение в верное равенство. Следовательно,
ответ 8.
О т ве т : 8
B15 A, B и С – ц елые числа, для которых истинно высказывание
¬(А = B) ∧ ((A > B) → (C = B)) ∧ ((B > A) → (C = A))
Чему равно B, если A = 45 и C = 18?
Пояснение.
Логическое "И" истинно только тогда, когда истинны все высказывания.
Следовательно,
¬(А = B) = 1, (A > B)→(C = B) = 1, (B > A)→(C = A) = 1.
Из первого выясняем, что А ≠ B.
Применим преобразование импликац ии ко второму и третьему:
¬(A > B) ∨ (C = B) = 1, ¬(B > A) ∨ (C = A) = 1.
Обратим внимание на третье высказывание: (C = A) = 0, так как 45 ≠ 18. Следовательно, чтобы
оно было истинным необходимо, чтобы ¬(B > A) = 1, то есть чтобы число B было не больше A.
Теперь рассмотрим ¬(A > B) ∨ (C = B) = 1. Возмож ны два случая:
1) ¬(A > B) = 1. Это что означает, что число А не больше В. Вместе с предыдущ им э то означает,
что А = В = 40. Однако э то противоречит тому, что А ≠ B.
2) (C = B) = 1, откуда В = 18.
О т в е т : 18
B15 Сколько сущ ествует ц елых значений X, при которых истинно высказывание:
¬(|X| > 5) ∧ (|X| > 1) ∧ (|X| > 10)
Пояснение.
Логическое "И" истинно, когда истинны все утверж дения.
¬ (|X| > 5) = (|X| < 5) решение неравенства: (-5;5).
|X| > 1 решение неравенства: (-∞;-1) и (1;+∞).
|X| > 10 решение неравенства: (-∞;-10) и (10;+∞).
Найдем пересечение всех интервалов и посчитаем количество ц елых значений X.
http://shpargalkaege.ru
Группа в ВК
http://vk.com/shpargalkaege
сайт Шпаргалка ЕГЭ
Подготовка к ЕГЭ 2013
24.05.2013
Их будет 0.
О т ве т : 0
B15 Сколько различных решений имеет уравнение
((K ∨ L) → (L ∧ M ∧ N)) = 0
где K, L, M, N – логические переменные? В Ответе не нуж но перечислять все различные наборы
значений K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве Ответа Вам нуж но
указать количество таких наборов.
Пояснение.
перепишем уравнение, используя более простые обозначения операц ий:
((K + L) → (L · M · N)) = 0
1) из таблиц ы истинности операц ии «импликац ия» (см. первую задачу) следует, что э то
равенство верно тогда и только тогда, когда одновременно
K+L =1 и L ·M·N=0
2) из первого уравнения следует, что хотя бы одна из переменных, K или L, равна 1 (или обе
вместе); поэ тому рассмотрим три случая
3) если K = 1 и L = 0, то второе равенство выполняется при любых М и N; поскольку сущ ествует 4
комбинац ии двух логических переменных (00, 01, 10 и 11), имеем 4 разных решения
4) если K = 1 и L = 1, то второе равенство выполняется при М · N = 0; сущ ествует 3 таких
комбинац ии (00, 01 и 10), имеем ещ е 3 решения
5) если K = 0, то обязательно L = 1 (из первого уравнения); при э том второе равенство
выполняется при М · N = 0; сущ ествует 3 таких комбинац ии (00, 01 и 10), имеем ещ е 3 решения
6) всего получаем 4 + 3 + 3 = 10 решений.
Ответ: 10
О т в е т : 10
B15 Каково наибольшее ц елое число X, при котором истинно высказывание
(50 < X·X) → (50 > (X+1)·(X+1))
Пояснение.
Это операц ия импликац ии меж ду двумя отношениями и
и
1) попробуем сначала решить неравенства
,
2) вспомним таблиц у истинности операц ии «импликац ия»:
A B A→B
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
согласно таблиц е, заданное выраж ение истинно везде, кроме областей, где
и
,
поэ тому наибольшее ц елое число, удовлетворяющ ее условию – э то первое ц елое число,
меньшее
, то есть, 7 (для лучшего понимания полезно рисовать числовые оси).
О т ве т : 7
http://shpargalkaege.ru
Группа в ВК
http://vk.com/shpargalkaege
сайт Шпаргалка ЕГЭ
Подготовка к ЕГЭ 2013
24.05.2013
B15 Сколько
различных решений имеет уравнение
J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M ∧ (N ∨ ¬N) = 0, где
J, K, L, M,
N — логические переменные?
В ответе не нуж но перечислять все различные наборы значений J, K, L, M и N, при которых
выполнено данное равенство. В качестве ответа нуж но указать количество таких наборов.
Пояснение.
Выраж ение (N ∨ ¬N) истинно при любом N, поэ тому
J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M = 0.
Применим отриц ание к обеим частям логического уравнения и используем закон де Моргана
¬ (А ∧ В) = ¬ А ∨ ¬ В . Получим
¬J ∨ K ∨ ¬L ∨ M = 1.
Логическая сумма равна 1, если хотя бы одно из составляющ их ее высказываний равно 1. Поэ тому
полученному уравнению удовлетворяют любые комбинац ии логических переменных кроме
случая, когда все входящ ие в уравнение величины равны 0. Каж дая из 4 переменных мож ет быть
равна либо 1, либо 0, поэ тому всевозмож ных комбинац ий 2·2·2·2 = 16. Следовательно, уравнение
имеет 16 −1 = 15 решений.
Осталось заметить, что найденные 15 решений соответствуют любому из двух возмож ных
значений значений логической переменной N, поэ тому исходное уравнение имеет 30 решений.
О т в е т : 30
B15 колько сущ ествует различных наборов значений логических переменных x1, х2, хЗ, х4, х5, хб,
х7, х8, которые удовлетворяют всем перечисленным ниж е условиям?
(x1 —> х2) —> (хЗ—> х4) = 1
(хЗ —> х4) —> (х5 —> хб) = 1
(х5 —> хб) —> (х7 —> х8) = 1
(х7 —> х8) —> (х9 —> х10) = 1
В ответе не нуж но перечислять все различные наборы значений переменных x1, х2, хЗ, х4, х5, хб,
х7, х8, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нуж но указать
количество таких наборов.
Пояснение.
Сделаем замену переменных:
(x1 —> х2) = y1; (хЗ—> х4) = y2; (х5 —> хб) = y3; (х7 —> х8) = y4; (х9 —> х10) = y5.
Тогда мож но записать систему в виде одного уравнения.
(y1 —> y2) ∧ (y2 —> y3) ∧ (y3 —> y4) ∧ (y4 —> y5) = 1.
Для того, чтобы э то равенство было выполнено, ни одна из импликац ий не долж на быть лож ной
Вот все возмож ные варианты значений "y"(ключевым является тот факт, что переменные y
независимы):
y1
y2
y3
y4
y5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Импликац ия x1 —> х2 дает "0" при одном наборе переменных и "1" при трех наборах
переменных.
Поскольку каж дая из переменных "y" независима от другой, для каж дой строки полученной
таблиц ы перемнож аем количество вариантов комбинац ий исходных переменных:
http://shpargalkaege.ru
y1
y2
y3
y4
y5
вариантов
0
0
0
0
0
1·1·1·1·1 = 1
0
0
0
0
1
1·1·1·1·3 = 3
Группа в ВК
http://vk.com/shpargalkaege
сайт Шпаргалка ЕГЭ
0
0
0
к ЕГЭ 2013
1 Подготовка
1
1·1·1·3·3
=9
0
0
1
1
1
1·1·3·3·3 = 27
0
1
1
1
1
1·3·3·3·3 = 81
1
1
1
1
1
3·3·3·3·3 = 243
24.05.2013
Слож им количество вариантов: 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 364.
О т в е т : 364
B15 Сколько сущ ествует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5,
y1, y2, y3, y4, y5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниж е условиям?
(x1 → x2) ∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) ∧ (x4 → x5 ) = 1
(y5 → y4) ∧ (y4 → y3) ∧ (y3 → y2) ∧ (y2 → y1 ) = 1
x3 ∧ y3 = 1
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, x5,
y1, y2, y3, y4, y5, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нуж но
указать количество таких наборов.
Пояснение.
1) Из последнего уравнения следует, что глобально мы имеем x3=1, y3=1.
2) Логическое И истинно, только тогда, когда истины все утверж дения, а импликац ия лож на
только в случае, если из истинного следует лож ное.
3) Уравнение (1) описывает ряд переменных {x1, x2, x3, x4, x5}. Так как из переменной с более
низким номером всегда следует переменная с более высоким, если любую переменную из э того
ряда приравнять 1, то все следующ ие долж ны такж е быть равны 1. Для уравнения (2) сущ ествует
то ж е самое правило, только наоборот: из переменной с более высоким номером всегда следует
переменная с более низким. Иначе говоря, если записать переменные x в порядке возрастания их
номеров, справа будут нули, а слева - единиц ы, в y - напротив, слева единиц ы, справа - нули.
4) Рассмотрим вариант x3=1, y3=1. Тогда все следующ ие: x4, x5, y2, y1 тож е равны 1. Остаются
переменные x1, x2, y4, y5. Так как x2 следует из x1, для них мы имеем 3 варианта, аналогично для
y4 и y5. 3 3=9.
Ответ — 9.
О т ве т : 9
B15 Сколько сущ ествует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5,
y1, y2, y3, y4, y5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниж е условиям?
(x1 → x2) ∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) ∧ (x4 → x5 ) = 1
(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) ∧ (y4 → y5 ) = 1
x1 ∨ y1 = 1
В ответе не нуж но перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1,
y2, y3, y4, y5, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нуж но
указать количество таких наборов.
Пояснение.
1) Из последнего уравнения следует, что глобально мы имеем три варианта - x1=1, y1=1; x1=0,
y1=1; x1=1, y1=0.
2) Логическое И истинно, только тогда, когда истины все утверж дения, а импликац ия лож на
только в случае, если из истинного следует лож ное.
3) Уравнение (1) описывает ряд переменных {x1, x2, x3, x4, x5}. Так как из переменной с более
низким номером всегда следует переменная с более высоким, если любую переменную из э того
ряда приравнять 1, то все следующ ие долж ны такж е быть равны 1. Для уравнения (2) сущ ествует
то ж е самое правило. Иначе говоря, если записать переменные x (или y) в порядке возрастания
их номеров, слева будут нули, а справа - единиц ы.
4) Рассмотрим вариант x1=1, y1=1. Так как первые числа каж дого ряда равны 1, то все
следующ ие тож е равны 1. Сущ ествует только одна комбинац ия для э того варианта.
5) Рассмотрим вариант x1=0, y1=1. Для y-ряда все переменные равны 1, для x ж е сущ ествует 5
комбинац ий, так как в ряде x мож ет быть от 1 до 5 нолей включительно.
6) Последний вариант рассмотрим аналогично предыдущ ему. Там сущ ествует всего 5 комбинац ий.
Правильный ответ: 5+5+1=11 комбинац ий.
О т в е т : 11
http://shpargalkaege.ru
Группа в ВК
http://vk.com/shpargalkaege
сайт Шпаргалка ЕГЭ
Подготовка к ЕГЭ 2013
24.05.2013
B15 Сколько
сущ ествует различных наборов
значений логических переменных x1, x2,
x3, x4, x5,
x6, x7, которые удовлетворяют всем перечисленным ниж е условиям?
(x1≡x2)—>(x2≡x3) = 1
(x2≡x3)—>(x3≡x4) = 1
...
(x5≡x6)—>(x6≡x7) = 1
В ответе не нуж но перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, x5, x6,
x7, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нуж но указать
количество таких наборов.
Пояснение.
Применим преобразование импликац ии:
¬(x1≡x2)∨(x2≡x3) = 1
¬(x2≡x3)∨(x3≡x4) = 1
...
¬(x5≡x6)∨(x6≡x7) = 1
Рассмотрим первое уравнение.
¬(x1≡x2)∨(x2≡x3) = 1
Логическое "ИЛИ" истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из выраж ений. Эквивалентность
истинна тогда, когда обе переменные имеют одно и то ж е значение.
Проверим, в каких случаях уравнение ЛОЖ НО.
Это будет тогда, ко гда x1 ≡ x2, а x3 не равно э тому значению, то есть в двух случаях: (x1,x2,x3)=
(1,1,0) и (x1,x2,x3)=(0,0,1).
Заметим, что логическое уравнение с тремя переменными мож ет иметь не более 23 = 8 решений.
Следовательно, наше уравнение имеет 8 − 2 = 6 решений.
Рассмотрим второе уравнение.
¬(x2≡x3)∨(x3≡x4) = 1
Из шести решений первого уравнения в четырех ¬(x2≡x3) = 0 и в двух ¬(x2≡x3) = 1.
Для тех решений, в которых ¬(x2≡x3) = 0 во втором уравнении не остается свободных
переменных: требуется, чтобы (x3≡x4) = 1, а переменная х3 фиксирована.
Для тех решений, в которых ¬(x2≡x3) = 1 во втором уравнении остается одна свободная
переменная — х4.
В таком случае (x2≡x3)∨(x3≡x4) = 1. (вывод1)
Таким образом, система из двух уравнений имеет [4·1] + [2·2] = 4 + 4 = 8 решений.
Рассмотрим третье уравнение.
¬(x3≡x4)∨(x4≡x5) = 1
Из (вывод 1) следует, что ¬(x3≡x4) = 0. Переменная x4 фиксирована, следовательно, х5 тож е
фиксирована.
Для тех решений, в которых ¬(x3≡x4) = 1 во втором третьем уравнении остается одна свободная
переменная — х5.
Таким образом, система из трех уравнений имеет [4·1·1] + [2·2]·2 = 4 + 8 = 12 решений.
Исходная система состоит из пяти уравнений.
Продолж им рассуж дения аналогично, приходим к выводу, что для системы из 4-х уравнений будет
4 + 16 = 20 решений.
Для системы из пяти уравнений 36 решений.
Следовательно, ответ 36.
О т в е т : 36
http://shpargalkaege.ru
Группа в ВК
http://vk.com/shpargalkaege
сайт Шпаргалка ЕГЭ
Подготовка к ЕГЭ 2013
B15 Сколько
различных решений имеет уравнение:
24.05.2013
¬((J → K) → (L ∧ M ∧ N)) ∨ ¬((L ∧ M ∧ N) → (¬J ∨ K)) ∨ (M ∧ J) = 0
Пояснение.
Используем формулу A → B = ¬A ∨ B
Рассмотрим первую подформулу:
¬((¬J ∨ K) → (M ∧ N ∧ L)) = ¬(¬(¬J ∨ K) ∨ (M ∧ N ∧ L)) = ¬((J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L)) =
Учитывая, что ¬(А ∨ В) = ¬А ∧ ¬В,
= (¬J ∨ K) ∧ (¬M ∨ ¬N ∨ ¬L)
Рассмотрим вторую подформулу
¬((L ∧ M ∧ N) → (¬J ∨ K)) = ¬(¬(L ∧ M ∧ N) ∨ (¬J ∨ K)) = L ∧ M ∧ N ∧ J ∧ ¬K
Применим отриц ание к левой и правой части уравнения, получится
[(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L)] ∧ [¬L ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬J ∨ K] ∧ [¬M ∨ ¬J] = 1
1) (¬M ∨ ¬J) = 1, следовательно,
а) M = 0 J = 0
0 ∧ ¬K ∧ ¬L ∨ ¬N ∨ K, следовательно, 0 решений.
б) M = 1 J = 0
[(0 ∧ ¬K) ∨ (1 ∧ N ∧ L)] ∧ [¬L ∨ 0 ∨ ¬N ∨ 1 ∨ K] ∧ [¬M ∨ 1] = N ∧ L ∧ ¬L ∨ ¬N ∨ 1 ∨ K = 1 =>
L=N=1, следовательно, 2 решения.
в) M = 0 J = 1
[(1 ∧ ¬K) ∨ (0 ∧ N ∧ L)] ∧ [¬L ∨ ¬0 ∨ ¬N ∨ ¬1∨ K] ∧ [¬0 ∨ ¬1] = 1, следовательно, 4 решения.
Ответ: 2 + 4 = 6.
О т ве т : 6
B15 Известно, что для ц елых чисел X, Y и Z истинно высказывание
(Z < X ∨ Z < Y) ∧ ¬(Z+1 < X) ∧ ¬(Z+1 < Y)
Чему равно Z, если X=25 и Y=48?
Пояснение.
(Z < X ∨ Z < Y) ∧ ¬(Z+1 < X) ∧ ¬(Z+1 < Y) = 1.
Логическое "И" истинно тогда и только тогда, когда истинны оба утверж дения.
Подставим значения чисел в выраж ение:
1) (Z < X ∨ Z < Y) = (Z < 25 ∨ Z < 48) = 1.
2) ¬(Z+1 < X) = ¬(Z+1 < 25) = (Z => 24) = 1
3) ¬(Z+1 < Y) = (Z => 47) = 1.
Посмотрим на 1): если Z < 25 = 1, то неверно Z => 47, следовательно из 1) => Z < 48.
Из 3) и 1) следует, что Z = 47.
О т в е т : 47
B15 Каково наибольшее ц елое полож ительное число X, при котором истинно высказывание:
(X•X - 1 > 100) → (X•(X-1)< 100)
Пояснение.
Применим преобразование импликац ии:
¬(X•X - 1 > 100) ∨ (X•(X-1)< 100) => X•X - 1 < 100 ∨ (X•(X-1)< 100) =>
X•X < 101 ∨ (X•(X-1)< 100)
http://shpargalkaege.ru
Группа в ВК
http://vk.com/shpargalkaege
сайт Шпаргалка ЕГЭ
Если X•X < 101 = 1, то т. к.
Подготовка к ЕГЭ 2013
чуть больше 10 (меньше чем на 1), ответ 10.
24.05.2013
Если X•(X-1)< 100, то нам необходимо решить неравенство: X•X - X - 100 < 0.
Корни э того квадратного уравнения:
Воспользовавшись методом интервалов, получаем, что наибольшее ц елое полож ительное число,
удовлетворяющ ее неравенству, э то 10.
В качестве ответа берем наибольшее из решений.
О т в е т : 10
B15 Укаж ите значения переменных К, L, M, N, при которых логическое выраж ение
(¬(М ∨ L) ∧ К) → (¬К ∧ ¬М ∨ N)
лож но. Ответ запишите в виде строки из 4 символов: значений переменных К, L, М и N (в
указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что К=1, L=1, M=0, N=1.
Пояснение.
Запишем уравнение, используя более простые обозначения операц ий (условие «выраж ение
лож но» означает, что оно равно логическому нулю):
1) из формулировки условия следует, что выраж ение долж но быть лож но только для одного
набора переменных
2) из таблиц ы истинности операц ии «импликац ия» следует, что э то выраж ение лож но тогда и
только тогда, когда одновременно
и
3) первое равенство (логическое произведение равно 1) выполняется тогда и только тогда, когда
и
; отсюда следует
(логическая сумма равна нулю), что мож ет быть
только при
; таким образом, три переменных мы уж е определили
4) из второго условия,
, при
и
получаем
.
О т в е т : 1000
B15 Сколько сущ ествует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, y1,
y2 y3, y4, которые удовлетворяют всем перечисленным ниж е условиям?
(x1 → x2) ∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) = 1
(¬y1 ∨ y2) ∧ (¬y2 ∨ y3) ∧ (¬y3 ∨ y4) = 1
(y1 → x1) ∧ (y2 → x2) ∧ (y3 → x3) ∧ (y4 → x4) = 1
В ответе не нуж но перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, y1, y2
y3, y4, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нуж но указать
количество таких наборов.
Пояснение.
Конъюнкц ия истина тогда и только тогда, когда каж дое высказывание истинно.
Для первого выраж ения э то означает, что, если х1 равен 1, то х2, х3 и х4 такж е равны 1, т. е. для
х1...х4 решения сущ ествуют только в виде "1111", "0111", "0011", "0001" и "0000".
Применив преобразование импликац ии ко второму выраж ению, увидим, что оно аналогично
первому.
В третьем выраж ении из "y" следует соответствующ ее ему "x", э то означает, что если y = 1, то и
x = 1.
Следовательно, первому набору для x "1111" соответствует 5 наборов y. Второму — 4, третьему
http://shpargalkaege.ru
Группа в ВК
http://vk.com/shpargalkaege
— 3, и. т.сайт
д. Шпаргалка ЕГЭ
Подготовка к ЕГЭ 2013
24.05.2013
Следовательно, ответ: 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15.
О т в е т : 15
B15 A, B и C – ц елые числа, для которых истинно высказывание:
(C < A ∨ C < B) ∧ ¬(C+1 < A) ∧ ¬(C+1 < B)
Чему равно C, если A=45 и B=18?
Пояснение.
Логическое "И" истинно тогда и только тогда, когда истинны оба утверж дения.
Подставим значения чисел в выраж ение:
1) (C < A ∨ C < B) = 1 => (C < 45 ∨ C < 18).
2) ¬(C+1 < A) =>, C ≥ 44.
3) ¬(C+1 < B) =>, C ≥ 17.
Из 2) и 1) следует , что C < 45 = 1, а э то, вкупе с 2,) значит, что C = 44.
О т в е т : 44
B15 колько сущ ествует различных наборов значений логических переменных x1, х2, хЗ, х4, х5, хб,
х7, х8, которые удовлетворяют всем перечисленным ниж е условиям?
(x1 —> х2) —> (хЗ—> х4) = 1
(хЗ —> х4) —> (х5 —> хб) = 1
(х5 —> хб) —> (х7 —> х8) = 1
В ответе не нуж но перечислять все различные наборы значений переменных x1, х2, хЗ, х4, х5, хб,
х7, х8, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нуж но указать
количество таких наборов.
Пояснение.
Сделаем замену переменных:
(x1 —> х2) = y1; (хЗ—> х4) = y2; (х5 —> хб) = y3; (х7 —> х8) = y4.
Тогда мож но записать систему в виде одного уравнения.
(y1 —> y2) ∧ (y2 —> y3) ∧ (y3 —> y4) = 1.
Для того, чтобы э то равенство было выполнено, ни одна из импликац ий не долж на быть лож ной
Вот все возмож ные варианты значений "y" (ключевым является тот факт, что переменные y
независимы):
y1
y2
y3
y4
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
Импликац ия x1 —> х2 дает "0" при одном наборе переменных и "1" при трех наборах
переменных.
Поскольку каж дая из переменных "y" независима от другой, для каж дой строки полученной
таблиц ы перемнож аем количество вариантов комбинац ий исходных переменных:
http://shpargalkaege.ru
y1
y2
y3
y4
вариантов
0
0
0
0
1·1·1·1 = 1
0
0
0
1
1·1·1·3 = 3
0
0
1
1
1·1·3·3 = 9
0
1
1
1
1·3·3·3 = 27
1
1
1
1
3·3·3·3 = 81
Группа в ВК
http://vk.com/shpargalkaege
Шпаргалка ЕГЭ
2013
Слож им сайт
количество
вариантов: 1 + 3 + 9 +Подготовка
27 + 81 к=ЕГЭ
121.
24.05.2013
О т в е т : 121
B15 Сколько сущ ествует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5,
y1, y2, y3, y4, y5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниж е условиям?
(x1 → x2) ∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) ∧ (x4 → x5 ) = 1
(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) ∧ (y4 → y5 ) = 1
y5 → x5 = 1
В ответе не нуж но перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1,
y2, y3, y4, y5, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нуж но
указать количество таких наборов.
Пояснение.
1) Из последнего уравнения следует, что глобально мы имеем три варианта: x5=1, y5=1; x5=0,
y5=0; x5=0, y5=1.
2) Логическое И истинно, только тогда, когда истины все утверж дения, а импликац ия лож на
только в случае, если из истинного следует лож ное.
3) Уравнение (1) описывает ряд переменных {x1, x2, x3, x4, x5}. Так как из переменной с более
низким номером всегда следует переменная с более высоким, если любую переменную из э того
ряда приравнять 1, то все следующ ие долж ны такж е быть равны 1. Для уравнения (2) сущ ествует
то ж е самое правило. Иначе говоря, если записать переменные x в порядке возрастания их
номеров, справа будут нули, а слева — единиц ы, в y — так ж е.
4) Рассмотрим вариант x5=1, y5=1. Тогда остальные переменные могут принимать любые
значения: всего таких комбинац ий 25.
5) Рассмотрим вариант х5=0, у5=0. Тогда все переменные равны 0, следовательно, 1 комбинац ия.
6) Рассмотрим вариант х5=0, у5=1. Тогда все переменные х равны 0, а переменные у могут
принимать любые значения. Всего таких комбинац ий 5.
Ответ: 31.
О т в е т : 31
B15 Сколько сущ ествует различных наборов значений логических переменных x1, х2, хЗ, х4, х5,
хб, y1, у2, уЗ, у4, у5, у6 которые удовлетворяют всем перечисленным ниж е условиям?
(x1 → х2) ∧ (х2 → хЗ) ∧ (хЗ → х4) ∧ (х4 → х5) ∧ (х5 → х6) = 1
(y1 → y2) ∧ (у2 → уЗ) ∧ (уЗ → у4) ∧ (у4 → у5) ∧ (у5 → у6) = 1
x1 ∨ y1 = 1
В ответе не нуж но перечислять все различные наборы значений переменных x1, х2, хЗ, х4, х5, y1,
у2, уЗ, у4, у5, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нуж но
указать количество таких наборов.
Пояснение.
1) Из последнего уравнения следует, что глобально мы имеем три варианта - x1=1, y1=1; x1=0,
y1=1; x1=1, y1=0.
2) Логическое И истинно, только тогда, когда истины все утверж дения, а импликац ия лож на
только в случае, если из истинного следует лож ное.
3) Уравнение (1) описывает ряд переменных {x1, x2, x3, x4, x5, x6}. Так как из переменной с
более низким номером всегда следует переменная с более высоким, если любую переменную из
э того ряда приравнять 1, то все следующ ие долж ны такж е быть равны 1. Для уравнения (2)
сущ ествует то ж е самое правило. Иначе говоря, если записать переменные x (или y) в порядке
возрастания их номеров, справа будут нули, а слева - единиц ы.
4) Рассмотрим вариант x1=1, y1=1. Так как первые числа каж дого ряда равны 1, то все
следующ ие тож е равны 1. Сущ ествует только одна комбинац ия для э того варианта.
5) Рассмотрим вариант x1=0, y1=1. Для y-ряда все переменные равны 1, для x ж е сущ ествует 6
комбинац ий, так как в ряде x мож ет быть от 1 до 6 нолей включительно.
6) Последний вариант рассмотрим аналогично предыдущ ему. Там сущ ествует всего 6 комбинац ий.
Правильный ответ: 6+6+1=13 комбинац ий.
О т в е т : 13
http://shpargalkaege.ru
Группа в ВК
http://vk.com/shpargalkaege
сайт Шпаргалка ЕГЭ
Подготовка к ЕГЭ 2013
24.05.2013
B15 Каково
наибольшее ц елое полож ительное
число X, при котором лож но высказывание:
(8•X - 6 < 75) → (X•(X-1)> 65)
Пояснение.
Применим преобразование импликац ии:
(8•X - 6 > 75) ∨ (X•(X-1)> 65) = 0
Логическое "ИЛИ" лож но, когда лож ны оба утверж дения.
X•(X-1) -65 < 0
Корни квадратного уравнения примерно: 8.57 и -7.57.
8•X - 81 < 0
X < 10.125
Учитывая э то и решение первого неравенства методом интервалом, получаем, что э то число 8.
О т ве т : 8
B15 Укаж ите значения переменных K, L, M, N, при которых логическое выраж ение
(¬K ∨ M) → (¬L ∨ M ∨ N)
лож но. Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных K, L, M и N (в
указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что K=1, L=1, M=0, N=1.
Пояснение.
Применим преобразование импликац ии:
(K ∧ ¬M) ∨ (¬L ∨ M ∨ N) = 0
Применим отриц ание к обоим частям уравнения:
(¬K ∨ M) ∧ L ∧ ¬M ∧ ¬N = 1
Преобразуем:
(¬K ∧ L ∨ M ∧ L) ∧ ¬M ∧ ¬N = 1
Логическое "И" истинно тогда и только тогда, когда истинны оба утверж дения.
Следовательно, M = 0, N = 0, рассмотрим теперь (¬K ∧ L ∨ M ∧ L):
из того, что M = 0, N = 0 следует, что M ∧ L = 0, тогда ¬K ∧ L = 1, то есть K = 0, L = 1.
О т в е т : 0100
B15 Каково наибольшее ц елое число X, при котором истинно высказывание (10 < X·(X+1)) → (10 >
(X+1)·(X+2))?
Пояснение.
Уравнение является операц ией импликац ии меж ду двумя отношениями:
и
.
1) конечно, здесь мож но применить тот ж е способ, что и в примере 2208, однако при э том
понадобится решать квадратные уравнения (не хочется…);
2) заметим, что по условию нас интересуют только ц елые числа, поэ тому мож но попытаться
как─то преобразовать исходное выраж ение, получив равносильное высказывание (точные
значения корней нас совершенно не интересуют!);
3) рассмотрим неравенство
полож ительным, так и отриц ательным числом;
4) легко проверить, что в области
области http://shpargalkaege.ru
— при всех ц елых
: очевидно, что
мож ет
быть
как
высказывание
истинно при всех ц елых
, а в
(чтобы
не запутаться, удобнее использовать
нестрогие
Группа в ВК
http://vk.com/shpargalkaege
сайт Шпаргалка ЕГЭ
неравенства,
и , вместо
5) поэ тому для ц елых
и
Подготовка к ЕГЭ 2013
);
мож но заменить
24.05.2013
на равносильное выраж ение
;
6) область истинности выраж ения
— объединение двух бесконечных интервалов;
7) теперь рассмотрим второе неравенство
ж е мож ет быть как полож ительным, так и отриц ательным числом;
8) в области
всех ц елых
: очевидно, что
так
высказывание
истинно при всех ц елых
, а в области
— при
, поэ тому для ц елых
мож но заменить
на равносильное выраж ение
;
9) область истинности выраж ения
— закрытый интервал;
10) заданное выраж ение истинно везде, кроме областей, где
11) обратите внимание, что значение
есть импликац ия дает 0;
и
;
уж е не подходит, потому что там
и
, то
12) максимальное ц елое число 2.
О т ве т : 2
B15 Сколько различных решений имеет уравнение
((J → K) → (M ∧ N ∧ L)) ∧ ((J ∧ ¬K) → ¬ (M ∧ N ∧ L)) ∧ (M → J) = 1
где J, K, L, M, N – логические переменные?
В ответе не нуж но перечислять все различные наборы значений J, K, L, M и N, при которых
выполнено данное равенство. В качестве ответа нуж но указать количество таких наборов.
Пояснение.
Используем формулы A → B = ¬A ∨ B и ¬(А ∨ В) = ¬А ∧ ¬В
Рассмотрим первую подформулу:
(J → K) → (M ∧ N ∧ L) = ¬(¬J ∨ K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L)
Рассмотрим вторую подформулу
(J ∧ ¬K) → ¬(M ∧ N ∧ L) = ¬(J ∧ ¬K) ∨ ¬(M ∧ N ∧ L) = (¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L
Рассмотрим третью подформулу
1) M → J = 1 следовательно,
а) M = 1 J = 1
(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬K) ∨ (1 ∧ N ∧ L) = ¬K ∨ N ∧ L;
(0 ∨ K) ∨ 0 ∨ ¬N ∨ ¬L = K ∨ ¬N ∨ ¬L;
Объединим:
¬K ∨ N ∧ L ∧ K ∨ ¬N ∨ ¬L = 0 ∨ L ∨ 0 ∨ ¬L = L ∨ ¬L = 1 следовательно, 4 решения.
б) M = 0 J = 1
(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = ¬K;
(¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L = (0 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L = K ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L
http://shpargalkaege.ru
Группа в ВК
http://vk.com/shpargalkaege
сайт Шпаргалка ЕГЭ
Подготовка к ЕГЭ 2013
24.05.2013
Объединим:
K ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L ∧ ¬K = 1 ∨ ¬N ∨ ¬L следовательно, 4 решения.
Ответ: 4 + 4 = 8.
О т ве т : 8
B15 Укаж ите значения переменных K, L, M, N, при которых логическое выраж ение
(¬(M ∨ L) ∧ K) → ((¬K ∧ ¬M) ∨ N)
лож но. Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных K, L, M и N (в
указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что K=1, L=1, M=0, N=1.
Пояснение.
Применим преобразование импликац ии:
¬((¬(M ∨ L) ∧ K)) ∨ ((¬K ∧ ¬M) ∨ N) <=> ¬((¬M ∧ ¬L) ∧ K)) ∨ ((¬K ∧ ¬M) ∨ N) <=>
¬((¬M ∧ ¬L) ∧ K)) ∨ ((¬K ∧ ¬M) ∨ N)
Логическое "ИЛИ" лож но тогда и только тогда, когда лож ны оба утверж дения.
¬((¬M ∧ ¬L) ∧ K)) = 0 и ((¬K ∧ ¬M) ∨ N) = 0.
1) ¬((¬M ∧ ¬L) ∧ K)) = ¬(¬M ∧ ¬L) ∨ ¬K) = M ∨ L ∨ ¬K = 0, => K = 1, L = 0, M = 0.
2) (¬K ∧ ¬M) ∨ N = 0, => N = 0.
О т в е т : 1000
http://shpargalkaege.ru
Группа в ВК
http://vk.com/shpargalkaege