Решение дифференциальных уравнений С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 7 #1 Прошлое занятие • Разностные • уравнения. Диф. уравнения первого порядка. Метод Эйлера. Методы Рунге-Кутта. • Диф. уравнения второго порядка. Метод прогонки. С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 7 #2 Еще раз Методы Рунге-Кутта q y ( xk +1 ) = y ( xk ) + ∑ pi ki (h) - общая формула, где i =1 k1 (h) = h ⋅ f ( x; y ); k 2 (h) = h ⋅ f (x + α 2 h; y + β 21k1 ); k3 (h) = h ⋅ f ( x + α 3 h; y + β 31k1 + β 32 k 2 ); .......................................................... k n (h) = h ⋅ f ( x + α 3 h; y + β n1k1 + β n 2 k 2 + β n 3 k3 + ...); α 2 ...α q p1... pq β ij 0< j<i≤q - константы С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 7 #3 Методы Рунге-Кутта Выбор параметров Введем фунцию погрешности метода ϕi (h) = y ( x + h) − y ( x) − p1k1 (h) − p2 k 2 (h) − ... − pi ki (h); Будем искать коэффициенты из условия чтобы ϕ ′ (0) = ϕ ′′(0) = ... = ϕ ( s ) (0) = 0, ϕ ( s +1) (0) ≠ 0 тогда s ϕ ( h) = ∑ i =1 ϕ ( s ) ( 0) s! h + s ϕ ( s +1) (θh) ( s + 1)! h s +1 = ϕ ( s +1) (θh) ( s + 1)! h s +1 С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 7 #4 Методы Рунге-Кутта 4 порядок s = q = 4 С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 7 #5 Пример Структура Gate Metal Source Schottky Layer AlxGax-1As n Doping Layer AlxGax-1As Buffer Layer AlxGax-1As n+ n- Channel Layer GaAs n- Substrate Layer AlxGax-1As n- С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 7 (~20nm) (~8nm) (~6nm) Drain (~20nm) (~50nm) #6 Пример Задача Рассчитать константы спин-орбитального взаимодействия в полупроводниковой гетероструктуре с металлическим затвором, как функции напряжения на затворе. С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 7 #7 Спин-орбитальное взаимодействие H SO = h ∇V (σˆ × pˆ ) 2 (2m0 c ) H D = γ ( k zi ) ⋅ ( k y σ γ ( k zi ) = β k zi 2 y − k xσ x ) - общий вид - формула специфичная для III-V полупроводниковых гетероструктур - константа спин-орбитального взаимодействия Параметр β определяется зонной структурой полупроводника Задача сводится к нахождению волновых функций электронов локализованных в квантовой яме С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 7 #8 Band structure Металл/полупроводник Полупроводник/полупроводник Xs E o 0 X m Xs Φb Vb o i X s E c E METAL Semiconductor f E v С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 7 #9 Уравнения Уравнение дрифт-диффузии: n ′′ + qE qE ′ n′ + n=0 k BT kBT J n = qµn nE + µn k B T ∇n Уравнение Пуассона: ∇ ⋅ ( ε 0 ε r ∇ϕ ) = − e ( p − n + N d − N a ) , Уравнение Шрёдингера: h2 ⎛ 1 ⎞ − ∇⋅⎜ ∇Ψ k ⎟ + (V − Ek )ψ k = 0 2 ⎝ m* ⎠ С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 7 # 10 Алгоритм Initialize doping concentration Микроскопическая Efn calculation Poisson Equation модель Schrödinger Equation Does electron density converge No Yes Continuity and Transport Equations Does electron density converge No Yes Calculate Spin Orbit terms Макроскопическая модель End С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 7 # 11 Результаты Vg = 0 V Vg = 0.5 V 1.6 1.1 1 1.4 0.9 Energy (eV) Energy (eV) 1.2 1 psi_sch ef Esub#1 Esub#2 Esub#3 0.8 0.6 0.8 psi_sch ef Esub#1 Esub#2 Esub#3 0.7 0.6 0.5 0.4 0.4 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 x (nm) x (nm) С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 7 # 12 Результаты Константы С-О взаимодействия С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 7 # 13 Литература z z z Д. Поттер, Вычислительные методы в физике. Н. Н. Калиткин, Численные методы. Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков, Численные методы. С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 7 # 14